二年级 专题四 平面图形计数进阶
小四数学第17讲：图形计数进阶(教师版)
第十七讲图形计数进阶一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．来完成，这几步是完．．．．的独立步骤成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．1.掌握加法乘法原理2.熟练运用加乘方法3.解决加乘及计数综合性题目1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。
现已猜出：□54□7□39，主持人提示：“这个无重复数字的八位数中，最小的数是2。
”要猜出这个谜语，最多还要猜次。
解析：根据题意三个方框只能从2,6,8中选，根据乘法原理最多还要猜3×2×1=6答案：62.在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．解析：由于每个方格有2种填法，依此根据乘法原理进行解答。
第一讲 平面图形计数进阶
第一讲 平面图形计数进阶一、 单层规则图形1、 特点：基本图形手拉手肩并肩，站成一排2、 方法：开火车基本图形依次倒数加到“1” 二、 多层规则图形1、 数长方形（三步走）（1）普通：长边线段总数×宽边线段总数 （2）变形：先去掉，再添回来，后算增加的 2、 数三角形（1）普通：每层个数×层数 （2）变形：先分层，后补漏 三、 不规则图形分类法：①按大小 ②按方向——朴虹老师1.数一数，下图中共有多少条线段？解析：（1）这个图形中，每个基本线段都连在一起，并且在一个方向上，属于规则图形，可以用开火车的方法。
开火车法首先要确定火车头，即基本图形的数量。
通过观察我们知道图中最长的线段由4个基本线段组成，所以“火车头”为4。
最后我们从4开始倒数依次加到“1”，即4+3+2+1=10（条）。
所以一共有10条线段。
2. 数一数下图中共有多少个长方形？解析：我们可以把多层的规则图形转化成单层的我们熟悉的规则图形。
这个图形我们先分成两个部分，上面一层，下面一层。
上面是三个长方形连在一起排成一排，可以按照开火车的方法算出上面一层共有长方形：3+2+1=6（个）。
下面一层和上面一层的情况相同，也是6个。
最后我们在将上面和下面合在一起，发现会产生新的长方形。
竖着每一列，都有一个大的长方形。
我们可以把中间的横线忽略掉，看到下图：所以我们还是可以按照开火车的方法来算，合在一起后，产生的新的长方形，共10个。
一共有3个10，所以我们用乘法，10×3=30（个）这道题我们可以用更简单的方法。
当我们计算每层有多少个的时候，可以计算长边线段总数。
当我们算每列有几个长方形时，计算宽的线段总数。
最后将两个结果乘在一起就可以。
3. 数一数，下图中共有多少个三角形？解析：这是不规则图形，我们需要用分类的方法来数。
可以按照大小来分类。
图中三角形有单个的，也有两个、三个等组成的三角形。
为了能够不重复不遗漏，我们可以把每个部分都用序号标上去。
二年级上册数学讲义第十六讲,简单图形计数进阶,无答案全国通用
二年级上册数学讲义第十六讲,简单图形计数进阶,无答案全国通用第十六讲简单图形计数进阶【知识要点】数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。
数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。
数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n. 例题1、数一数，图中共有多少条线段？练习1、数一数，图中共有多少条线段？例题2、数一数，下图中有多少个角？练习2、数一数，图中共有几个角？例题3、数一数，图中共有（）个三角形。
练习3、数一数，图中共有（）个三角形。
例题4、数一数，下图中有多少个长方形？练习4、数一数，图中共有多少个长方形？例题5、含有☆的正方形有（）个。
练习5、含有☆的正方形有（）个。
例题6、在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（）个正方形。
练习6、下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到（）个正方形。
例题7、右图中共有多少个长方形？练习7、右图中共有多少个长方形？【课堂练习】 1、下图中一共有多少条线段？ 2、下图中有多少个三角形？ 3、数一数，一共有多少个长方形？ 4、在下图中,带“★”的正方形的个数是______. 5、下面有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到多少个正方形？ 6、在下图中,长方形的个数有多少个？反复拜读。
二年级专题第四讲：数几何图形的个数
第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。
一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。
分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。
数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。
法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2. 数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数. 【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC 共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
二年级奥数：有趣的图形计数
二年级奥数：有趣的图形计数知识点总结一、平面图形计数1.规则图形——跑火车基本图形数依次加到12.不规则图形——分层数分类（大小分类，方向分类）3.方法：观察规律，变加为乘二、立体图形计数——分层数每层个数=上层个数+本层露出头顶的个数二、染色问题1重合2不染知识点精讲一、平面图形1、规则图形公式法（跑火车）（适用于数线段、数角、数三角形等）例数线段分析：有3条基本线段（火车头是3），所以一共有3+2+1=6（条）线段例数角分析：有3个基本角，共有3+2+1=6（个）角例数三角形分析：有4个基本三角形，共有4+3+2+1=10（个）三角形（2）不规则图形①分层数例数多层长方形（分层数）分析：每层有3+2+1=6（个），有3层，所以共有6╳3=18（个）也可以，长边上线段总数3+2+1=6（个）宽边上线段总数2+1=3（个）总共有：3×6=18（个）例图中有多少个三角形?解析：观察本图不是规则图形，不能直接用公式.但可以将它分成2层（中间横线以上是一层，去掉横线是一层），且每层都是一个规则的数三角的图形.每层个数：3+2+1=6（个）层数：2层总个数6×2=12（个）②分类数：大小、方向例数三角形方法：标号法（适用于任何基本的平面图形，建议重点掌握）分析：用标号法如图小三角形有6个，两个小三角形拼成的有（2,3）（4,5）（6,1）3个三个小三角形拼成的有（1,2,3）（2,3，4）（3,4,5）（4,5,6）（5,6,1）（6,1,2）6个六小三角形拼成的有1个共6+3+6+1=16（个）二、其它平面图形计数1、数棋盘：细观察，找规律，变加为乘2、数方块: 补、拆三、立体图形计数1、数立方体推荐方法：从上往下一层一层的数每层个数=上层个数+本层露出头顶的个数例数一数下图有多少块立方体?分析：如图，从上往下，一层一层的数即1+3+6+10=20（块）2、补成大正方体/长方体推荐方法：要补的块数=总数-现有的块数例至少添加多少个小正方体可以组成一个较大的正方体?分析：先观察发现这幅图有4层，那么要想拼出一个大正方体，那么每层应该有4行4列，所以拼成的大正方体至少得4╳4╳4=64块，现在有3+4+5+7=19块，所以至少得补64-19=45块3、染色问题简单情况可使用观察法没被染色的面即为粘在一起的面（重合面），粘一处少两个面，（两个方块各少一个面）例下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上红色，数一数有多少个小正方形没有被涂色?分析：“横着”粘的：第一层+第二层的块数1+2=3处。
第二讲 图形计数
第二讲图形计数【知识精讲】数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。
数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。
数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n.例题1：数一数，图中共有多少条线段？练习1：数一数，图中共有多少条线段？例题2：数一数，下图中有多少个角？练习2：数一数，图中共有几个角？例题3：数一数，下图中有几个三角形。
练习3：数一数，下图中有几个三角形。
例题4：数一数，图中共有（）个三角形。
练习4：数一数，图中共有（）个三角形。
例题5：数一数，下图中有多少个长方形？练习5：数一数，图中共有多少个长方形？例题6：含有☆的正方形有（）个。
练习6：含有☆的正方形有（）个。
例题7：在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（）个正方形。
练习7：下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到（）个正方形。
巩固练习1、下图中一共有（）条线段.2、下图中有_____个三角形.3、数一数，一共有( )个长方形.4、在下图中,所有正方形的个数是______.5、下面有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到（）个正方形。
小四数学图形计数进阶含答案
第十七讲图形计数进阶一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．来完成，这几步是完．．．．的独立步骤成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．1.掌握加法乘法原理2.熟练运用加乘方法3.解决加乘及计数综合性题目1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。
现已猜出：□54□7□39，主持人提示：“这个无重复数字的八位数中，最小的数是2。
”要猜出这个谜语，最多还要猜次。
解析：根据题意三个方框只能从2,6,8中选，根据乘法原理最多还要猜3×2×1=6答案：62.在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．解析：由于每个方格有2种填法，依此根据乘法原理进行解答。
二年级第一讲平面图形计数进阶
二年级第一讲平面图形计数进阶
姓名：________ 得分：__________
1.数一数，图（1）中有（）条线段，图（2）中有( ）个角？
2.数一数，下面有多少个三角形？
（）个三角形
3.数一数，下面有多少个长方形？
（）个长方形
答案与解析
1. 数一数，图（1）中有（6）条线段，图（2）中有( 6）个角？
[解析]数线段时，从左往右一个端点一个端点的出发，从A 点出发有3 条线段，从B点出发有2 条线段，从C 点出发有1 条线段，一共有6条线段。
数角时，从最上面的一条射线出发，从OA出发能画出3个角，从OB出发能画出2个角，从OC出发能画出1个角，一共有6个角。
2.数一数，下面有多少个三角形？
[解析]数“伞”状三角形时，可以类比数线段，底边有多少条线段就有多少个三角形。
所以可以知道底边有6+5+4+3+2+1=21条线段，所以一共有21个三角形。
3.数一数，下面有多少个长方形？
[解析]数2层的长方形，需要进行分层数，先数1层的长方形，再数2层的长方形。
上面一层有4+3+2+1=10个长方形，下面一层也有4+3+2+1=10个长方形，另外把第一层和第二层合在一起还有大的长方形，也有4+3+2+1=10个，所以一个有10+10+10=30个长方形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题四 平面图形计数进阶
练习1
数一数，下面的图形一共有多少个三角形？
练习
2
数一数，右图中有多少个正方形？
练习3
下图，共有多少个三角形？
下图含有多少个三角形？
练习5
下图有多少个三角形？
练习6
只含有一个
○
的正方形的个数为________?
乐乐老师今天要在数学课上教大家认识图形，大家都觉的很简单，可乐乐老师笑着说：“没那么简单哦”！请同学们看下图有多少个三角形？
练习8
大家被刚才的题目难住了，乐乐老师接着说下面的这个会简单一些，下图中长方形的个数是多少个？
练习9
乐乐老师看大家都答出了题目，然后在地上画了几个长方形，中间放了一个草莓，包含草莓的长方形的个数为________？
牛牛说，我也给大家出一道这样的题目吧，数数看，这幅图一共有多少个三角形？
练习11
大家很快的答出了丁丁的题目，田田说我也来一道吧。
下图中三角形的个数为________？
练习12
最后丁丁也加入了进来，说这一道题不简单，谁可以解答出来呢？数数下图一共有多少个三角形？
小朋友们来数数下图中一共有多少个正方形？
练习1：15个。
【解析】找到基本三角形，按顺序，标序号，添“+”号。
列式：1234515++++=（个）。
练习2：90个。
【解析】10493827190⨯+⨯+⨯+⨯=（个）。
练习3：9个。
【解析】独立的三角形有7个，由4个三角形组成的三角形有1个，由7个三角形组成的三角形有1个。
因此共有7119++=个三角形。
练习4：8个。
【解析】如图：标上序号后，按图形大小分类，由1个三角形组成的有4个，由2个组成的有（1，2），（2，3），（3，4），（4，1）4个，共有8个。
练习5：8个。
【解析】6个小三角形，2个大三角形，一共有8个三角形。
练习6：10个。
【解析】分类枚举，由11⨯的正方形有2个，22⨯的正方形有6个，33⨯的正方形有2个，一共有26210++=（个）。
练习7：28个。
【解析】
由一个三角形组成的：12个；由两个三角形组成的：6个；由三个三角形组成
的：8个；由六个三角形组成的：2个；共有1268228+++=个。
练习8：10个。
【解析】第一层：3216++=（个），第二层：213+=（个），第一层和第二层组合的长方形有1个，所以一共有63110++=（个）。
练习9：8个。
【解析】
包含草莓的长方形：3、23、34、36、234、1236、3456、123456共8个。
练习10：17个。
【解析】由一个三角形组成的有：1、3、5、7，共4个；由两个图形组成的：12、36、74、25、56、54，共6个；由三个图形组成的：123、367、741，共3个；由四个图形组成的：2154、4756、6352，共3个；最后还有一个最大的；所以共4633117++++=（个）。
练习11：14个。
【解析】首先为图形编号，如下图所示，定义编号的三角形为基本图形。
由一个基本图形构成的三角形有：（1）（2）（4）（5）（6）共5个；
由两个基本图形构成的三角形有：（1）（2），（2）（4），（2）（3），（4）（5），（3）（5），
（5）（6）共6个；
由三个基本图形构成的三角形有：（1）（2）（4），（4）（5）（6）共2个；
由四个基本图形构成的三角形有：（2）（3）（4）（5）共1个。
+++=（个）。
所以共有三角形562114
练习12：15个。
【解析】将原图分解成下面两个图
+=（个）；
图1三角形的个数：213
+++=（个）；
图2三角形的个数：432110
图1和图2重组的三角形（阴影三角形）：
++=（个）。
三角形的总个数：310215
练习13：80个。
⨯+⨯+⨯+⨯=（个）；
【解析】1个44⨯的大正方形包含小正方形的个数：4433221130
⨯=（个）；每两个大正方形重合3个44⨯的大正方形总共有小正方形的个数：30390
-⨯=个。
了1个，多算了5个正方形。
所以正方形的个数：905280。