高中常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R)1)、y=a 与 x=a 的图像与走势2)、图象及其性质:函数f (x )的图象就是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2)、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势:3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 4)、定 义 域:R 值域:R单调性:当k>0时 ;当k<0时奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊情况下:K=±1并且b=0的时候)。

补充:反函数定义:例题:定义在r 上的函数y=f(x); y=g(x)都有反函数,且f(x-1)与g -1(x)函数的图像关于y=x 对称,若g(5)=2016,求f(4)=周 期 性:无5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: 2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x )=xk(k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分别在第一、第三象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别就是曲线的两条渐近线; 既就是中心对成图形也就是轴对称图形 定 义 域:),0()0,(+∞-∞ 值 域:),0()0,(+∞-∞单 调 性:当k> 0时;当k< 0时 周 期 性:无 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此)3、反函数变形(如右图)1)、y=1/(x-2)与y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)与y=-(1/x)图像移动比较3)、f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数)(对比标准反比例函数,总结各项内容)xy b Of (x )=bx y Of (x )=kx +b xyOf (x )=dcx bax ++ R 2)点关于直线(点)对称,求点的坐标二次函数一般式:)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式:)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标为②当0>a 时,开口向上,有最低点 当0<a 时。

③当 = >0时,函数图象与x 轴有两个交点( );当<0时,函数图象与x 轴有一个交点( );当=0时,函数图象与x 轴没有交点。

④)0()(2≠++=a c bx ax x f关系)0()(2≠=a ax x f定 义 域:R 值 域:当0>a 时,值域为( );当0<a 时,值域为( ) 单 调 性:当0>a 时;当0<a 时、 奇 偶 性:b=/≠0反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数 周 期 性:无 补充:1、a 的正/负;大/小与与函数图象的大致走向(所以,a 决定二次函数的 )2、3、二次函数的对称问题:关于x 轴对称;关于y 轴对称;关于原点对称;关于(m,n)对称4、二次函数常见入题考法:⑴交点(交点之间的距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题)指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x,系数只能为1。

图象及其性质:1、恒过)1,0(,无限靠近x 轴;2、xa x f =)(与xx a ax f -==)1()(关于y 轴对称;但均不具有奇偶性。

3、在y 轴右边“底大图高”;在y 轴左边“底大图低”——靠近关系定 义 域:R 值 域:),0(+∞单 调 性:当0>a 时;当0<a 时。

奇 偶 性:无 反 函 数:对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 周 期 性:无 补充: 1、2、图形变换Log 21/x 与Log 2- xln(x-1)与lnx - 1对数函数(与指数函数互为反函数))1,0(log )(≠>=a a x x f a图象及其性质:①恒过)0,1(,无限靠近y 轴;②x x f a log )(=与x x x f a alog log )(1-==关于x 轴对称;③x ＞1时“底大图低”;0＜x ＜1时“底大图高”(理解记忆)定 义 域:R 值 域:),0(+∞x yO f (x )=c bx ax ++2xyOf (x )=)1(>a a xf (x )=)10(<<a a xxyOf (x )=)1(log >a x af (x )=)10(log <<a x a单 调 性:当0>a 时;当0<a 时; 奇 偶 性:无反 函 数:指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x周 期 性:无 补充: 1、双钩函数xx x f 1)(+=(变形式 ) 图象及其性质:①两条渐近线: ②最值计算: 定 义 域: 值 域:单 调 性: 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:定义域内无反函数 周 期 性:无注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法幂函数(考察时,一般不会太难)无论n 取任何实数,幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

不需要背记,只要能够快速画出n=±1, ±1/2,±3,,1/3,0,的图象就行注意:掌握y=x 3的图像;掌握y=ax 3+bx 2+cx+d 的图像(当a>0,当a<0时);补充:利用数形结合,判断非常规方程的根的取值范围。

例:P 393,例题10函数)(x f y =图象变换一.平移变换 二.对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )关于y 轴对称; ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )关于x 轴对称; ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )关于原点对称;④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )关于直线y ＝x 对称;⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.⑥y ＝f (|x |)的图象:可将y ＝f (x ),x ≥0的部分作出,再利用偶函数关于y 轴的对称性.三、伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象,可将y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标伸(A ＞1)缩(0＜A ＜1)到原来的A 倍,横坐标不变而得到.②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象,可将y ＝f (x )的图象上每一点的横坐标伸(0＜a ＜1)缩(a ＞1)到原来的a1,纵坐标不变而得到.四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲向下平移b 个单位向上平移b 个单位向左平移a 个单位向右a 平移个单位y=f x ()y=f x+a ())-by=f x ()+b y=f x-a ()例1:已知y ＝f (x )的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f (x )的解析式就是( A)A.1||22+-x xB.x 2－2|x |＋1C.|x 2－1|D.122+-x x解析:当f (x )＝1||22+-x x 时, =-=-=|1|||)1|(|)(2x x x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+<≤-≥-)1( )1()01( 1)10( 1)1(1x x x x x x x x其图象恰好就是上图.例2:画出函数y ＝lg|x ＋1|的图象.解析:y ＝lg|x ＋1|⎩⎨⎧-<--->+=)1( )1lg()1( )1lg(x x x x .例3:要将函数y ＝12--x x 的图象通过平移变换得到y ＝x1的图象,需经过怎样的变换？解析:y ＝11-x －1,先沿x 轴方向向左平移1个单位,再沿y 轴方向向上平移1个单位,即可得到y ＝x1的图象. 例4:方程kx ＝2)2(1--x 有两个不相等的实根,求实数k 的取值范围.解析:设y 1＝kx①y 2＝2)2(1--x②方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心(2,0),半径为1,如图2—9.易知当OA 与半圆相切时,33 OA k ,故当0≤k ＜33时,直线与半圆有两个交点,即0≤k ＜33时,原方程有两个不相等的实根.例5:作函数f (x )＝x ＋x1的图象.分析:f (x )＝x ＋x1不能由已知函数图象变换得到,故需对函数f (x )的性质进行研究.解析:函数的定义域就是(－∞,0)∪(0,＋∞),∵f (－x )＝－f (x ),∴f (x )就是(－∞,0)∪(0,＋∞)上的奇函数, 又|f (x )|＝|x ＋x1|＝|x |＋||1x ≥2,当且仅当|x |＝1时等号成立,∴当x >0时y ≥2;当x <0时,y ≤－2;当x ∈(0,1)时函数为减函数,且急剧递减;当x ∈［1,＋∞)时函数为增函数,且缓慢递增,又x ≠0,y ≠0,∴图象与坐标轴无交点,且y 轴就是渐近线,作出第一象限的函数的图象, 再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图2—10所示.评述:(1)熟悉各种基本函数图的“原型”就是函数作图的一项基本功;先研究函数的性质,再利用性质作图则能减少作图的盲目性,提高图象的准确性.(2)与图象有关的“辅助线”要用虚线作,以起到定形、定性、定位、定量的作用.例6:f (x )就是定义在区间［－c ,c ］上的奇函数,其图象如图所示.令g (x )＝af (x )＋b ,则下列关于函数g (x )的叙述正确的就是(B)A.若a <0,则函数g (x )的图象关于原点对称B.若a ＝－1,－2<b <0,则方程g (x )＝0有大于2的实根C.若a ≠0,b ＝2,则方程g (x )＝0有两个实根D.若a ≥1,b <2,则方程g (x )＝0有三个实根解析:将f (x )图象上每点的纵坐标变为原来的a 倍,横坐标不变,再将所得图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位,得g (x )＝af (x )＋b 的图象.例6:(全国Ⅱ)把函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2,3)平移,得到y ＝f(x)的图象,则f(x)＝( C )(A)e x －3＋2 (B)e x ＋3－2 (C)e x －2＋3 (D)e x ＋2－3例7:(菏泽模拟)如图为函数y ＝m ＋lognx 的图象,其中m,n 为常数,则下列结论正确的就是 ( D )(A)m<0,n>1 (B)m>O,n>l (C)m>O,0<n<1 (D)m<0,0<n<1例8:(安庆模拟)函数y ＝e －｜x －1｜的图象大致就是( D )例9:在直角坐标系xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x ＝0,y ＝0,2x ＋3y ＝30,则△AOB内部与边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数就是( B)A.95B.91C.88D.75解析:画出图象,补形做出长方形AOBC ,共有整点数11×16＝176,而六点(0,10),(3,8),(6,6),(9,4),(12,2),(15,0)在长方形的对角线上,所以符合题意的点数为(176＋6)×21＝91.例10:将函数y ＝log 21x 的图象沿x 轴方向向右平移一个单位,得到图象C ,图象C 1与C 关于原点对称,图象C 2与C 1关于直线y ＝x 对称,那么C 2对应的函数解析式就是_____.解析:C :y ＝log21(x －1);由－y ＝log 21(－x －1)得C 1:y ＝log 2(－x －1);求C 1的反函数得y ＝－1－2x .例11:若函数y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象C 与直线y ＝kx 相交于点M (2,1),那么曲线C 与该直线有个交点.解析:(数形结合法)作y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象,知其顶点在M (2,1).过原点与点M (2,1)作直线y＝kx ,如图.∴曲线C 与直线y ＝kx 有四个交点.例12:作函数y ＝(21)|x －1|的图象.解析:(1)y ＝⎩⎨⎧<≥---).1( 2),1( 21)1(x x x x 故它在区间［1,＋∞)上的图象,可由y ＝2－x (x ≥0)的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到在区间(－∞,1)上的图象,可由y ＝2x(x <0)的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到.例13:已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (a ＋x )＝f (a －x ),求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.证明:设p (x 0,y 0)就是y ＝f (x )图象上的任一点,则有y 0＝f (x 0),设点P 关于直线x ＝a 的对称点为p ′(x ′,y ′),则有⎩⎨⎧='-='002y y x a x ,即⎩⎨⎧'='-=y y x a x 002 由y 0＝f (x 0) ⎭⎬⎫-=+'-+='-='⇒)()()]([)2(x a f x a f x a a f x a f y 又⇒ y ′＝f ［a －(a －x ′)］＝f (x ′).即点p ′(x ′,y ′)也在y ＝f (x )的图象上. ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.例14:画出函数y ＝12+x 的图象,并利用此图象判定方程12+x ＝x ＋a 有两个不同的实数解时,实数a 所满足的条件.解析:图象就是抛物线y 2＝2x ＋1在y ≥0上的部分.把y ＝x ＋a 代入y 2＝2x ＋1,得(x ＋a )2＝2x ＋1,即x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0,由Δ＝0得a ＝1, 此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点就是(－21,0), 可知当直线过点(－21,0)时,即a ＝21时直线与抛物线有两交点, 故当21≤a ＜1时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解.。