傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家Pierre Simon Laplace
（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究 中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在 他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在 19 世纪初， 拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研 究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学 家，同时也是一位电气工程师的 Oliver Heaviside 奥利 弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算 子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题 很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论 的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文 章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关 性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变 换和拉普拉斯变换的区别与联系。
上式中，
定义 1.2.3（傅里叶逆变换）
定义 1.2.4（拉普拉斯变换）
若函数 满足
积分收敛，那么该积分记作
式中 s 为复数， 为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义 1.2.5（拉普拉斯逆变换）
称为 F(s)的拉普拉斯逆变换 ＝ -1
定义 1.2.6（卷积） 假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则
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1.前言
1.1 背景
利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。 类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。 积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化， 比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用 含参变量积分，把一个属于 A 函数类的函数转化属于 B 函 数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要 积分变换。 分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能 够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号 的成分的波形有很多，例如锯 齿波，正弦波，方波等等。傅立 叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。
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ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ 称为ƒ1(t)和 ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)
ƒ1(t)*ƒ2(t)＝
ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ
2.傅里叶变换的性质及应用
2.1 傅里叶变换的性质
性质 2.1.4（积分性质）
设
，若，
则：
证明 因为
故由微分性质得
即
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定理 2.1.1（卷积定理）
如果
，
，则有：
证明
性质 2.1.6（Parseval 恒等式）
如果有 F(ω)＝
，则有
这个式子又叫做 Parseval 等式。
1.2 预备知识
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定理 1.2.1（傅里叶积分定理）
若在（-∞，+∞）上，函数 满足一下条件：
（1）在任意一个有限闭区间上面 满足狄利克雷条件；
（2） 积；
，即 在（-∞，+∞）上绝对可
则 的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点 处
2.2 函数及其傅里叶变换
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定义 2.2.1（ 函数） 满足：
的函数是 函数。
定义 2.2.2（ 满足：
函数）
的函数是
函数。
定义 2.2.3（ 函数的数学语言表述）
的极限叫做 函数，记作 ＝
定义 2.2.4（
解设
，
。由定义 1.2.6（卷积）可
知，方程右端第二项 根据卷积定理可得：
这里
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称为单位阶跃函数。 性质 2.2.3（ 函数的傅里叶变换）
因为
所以
即 和 1，
和
分别构成了傅里叶变换对。
2.3 傅里叶变换的应用
2.3.1 求微分积分方程
依据傅里叶变换的性质 2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边 取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得 到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是 此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。
函数的数学语言表述）
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Hale Waihona Puke 的极限叫做记作＝
性质 2.2.1（ 函数的筛选性质）
对任意连续函数 ，有
函数，
性质 2.2.2（ 函数的相似性质） 设 a 为实常数，则：
定义 2.2.5（单位阶跃函数） 函数是单位阶跃函数在 时的导数
性质 2.1.1（线性性质）
设
常数，
[ƒ1(t)]，
[ƒ2(t)]则：
性质 2.1.2（位移性质）
设
＝ ，则
性质 2.1.3（微分性质）
设＝ 有限个，且
，在
连续或可去间断点仅有
，则：
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证明 由傅里叶变换的定义有
在它的间断点 处
定义 1.2.1（傅里叶变换） 设 函 数 满 足 定 理 1.2.1 中 的 条 件 ， 则 称
为 的傅里叶变换，记作
。
定义 1.2.2（傅里叶级数）
设函数 的周期为 T，则它的傅里叶级数为：
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例 2.3.1 求积分方程
的解 ，其中
解 该积分方程可改写为
为的傅里叶正弦逆变换，故有：
例 2.3.2 求积分方程
在。
其中
是已知函数，而且
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的傅里叶变换存
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