趣题：内切圆与最大内接矩形
2024年中考数学复习 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型(原卷+答案解析)
圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。
它亦是该多边形内部最大的圆形。
内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
【常见模型及结论】1)三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O 为三角形ABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =2S ΔABC C ΔABC。
图1图2图32)直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O 为Rt ΔABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =AC +BC -AB2；3)四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆。
结论：AB +CD =AD +BC 。
1(2023·黑龙江鸡西·校考三模)如图，在△ABC 中，∠A =80°，半径为3cm 的⊙O 是△ABC 的内切圆，连接OB ,OC ，分别交⊙O 于D ，E 两点，则DE的长为．(结果用含π的式子表示)2(2022秋·安徽·九年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，P 是△ABC 内一点，且∠BPC =108°，连接CP 交BD 于点E ，若点P 恰好为△ABE 内心，则∠PEB 的度数为()A.36°B.48°C.60°D.72°3(2023秋·河南漯河·九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．4(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，点O是△ABC的内心，∠A=60°，OB=3，OC=6，BC= 37，则⊙O的半径为．5(2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习)如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若AD=3，BC= 6，则AB+CD的值是．6(2023·成都市九年级期中)如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，则△BMN的周长为()A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm7(2023·四川宜宾·九年级专题练习)如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M(3，1)与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1=3-1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，⋯，按此规律，则⊙O2014的半径r2014=．内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD=()A.4+23B.3+33C.3+43D.5+23模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
C5021一个椭圆内切于一个长为m宽为n的矩形求这个椭圆
C5－021一个椭圆内切于一个长为m，宽为n的矩形．求这个椭圆的内接矩形的周长的最大值．【题说】 1983年上海市赛一试题1（4）．【解】设椭圆方程为而ABCD为它的外切矩形．又设P1P2P3P4为椭圆的内接矩形，则P1P2、P1P4分别平行x轴、y 轴，设P1的坐标为（acosθ，bsinθ），θ为锐角，则：P1P2P3P4的周长＝4（acosθ＋bsinθ）C5－022设平面上有一圆，它的每一点都以角速度ω绕原点O 顺时针旋转，同时该圆上一点P以角速度2ω绕圆心O′逆时针旋转，若时间t＝0时，圆心O′的坐标为（l＋r，0），动点P的坐标为（l，0）．如图，求点P的轨迹方程．（其中l＞0，r＞0）【题说】 1984年上海市赛二试题3．【解】如图，设在时刻t，P点的坐标为P（x，y），则即它表示一个椭圆．C5－024如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，DC ⊥AB，交圆周于C，若点D坐标为（x，0），则当x为何值时，线段AD、BD、CD可构成锐角三角形？【题说】 1984年全国联赛一试题 2（1）．原题为填空题．【解】先设D点在OB上，OD＝x，AD＝1＋x，BD＝1－x，＋CD2＞AD2．即（1－x）2＋（1－x2）＞（1＋x）2，解得0可构成锐角三角形．C5－025三个圆有相同的半径，都是3，圆心分别为（14，92）、（17，76）和（19，84）．一条直线通过点（17，76），且位于它同一侧的三个圆各部分的面积之和，等于另一侧三个圆各部分的面积之和，那么这条直线的斜率的绝对值是多少？【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题6．这条直线已经平分一个圆，必须与另两个圆的圆心等距．【解】设直线方程为ax＋by＋c＝0则17a＋76b＋c＝（1）14a＋92y＋c＝－（19a＋84y＋c）（2）（2）即 33a ＋176b＋2c＝（3）（1）、（3）消去c得a＋24b＝0C5－027已知集合A＝{（x，y）||x|＋|y|＝a，a＞0}B＝{（x，y）||xy|＋1＝|x|＋|y|}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，求a的值．【题说】 1987年全国联赛一试题2（2）．原题为填空题．【解】 A所表示的图形是中心在原点、对角线长为2a且落在坐标轴上的正方形的周界，B所表示的图形是分别与坐标轴平行且与坐标轴距离为1的四条直线．2．如图b，|QP|＝|PR|＝|MN|－2|MP|C5－028三角形的三个顶点的坐标为P（－8，5），Q（－15，－19），R（1，－7）．∠P的平分线方程可以写成为ax＋by＋c ＝0．试求a＋c．【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题7．【解】设∠P的平分线交QR于D，则即11x＋2y＋78＝0a＋c＝11＋78＝89C5－029设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|＝a，|PQ|＝b．求△OPQ的面积．【题说】 1991年全国联赛一试题 4．【解】如图，以F为极点建立极坐标系，抛物线的方程为设点P的极角为θ（θ∈（0，π）），则点Q的极角为π＋θ，b＝|PQ|＝2a/（1－cosθ）＋2a/[1－cos（π＋θ）]＝4a/sin2θ。
圆内切矩形最大面积
圆内切矩形最大面积
题目：圆内切矩形最大面积
题目描述：在一个半径为R的圆内，找到一个矩形，使得该矩形恰好与圆内切，并且矩形面积最大。
解答：
在我们解决这个问题之前，首先给出两个结论。
结论1：在一个圆内，圆与正方形的面积比最大为2:π。
结论2：在一个圆内，圆与矩形的面积比最大为2:π。
对于结论1，很容易证明。
设正方形的边长为a，则其对角线长为a√2，因此其面积为a²，与圆的面积为πR²。
因此面积比为
a²/πR²。
为了使面积比最大，我们需要求其最大值，即求导数。
则
a²/πR²的导数为2/πR²，即a最大时，面积比最大，这时有：a=√2R，则正方形与圆的面积比为2:π。
对于结论2，同样可以用同样的方法证明。
我们要求一个长为a，宽为b的矩形在圆内的最大面积，最小面积一定地是在矩形边平行于圆的直径时得到的。
因为当矩形斜着放时，一旦角与圆的切点相接触时，其他三个角就没有对应点了。
不妨设矩形长为a，宽为b
（a>b），则有等式：
a²+b²=4R²，因为宽度不可能超过直径，则b≤√2R。
则矩形面积为ab=a(4R²-a²)^(1/2),我们要使其最大，同前面分析一样，
求导数并令其为零，则有：
a=2√2R/π，则矩形与圆的面积比最大为2:π。
因此，我们可以得到一个结论：在一个圆内，切矩形的最大面积比为2:π。
这个结论对于解决圆内部很多问题有很大的帮助，在实际生活中也有一定应用。
第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-
第十八讲 与圆有关的计算【趣题引路】拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗? 解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2) (3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).【知识延伸】与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.如正n 边形的计算可以集中在正n 边形的半径、边心距把正n 边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.例1 如图,正五边形ABCDE 的边长为10,它的对角线分别交于点A 1,B 1,•C 1,D 1,E 1. (1)求证:D 1把线段AE 1分成黄金分割;(2)求五边形A 1B 1C 1D 1E 1的边长. 证明 (1)作正五边形的外接圆O, ∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,∴∠D 1AB=∠D 1BA=•∠E 1BD 1=36°. 又∠BE 1D 1=∠BD 1E 1=72°, ∴AD 1=D 1B=BE.∵△ABE 1∽△B D 1E 1,∴11111AE BE BE D E =, 即11111AE AD AD D E =. ∴A D 12=AE 1·D 1E 1,即D 1把线段A E 1分成黄金分割. (2)设D 1E 1=x,则A E 1=AB=10,AD 1=10-D 1E 1=10-x,∴(10-x)2=10x,即x 2-30x+100=0. 解得,得x 1=15-55,x 2=15+55>10(舍去)∴D 1E 1=15-55.点评对于正多边形的计算,要注意利用相似三角形的性质去解,在本题的计算中,•用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点.在计算与面积有关问题时,等积变形,•把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求,是经常使用的方法.例2 如图,已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B 为圆心,BC•为半径画弧交AD 于点F,交BA 的延长线于点F.求阴影部分的面积.解析 连结BF,∵BF=BC=2,AB=1,∠BAF=90°, ∴∠ABF=60°.在Rt △ABF 中,AF=22BF AB -=3,∴S 阴影=S 扇形BEF -S △ABF=2602360π-12×1×3 =23π-32. 点评阴影部分是不规则图形,无法直接计算,设法利用规则图形面积来计算,连结BF,则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积.在处理展开图问题时,一定不要弄错对应关系,如圆锥侧面展开图是扇形,•这个扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长等.例2 如图,一个圆锥的高是10cm,侧面开展图是半圆,求圆锥的侧面积. 解析 设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为L. 由题意,得c=22lπ ,又∵c=2r π, ∴22lπ=2r π,得L=2r. ① 在Rt △SOA 中L 2=r 2+102. ② 由①,②解得r=1033cm, L=2033cm.∴所求圆锥的侧面积为S=πrL=π1033·2033=2003π(cm2).点评经过圆锥高(即轴)的截面所揭示的母线、高、底面半径.•锥角等元素之间的关系是解题的突破口,也是圆锥中几种量之间的基本关系.【好题妙解】佳题新题品味例1已知如图,AC切⊙O于点A,点B在⊙O上,AB=AC=AO,OC、BC分别交⊙O•于点E、F.求证:EF是⊙O的内接正二十四边形的一边.证明连结OB,OF,因AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∵AC=AO,∴∠AOC=45°.∵AB=AO=BD,∴△ABO是等边三角形.∴∠BAO=60°,∴∠BAC=60°+90°=150°,∵AB=AC,∴∠ABC=15°.∴∠AOF=2∠ABC=30°.∴∠EOF=∠AOC-∠AOF=45°-30°=15°.∵正二十四边形的中心角为360°÷24=15°,∴EF是正二十四边形的一边.点评证明一条弦是正多边形的一边.•需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边,需证这条边所对的圆心角为120°.证一条弦是正六边形的一边,需证这条弦所对的圆心角为60°.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,•AC切⊙O2于点C,交⊙O1于点D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-16m+x=0的两根.求(1)PC的长;(2)若BP BC=,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.解析 (1)过P作两圆公切线PT,∵∠A=TPD,∠TPC=∠DCP,∠DCP=∠1+∠A,∠TPC=∠2+∠TPD.∴∠1=∠2.已知∠PBC=∠PCD,∴△PBC∽△PCD.∴P C2=PB·PD.而PB,PD是方程x2-16m+x+4=0的根. ∴PC2=4,∴PC=2.O2T21DCBAP O1(2)由BP=BC及∠1=∠2,知BC∥PD,PB=BC.∴AB BCAP PD=,∵1PBCAPCSPBPA S k∆∆==,∴1BC AB kPD AP k-==.∴PB2=4(1)kk-·PD2=41kk-.又由根与系数关系知PB+PD=16m+,∴m+16=PB2+PD2+2PB·PD=4(1)kk-+41kk-+8.∴m=24k k-,∴m(k2-k)=4.点评(1)小题仅涉及PB、PD的长是方程x2-16m+x+4=0的根,故易知PB·PD,从而须找PC•与PB·PD的关系;(2)由题意可知PB·PD均可用字母K表示,由根与系数的关系可知K 与m的关系,由此求出m,代入m(k2-k)中即可.例3如图有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.求(1)被剪掉阴影部分的面积.(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?(结果可用根号表示).解析 (1)连结BC,∵∠BAC=90°,∴BC为⊙O的直径.又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.sin45°=1×22=22.∴S阴=S⊙O-S扇形BAC=π(12)2-2290()2180π⨯=18π(m)2.(2)设圆锥的底面圆的半径为r,∴2902180π⨯=2πr ∴r=28.点评用和差法求图形中阴影部分的面积是最基本的方法,也是应用最广泛的方法.中考真题欣赏例1 (2003年吉林省中考题)圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD,如图那样叠放在一起,连结AC、BD.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若OA=3cm,OC=1cm,求阴影部分的面积.证明 (1)∵∠COD=∠AOB=90°.∴∠AOC=∠BOD.∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.(2)S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=14π×32-14π×12=2π.点评(1)只需证∠DOB=∠COA即可;(2)将阴影部分转化为两个扇形面积的差,•再进行计算.例2 (2003年桂林市中考题)如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的延长线与直线AE交于点C.(1)求证:点D为BC的中点;(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F.求证:C A2-AF2=4CE·EA;(3)若AD=12DB,⊙O的半径为r,求由线段DE,AE和AD所围成的阴影部分的面积.证明 (1)连结OD,∵ED为⊙O的切线, ∴OD⊥DE,∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∵O为AB中点,∴D为BC中点.(2)连结BF,∵AB为⊙O的直径,∴∠CFB=∠CED=90°.∴ED∥BF,∵D为BC中点,∴E为CF中点.∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)=(CE+AE-EF+AE)·CF=2AE·2CE.∴CA2-AF2=4CE·AE.(3)解析:∵AD=12DB,∴∠AOD=60°.连结DA,可知△OAD为等边三角形.∴OD=AD=r. 在Rt△DEA中,∠EDA=30°,∴EA=12r,ED=32r,EDCA BF∴S 阴影=S 梯形DOAE -S 扇形OAD =13()222r r +-16πr 2=338r 216πr 2. 点评(1)由O 为圆心,设法证CF ∥OD,可得结论;(2)由D 为BC 的中点,证E 为CF 的中点,证得ED ∥BF,然后进行线段的恒等变形,•可得结论.(3)由图形的差可得阴影部分.竞赛样题展示例1 (2002年全国数学竞赛试题)如图,7•根圆形筷子的横截面圆的半径为r,求捆扎这7根筷子一周的绳子长度.解析:设⊙O 1,⊙O 2和绳子切A,B,C 点,知∠A O 1B =60°,∴AB 的长为601803r ππ=r, ∴AB 和线段BC 和的长为3πr,故整个绳长为6(AB+BC)=6(13r π+2r)=2(π+6)r.点评绳长由两部分组成,一部分是直线长,另一部分是弧线长,只要计算出AB•的长和O 1O 2的长,其余类推即可. 例2 (汉城国际数学竞赛试题)把3根长为1cm 的火柴杆和三根长为3cm 的火柴杆,摆放在如左图的圆周上构成六边形,此六边形的面积是由三根1cm 的火柴杆所构成的等边三角形面积的多少倍?解析 如图 (1),因为六边形ABCDEF 内接于⊙O,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF, 显然△AOB ≌△AOF ≌△EOF;△BOC ≌△COD ≌△DOE.把底边长为1和3的等腰三角形作间隔排列拼成如图 (2),• 并向两端延长边长为3的边,得边长为5的等边三角形.边长为5的等边三角形可分割为25个边长为1的等边三角形,•于是此六边形可分割为22个边长为1的等边三角形.故此六边形的面积是边长为1的等边三角形面积的22倍.点评几何计算常建立在几何证明的基础之上,通过证明,•解决有关图形的位置关系和数量关系,从而使问题获得解决.全能训练A卷1.两圆相交,公共弦长为且在一圆中为内接正三角形的一边,在另一圆中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.2.已知三个正多边形的边数分别是a,b,c,从中各取一个内角相加,其和为360°.求111a b c++的值.3.已知半径为1的圆内接正五边形ABCDE中,P是AE的中点.求AP·BP的值.4.已知一个正三角形,一个正方形,一个圆的周长相等,•正三角形和正方形的外接圆半径为r1,r2,圆的半径为R,则r1,r2,R的大小关系是( ).A.r1>r2>RB.r2>R>r1C.R>r1>r2D.r2>r1>R5.如图,已知一个边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个圆形纸片的最小半径是_________.6.如图,大小两个同心圆的圆心为O,现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点,记△ABC的面积为S,以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,•试判断S1+S2+S3-S是否为定值,若是,求出这个值;若不是,说明理由.A卷答案:1.设正三角形外接圆O1的半径为R3,正三角形边长是AB,正六边形外接圆O2的半径为R6,∴R3=33AB,R6=AB.∴R3:R6=3:3 ,∴S⊙O1:S⊙O2=R32:R62=1:3.2.由180(2)aa︒-+180(2)bb︒-+180(2)cc︒-=360°,得111a b c++=12.3.连结OA交BP于F,证AP=PF,再证△OPF∽△BPO.∴PF·BP=O P2,∴AP·BP=PF·BP=OP2=14.A5.2cm6.如图,设大小圆半径分别为R和r(R和r为定值).小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值,设这个定值为p,则有S1+S2+S3′=P;S2+S3+S1′=•P;•S3+S1+S2′=P. ∴(S1+S2+S3)·2+(S1′+S2′+S3′)=3P.又∵S1+S2+S3+S1′+S2′+S3′+S=πR2.∴S1′+S2′+S3′= -(S1+S2+S3)-S代入①式得:S1+S2+S3-S=3P- πR2 (定值)故S1+S2+S3-S为定值,这个定值为3P-πR2.B卷1.如图1,两个半圆,大圆的弦CD平行于直径AB,且与小圆相切,已知CD=24,•则在大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积为________.(1) (2)2.如图2,圆心在原点,半径为2的圆内一点P(22,22) ,过P作弦AB与劣弧AB组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为___________.3.小伟在半径为1cm,圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块尽可能大的正方形铁皮,小伟在扇形铁皮上设计如图所示的甲,乙两种剪取方案,请你帮小伟计算一下,按甲、乙两种方案剪取所得的正方形面积,并估算哪个正方形的面积较大(•估算时3=1.73,结果保留两位有效数字).4.如图,在圆周内部有一凸四边形,其边的延长线分别交圆周于A 1,•A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,D 1,D 2. 求证:若A 1B 2=B 1C 2=C 1D 2=D 1A 2,则由直线A 1A 2,B 1B 2,C 1C 2,D 1D 2所围成的四边形是圆内接四边形.5.如图,给定正七边形A 1A 2…A 7.证明:121314111A A A A A A =+.- 11 - B 卷答案:1.可将小半圆的圆心移至大半圆圆心重合.此时小半圆与CD 切于M 点,•同心圆圆心设为O, 则S 阴=12πOD 2-12πOM 2=12π(O D 2-OM 2)= 12πMD 2=12π×122=72π。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
2025高考数学必刷题 第61讲、圆中的范围与最值(学生版)
第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点()P x y ，在圆22(1)1x y +-=上运动，则下列选项正确的是（）A ．12y x --的最大值为13，最小值为1;3-B ．12y x --C ．2x y +的最大值为11；D ．2x y +的最大值为2+2-例3．（2024·全国·高三专题练习）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点(,)P x y 是圆2212x y +=上的动点，则x y +的最大值是.例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．-题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ,B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ,B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最大值为例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M 为圆22414450：+--+=C x y x y 上任意一点，且()2,3Q -．(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若(),M m n ，求231++m n 的最大值和最小值；(3)若(),M m n ，求2246++-m n m n 的最大值和最小值．例9．（2024·高一课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，求()()2211x y +－－的最小值及取得最小值时点P 的坐标．变式2．（2024·高二课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为．变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：上任意一的最大值为变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1B ．3C ．3D ．22变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A --(1,3),B -(2,1)C -，点P 在圆221x y +=上运动，则222||||2||PA PB PC ++的最大值为（）A ．22B ．26C ．30D ．32题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点()1,0A -，()0,2B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最大值为，最小值为.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（）A ．8B ．C ．D ．2+例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l ：1y x =+与圆E ：222210x y x y ++--=相交于不同两点A ，C ，位于直线l 异侧两点B ，D 都在圆E 上运动，则四边形ABCD 面积的最大值为（）AB ．CD ．变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为变式7．（2024·高二课时练习）已知()0,2A -，()2,0B ，点P 为圆2228130+--+=x y x y 上任意一点，则PAB 面积的最大值为（）A ．5B ．5-C ．52D ．5+题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M 为椭圆2211615x y +=上任意一点，,A B 是圆22(1)1x y -+=上两点，且2AB =，则MA MB ⋅的最大值是.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a y r r -+=>相切于点()01,M y -，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为．例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点()()1,0,1,0A B -，点P 为圆22:68170+--+=C x y x y 上的动点，则AB AP ⋅的最大值为.变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）．A ．[]4,20-B ．[]1,5-C ．[]0,20D ．[]4,20变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8].B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P 在圆M ：()()22424x y -+-=上，点()2,0A ，()0,2B ，则PBA ∠最小和最大时分别为（）A ．0°和60°B ．15°和75°C ．30°和90°D ．45°和135°例17．（2024·高二单元测试）已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是.例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-（）A ．1B ．2CD 变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2C D ．变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆()()22:125C x y -+-=，圆C '是以圆221x y +=上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C 与圆C '交于A ，B 两点，则sin ACB ∠的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q 分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为.例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为.变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,x x y y 满足2222112211x y x y +=+=，，121212x x y y +=的最大值为.变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A ，B 是曲线||1x -=(0,1)C ，则||||CA CB +的最大值与最小值的比值是（）AB C D 变式18．（2024·全国·高三专题练习）在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为．变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，90,4,2A B AD AB BC ==︒===，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足AM mAB nAD =+ ，则m n +的最大值为（）A ．2B ．3C ．52-D例23．（2024·全国·高三专题练习）已知()0,0O ，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为（）A ．4B ．5C ．D例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点()0,4A -，点()2,0,B P 为圆22:4O x y +=上一动点，则PB PA的最大值是（）A B ．4C ．3D ．2变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点(的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ≤<，则MN 的最小值为。
专题29 三角形的内切圆模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题29三角形的内切圆模型【模型】如图29-1，已知⊙O 为ABC ∆的内切圆。
⇒（1）OA 、OB 、OC 分别平分ACB ABC BAC ∠∠∠,,；（2）点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，均为⊙O 的半径。
【例1】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，⊙I 是ABC ∆则BIC ∆的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 【答案】D 【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120°BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【解析】过C 作CD ⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，设,,AB c AC b BC a ===，∵60BAC ∠=︒，∴11,,222AD b DC b BD c b ===-，∵在ABC ∆周长为20∴112022ABC S CD AB =⨯= ，∴20c ∴=40bc Rt BDC 中，222BD CD BC +=∴2221())2c b a -+=222c b bc a +-=∵在ABC ∆周长为20，∴+=20c b a +∴22222()3(20)340a cb bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==∵I 是ABC ∆的内心∴BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACB ∴11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=∵60BAC ∠=︒∴120°ABC ACB ∠+∠=∴1180180()120°2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠=∵+180BIC F ∠∠=°∴60F ∠=︒∴2120BOC F ∠=∠=︒∵OE ⊥BC ∴1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==∴72OB BE ==故选D【例2】如图，ABC 中，13,15,14===AB AC BC ，则ABC 的内切圆半径为_________．【答案】4【分析】先作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理求AD ，再求三角形ABC 的面积，利用内心与三顶点连线将三角形分成三个三角形，利用内切圆的半径求三个三角形面积，利用面积构造r 的等式，求出即可．【解析】过A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD=x ，CD=14-x ，∴AD 2=AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，∴132-x 2=152-(14-x)2，解得：x=5，12=，S △ABC =114122⨯⨯=84，设ABC 的内切圆半径为r ，连结AI ，BI ，CI ，则111S =AB BC AC 222ABI BCI ACI r S r S r ∆∆∆== ，，，S △ABC ＝S ++ABI BCI ACI S S ∆∆∆=()11112222AB r BC r AC r AB BC AC r ++=++ ，∴()1=842AB BC AC r ++ ，∴21r=84，∴r=4，故答案为：4．【例3】如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点，⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N ．（1）求证：∠AOC=135°；（2）若NC=3，BC=DM 的长．【答案】（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC 平分∠ACD ，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，在Rt △BDC 中，根据222BC BD CD =+，构建方程即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OM ，ON ，过O 点做OE ⊥AC ，交AC 于E ，如图所示，∵⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∵OA 平分∠BAC ，OE ⊥AC ，OM ⊥AB ，∴OM=OE ，即：E 为⊙O 的切点；∴OE=ON ，又∵OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴OC 平分∠ACD ，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠OAC+∠OCA=45°，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA ）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°，（2）由（1）得，AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，∵AB=AC ，∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x ，∵CD=3+x ，在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+，即：(()()2222533x x =-++，解得：x=1或x=-1（舍去），即DM=1．一、单选题1．若Rt ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为（）A ．22r r R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR rπ+【答案】B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++ ，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．【解析】解：如图，由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+，2,m n R +=()2mn m n r r ∴=++，22,mn Rr r ∴=+而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++ ()221=222Rr r Rr r +++2=2Rr r +122.22O ABC S r r S Rr r R rππ∴==++ 故选B ．2．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B 【分析】连接OE ，OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【解析】解：如图，连接OE ，OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E ，F 是切点，∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=12∠EOF=60°，故选：B．3．如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（）A．B．C．D．【答案】B 【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22x y +的值，最后由勾股定理求得EF 值.【解析】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则∵矩形ABCD 的周长为16，∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，∴11(22ABC S xy x y r ∆==++ ②由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，∵37AECF ABCD S S =四边形矩形，∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形，∴112()4227xr yr xy +=，即()47x y r xy +=③由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH ⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，∴EF=故选：B.4．如图，点O 是ABC ∆的内心，62A ∠=︒，则BOC ∠=()A ．59︒B ．31︒C ．124︒D ．121︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ACB ABC ∠+∠，求出1()2OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠，求出OBC OCB ∠+∠的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解析】解：62BAC ∠=︒ ，18062118ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点O 是ABC ∆的内心，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，11()1185922OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，18059121BOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．二、填空题5．已知平面直角坐标系中，点A (5，0)、B (575，245)和点P (a ，34a )．若⊙M 是△PAB 的内切圆，则⊙M 面积的最大值是________________．【答案】169π【分析】先求出AB 解析式，得到AB 与l 平行，求出S △ABP 为定值，由S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，可得当△PAB 的周长最小时符合题意，再根据对称性得到△PAB 的周长值求出r ，故可求解．【解析】设直线AB 的解析式为y =kx +b把A (5，0)、B (575，245)代入得05245755k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴32544y x =-∵P (a ，34a )∴P 点在直线l ：34y x =上∴AB //l∴S △ABP 为定值如图，作AC ⊥l ，在Rt △AOC 中，∵k =34=tan ∠AOC ∴34AC CO =设AC =3a ，CO =4a ，∵AO =5，∴AC 2+CO 2=AO 2，即（3a ）2+（4a ）2=52，解得a =1，∴AC =3，∵AB8=，∴S △ABP =183122⨯⨯=为定值，设△PAB 的内切圆⊙M 半径为r ，∵S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，∴当ABP C ∆最小时，∵ABP C ∆=AB +BP +AP ，当BP +AP 最小时符合题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，∴PD =PA ，当PA +PB =BD 时，BP +AP 最小，∵AB //l ，∴∠DAB =90°，AD =2AC =6，∴BD 10=，∴ABP C ∆最小值为18，此时r =43，∴⊙M 面积为243π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=169π，故答案为：169π．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧 DE的长是_______．【答案】32π【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【解析】解：90C ∠=︒ ，8AC =，6BC =，10AB ∴==，O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠，1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒，∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==．故答案为32π．7．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为______．【答案】（2，3）【分析】根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC 各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC 的关系式为：y=kx+b ，求出BC 与x 轴的交点G 的坐标，证出点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，三角形的内心在BD 上，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，求出r 的值，在△BEM 中，利用勾股定理求出BM 的值，即可得到点M 的坐标．【解析】解：根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：=，==∵222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，设BC 的关系式为：y=kx+b ，代入B ()3,3-，C ()7,2-，可得3327k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴BC ：1322y x =-+，当y=0时，x=3，即G （3,0），∴点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF 为正方形，S △ABC =11112222AB AC AB r AC r BC r ⨯=⨯+⨯+⨯，解得：r =即∴BE==，∴5=，∵B （-3，3），∴M （2，3），故答案为：（2，3）．8．已知ABC 的三边a 、b 、c 满足2|3|819b c a a +-+-=-，则ABC 的内切圆半径=____．【答案】1【分析】先将2|3|819b c a a +-+-=变形成)()222|3|40c a +-+-=，然后根据非负性的性质求得a 、b 、c 的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC 是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．【解析】解：2|3|819b c a a +-+-=-)()24|3|8160c a a -+-+-+=)()222|3|40c a +-+-=2-=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC 是直角三角形∴ABC 的内切圆半径=34522a cb +-+-==1．故答案为1．9．如图，ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ，且5,13AB BC ==，12CA =，则阴影部分的面积为_______(结果保留π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，再设O 的半径为r ，根据三角形的面积公式得出r 的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【解析】5,2,113AB BC CA === 222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形，且90A ∠=︒设O 的半径为r ，则OD OE OF r=== 内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OABS S S S =++ 11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯解得2r =又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形，90EOF ∠=︒OE OF= ∴矩形AEOF 是正方形则ABC O AEOF EOF EOFS S S S S S =-+-+ 阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+262π=-故答案为：262π-．10．如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【解析】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===，在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，∴12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒三、解答题11．已知：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在ABC ∆内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）问题二：若ABC ∆的周长是24，ABC ∆的面积是24，，求ABC ∆的内切圆半径．【答案】（1）见解析；（2）r=2【分析】（1）先作∠B 和∠C 的平分线交于点O ，再过点O 作OH ⊥AB 于H ，然后以点O 为圆心，OH 为半径作圆即可；（2）连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据切线的性质得OD=OE=OF=r ，则利用S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，变形得到12r （AB+BC+AC ）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【解析】解：（1）如图，O 为所求作的ABC ∆的内切圆；（2）解：如下图，连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，设它的内切圆的半径为r ，则OD=OE=OF=r ，∵S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC ，∴12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，∴12r （AB+BC+AC ）=24，∴12r 24=24，∴r=2．即ABC ∆的内切圆的半径为2．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且⊙O 与△ABC 的三边分别切于点D 、E 、F ，已知AB 长为10cm ，BC 长为6cm ，AC 长为8cm ．（1）求AE 、CD 、BF 的长；（2）连接OD ，OE ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由；（3）求⊙O的面积．【答案】（1）AE=6cm ；CD=2cm ；BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由见解析；（3）4π2cm ．【分析】（1）根据切线长定理列出方程组可以得到解答；（2）连接OD 、OE ，则由切线性质和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四边形ODCE 是矩形，再由OE=OD 可知四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）可得⊙O 的半径OD=CD=2cm ，所以由面积公式即可求得⊙O 的面积．【解析】解：（1）设AE=xcm ，CD=ycm ，BF=zcm ，则由切线长定理可得：AF=AE=x ，CE=CD=ycm ，BD=BF=zcm ，∴由题意可得：8106x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之可得：624x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AE=6cm ，CD=2cm ，BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由如下：如图，连接OD 、OE，∵2221068AB cm BC cm AC cm BC AC AB ===∴+=，，，，∴∠C=90°，又CA 、CB 与⊙O 相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE 是矩形，∵OD=OE ，∴四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）知，⊙O 的半径OD=CD=2cm ，∴()224O S OD cm ππ== ．13．如图，已知⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，且∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12．（1）求BF 的长；（2）求⊙O 的半径r ．【答案】（1）BF ＝10；（2）r=2．【分析】（1）设BF ＝BD ＝x ，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF 是矩形，推出OE ＝CF 即可解决问题．【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，∴AC 5，∵⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴BD ＝BF ，AD ＝AE ，CF ＝CE ，设BF ＝BD ＝x ，则AD ＝AE ＝13﹣x ，CFCE ＝12﹣x ，∵AE+EC ＝5，∴13﹣x+12﹣x ＝5，∴x ＝10，∴BF ＝10．（2）连接OE ，OF ，∵OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，∴∠OEC ＝∠C ＝∠OFC ＝90°，∴四边形OECF 是矩形，∴OE ＝CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣10＝2．即r ＝2．14．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ；(2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．【答案】（1）r=3cm.(2)r=12（a+b-c ）．【分析】首先设AC 、AB 、BC 与⊙O 的切点分别为D 、E 、F ；易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【解析】（1）如图,连接OD ，OF ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=9cm ；根据勾股定理22AC BC +；四边形OFCD 中，OD=OF ，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，CD=CF ，BE=BF ；则CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（12+9-15）=3cm ．（2）当AC=b ，BC=a ，AB=c ，由以上可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（a+b-c ）．则⊙O 的半径r 为：12（a+b-c ）．15．如图，在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，O 是ABC 的外接圆，连接CO 并延长交O 于点D ，连接BD ，点E 是ABC 的内心．（1）请用直尺和圆规作出点E ，证明BD DE =；（2）求线段CE 长．【答案】（1）见解析；（2）24CE =．【分析】（1）三角形内心的作法确定点E ，点E 是ABC 的内心可得到12ABE EBO ABC ∠=∠=∠，O 是ABC 的外接圆，用外接圆的性质可以求出BOE BOD ∠=∠，再用三角形角之间的关系可以证明BD DE =．（2）90ACB ∠=︒得到AB 为O 的直径，O 是ABC 的外接圆可知OC 垂直平分AB ，E 是内心可推出CE CD DE =-，再用三角函数的性质可求出CE ．【解析】（1）如图，点E 即为所求．∵4AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴45A ABC ∠=∠=︒．连接BE ，∵点E 是ABC 的内心，∴122.52ABE EBO ABC ∠=∠=∠=︒．∵O 是ABC 的外接圆，∴AO BO =，又∵AC BC =，∴CO AB ⊥，∴90BOE BOD ∠=∠=︒，在BOE △中，180BOE EBO OEB ∠+∠+∠=︒，∴67.5OEB ∠=︒，∵90BOD ∠=︒，DO BO =，∴45OBD ∠=︒，∴67.5EBD OBD EBO ∠=∠+∠=︒，∴EBD OEB ∠=∠，∴BD DE =．（2）∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴AB 为O 的直径，AB =∴CD AB ==∵O 是ABC 的外接圆∴OC 垂直平分AB∴OC 平分ACB∠∵E 是内心∴CE 平分ACB∠∴点E 在线段CD 上，即CE CD DE=-∵45D DCB ∠=∠=︒∴90CBD ∠=︒，∴4sin 45CD BD ==︒∵BD DE=∴4CE CD DE =-=-．16．如图，O 的半径是3，点P 是O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点M 是 APB 上的任意一点（不与A ，B 重合），MN AB ⊥于点N ，以M 为圆心，MN 为半径作M ，分别过A ，B 两点作M 的切线，切点分别为D ，E ，两切线交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）求ACB ∠的大小；（3）设ABC 的面积为S ，若2S =，求M 的半径．【答案】（1）（2）60°；（3）1【分析】（1）连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．由弦AB 垂直平分线段OP ，可得1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中求得2AQ =，即可得AB =（2）连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，即可得tan AQ AOP OQ ∠==，所以60AOP ∠=︒，120AOB ∠=︒．由题意，得点M 为ABC 的内心，可得2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．再由120CAB CBA ∠+∠=︒，即可得60ACB ∠=︒．（3）连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，所以()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=⋅．又因CE ，CD 是M 的切线，可得1302ECM ACB ∠=∠=︒，在直角CEM 中，CE =，求得CD CE ===．已知2S =，可得()()211222CE MN MN =⋅=⋅，解之即可得M 的半径．【解析】（1）如图，连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中，∵2AQ ===，∴2AB AQ ==（2）如图，连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，∴tan AQ AOP OQ ∠==，∴60AOP ∠=︒，∴120AOB ∠=︒．∵由题意，得点M 为ABC 的内心，∴2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．∵11160222MAN MBA MOB AOM AOB ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴120CAB CBA ∠+∠=︒，∴60ACB ∠=︒．（3）如图，连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，ME则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，∴()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=+⋅．∵CE ，CD 是M 的切线，∴1302ECM ACB ∠=∠=︒，∴在直角CEM 中，CE =，∴CD CE ===．∵2S =，∴()()211222CE MN MN =⋅=⋅，∴1MN =，或0MN =（舍去），∴M 的半径是1．17．【特例感知】（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．【类比迁移】（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【解析】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD Q 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，5BC ∴==， 1122BC DE BD DC = ，125DE ∴=，125DF DE =∴=．故答案为125（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD Q 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒ ，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒ ，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD = ，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==，541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯解得2r =，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==18．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ（045θ︒≤≤︒）（1）当点A 落到y 轴正半轴上时，求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB 与y 轴的交点为M （如图2），线段BC 与直线y x =的交点为N ，当22.5θ=︒时，求此时BMN △内切圆的半径；（3）设MNB 的周长为l ，试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化，并说明理由．【答案】（1）8π；（2）3-（3）不发生变化，理由见详解.【分析】（1）由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，首先证明AEM ∆是等腰直角三角形，推出AM AE =，设AE AM x ==，则EM EO ==，可得1x +=，解得1x ，推出11)2BM AB AM =-=-=同理可得2BN =，推出2MN ==，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，由此求出r 即可解决问题．（3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．只要证明OAE OCN ∆≅∆，推出OE ON =，AOE CON ∠=∠，再证明MOE MON ∆≅∆，推出EM MN =，推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【解析】解：（1）如图1中，由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形OBB OCC S S ''=-扇形扇形2245(2)451360ππ= 8π=．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，22.5AOM ∠=︒ ，22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒，45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒，AEM ∴∆是等腰直角三角形，AM AE ∴=，设AE AM x ==，则2EM EO ==，21x ∴+=，21x ∴=，1(21)22BM AB AM ∴=-=-=，同理可得22BN =，2222MN BM ∴==-，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，3BM BN r MN BM BN ∴===-++ （3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN = ，90OAE OCN ∠=∠=︒，OA OC =，OAE OCN ∴∆≅∆，OE ON ∴=，AOE CON ∠=∠，45MON ∠=︒ ，45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒，MOE MON ∴∠=∠，OM OM = ，MOE MON ∴∆≅∆，EM MN ∴=，BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN=++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==，BNM ∴∆的周长为定值．19．阅读材料：已知，如图（1），在面积为S 的△ABC 中，BC=a ,AC=b ,AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．（1）类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a ，BC=b ，CD=c ，AD=d ，求四边形的内切圆半径r ；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求12r r 的值.【答案】（1）2S r a b c d=+++（2）12149r r =.【分析】（1）如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形，根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，分别求得AE 的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++，21(111320)2BCD S r ∆=++，两式相除，即可得到的值.【解析】解：（1）如图（2），连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++∴2Sr a b c d =+++（2）如图（3），过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵梯形ABCD 为等腰梯形，∴11()(2111)522AE AB DC =-=-=∴21516BE AB AE =-=-=在Rt △AED 中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴20BD ===∵AB ∥DC ，∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==.又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABD BCD r S r r S r r r ∆∆++===++，∴1227212211r r =.即12149r r =.20．如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明：EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ，EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【解析】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心∴BH AC ⊥，AH BC⊥∴//,//AD BH BD AH∴四边形ADBH 为平行四边形∴2DB AH OM ==，又O 为CD 中点∴M 为BC 中点（2）过E 作EG BC⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形∵,CH AB AB GF⊥ ∴CH GF⊥∴H 为FGC ∆垂心∴,GH GH CF EF⊥ 而∴EF FC⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形∴I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP∴,OF AP MH OF⊥ 而∴MH AP⊥设,MC AP Q交于则H 为AMQ ∆垂心∴QH AM⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN ⊥⇔AH HN =。
高考数学类比推理容易出错题(含答案及解析)
高考数学类比推理容易出错题（含答案及解析）1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kS h h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于（ ）A ．2V KB ．2V KC ．3V KD ．3V K3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．传递性推理4．我们知道，在边长为a a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ）A5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体6．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）A ．3aB ．4aC ．3D ．4a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．反证法8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理9．下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222r y x =+的面积π2r ，猜想出椭圆12222=+b y a x 的面积π=S ab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10．下列正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．14B ．18C ．116D ．12715．已知结论:“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等,则2=GDAG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO （ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论A. 只有①正确B. 只有②正确C. 都正确D. 都不正确17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:818．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D.以上都不是20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝3”．这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程x xx x 1133+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．23．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则存在的类似等式为________________________．24．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．25．已知圆的方程是222r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆12222=+b y a x 类似的性质为________．26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r________________________ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ， ，1612T 成等比数列．28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得cb a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''∆∆＝PA PB PA PB''⋅⋅，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝________.32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ；（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 31-） （21，1），则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ”43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。
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趣题：内切圆与最大内接矩形
看图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。
证明：当内接矩形的面积达到最大时，r1^2 + r2^2 = r3^2。
四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。
因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。
这里，我们重
点观察四个三角形斜边长的关系。
如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：
△ABC a b c
△EDC ka kb kc
△AEF ... ... (1-k)b
△DBG ... ... (1-k)a
现在，我们要证明的是，当矩形DEFG面积达到最大时，有：
[(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2
也即
(1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2
同时，我们还知道a^2 + b^2 = c^2。
等式两边同时乘以k^2后与上式相减，我们就得到：
(1 - 2k) * (a^2 + b^2) = 0
显然，只有k=1/2时上式才有可能成立。
接着看，由△DBG ∽ △ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此DG = (1-k)ab/c。
另外，我们还知道DE=kc，那么矩形DEFG的面积就可以这样表示：
S = DG x DE = (1-k)k * ab
S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。
这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线，显然在k=1/2时达到最大值。