通信原理第3章随机过程 习题答案
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
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3.7 设ζ（t）是均值为零、双边功率谱密度为 N0／2 的高斯白噪声通过截止频率为 fH 的理 想低通滤波器的输出过程，以 2fH 的速率对 采样，得到采样值
求 n 个采样值的联合概率密度。 解：因为ξ（t）是白高斯过程通过线性系统的输出，故ξ（t）是 0 均值的高斯过程。设 白噪声的功率谱密度为 ，则ξ（t）的功率是 ，所以ξ（t）的一维概率密度是
其中 因此
图 3-1（a）
其图形如图 3-1（b）图所示。
图 3-1（b）
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3.4 设
，其中，n（t）为高斯白噪声（特性同题 3.2），
φ1（t）和φ2（t）为确定函数。求 E（ξ1ξ2），并说明ξ1 与ξ2 统计独立的条件。
，但此时 u（t）的平均功率是
所以 由于
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因此输出信噪比为
3.6 设 y（t）=dn（t）／dt，已知：n（t）是白噪声的样本函数，其均值是零，双边功率 谱密度 N0／2=10-6W／Hz，另有一理想低通滤波器，其单边带宽 B=10 Hz。
的平均自相关函数是
，所以 Y (t)
3.2 设 X（t）是白噪声通过升余弦滤波器的输出，白噪声的均值为 0，双边功率谱密度为 ， 升余弦滤波器的传输函数为
求 X（t）的双边功率谱密度及平均功率。 解：X（t）的平均功率谱密度为 X（t）的平均功率为
3.3 Y（t）是白白噪声通过图 3-1 所示电路的输出，求 Y（t）及其同相分量和正交分量的 双边功率谱密度，并画出图形。
《通信原理》第六版_曹丽娜-樊昌信课后答案_第三章__随机过程
本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。
查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。
查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。
查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。
（1）试求乘积的自相关函数。
（2）试求之和的自相关函数。
查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。
（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。
查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。
查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为(为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求的自相关函数和功率谱密度。
查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。
假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。
图3-5查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。
图3-6查看参考答案3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。
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第3章随机过程思考题3-1 何谓随机过程？它具有什么特点？答：（1）随机过程是指一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
随机过程可以从两个不同的角度来说明。
一个角度是把随机过程看成对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
从另外一个角度来看，随机过程是随机变量概念的延伸，它在任意时刻的值是一个随机变量（2）随机过程的特点：①随机过程具有不可预知性。
因为根据随机过程的定义，随机过程相当于任意时刻的一个随机变量，随机也就意味着不可预知性。
②随机过程具有集合性。
集合性是指随机过程相当于由许多个随机变量聚合而成的，不仅仅是一个数量的叠加。
3-2 随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的什么特性？答：（1）随机过程的数字特征主要包括均值，方差和相关函数（2）三个数字特征分别表现了以下特性：①均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
②方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。
③相关函数衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
3-3 何谓严平稳？何谓广义平稳？它们之间的关系如何？答：（1）严平稳随机过程：若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，则称该随机过程为严平稳随机过程。
（2）广义平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔相关，则称该随机过程为广义平稳随机过程。
（3）严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不然。
因此严平稳随机过程的限制条件要高于广义平稳随机过程。
3-4 平稳过程的自相关函数有哪些性质？它与功率谱密度的关系如何？答：（1）平稳过程的自相关函数R（τ）的性质：①R（0）＝E[ξ2（t）]，表示平稳过程ξ（t）的平均功率。
②它是偶函数。
③它的最大值为R（0）。
④，表示平稳过程ξ（t）的直流功率。
⑤，σ2是方差，表示平稳过程ξ（t）的交流功率。
（2）它与功率谱密度是一对傅立叶变换对。
3-5 什么是高斯过程？其主要性质有哪些？答：（1）定义：如果随机过程的任意n维（n＝1，2，·）分布均服从正态分布，则称它为高斯过程。
通信原理第3章(樊昌信第七版)
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
(解答)《随机过程》第三章习题
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程第三章作业答案
Yk-1 ]] ≤ b ⋅ ∑ E[I{T ≥ k} ]
k =0
= b ⋅ ∑ P(T ≥ k) = b(1 + E[T]) < ∞，即E[W] < ∞
10证明：利用停时定理2 由已知P(T<∞)=1,得条件1已满足。
2 2 又∀n ≥ 1，E[X T ∧ n ]=E[|X T ∧ n | ] ≤ c；
利用柯西-施瓦茨不等式(E[XY])2 ≤ E[X 2 ]E[Y 2 ]： 令Y=1，(E[|X T ∧ n |])2 ≤ E[|X T ∧ n |2 ]E[12 ] ≤ c ∴ E[|X T ∧ n |] ≤ c，进而有E[ sup|X T ∧ n |] ≤ c < ∞，
第三章习题解答
3-(1) ∵{ X n , n ≥ 0}是鞅， ∴ E[X 0 ] = E[X n ] = 0，且有 E[Yk ]=E[X k -X k-1 ]=0；Var(Yk )=E[Yk2 ]；Var(X n )=E[X 2 n ]；
2 E[Yk2 ]=E[(X k -X k-1 )2 ]=E[X k +X 2 k-1 -2X k X k-1 ] 2 =E[X k ]+E[X 2 其中 k-1 ]-2E[X k X k-1 ]，
9 (一)常规证明： 右侧不等号： E[X T ∧ n ]=E[X T ∧ n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ∧ n ⋅ I{T<n} ]=E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ⋅ I{T<n} ] =E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[∑ X k ⋅ I{T=k} ]
k =0 n-1
E[X k X k-1 ]=E[E[X k X k-1|X 0 X1 =E[X k-1E[X k |X 0 X1
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(随机信号)【圣才出品】
第3章 随机信号一、选择题某二进制随机信号的功率谱密度计算公式为则该信号（ ）。
A ．含有f s 谐波分量 B ．不含f s 谐波分量 C ．不含直流分量 D ．含有2f s 谐波分量 【答案】B二、填空题1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与______无关，二维分布只与______有关。
【答案】时间；时间间隔【解析】平稳随机过程其一维概率密度函数与时间t 无关，即1111(,)()f x t f x =； 而二维分布函数只与时间间隔τ＝t 2－t 1有关，即21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=。
2．一个均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是______过程，均值为______，方差为______。
【答案】平稳高斯；0；2n σ【解析】由结论可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。
此外，在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是互不相关的或统计独立的。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是______，其相位的一维分布是______。
【答案】瑞利分布；均匀分布【解析】在窄带高斯随机过程中，对于均值为0、方差为σ2的平稳高斯窄带过程，其包络和相位的一维分布分别为瑞利分布和均匀分布，且两者统计独立。
4．高斯白噪声在______时刻上，随机变量之间不相关，且统计独立。
【答案】不同【解析】由白噪声的自相关函数()()02n R τδτ=知高斯白噪声在不同时刻上（即τ＝0）变量之间不相关且统计独立。
5．设n （t ）为高斯白噪声，则合成波通过中心频率为ω1的窄带滤波器后的输出包络服从______分布；若r （t ）通过中心频率为ω2的窄带滤波器，则输出包络服从______分布。
【答案】莱斯分布（广义瑞利分布）；瑞利分布【解析】正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f （z ）与信噪比有关。