天津市2019-2020和平区初三期末数学试题
(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市和平区中考数学综合测试试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°2．已知△ABC 中，∠BAC=90°，用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）A ．103块B ．104块C ．105块D ．106块4．在同一坐标系中，反比例函数y ＝k x与二次函数y ＝kx 2+k(k≠0)的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．已知一次函数y=ax ﹣x ﹣a+1（a 为常数），则其函数图象一定过象限（ ）A．一、二B．二、三C．三、四D．一、四6．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）A．B．C．D．7．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（）A．B．C．D．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥10．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO ＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A．(32，332) B．(2，332) C．(332，32) D．(32，3﹣332)二、填空题（本题包括8个小题）11．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD＝2，DB＝4，DE＝1，则BC＝_____．13．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数是_____．14．已知关于x 的不等式组0521x a x -≥⎧⎨-⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范是______． 15．如果正比例函数3)y k x =-（的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 __． 16．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____．17．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．18．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/2m 下降到12月份的11340元/2m .求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由20．（6分）由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．完成下列表格，并直接写出月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式及售价x 的取值范围； 售价（元/台）月销售量（台） 400200250 x（2）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？21．（6分）先化简分式：（a-3+4+3aa）÷-2+3aa∙+3+2aa，再从-3、5-3、2、-2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．22．（8分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．()1小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；()2求他们三人在同一个半天去游玩的概率．23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝1，OD＝6，△AOB的面积为1．求一次函数与反比例函数的表达式；当x＞0时，比较kx+b与mx的大小．24．（10分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）25．（10分）如图，半圆D的直径AB＝4，线段OA＝7，O为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表示的数为m．当半圆D与数轴相切时，m＝．半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C．①直接写出m的取值范围是．②当BC＝2时，求△AOB与半圆D的公共部分的面积．当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求tan∠AOB的值．26．（12分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；请补全条形统计图；若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒，∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.2．D【解析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意;故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．C【解析】试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104 ∴这批电话手表至少有105块考点：一元一次不等式的应用4．D【解析】【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y=kx，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；②当k＞0时，反比例函数y=kx，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．5．D【解析】分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），∴y=（a-1）x-（a-1）当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.故其函数的图像一定过一四象限.故选D.点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y 随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小. 6．C【解析】【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．【详解】A. 主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误；B. 主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误；C. 主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；D. 主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.7．C【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上. 故选C.考点：三视图8．B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．9．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状10．A【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=33×33=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=12AD=33，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D的坐标为（32，33）．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．47【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为322437-=；②长为3、322435+=；∴7或4．考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．12．1【解析】【分析】先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，∵AD＝2，DB＝4，∴AB＝AD+BD＝6，∴1：BC＝2：6，∴BC＝1，故答案为：1．【点睛】考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．13．32°【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，求出∠A 的度数，根据圆周角定理解答即可．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=32°，∴∠BCD=32°，故答案为32°．14．-3＜a≤-2【解析】分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a 的范围．详解：0521x a x ①②，-≥⎧⎨->⎩由不等式①解得：x a ≥；由不等式②移项合并得：−2x>−4，解得：x<2，∴原不等式组的解集为2a x ，≤<由不等式组只有四个整数解，即为1，0，−1，−2，可得出实数a 的范围为3 2.a -<≤-故答案为3 2.a -<≤-点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解觉得实数a 的取值范围.15．k>1【解析】【分析】根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【详解】因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，所以k-1＞0，解得：k＞1，故答案为：k＞1．【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．16．0，1，2，1【解析】5x﹣1＜1x+5，移项得，5x﹣1x＜5+1，合并同类项得，2x＜8，系数化为1得，x＜4所以不等式的非负整数解为0，1，2，1；故答案为0，1，2，1．【点睛】根据不等式的基本性质正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．17．1．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．18．：k＜1．【解析】【详解】∵一元二次方程220-+=有两个不相等的实数根，x x k∴△=24-=4﹣4k＞0，b ac解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．三、解答题（本题包括8个小题）19．（1）10%；（1）会跌破10000元/m1．【解析】【分析】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1-x），11月份的房价为14000（1-x）1，然后根据11月份的11340元/m1即可列出方程解决问题；（1）根据（1）的结果可以计算出今年1月份商品房成交均价，然后和10000元/m1进行比较即可作出判断．【详解】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1-x），11月份的成交价是：14000（1-x）1，∴14000（1-x）1=11340，∴（1-x）1=0.81，∴x1=0.1=10%，x1=1.9（不合题意，舍去）答：11、11两月平均每月降价的百分率是10%；（1）会跌破10000元/m1．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年1月份该市的商品房成交均价为：11340（1-x）1=11340×0.81=9184.5＜10000，由此可知今年1月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m1．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．20．(1)390,1-5x,y=-5x+1(300≤x≤2);(2)售价定位320元时，利润最大，为3元.【解析】【分析】（1）根据题中条件可得390，1-5x，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w.【详解】(1)依题意得：y＝200＋50×40010x．化简得：y＝－5x＋1．(2)依题意有：∵300 52200450 xx≥⎧⎨-+≥⎩，解得300≤x≤2．(3)由(1)得：w＝(－5x＋1)(x－200)＝－5x2＋3200x－440000＝－5(x－320)2＋3．∵x＝320在300≤x≤2内，∴当x＝320时，w最大＝3．即售价定为320元/台时，可获得最大利润为3元．【点睛】本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键．21．3a+；5【解析】【详解】原式=（(3)3a aa++-3+4+3aa）32aa+⋅-∙+3+2aa=(3)343a a aa+--+32aa+⋅-∙+3+2aa=243aa-+32aa+⋅-∙+3+2aa=3a+a=2,原式=522．（1）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；（2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意，画树状图如图：由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为28=14； （2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种， ∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为28=14． 答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是14． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．23． (1) 223y x =-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【解析】【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2），利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【详解】（1）S △AOB ＝12OA•OB ＝1， ∴OA ＝2，∴点A 的坐标是（0，﹣2），∵B （1，0）∴230b k b =-⎧⎨+=⎩∴2 3 2kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝3．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标24．见解析.【解析】【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．25．（1）33（2）3311m<<；②△AOB与半圆D的公共部分的面积为4+33π（3）tan∠AOB 的值为157或12541．【解析】【分析】（1）根据题意由勾股定理即可解答（2）①根据题意可知半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，和当O、A、B三点在数轴上时，求出两种情况m的值即可②如图，连接DC，得出△BCD为等边三角形，可求出扇形ADC的面积，即可解答（3）根据题意如图1，当OB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x ，列出方程求解即可解答 如图2，当OB ＝OA 时，内心、外心与顶点O 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，列出方程求解即可解答【详解】（1）当半圆与数轴相切时，AB ⊥OB ，由勾股定理得m ＝22227433OA AB -=-= ，故答案为33 ．（2）①∵半圆D 与数轴相切时，只有一个公共点，此时m ＝33，当O 、A 、B 三点在数轴上时，m ＝7+4＝11，∴半圆D 与数轴有两个公共点时，m 的取值范围为3311m ＜＜．故答案为3311m ＜＜．②如图，连接DC ，当BC ＝2时，∵BC ＝CD ＝BD ＝2，∴△BCD 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴扇形ADC 的面积为212024=3603ADCS ⨯⨯=扇形ππ ， 12332BDC S =⨯⨯=△ ， ∴△AOB 与半圆D 的公共部分的面积为4+33π ； （3）如图1，当OB ＝AB 时，内心、外心与顶点B 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，则72﹣（4+x ）2＝42﹣x 2，解得x ＝178 ，OH ＝498，AH 715 ，∴tan∠AOB＝157，如图2，当OB＝OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，则72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，解得x＝87，OH＝417，AH125，∴tan∠AOB125．综合以上，可得tan∠AOB的值为157或541．【点睛】此题此题考勾股定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内心和外心，解题关键在于作辅助线26．(1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人【解析】【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：1560×360°=90°；故答案为60，90；（2）60﹣15﹣30﹣10=5；补全条形统计图得：（3）根据题意得：900×15560=300（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．1003D ．25253+2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系p ＝at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟3．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）4．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是（ ）A ．312B ．36C ．33D ．326．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）A ．3mB ．33 mC ．23 mD ．4m8．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜4B ．﹣1＜x ＜3C ．x ＜﹣1或x ＞4D ．x ＜﹣1或x ＞39．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+ 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．12．如图，某海监船以20km/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为_____km ．13．因式分解：3a 2-6a+3=________．14．如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.15．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．16．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.17．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．18．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA 1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA 1的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．20．（6分）先化简，再求值：(1﹣11x x -+)÷22691x x x ++-，其中x ＝1． 21．（6分）某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比．请补全条形统计图；若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．23．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．求w与x之间的函数关系式．该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．求出y与x的函数关系式；当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE ＝CF；如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面。
(2019秋)天津市和平区九年级上期末数学试卷(有答案)-精品.doc
2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）23．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．﹣4＜y＜﹣B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y211．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞412．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转度，才能和原图形重合．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，=．则S△AOB17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长=．18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小=（度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小=（度），点D的坐标为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）点P与水面的距离是m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y 轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：=．故选：C．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，∴△CEF∽△ADF．（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，∴△ABE∽△CEF，（3）∴△ABE∽△ADF．故有3对．故选：B．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（﹣4×2，﹣3×2），（﹣3×2，﹣1×2），（﹣1×2，﹣2×2），即（8，6），（6，2），（2，4）或（﹣8，﹣6），（﹣6，﹣2），（﹣2，﹣4），故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，∴=，=，∴==．故选：A．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，所以，P（恰有两只雄鸟）=．故选：B．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正确；将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上故④正确，故选：C．9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．﹣4＜y＜﹣B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣【解答】解：∵反比例函数关系式为y=（k≠0）图象经过点A（2，2），∴k=2×2=4，∴y=，当x=﹣3时，y=﹣，当x=﹣1时，y=﹣4，∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣4＜y＜﹣．故选：A．10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵y=（x﹣2）2﹣1，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，A（4，y1）关于直线x=2的对称点是（0，y1），∵﹣2＜0＜，∴y3＞y1＞y2，故选：D．11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故选：A．12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转120度，才能和原图形重合．【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度．故答案为：120°．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是12cm．【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，∵正六边形的面积为6cm2，=×6=cm2，∴S△AOF即a•a•sin∠OFA=a2•=．∴a=2cm，∴正六边形的周长是12cm，故答案为：12cm．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=40°．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，=2．则S△AOB==2，【解答】解：根据题意得：S△AOB故答案为：217．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长=10．【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F∴可以假设设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，∵AC2+BC2=AB2，∴（a+2）2+（b+2）2=（a+b）2，∴4a+4b+8=2ab，∴4（a+b）=48﹣8∴a+b=10，∴AB=10．故答案为1018．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小=30（度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小=90（度），点D的坐标为（3，﹣3）．【解答】解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，∴OB=OC=OD．∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BOC=30°．（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．∵∠OMD=90°，∴∠OMC=90°．在△OEB与△OMC中，，∴△OEB≌△OMC（AAS）．∴OE=OM，∠BOE=∠COM．∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．∴△OEM是等边三角形．∴EM=OM=OE．∵OC=OD，OM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴OM=CM=DM．∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α=∠COD=90°，∴∠FOD=30°，∴OF=3，DF=3，∴点D的坐标为（3，﹣3）．故答案为：（1）30；（2）90，（3，﹣3）．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．【解答】解：将x=1代入原方程，得：1+k+3+k=0，解得：k=﹣2．设方程的另一个根为x1，根据题意得：1+x1=﹣（﹣2+3），∴x1=﹣2，∴该方程的另一个根为﹣2．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A=35°，∴∠BOD=2∠A=70°，∴∠COD=2∠BOD=140°，∴的长==．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴==，∴∠EAB=∠EAD，∵∠ACB=2∠EAB，∴∠ACB=∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△ACB中，∵cosC===，AC=6，∴BC=9．②作FH⊥AB于H，∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB=∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cos∠C==，∴=，解得x=3，即BF的长为3，∴DF=222．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）=45，解得x1=10，x2=﹣9（舍去），检验：x=﹣9不合题意舍去，所以x=10．答：共有10家公司参加商品交易会．故答案为：（x﹣1）；x（x﹣1）．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）点P与水面的距离是m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？【解答】解：（1）由点P的坐标为（3，）知点P与水面的距离为m，故答案为：；（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将点A（4，0）、P（3，）代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；（3）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，解得：x=2，则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，∴C△DBE由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，=CD+4，∴C△DBE由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2；③当6＜t＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴t=14，综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y 轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．【解答】解：（1）由题可得，抛物线y=x2的开口方向向上，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0）；（2）∵点A（2，4），∴OA解析式为y=2x，∵抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，∴可设顶点坐标为（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，∵抛物线与直线x=2交于点P，∴P（2，m2﹣2m+4），又∵直线x=2与x轴相交于点B，∴B（2，0），∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴当m=1时，PB最短；（3）设直线DE为y=kx+b，则C（0，b），OC=b，直线DE与抛物线y=x2联立，得x2﹣kx﹣b=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=b2，如图，分别过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP，∴△DCQ∽△ECP，∴=，∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF，∴△DQF∽△EPF，∴=，∴=，设F（0，f），则OF=﹣f，，整理可得，k2（b+f）=0，∵k≠0，∴b+f=0，∴b=﹣f，即OC=OF．。
天津市和平区2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题含解析
天津市和平区2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．120°D．150°2．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A．2cm B．32cm C．42cm D．4cm3．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟5．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A．52B．32C．352D．726．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝3：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②2BF＝PB•EF；③PF•EF＝22AD；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．③④7．“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）月用水量（吨） 4 5 6 9户数（户） 3 4 2 1A．中位数是5吨B．众数是5吨C．极差是3吨D．平均数是5.3吨8．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×59．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（）A．（a﹣20%）元B．（a+20%）元C．a元D．a元10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．11．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（）A．B．C．D．12．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．（1）OM的长等于_______；（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．14．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE 的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°15．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数kyx（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为________．17．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．18．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE 交AC于点E，交AB延长线于点F．（1）求证：BD=CD；（2）求证：DC2=CE•AC；（3）当AC=5，BC=6时，求DF的长．21．（6分）某商场柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入—进货成本）（1）求A、B两种型号的电器的销售单价；（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电器共50台，求A种型号的电器最多能采购多少台？（3）在（2）中商场用不多于7500元采购这两种型号的电器共50台的条件下，商场销售完这50台电器能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.22．（8分）如图，已知点A，B，C在半径为4的⊙O上，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D．（Ⅰ）若∠ABC=29°，求∠D的大小；（Ⅱ）若∠D=30°，∠BAO=15°，作CE⊥AB于点E，求：①BE的长；②四边形ABCD的面积．23．（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图1中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝10°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关系式；拓展应用（1）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝1．求AF的长．24．（10分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝36°．在AC边上确定点D，使得△ABD与△BCD 都是等腰三角形，并求BC的长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）26．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．27．（12分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：本次调查中，一共调查了位好友．已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①请补全条形图；②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度．③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】如图：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故选C.点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.2．C【解析】【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．【详解】L＝1206180π⨯＝4π（cm）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），=cm）．故选C．【点睛】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=2n r180π；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．3．B【解析】【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣12x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，故选B．【点睛】本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键. 4．C【解析】【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．【详解】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x=；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．5．C【解析】【分析】由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD∥GF，据此证△ADM∽△FGM得AD DMFG GM=, 求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴AD DMFG GM=，即123GMGM-=,解得：GM=32,∴=,故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．6．B【解析】【分析】由条件设，AB=2x，就可以表示出，x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【详解】解：设x，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴，CD=2x∵CP：BP=1：2∴，x∵E为DC的中点，∴CE=12CD=x，∴tan∠CEP=PCEC=33，tan∠EBC=ECBC=33∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴BE BP EF BF∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴2BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=43x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴3∴PF·EF=433x·322AD2=2×3）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误.在Rt △ECP 中，∵∠CEP=30°，∴x∵tan ∠PAB=PB AB ∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt △AOB 和Rt △POB 中，由勾股定理得，，∴4AO·2又EF·2 ∴EF·EP=4AO·PO ．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．7．C【解析】【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【详解】解：A 、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；B 、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；C 、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；D 、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．8．D【解析】试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2x" 宽=5+2x ∴矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为(7+2X)(5+2X)=3×7×5考点：列方程点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．9．C【解析】【分析】根据题意列出代数式，化简即可得到结果．【详解】根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.10．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.11．D【解析】试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.12．A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B 来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（1）42；（2）见解析；【解析】【分析】解:(1)由勾股定理可得OM的长度(2)取格点F , E, 连接EF , 得到点N ,取格点S, T, 连接ST, 得到点R, 连接NR交OM于P,则点P即为所求。
天津市和平区2019-2020学年九年级上学期数学期末试题(打印版).docx
2019年天津市和平区九年级上册数学期末试卷一、选择题l.sin45°的值等于()A. iB.巨C.吏2 2 24.如图把一个圆形转盘按1:2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B 区域的概率为(5. 要组织一次排球邀请赛，参赛每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天 安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为()A. ：x(x-l) = 28B. +1) = 28C. x(x-1) = 28D. x(x +1) = 286. 在 A ABC 和 A DEF 中，AB = 2DE , AC = 2DF, NA = E,如果 A ABC 的周长是 16,面积是12,那么A DEF 的周长、面积依次为(令如A. 8, 3B. 8, 6C. 4, 3D. 4, 67. 如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F,则EF:FC 等于()A. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:28. 若一个正六边形的边心距为2占，则该正六边形的周长为()A. 24^/3B.24C. 12^3D. 4 9. 如图，。
中，AC 为直径，MA, MB 分别切O 。
于点A ，B ■ ABAC = 25°,则匕WB 的大小为() A. 25° B. 30° C. 45° D. 50°k10. 如图，正比例函数yi=kix 和反比例函数y 2=—的图象交于A ( - 1, 2)、B (1, - 2)两点，若yi<y2,则x 的取值范围是【】B. C. D. 10B. x< T 或0<x<lD. - l<x<0 或x>l11.在等边A ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将A BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC = 5, BD = 4,有下列结论：① AE||BC；② ZADE = /BDC；③A BDE是等边三角形；④A ADE周长是9 .其中，正确结论的个数是（令峪）C. - l<x<0 或OVxVlA. 1B. 2C. 3D. 412.已知抛物线y = ax2 +bx + c（a^ 0）的对称轴为x = —1,与》轴的一个交点在（—3,0）和（—2,0）之间，其7 3 5部分图像如图所示，则下列结论：①点（-5，乂），（一5，力），（彳，为）是该抛物线上的点，则、1＜为＜为；②8Z? + 2cvO；®{at + b}＜a-b U为任意实数）.其中正确结论的个数是（），A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题13.已知反比例函数的图像经过点A,B ,点A的坐标为(1,3),点3的纵坐标为1,则点3的横坐标为14.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB' C' D，的位置，旋转角为a (0° <a<90°),若ZBAD Z =70°,贝ij a=（度）.15.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率？= ▲16.与直线y = 2x平行的直线可以是 (写出一个即可).17.如图，点D,E,F分别在正三角形ABC的三边上，且zWEF也是正三角形.若AABC的边长为。
天津市部分区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列方程中有一个根为﹣1的方程是（）A. x2+2x＝0B. x2+2x﹣3＝0C. x2﹣5x+4＝0D. x2﹣3x﹣4＝0【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【详解】解：A、当x＝﹣1时，x2+2x＝1﹣2＝﹣1，所以x＝﹣1不是方程x2+2x＝0的解；B、当x＝﹣1时，x2+2x﹣3＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以x＝﹣1不是方程x2+2x﹣3＝0的解；C、当x＝﹣1时，x2﹣5x+4＝1+5+4＝10，所以x＝﹣1不是方程x2﹣5x+4＝0的解；D、当x＝﹣1时，x2﹣3x﹣4＝1+3﹣4＝0，所以x＝﹣1是方程x2﹣3x﹣4＝0的解．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.下列成语描述的事件为随机事件的是（）A. 守株待兔B. 水中捞月C. 瓮中捉鳖D. 水涨船高【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；B.水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；C.瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；D.水涨船高是必然事件，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A. y＝2（x﹣1）2﹣3B. y＝2（x﹣2）2﹣3C. y＝2（x﹣1）2+3D. y＝2（x﹣2）2+3【答案】C【解析】【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（5.已知⊙O 中最长的弦为8cm ，则⊙O 的半径为( )cm ．A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】 ⊙O 最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】∵⊙O 中最长的弦为8cm ，即直径为8cm ，∴⊙O 的半径为4cm ．故选B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．6. 下列说法中正确的是（ ）A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确； C ．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误； D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误． 故选B ． 考点：随机事件． 7.如图，已知AB 、AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，若MN，那么BC 等于（）A. 5B. 5C. 5D. 10【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝5故选：C．【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．8.下列方程没有实数根的是（）A. x2﹣x﹣1＝0B. x2﹣6x+5＝0C. x2﹣3x+3＝0D. x2+x+1＝0【答案】D【解析】【分析】首先根据题意判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△= 2b-4ac的值的符号即可．【详解】解：A、∵△＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、∵△＝b2﹣4ac＝36﹣20＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；C 、∵△＝b 2﹣4ac ＝12﹣12＝0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D 、∵△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程2+00ax bx c a +=≠（）的根与△= 2b -4ac 有如下关系：（1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根；(3) △<0⇔方程没有实数根． 9.一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ） A. 15 B. 310 C. 13 D. 12【答案】D【解析】【分析】随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：绿球的概率：P ＝510＝12， 故选：D ．【点睛】本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键．10.边长为2的正六边形的面积为（ ）A. B. C. 6 【答案】A【解析】【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH 的长，继而求得正六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝16×360°＝60°， ∵OB ＝0C ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝2，∴它的半径为2，边长为2；∵在Rt △OBH 中，OH ＝OB•sin60°＝2×32， ∴边心距是：3；∴S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×3＝63．故选：A ．【点睛】本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x ，则所列方程正确的是（ ）A. 2(1)4400x +=B. 2(1) 1.44x += C. 210000(1)4400x +=D. 10000(12)14400x += 【答案】B【解析】【分析】直接根据题意得出第三季度投放单车的数量为：（1+x ）2=1+0.44，进而得出答案．【详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x ，根据题意可得：（1+x ）2=1.44．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①；抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a ->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac b a -<-，∵0a >，∴248ac b a -<-，即248b ac a ->，故③错误； ④由图象可知：12b a ->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确； 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.二．填空题（共6小题）13.一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．【答案】x1＝5，x2＝7【解析】【分析】根据题意利用ab=0得到a=0或b=0，求出解即可.【详解】解：方程（x﹣5）（x﹣7）＝0，可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得：x1＝5，x2＝7，故答案为：x1＝5，x2＝7.【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．【答案】1 2【解析】【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）=12．故答案为12．【点睛】本题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．15.已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b =________．【答案】-6【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，故答案为－6．16.某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．【答案】15【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w元，则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25，∵10≤x≤20，∴当x＝15时，二次函数有最大值25，故答案是：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17.一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．【答案】120°【解析】【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP 于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．【答案】(1). 23．(2). 3-1【解析】【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．OF≤-，由此即可解②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即31决问题．【详解】解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°3∵OE⊥AB，∴AE＝EB，∴AB＝2AE＝故答案为②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝12OC＝1，HC，AC＝∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝12AC，∴OF≥FH﹣OH，即1，∴OF1．1．【点睛】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共7小题）19.已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.【答案】y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）.【解析】【分析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标. 【详解】∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点，∴10 930b cb c-+⎧⎨++⎩＝＝，解得b= -2，c= -3，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3 ．∵ y=x2-2x-3=（x-1）2 -4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质.20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用点A和1A坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；(3）连接A1 A2，B1 B2，C1 C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21.现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（Ⅰ）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是_____；（Ⅱ）若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树形图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．【答案】（Ⅰ）14；（Ⅱ）12【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，直接利用概率公式求解可得；（Ⅱ）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为14，故答案为：14；（Ⅱ）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为612＝12．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.22.已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．【答案】（Ⅰ）∠ABC＝64°，∠ODC＝71°；（Ⅱ）∠ACD＝19°．【解析】【分析】（I）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABC=65°，由等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCA＋∠ACD=70°，于是得到结论；(II）如图2，连接OC，根据圆周角定理和切线性质即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠ABC＝64°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝12∠AOD＝12×90°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝26°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝71°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵∠BAC＝26°，∴∠EOC＝2∠A＝52°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝38°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠E＝38°，∴∠ACD＝12AOD＝19°．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ．（Ⅰ）若花园的面积是252m 2，求AB 的长；（Ⅱ）当AB 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？【答案】（Ⅰ）13m 或19m ；（Ⅱ）当AB ＝16时，S 最大，最大值为：256．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；（Ⅱ）设花园的面积为S ，根据矩形的面积公式得到S=x （28-x)=- 2x ＋28x=–()214x -+196，于是得到结果．【详解】解：（Ⅰ）∵AB ＝xm ，则BC ＝（32﹣x ）m ，∴x （32﹣x ）＝252，解得：x 1＝13，x 2＝19，答：x 的值为13m 或19m ；（Ⅱ）设花园的面积为S ，由题意得：S ＝x （32﹣x ）＝﹣x 2+32x ＝﹣（x ﹣16）2+256，∵a ＝﹣1＜0，∴当x＝16时，S最大，最大值为：256．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．25.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．①求点H的坐标；②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【答案】（Ⅰ）a ＝﹣12，抛物线与x 轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H 的坐标为（2，6）；②证明见解析.【解析】【分析】 (I ）根据该抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x 轴另一交点坐标； (II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H 的坐标；②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H 是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【详解】（Ⅰ）∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2与x 轴的一个交点为（﹣1，0），∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，解得，a ＝﹣12， ∴y ＝x 2+x ＝x （x+1），当y ＝0时，得x 1＝0，x 2＝﹣1，即抛物线与x 轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2＝x 2+2﹣2a （x ﹣2），∴不论a 取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），即点H 的坐标为（2，6）；②证明：∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2＝（x ﹣a ）2﹣（a ﹣2）2+6，∴该抛物线的顶点坐标为（a ，﹣（a ﹣2）2+6），则当a ＝2时，﹣（a ﹣2）2+6取得最大值6，即点H 是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．。
2019-2020学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学模拟试卷及答案解析
2019-2020学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．天气预报说“中山市明天降水概率是20%”，理解正确的是（）A．中山市明天将有20%的地区降水B．中山市明天降水的可能性较小C．中山市明天将有20%的时间降水D．中山市明天降水的可能性较大3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2B．2：3C．D．．4．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣15．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＞0C．k≥2D．k＜26．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．7．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝9．如图，方格纸中，点A、B、C、D、O均为格点，点O是（）A．△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ACD的外心10．已知反比例函数y＝的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2．则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m D．m11．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）。
2019-2020学年九年级上学期期末数学试题及答案解析(天津市)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列方程中有一个根为﹣1的方程是（）A. x2+2x＝0B. x2+2x﹣3＝0C. x2﹣5x+4＝0D. x2﹣3x﹣4＝02.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列成语描述的事件为随机事件的是（）A. 守株待兔B. 水中捞月C. 瓮中捉鳖D. 水涨船高4.将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A y＝2（x﹣1）2﹣3 B. y＝2（x﹣2）2﹣3C. y＝2（x﹣1）2+3D. y＝2（x﹣2）2+35.已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A. 2B. 4C. 8D. 166. ⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙ ⊙A. “⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙”⊙⊙⊙⊙⊙B. “⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙”⊙⊙⊙⊙⊙C. “⊙⊙⊙0.0001⊙⊙⊙”⊙⊙⊙⊙⊙⊙D. ⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙10⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙5⊙7.如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MNBC等于（）.A. 5B.C. D.8.下列方程没有实数根的是（ ）A. x 2﹣x ﹣1＝0B. x 2﹣6x +5＝0C. x 2﹣+3＝0D. x 2+x +1＝09.一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ） A.15B.310C.13D.1210.边长为2的正六边形的面积为（ ） A.B.C. 6D.11.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x ，则所列方程正确的是（ ） A. 2(1)4400x += B. 2(1) 1.44x += C. 210000(1)4400x +=D. 10000(12)14400x +=12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二．填空题（共6小题）13.一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．14.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．15.已知点A⊙a⊙1）与点A′⊙5⊙b）是关于原点对称，则a+b =________⊙16.某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．17.一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．18.如图，在半径为2⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP 于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．三．解答题（共7小题）19.已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A⊙⊙1⊙0⊙⊙B⊙3⊙0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．的21.现有A ，B ，C ，D 四张不透明卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（⊙）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是_____；（⊙）若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树形图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．22.已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上AB 同侧两点，∠BAC ＝26°． （⊙）如图1，若OD ⊥AB ，求∠ABC 和∠ODC 的大小；（⊙）如图2，过点C 作⊙O 切线，交AB 的延长线于点E ，若OD ∥EC ，求∠ACD 的大小．的23.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ． （⊙）若花园的面积是252m 2，求AB 的长；（⊙）当AB 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？24.在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D .(1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F 边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.25.在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax +4a +2（a 是常数）， （⊙）若该抛物线与x 轴的一个交点为（﹣1，0），求a 的值及该抛物线与x 轴另一交点坐标； （⊙）不论a 取何实数，该抛物线都经过定点H ． ①求点H 的坐标；②证明点H 是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．是2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列方程中有一个根为﹣1的方程是（）A. x2+2x＝0B. x2+2x﹣3＝0C. x2﹣5x+4＝0D. x2﹣3x﹣4＝0【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【详解】解：A、当x＝﹣1时，x2+2x＝1﹣2＝﹣1，所以x＝﹣1不是方程x2+2x＝0的解；B、当x＝﹣1时，x2+2x﹣3＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以x＝﹣1不是方程x2+2x﹣3＝0的解；C、当x＝﹣1时，x2﹣5x+4＝1+5+4＝10，所以x＝﹣1不是方程x2﹣5x+4＝0的解；D、当x＝﹣1时，x2﹣3x﹣4＝1+3﹣4＝0，所以x＝﹣1是方程x2﹣3x﹣4＝0的解．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.下列成语描述的事件为随机事件的是（）A. 守株待兔B. 水中捞月C. 瓮中捉鳖D. 水涨船高【答案】A【解析】【分析】根据事件发生可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；的B.水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；C.瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；D.水涨船高是必然事件，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A. y＝2（x﹣1）2﹣3B. y＝2（x﹣2）2﹣3C. y＝2（x﹣1）2+3D. y＝2（x﹣2）2+3【答案】C【解析】【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x -h)2+k ；两根式：y=()12).a x x x x --（5.已知⊙O 中最长弦为8cm ，则⊙O 的半径为( )cm ． A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】B 【解析】 【分析】⊙O 最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】⊙⊙O 中最长的弦为8cm ，即直径为8cm⊙ ⊙⊙O 的半径为4cm⊙ 故选B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键． 6. 下列说法中正确的是（ ）A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】B 【解析】试题分析：A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确； C ．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误． 故选B ．考点：随机事件．7.如图，已知AB 、AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，若MNBC 等的于（）A. 5B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【详解】解：⊙OM⊙AB，ON⊙AC，垂足分别为M、N，⊙M、N分别是AB与AC的中点，⊙MN是⊙ABC的中位线，⊙BC＝2MN＝故选：C．【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．8.下列方程没有实数根的是（）A. x2﹣x﹣1＝0B. x2﹣6x+5＝0C. x2﹣x+3＝0D. x2+x+1＝0【答案】D【解析】【分析】首先根据题意判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△= 2b-4ac的值的符号即可．【详解】解：A、⊙⊙＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，⊙方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、⊙⊙＝b2﹣4ac＝36﹣20＝16＞0，⊙方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；C 、⊙⊙＝b 2﹣4ac ＝12﹣12＝0，⊙方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D 、⊙⊙＝b 2﹣4ac ＝1﹣4＝﹣3＜0，⊙方程没有实数根，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程2+00ax bx c a +=≠（）的根与⊙= 2b -4ac 有如下关系：（1) ⊙>0⊙方程有两个不相等的实数根；(2) ⊙=0⊙方程有两个相等的实数根；(3) ⊙<0⊙方程没有实数根． 9.一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ） A.15B.310C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：绿球的概率：P ＝510＝12， 故选：D ．【点睛】本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键． 10.边长为2的正六边形的面积为（ ）A. B.C. 6【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH 的长，继而求得正六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH⊙BC 于H ， ⊙六边形ABCDEF 是正六边形， ⊙⊙BOC ＝16×360°＝60°， ⊙OB ＝0C ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙BC ＝OB ＝OC ＝2，⊙它的半径为2，边长为2；⊙在Rt⊙OBH 中，OH ＝OB•sin60°＝2×2，⊙⊙S 正六边形ABCDEF ＝6S ⊙OBC ＝6×12 故选：A ．【点睛】本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x ，则所列方程正确的是（ ）A. 2(1)4400x +=B. 2(1) 1.44x += C. 210000(1)4400x +=D. 10000(12)14400x += 【答案】B【解析】【分析】直接根据题意得出第三季度投放单车的数量为：（1+x ）2=1+0.44，进而得出答案．【详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x ，根据题意可得：（1+x ）2=1.44．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析】 根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①；抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a ->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac b a -<-，∵0a >，∴248ac b a -<-，即248b ac a ->，故③错误； ④由图象可知：12b a ->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确； 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、【灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.二．填空题（共6小题）13.一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．【答案】x1＝5，x2＝7【解析】【分析】根据题意利用ab=0得到a=0或b=0，求出解即可.【详解】解：方程（x﹣5）（x﹣7）＝0，可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得：x1＝5，x2＝7，故答案为：x1＝5，x2＝7.【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．【答案】1 2【解析】【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）=12．故答案为12．【点睛】本题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．15.已知点A⊙a⊙1）与点A′⊙5⊙b）是关于原点对称，则a+b =________⊙【答案】-6【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，故答案为－6．16.某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．【答案】15【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w元，则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25，∵10≤x≤20，∴当x＝15时，二次函数有最大值25，故答案是：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17.一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．【答案】120°【解析】【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP 于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．【答案】(1). (2). -1【解析】【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．OF≤，由此即可解②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即1决问题．【详解】解：⊙如图，连接OA．⊙OA＝OC＝2，⊙⊙OCA＝⊙OAC＝30°，⊙⊙AOE＝⊙OAC+⊙ACO＝60°，⊙AE＝OA•sin60°，⊙OE⊙AB，⊙AE＝EB⊙AB＝2AE＝，故答案为⊙取AC的中点H，连接OH，OF，HF，⊙OA＝OC，AH＝HC，⊙OH⊙AC，⊙⊙AHO＝90°，⊙⊙COH＝30°，⊙OH＝12OC＝1，HCAC＝⊙CF⊙AP，⊙⊙AFC＝90°，⊙HF＝12 AC⊙OF≥FH﹣OH，即1，⊙OF﹣1．1．【点睛】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共7小题）19.已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A⊙⊙1⊙0⊙⊙B⊙3⊙0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.【答案】y=x2-2x-3⊙顶点坐标为（1⊙-4⊙.【解析】【分析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标. 【详解】∵抛物线经过A⊙-1⊙0⊙⊙B⊙3⊙0）两点，∴10 930b cb c-+⎧⎨++⎩＝＝⊙解得b= -2⊙c= -3⊙⊙ 抛物线解析式为y=x2-2x-3 ⊙⊙ y=x2-2x-3=⊙x-1⊙2-4⊙∴抛物线的顶点坐标为（1⊙-4⊙.【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质.20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用点A和1A坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；(3）连接A1 A2，B1 B2，C1 C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．【详解】解：（1）如图，⊙A1B1C1为所作；（2）如图，⊙A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）⊙A1B1C1与⊙A2B2C2关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21.现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（⊙）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是_____；（⊙）若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树形图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．【答案】（⊙）14；（⊙）12【解析】【分析】（⊙）根据题意，直接利用概率公式求解可得；（⊙）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（⊙）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为14，故答案为：14；（⊙）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为612＝12．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.22.已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（⊙）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（⊙）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．【答案】（⊙）∠ABC＝64°，∠ODC＝71°；（⊙）∠ACD＝19°．【解析】【分析】（I）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABC=65°，由等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCA＋∠ACD=70°，于是得到结论；(II）如图2，连接OC，根据圆周角定理和切线性质即可得到结论．【详解】解：（⊙）连接OC，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙⊙BAC＝26°，⊙⊙ABC＝64°，⊙OD⊙AB，⊙⊙AOD＝90°，⊙⊙ACD＝12⊙AOD＝12×90°＝45°，⊙OA＝OC，⊙⊙OAC＝⊙OCA＝26°，⊙⊙OCD＝⊙OCA+⊙ACD＝71°，⊙OD＝OC，⊙⊙ODC＝⊙OCD＝71°；（⊙）如图2，连接OC，⊙⊙BAC＝26°，⊙⊙EOC＝2⊙A＝52°，⊙CE是⊙O的切线，⊙⊙OCE＝90°，⊙⊙E＝38°，⊙OD⊙CE，⊙⊙AOD＝⊙E＝38°，⊙⊙ACD＝12AOD＝19°．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ．（⊙）若花园的面积是252m 2，求AB 的长；（⊙）当AB 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？【答案】（⊙）13m 或19m ；（⊙）当AB ＝16时，S 最大，最大值为：256．【解析】【分析】（⊙）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；（⊙）设花园的面积为S ，根据矩形的面积公式得到S=x （28-x)=- 2x ＋28x=–()214x -+196，于是得到结果．【详解】解：（⊙）⊙AB ＝xm ，则BC ＝（32﹣x ）m ，⊙x （32﹣x ）＝252，解得：x 1＝13，x 2＝19，答：x 的值为13m 或19m ；（⊙）设花园的面积为S ，由题意得：S ＝x （32﹣x ）＝﹣x 2+32x ＝﹣（x ﹣16）2+256，⊙a ＝﹣1＜0，⊙当x＝16时，S最大，最大值为：256．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．25.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），（⊙）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；（⊙）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．①求点H的坐标；②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【答案】（⊙）a＝﹣12，抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（⊙）①点H的坐标为（2，6）；②证明见解析.【解析】【分析】(I）根据该抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；(II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【详解】（⊙）⊙抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴一个交点为（﹣1，0），⊙0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，解得，a＝﹣12，⊙y＝x2+x＝x（x+1），当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（⊙）⊙⊙抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），⊙不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），即点H的坐标为（2，6）；⊙证明：⊙抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，⊙该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．的。
天津市和平区2019-2020学年九年级上学期数学期末试题(解析版)
2019年天津市和平区九年级上册数学期末试卷一、选择题1. sin45°的值等于（）A. 12B.22C.32D. 1【答案】B 【解析】试题解析：sin45°=22．故选B．考点：特殊角的三角函数值．2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【详解】解：此几何体的主视图有三列，从左往右分别有1，2，1个正方形，从上往下分别有1，3个正方形；左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形，从上往下分别有1，2个正方形；俯视图有三列，从左往右分别有1，2，1个正方形，从上往下分别有3，1个正方形；故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．n n3.图中所示几何体的俯视图是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上边看到的图形为，故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4.如图把一个圆形转盘按1:2:3:4的比例分成A 、B 、C 、D 四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B 区域的概率为（ ）A. 25B. 15C. 35D. 110【答案】B【解析】【分析】首先确定在图中B 区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B 区域的概率．【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A 、B 、C 、D 四个扇形区域，∴圆被等分成10份，其中B 区域占2份，∴落在B 区域的概率=210=15； 故选B ． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率． 5.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（） A. 1(1)282x x -= B. 1(1)282x x += C. (1)28x x -= D. (1)28x x +=【答案】A【解析】【分析】 根据应用题的题目条件建立方程即可. 【详解】解：由题可得：1(1)472x x -=⨯即：1(1)282x x -= 故答案是：A.【点睛】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.【此处有视频，请去附件查看】6.在 ABC V 和 DEF V 中，AB 2DE =，AC 2DF =，A D ∠∠=，如果 ABC V的周长是 16，面积是 12，那么 DEF V 的周长、面积依次为 ()n nA. 8，3B. 8，6C. 4，3D. 4，6【答案】A【解析】【分析】根据已知可证△ABC ∽△DEF ，且△ABC 和△DEF 的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求△DEF 的周长、面积．【详解】解：Q 在 ABC V 和 DEF V 中，AB 2DE =，AC 2DF =， AB AC 2DE DF∴==， 又 A D ∠=∠Q ，ABC DEF ∴V V ∽，且 ABC V 和 DEF V 的相似比为 2:1，Q 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，且 ABC V 的周长是 16，面积是 12， DEF ∴V 的周长为 1628÷=，面积为 1243÷=．故选A.【点睛】本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．7.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F ，则 EF:FC 等于 ()n nA. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:2【答案】D【解析】【分析】 根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出DE EF BC CF=，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可． 【详解】AD BC Q P 解：， DEF ECB ∠∠∴=，EDB FBC ∠∠=，DEF BCF ∴V V ∽，DE EF BC CF∴=， Q 点 E 是边 AD 的中点， 11AE DE AD BC 22∴===， EF 1FC 2∴=． 故选D.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF ∽△BCF 是解题关键．8.若一个正六边形的边心距为3 ） A. 243 B. 24 C. 123 D. 4【答案】B【解析】【分析】首先设正六边形的中心是O ，一边是AB ，过O 作OG ⊥AB 与G ，在直角△OAG 中，根据三角函数即可求得边长AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图，过O 作OG ⊥AB 与G ，∵OA=OG, ∴AB=2AG在Rt △AOG 中，OG=23，∠AOG=30°，∴AG=OGtan30°=32323⨯=． ∴AB=2AG=4 这个正六边形的周长=24．故选B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，锐角三角函数以及等腰三角形的性质，掌握∠AOG=30°是解本题的关键．9.如图，O e 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切O e 于点A ，B .BAC 25∠=o ，则AMB ∠的大小为（ ）A. 25oB. 30oC. 45oD. 50o【答案】D【解析】【分析】 由AM 与圆O 相切，根据切线的性质得到AM 垂直于AC ，可得出∠MAC 为直角，再由∠BAC 的度数，用∠MAC-∠BAC 求出∠MAB 的度数，又MA ，MB 为圆O 的切线，根据切线长定理得到MA=MB ，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA ，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB 的度数；【详解】解：（Ⅰ）∵MA 切⊙O 于点A ，∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°，∵MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B ，∴MA=MB ，∴∠MAB=∠MBA ，∴∠M=180°-（∠MAB+∠MBA ）=50°；【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．10.如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【 】A. x ＜﹣1或x ＞1B. x ＜﹣1或0＜x ＜1C. ﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D. ﹣1＜x ＜0或x ＞1【答案】D【解析】 反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象找出直线在双曲线下方的x 的取值范围：由图象可得，﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＜y 2．故选D ．11.在等边 ABC V中，D 是边 AC 上一点，连接 BD ，将 BCD V 绕点 B 逆时针旋转 60o ，得到 BAE V ，连接 ED ，若 BC 5=，BD 4=，有下列结论：① AE BC P ；② ADE BDC ∠∠=；③ BDE V 是等边三角形；④ ADE V 的周长是 9．其中，正确结论的个数是 ()n nA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，再利用旋转的性质得∠BAE＝∠C＝60°，AE ＝CD，则∠BAE＝∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE＝60°，BD＝BE＝4，则根据边三角形的判定方法得到△BDE为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，DE＝DB＝4，然后说明∠BDC＞60°，则∠ADE ＜60°，于是可对②进行判断；最后利用AE＝CD，DE＝BD＝4和三角形周长定义可对④进行判断．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，∴∠BAE＝∠ABC，∴AE∥BC，所以①正确；∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠DBE＝60°，BD＝BE＝4，∴△BDE为等边三角形，所以③正确，∴∠BDE＝60°，DE＝DB＝4，在△BDC中，∵BC＞BD，∴∠BDC＞∠C，即∠BDC＞60°，∴∠ADE＜60°，所以②错误；∵AE ＝CD ，DE ＝BD ＝4，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AD ＋CD ＋DB ＝AC ＋BD ＝5＋4＝9，所以④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．12.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】 逐一分析3条结论是否正确：①根据抛物线的对称性找出点（-134，y 3）在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出①错误；②由x=-3时，y ＜0，即可得出9a-3b+c ＜0，根据抛物线的对称轴为x=-1，即可得出b=2a ，即可得出②正确；③∵抛物线开口向下，对称轴为x=-1，有最大值a b c -+，再根据x=t 时的函数值为at 2+bt+c ，由此即可得出③正确．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线的对称轴为x=-1，点（54，y 3）在抛物线上， ∴（-134，y 3）在抛物线上． ∵-72＜-134＜-32，且抛物线对称轴左边图象y 值随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 3＜y 2．∴①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x=-1，∴-b 2a =-1，∴2a=b ，∴a=1b 2∵当x=-3时，y=9a-3b+c ＜0， ∴91b 2⨯-3b+c=3b c 2+＜0， ∴3b+2c ＜0，∴②正确；③∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x=-1，开口向下∴当x=-1，y a b c =-+最大∵当x=t 时，y= at 2+bt+c∵t 为任意实数∴at 2+bt+c≤a b c -+∴at 2+bt≤a -b ．∴③正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度．二、填空题13.已知反比例函数的图像经过点,A B ，点A 的坐标为(1,3)，点B 的纵坐标为1，则点B 的横坐标为__________．【答案】3【解析】【分析】先设反比例函数的解析式为y=k x（k≠0），把点A 的坐标代入解析式，求出k 的值，从而确定反比例函数的解析式，再把y=1代入即可求出． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y=k x （k≠0）， ∵反比例函数的图像经过点()A 1,3，∴k=133⨯=，∴反比例函数的解析式为y=3x当y=1时，x=3；∴点B的横坐标为：3故答案为3【点睛】本题考查用待定系数法确定反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的特征，熟练掌握相关知识是解题的关键，是基础题．14.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠BAD′＝70°，则α＝__（度）．【答案】20【解析】【分析】根据旋转的定义，找到旋转角，利用角的和差关系即可求解．【详解】解：根据旋转的定义可知，∠DAD′＝α，在矩形ABCD中, ∠BAD＝90°，∴∠DAD′+∠BAD′＝90°，∴α＝90°﹣70°＝20°．故答案为20．【点睛】本题主要考查旋转的定义及性质、矩形的性质，解题的关键是找准旋转角．15.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=▲ ．【答案】1 3【解析】画树状图得：∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，∴双方出现相同手势的概率P=1316.与直线2y x =平行的直线可以是__________（写出一个即可）． 【答案】y=-2x+5（答案不唯一）【解析】【分析】根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．【详解】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k ，b 都相同时，两条直线重合．17.如图，点,,D E F 分别在正三角形ABC 的三边上，且DEF ∆也是正三角形.若ABC ∆的边长为a ，DEF ∆的边长为b ，则AEF ∆的内切圆半径为__________．【答案】3()6a b - 【解析】【分析】根据△ABC、△EFD都是等边三角形，可证得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得AE+AF=AE+BE=a，然后根据切线长定理得到AH=12（AE+AF-EF）=12（a-b）；，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．【详解】解：如图1，⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，∴AD=AE=12[（AB+AC）-（BD+CE）]=12[（AB+AC）-（BF+CF）]=12（AB+AC-BC），如图2，∵△ABC，△DEF都为正三角形，∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF和△CFD中，13BAC CEF FD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CFD（AAS）；同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．设M是△AEF的内心，过点M作MH⊥AE于H，则根据图1的结论得：AH=12（AE+AF-EF）=12（a-b）；∵MA平分∠BAC，∴∠HAM=30°；∴HM=AH•tan30°=12（a-b ）•3=()3a b - 故答案为()3a b 6-． 【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出AH 的长是解题关键．18.如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝4，∠A ＝30°，D 是AC 上一动点，（Ⅰ）AC 的长＝_____； （Ⅱ）BD +12DC 的最小值是_____．【答案】 (1). （Ⅰ）AC ＝3 (2). （Ⅱ）33【解析】【分析】（Ⅰ）如图，过B 作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论；（Ⅱ）如图，作BC 的垂直平分线交AC 于D ，则BD ＝CD ，此时BD+12DC 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）如图，过B 作BE ⊥AC 于E ，∵BA ＝BC ＝4，∴AE ＝CE ，∵∠A ＝30°，∴AE 3＝3 ∴AC ＝2AE ＝3（Ⅱ）如图，作BC 的垂直平分线交AC 于D ，则BD ＝CD ，此时BD+12DC 的值最小， ∵BF ＝CF ＝2，∴BD ＝CD ＝230COS ︒ ＝433， ∴BD+12DC 的最小值＝23， 故答案为43，23．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题19.（Ⅰ）解方程：x （2x ﹣5）＝4x ﹣10；（Ⅱ）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k ﹣4＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】（1）152x =，22x =.（2）52k <. 【解析】【分析】 （1）由于方程左右两边都含有（2x-5），可将（2x-5）看作一个整体，然后移项，再分解因式求解． （2）根据方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，所以△＞0，据此求出k 的取值范围即可．【详解】解：（1）()()x 2x 522x 5-=-∴()()x 2x 522x 50---=∴()() 2x 5x 20--=.∴2x 50-=或x 20-=.∴15x 2=，2x 2=. （2）()Δ442k 4208k =--=-. ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ0>，即208k 0->. ∴5k 2<. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解答本题要掌握△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．20.已知抛物线2y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.【答案】y=2x +2x ；（－1，－1）.【解析】试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标. 试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.考点：待定系数法求函数解析式.21.已知，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，在CD 的延长线上取一点P ，PG 与O e 相切于点G ，连接AG 交CD 于点F .（1）如图①，若20A ∠=o ，求GFP ∠和AGP ∠的大小；（2）如图②，若E 为半径OA 的中点，DG AB ∥，且23=OA PF 的长.【答案】（1）70GFP ∠=o ，70AGP ∠=o ；（2）4PF =.【解析】【分析】（1）连接OG ，根据直角三角形的两个锐角互余，求得EFA 70∠=o ，从而求得GFP ∠的度数，再根据等边对等角和切线的性质求出AGP ∠；（2）连接CG ，根据CD AB ⊥和DG AB P 证出GDC 90∠=o ，再根据90o 的圆周角所对的弦是直径得出CG 为直径，再根据E 为半径OA 的中点，利用三角函数确定C 30∠=o ，从而求出GP 的长，再根据等角的余角相等证出PGF PFG ∠∠=，从而得出PF PG?=即可.【详解】解：（1）连接OG ，∵ CD AB ⊥于点E ，∴ AEF 90∠=o .∵ A 20∠=o ，∴ EFA 90A 902070∠∠=-=-=o o o o .∴ GFP EFA 70∠∠==o .∵ OA OG =，∴ OGA A 20∠∠==o .∵ PG 与O e 相切于点G ，∴ OGP 90∠=o .∴ AGP OGP OGA 902070∠∠∠=-=-=o o o .（2）连接CG ，∵ CD AB ⊥于点E ，∴ BEC 90∠=o .∵DG AB P ， ∴ GDC BEC 90∠∠==o .∴ CG 为O e 的直径.∵ E 为半径OA 的中点， ∴11OE OA OC 22==. 在Rt ΔOCE 中，OE 1sinC OC 2==. ∴ C 30∠=o .∵ PG 与O e 相切于点G ，CG 为O e 的直径，∴ CGP 90o ∠=.在Rt ΔCGP 中，PG tanC CG=，∴ PG CG tanC 2OA tan30243=⋅=⋅=⨯=o . ∵ CGP 90o ∠=，∴ CGA PGF 90∠∠+=o .∵ AEF 90∠=o ，∴ A AFE 90∠∠+=o .∵ OA OG =，∴ A CGA ∠∠=.∴ PGF AFE ∠∠=.∵ PFG AFE ∠∠=，∴ PGF PFG ∠∠=.∴ PF PG 4==.【点睛】本题考查了切线的性质，90o 的圆周角所对的弦是直径，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，熟练灵活的运用相关知识是解题的关键.22.如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中，无人机飞行高度AH 为米，桥的长度为1255米．①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度AB ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．【解析】【分析】①在Rt△AHP 中，由tan∠APH=tanα=AH HP，即可解决问题； ②设BC⊥HQ 于C ．在Rt△BCQ 中，求出CQ=tan 30BC ︒=1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH ﹣PC 计算即可；【详解】①在Rt△AHP 中， 3，由tan∠APH=tanα=3AH HP PH=3PH=250米． ∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．②设BC⊥HQ 于C ．在Rt△BCQ 中， 3，∠BQC=30°， ∴CQ=tan 30BC ︒=1500米， ∵PQ=1255米，∴CP=245米，∵HP=250米，∴AB=HC=250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB为5米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．23.某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A 30人/辆380元/辆B 20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？【答案】(1) 21≤x≤62且x为整数；(2)共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．【解析】【分析】（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式，再根据AB两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围；（2）由总费用不超过21940元可得关于x的不等式，解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.【详解】(1)由题意得y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，∵30x＋20(62－x)≥1441，∴x≥20.1，∴21≤x≤62且x为整数；(2)由题意得100x＋17360≤21940，解得x≤45.8，∴21≤x≤45且x为整数，∴共有25种租车方案，∵k＝100>0，∴y随x的增大而增大，当x＝21时，y有最小值，y最小＝100×21＋17360＝19460，故共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用函数的性质解决最值问题．24.如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（42，0）．（Ⅰ）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是．（Ⅱ）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（Ⅲ）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O 出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．t=. 【答案】（1）4，(22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216；（3）83【解析】【分析】（1）连接AB，根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；（3）根据P 、Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时，③当点P 、Q 在AC 上时，可方程得出t ．【详解】解：（1）连接AB ，与OC 交于点D ，四边形AOBC 是正方形，∴△OCA 为等腰Rt △，∴AD=OD=12OC=22， ∴点A 的坐标为()22,22.4，(22,22.（2）如图∵ 四边形AOBC 是正方形，∴ AOB 90∠=o ，AOC 45∠=o .∵ 将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45o ，∴ 点A '落在x 轴上.∴OA OA 4'==.∴ 点A '的坐标为()4,0.∵ OC 42=∴ A C OC OA 424=-=''.∵ 四边形OACB ，OA C B '''是正方形，∴ OA C 90∠''=o ，ACB 90∠=o .∴ CA E 90∠'=o ，OCB 45∠=o .∴ A EC OCB 45o ∠∠=='. ∴ A E A C 424=='-'. ∵2ΔOBC AOBC 11S S 4822==⨯=正方形， ()2ΔA EC 11S A C A E 4242416222'=⋅=-=-''， ∴ΔOBC ΔA EC OA EBS S S ''=-=四边形 ()82416216216--=-. ∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-.（3）设t 秒后两点相遇，3t=16，∴t=163①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，∵POQ 90∠=o ,OP=t ，OQ=2t ∴ΔOPQ 不能为等腰三角形②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时如图2，当OQ=QP ，QM 为OP 的垂直平分线，OP=2OM=2BQ ，OP=t ，BQ=2t-4，t=2（2t-4），解得：t=83． ③当点P 、Q 在AC 上时，ΔOPQ 不能为等腰三角形综上所述，当8t 3=时ΔOPQ 是等腰三角形 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．25.已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ?或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a -=-=， ∴2y ax ax 3=-+对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++. C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===.∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-.∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. 综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．。
2019-2020学年天津市和平区九年级上册期末数学试卷(有答案)-优质资料
2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）23．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对B．3对 C．2对 D．1对5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A （2，2）、B （x ，y ），当﹣3＜x ＜﹣1时，y 的取值范围是（ ） A ．﹣4＜y ＜﹣B ．﹣＜y ＜﹣4C ．＜y ＜4D ．﹣1＜y ＜﹣10．（3分）已知点A （4，y 1）、B （，y 2）、C （﹣2，y 3）都在二次函数y=（x ﹣2）2﹣1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系（ ） A ．y 1＞y 3＞y 2 B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 211．（3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…105212…则当y ＜5时，x 的取值范围为（ ）A ．0＜x ＜4 B ．﹣4＜x ＜4 C ．x ＜﹣4或x ＞4 D ．x ＞412．（3分）如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a ﹣b+c ＞0； ②3a+b=0； ③b 2=4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n ﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转度，才能和原图形重合．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S= ．△AOB17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= ．18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= （度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= （度），点D的坐标为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）点P与水面的距离是m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：=．故选：C．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B 选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对B．3对 C．2对 D．1对【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，∴△CEF∽△ADF．（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，∴△ABE∽△CEF，（3）∴△ABE∽△ADF．故有3对．故选：B．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（﹣4×2，﹣3×2），（﹣3×2，﹣1×2），（﹣1×2，﹣2×2），即（8，6），（6，2），（2，4）或（﹣8，﹣6），（﹣6，﹣2），（﹣2，﹣4），故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，∴=，=，∴==．故选：A．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，所以，P（恰有两只雄鸟）=．故选：B．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正确；将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上故④正确，故选：C．9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．﹣4＜y＜﹣B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣【解答】解：∵反比例函数关系式为y=（k≠0）图象经过点A（2，2），∴k=2×2=4，∴y=，当x=﹣3时，y=﹣，当x=﹣1时，y=﹣4，∴当﹣3＜x ＜﹣1时，﹣4＜y ＜﹣．故选：A ．10．（3分）已知点A （4，y 1）、B （，y 2）、C （﹣2，y 3）都在二次函数y=（x ﹣2）2﹣1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系（ ）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2【解答】解：∵y=（x ﹣2）2﹣1，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，A （4，y 1）关于直线x=2的对称点是（0，y 1），∵﹣2＜0＜，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：D ．11．（3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表： x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 …则当y ＜5时，x 的取值范围为（ ）A ．0＜x ＜4 B ．﹣4＜x ＜4 C ．x ＜﹣4或x ＞4 D ．x ＞4【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y ＜5时，x 的取值范围为0＜x ＜4．故选：A ．12．（3分）如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转120 度，才能和原图形重合．【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度．故答案为：120°．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是12cm ．【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，∵正六边形的面积为6cm2，∴S=×6=cm2，△AOF即a•a•sin∠OFA=a2•=．∴a=2cm，∴正六边形的周长是12cm，故答案为：12cm．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= 40°．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接= 2 ．AO，则S△AOB【解答】解：根据题意得：S==2，△AOB故答案为：217．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长= 10 ．【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F∴可以假设设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，∵AC2+BC2=AB2，∴（a+2）2+（b+2）2=（a+b）2，∴4a+4b+8=2ab，∴4（a+b）=48﹣8∴a+b=10，∴AB=10．故答案为1018．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小= 30 （度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小= 90 （度），点D的坐标为（3，﹣3）．【解答】解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，∴OB=OC=OD．∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BOC=30°．（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．∵∠OMD=90°，∴∠OMC=90°．在△OEB与△OMC中，，∴△OEB≌△OMC（AAS）．∴OE=OM，∠BOE=∠COM．∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．∴△OEM是等边三角形．∴EM=OM=OE．∵OC=OD，OM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴OM=CM=DM．∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α=∠COD=90°，∴∠FOD=30°，∴OF=3，DF=3，∴点D的坐标为（3，﹣3）．故答案为：（1）30；（2）90，（3，﹣3）．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．【解答】解：将x=1代入原方程，得：1+k+3+k=0，解得：k=﹣2．，设方程的另一个根为x1=﹣（﹣2+3），根据题意得：1+x1∴x=﹣2，1∴该方程的另一个根为﹣2．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A=35°，∴∠BOD=2∠A=70°，∴∠COD=2∠BOD=140°，∴的长==．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴==，∴∠EAB=∠EAD，∵∠ACB=2∠EAB，∴∠ACB=∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△ACB中，∵cosC===，AC=6，∴BC=9．②作FH⊥AB于H，∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB=∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cos∠C==，∴=，解得x=3，即BF的长为3，∴DF=222．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x （x ﹣1）份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答． 【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x ﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x （x ﹣1）份合同；（Ⅱ）根据题意列方程得： x （x ﹣1）=45，解得x 1=10，x 2=﹣9（舍去），检验：x=﹣9不合题意舍去，所以x=10．答：共有10家公司参加商品交易会．故答案为：（x ﹣1）； x （x ﹣1）．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，）．（1）点P 与水面的距离是 m ；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m ，水面宽是多少？【解答】解：（1）由点P 的坐标为（3，）知点P 与水面的距离为m ，故答案为：；（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将点A（4，0）、P（3，）代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；（3）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，解得：x=2，则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，∴C△DBE由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，=CD+4，∴C△DBE由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2；③当6＜t＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠B CD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴t=14，综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．【解答】解：（1）由题可得，抛物线y=x2的开口方向向上，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0）；（2）∵点A（2，4），∴OA 解析式为y=2x ，∵抛物线y=x 2从点O 沿OA 方向平移，∴可设顶点坐标为（m ， 2m ），∴抛物线的解析式为y=（x ﹣m ）2+2m ，∵抛物线与直线x=2交于点P ，∴P （2，m 2﹣2m+4），又∵直线x=2与x 轴相交于点B ，∴B （2，0），∴PB=m 2﹣2m+4=（m ﹣1）2+3，∴当m=1时，PB 最短；（3）设直线DE 为y=kx+b ，则C （0，b ），OC=b ，直线DE 与抛物线y=x 2联立，得x 2﹣kx ﹣b=0，设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则x 1+x 2=k ，x 1x 2=﹣b ，∴y 1+y 2=kx 1+b+kx 2+b=k 2+2b ，y 1y 2=（kx 1+b ）（kx 2+b ）=b 2，如图，分别过D ，E 作DQ ⊥y 轴于Q ，EP ⊥y 轴于P ，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP ，∴△DCQ ∽△ECP ， ∴=，∵∠CFD=∠CFE ，∠DQF=∠EPF ，∴△DQF ∽△EPF ，∴=，∴=，设F（0，f），则OF=﹣f，，整理可得，k2（b+f）=0，∵k≠0，∴b+f=0，∴b=﹣f，即OC=OF．。
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天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）A．B．C．D．3．下列关于的方程有实数根的是（）A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=04．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm25．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=5806．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）A．B．C．D．7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2 D．150πcm28．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）A．0 B．1 C．2 D．411．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）A．＞﹣B．≥﹣且≠0 C．＜﹣D．＞﹣且≠012．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、、M、N．设△BPQ，△DM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3=20，则S2的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是．14．中心角为45°的正多边形的边数是．15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是．16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率．17．如图，光P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P 到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是．18．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．三、解答题（本大题共7小题，共56分）19．如图，一次函数y1=﹣+2的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣1，3）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出的取值范围．20．（1）22+8﹣1=0（公式法）（2）2+4﹣5=0（配方法）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：①当a=0时，a2+b+c=0是一元一次方程；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1是一元二次方程；③+3=是分式方程；④（a2+a+1）2﹣a=0是一元二次方程；⑤=﹣1是无理方程，故选：B．2．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：由题意画树状图得：，一共有30种可能，符合题意的有4种，故恰好互为相反数的概率为：．故选：A．3．下列关于的方程有实数根的是（）A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、﹣1=0或+2=0，则1=1，2=﹣2，所以C选项正确；D、（﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．4．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2【考点】相似多边形的性质．【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×=8cm2．故选：C．5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=580【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得出方程为：1185（1﹣）2=580．故选：D．6．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．【解答】解：第3个小组被抽到的概率是，故选：A．7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2 D．150πcm2【考点】扇形面积的计算．【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm 和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．【解答】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，=2×（﹣）∴S贴纸=2×175π=350πcm2，故选B．8．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识．【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】抛物线与轴的交点．【分析】根据解方程2﹣=0抛物线与轴的两交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离．【解答】解：当y=0时，2﹣=0，解得1=0，2=2，则抛物线与轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），所以抛物线与轴的两个交点间的距离为2．故选C．11．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）A．＞﹣B．≥﹣且≠0 C．＜﹣D．＞﹣且≠0【考点】抛物线与轴的交点．【分析】y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，当图象在轴上方时，，当图象在轴下方时，，由此能够求出的取值范围．【解答】解：∵y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，∴当图象在轴上方时，，∴，解为空集．当图象在轴下方时，，∴，∴＜﹣．∴的取值范围是{|＜﹣}，故选C．12．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、、M、N．设△BPQ，△DM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3=20，则S2的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△BPQ∽△DM∽△CNH，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S2．【解答】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DM=∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ=∠DM=∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴==，==，∴△BPQ∽△DM∽△CNH，∴=，∴=，=，∴S2=4S1，S3=9S1，∵S1+S3=20，∴S1=2，∴S2=8．故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（﹣5，﹣2）．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（+3+2）2+1﹣3．即：y=﹣（+5）2﹣2，则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．14．中心角为45°的正多边形的边数是8．【考点】正多边形和圆．【分析】根据n边形的中心角的度数是即可求解．【解答】解：正多边形的边数是：=8．故答案是：8．15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是（0，1）．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质确定出点P的位置，再写出坐标即可．【解答】解：旋转中心P的位置如图所示，∴点P的坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图：∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为，故答案为：．17．如图，光P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P 到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是 1.8m．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AB∥CD，易得，△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，假设CD到AB距离为，则，又∵AB=2，CD=6，∴∴=1.8．故答案为：1.8m18．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是或2倍．求得CM的长．【解答】解：设CM的长为．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC=，①当Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得=或=（不合题意，舍去），②当Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．三、解答题（本大题共7小题，共56分）19．如图，一次函数y1=﹣+2的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣1，3）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A点坐标代入可求出m的值，从而得到反比例函数解析式；（2）利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入可得m=﹣1×3=﹣3，所以反比例函数解析式为y=﹣；（2）把B（n，﹣1）代入y=﹣得﹣n=﹣3，解得n=3，则B（3，﹣1），所以当＜﹣1或0＜＜3，y1＞y2．20．（1）22+8﹣1=0（公式法）（2）2+4﹣5=0（配方法）【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）公式法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵a=2，b=8，c=﹣1，∴△=64﹣4×2×（﹣1）=72＞0，则==；（2）∵2+4﹣5=0，∴2+4+4=9，∴（+2）2=9，∴+2=±3，∴1=﹣5，2=1；21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【分析】（1）MN 是⊙O 切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC 以及BC ，根据S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC 计算即可．【解答】解：（1）MN 是⊙O 切线．理由：连接OC ．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵∠BOC=∠A +∠OCA=2∠A ，∠BCM=2∠A ，∴∠BCM=∠BOC ，∵∠B=90°，∴∠BOC +∠BCO=90°，∴∠BCM +∠BCO=90°，∴OC ⊥MN ，∴MN 是⊙O 切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT △BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC =﹣=﹣4．22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m ）．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：=6.125≈6.1．经检验，=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．，由题意可列出和b的二元一次方程组，解出和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20），转换为P=﹣3（﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．【解答】解：（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．由题意可得：解得答：y与的函数关系式为：y=﹣3+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20）=﹣32+168﹣2160=﹣3（﹣28）2+192．∵a=﹣3＜0，∴当=28时，利润最大，答：当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是相等且垂直．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据题意及图示即可得出OE、OF的数量关系：相等，位置关系：垂直；（2）根据题意及图示可证明△OEB≌△OFC，故成立；（3）根据题意及图示，还有所给比例关系即可得出答案．【解答】解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直故答案为相等且垂直．（2）成立，理由如下：∵△MPN是直角三角形，∴∠MPN=90°．连接OB，∴∠OBE=∠C=45°，∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，∴四边形EBFP是矩形，∴BE=PF∵PF=CF，∴BE=CF，∵OB=OC=AC，∴在△OEB和△OFC中，∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，（3）如图，找BC的中点G，连接OG，∵O是AC中点，∴OG∥AB，OG=AB，∵AB=6，∴OG=3，∵OG∥AB，∴△BHE∽△GOH，∵EH：HO=2：5，∴BE：OG=2：5，而OG=AB=3，∴BE=．25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知CQ=CP，解得结果；（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，易得Rt△AQF∽Rt△ABC，由相似三角形的性质可得==，可得QF，BE，同理可得PE，BE，利用三角形的面积公式可得y与t之间的函数关系式，由△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，可解得t；（3）由勾股定理可得QD2，PD2，PQ2，因为PD⊥QD，利用勾股定理可得PQ2=QD2+PD2，解得t．【解答】解：（1）∵△PQC是等腰直角三角形，∴CQ=CP，∴8﹣2t=6﹣tt=2 （秒）；（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，∵∠A=∠A，∠AFQ=∠ACB=90°，∴Rt△AQF∽Rt△ABC，∴==，∵BC=6，AC=8，AB=10，AQ=2t，∴QF=，AF=t同理可得：PE=，BE=，∴y=﹣×（8﹣2t）﹣=﹣t2+5t；∵△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，∴﹣t2+5t=6，解得：t1=3，t2=2，答：当t=3秒或t=2秒时，△PQD的面积是Rt△ABC的面积的；（3）∵，同理可得：，PQ2=（8﹣2t）2+（6﹣t）2，当PD⊥QD时，PQ2=QD2+PD2，此时，t=（秒），答：当t=时，PD⊥QD．21。