空间几何体表面积与体积公式大全

3r
3
() 2
13
6a
正方体的体对角线 3 a 球体的直径 d
3
4 34 d
V球 3 r
3
() 2
33
2a
V V 球：
正方体
3 :2
（ 3） 规 律：
①正方体的内切球与外接球的球心为同一点；
②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；
③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为： 1 : 3
④正四面体内切球与外接球体积之比为： 1：3 3
正四面体外接球半径相等
（ 3） 正 方体的内切球与正四面体的关系
（a） 正方体内切球直径 =正方体棱长
（ b） 正 方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c） 与正四面体四条棱相切的球半径 =正方体棱长的一半
（d）设正四面体棱长为 a ，则与其棱都相切的球半径为 r 1
有： r 1
1 2
a
2
2
4a
7、 利用祖暅原理推导球体体积。
面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理：（圆柱容球）
圆柱容球原理： 在一个高和底面直径都是 2r 的圆柱形容器内装一个最大的
球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的
2。
3
分析：圆柱体积： V 圆柱
Sh
2
( r ) 2r
为： a
2
正方体的外接球直径为其体对角线
四点确定一个球。 ）正方体与其体内最大ห้องสมุดไป่ตู้正面体有四个公共顶点。所
以它们共球。
回顾：① 两点定线 ② 三点定面 ③ 三点定圆 ④ 四点定球
如图：
(a)正方体的体对角线 =球直径 (b)正四面体的外接球半径 = 3 高
4
(c)正四面体的棱长 =正方体棱长 2
(d)正方体体积：正四面体体积 =3：1
(e)正方体外接球半径与
A
OD
有： 4
1 [
3
12
( 2 a sin 60 )
r]
1 12
3 ( 2 a sin 60 )
6a 3
∴r 6a
12
V r a ∴
4
内切球
3
3
6
216
3
V 外接球
3
4 3
(h
3
r)
4 3
6 (a
3
6 a)
12
6
3
8a
方法 3：方程分析：（最常见的做法）
如图：显然 AO 、DO 是外接球半径， OO1 是内切球半径。 A
1
1 12
13
V 三棱锥
3S h
3
( 2
a
)
a
6a
中间剩下的正四面体的体积为：
2
V 正三棱锥
1
3S h
11
2
3
[ 2
(
2a)
sin 60 ]
22 ( 2a) (
3
2a 2
13
3) 3 a
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
即：
13
6a
4
13
3a
3
a
（ 2） 外 接球
正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。 （理由：过不共面的
整理得： h1
S上 h S下 S上
又因为台体的体积 =大锥体体积—小锥体体积
∴V台
1 3
S下（
h1
h）
1
3 S上 h1
1
3 h1 (S下
S上 )
1
3 S下 h
代入： h1
S上 h 得： V台 S下 S上
1 3
S上 h (S下 S下 S上
S上)
1
3 S下 h
即： V 台
1
3 S上 h ( S下
1
S上 ) 3 S下 h
在 Rt△DO O1 中，由勾股写得可得以下方程：
2
2
2
DO OO1 DO21
其中： DO1
2 3
3a 2
O
B
D
O1
DO D O1 A O1 h
6a 3
C
代入方程解得： DO
6 4
a
、
O
O1
6 a
12
4
V 外接球
3
3
6
3
DO 8 a
4
V 内切球
3
3
6
3
OO1 216 a
方法 4：补形分析（最巧妙的思考） 把正四面体补成正方体进行分析。如图： 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。 正四面体的棱长为 a ，则正方体棱长
1
2
V 圆台 3 h (r 上
2
r 上 r下 r下)
4、 球体
① 球： V 球
4 3
3
r
② 球冠：略
S上
'
h
S下
S上 hl
S下
③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高
侧面积计算时使用母线 l 计算。
三、 拓展提高
'
h
计算；而圆锥、圆台的
1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）
夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截
3
(
a) 4
22 a(
3
6
3
8a
2
3 a)
2
=
6 a
4
V 正四面体
112
3 2 a sin 60
6
23
3 a 12 a
（ 3）规律：
V V ∴ : 球
正四面体
a a 6
3
:
2
3
3 3 :2
8
12
①正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；
②正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；
③正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；
E O1 EG 1 O1 D GA 2
B
∴ G O1 // AD
且 G O1 1 AD 3
∴△ GO O1 ∽△ DOA
∴ O O1 1 AO 3
G
O
D
E
O1
C
即： AO
3 4
A O1
3 4
h
3 4
6a 3
6a 4
1
1
16
6
O1O 4 AO1 4 h
4
a 3
a 12
4
V 外接球
3
3
6
3
DO 8 a
4
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物
体体积相等。
证明：作如下构造： 在底面半径和高都是 r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等
高的圆锥。如图：
h
r 锥1
r 球1
h
R
在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半
径均为 R ，截面高度均为 h ，倒圆锥的截面半径为 r 锥1，半球截面半径为 r ， 球 1
V 内切球
3
3
6
3
OO1 216 a
方法 2：体积分析：（最灵活的方法）
如图：设正四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，连接
AO 、 BO、 CO、DO，则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。
设内切球半径为 r ，正四面体的棱长为 a
则正面四体的高为： h
2
22 3
a(
a)
32
6a 3
则： 4 个完全一样的三棱锥体积 =正四面体体积
内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶
点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，
每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内
切球的半径 r 。
利用体积关系得：
4 （1 3
12
2 a sin 60
r)
1 12
3 ( 2 a sin 60 ) h
所以： r
1
4h
，其中
h
为正四面体的高。
由相关计算得： h
⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为： 1：3
⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为： 3 :2： 1
⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为： 3 3 : 6 :
⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为： 3 : 6 :
9、 正四面体与球
（ 1）正四面体的内切球
解题关键：利用体积关系思考
由祖暅原理可得： V 1 V 2
所以半球体积： V 半球
1 Sh Sh
3
即，球体体积： V 球
2 2
3
3
R
2
2
Sh
3
3
4
3
3R
8、 正方体与球
2
2
3
R R 3R
（ 1） 正 方体的内切球
（ 2） 正 方体的外接球
正方体的棱长 a
3
V a V 正方体
球
V V 正方体 ：
球 6:
球体的直径 d
3
4 34 d
2
h 4r
2
四、 方法总结
下面举例说明立体几何的学习方法
例：已知正四面体的棱长为 a ，求它的内切球和外接球的半径
思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与
外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特
殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每