2013 固体物理 3.0_内聚能
固体物理重要知识点总结
固体物理重要知识点总结晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排列而成的，具有周期性和对称性非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性点阵：格点的总体称为点阵晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点2微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。
晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。
（有轴对称，面对称，体心对称即点对称）密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的密勒指数配位数：可用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度固体物理学元胞：选取体积最小的晶胞，称为元胞：格点只在顶角，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只含有一个格点：元胞的三边的平移矢量称为基本平移矢量（或者基矢）；突出反映晶体结构的周期性元胞:体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数，点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。
布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合而且每个格点周围的情况都一样复式格子：晶体由两种或者两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布拉菲格子，这些布拉菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子，复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套购而成的声子：晶格简谐振动的能量化，以hv i来增减其能量，hv i就称为晶格振动能量的量子叫声子非简谐效应：在晶格振动势能中考虑了8 2以上3高次项的影响，此时势能曲线能是非对称的，因此原子振动时会产生热膨胀与热传导点缺陷的分类：晶体点缺陷：①本征热缺陷：弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷②杂质缺陷：置换型，填隙型③色心④极化子布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为布里渊区爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？答：按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013H Z,属于光学支频率，但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波，也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
固体物理学03_04
K
K K i [ ωt − R l ⋅ q ] k
()
中，波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系： e
K K − iR ( l )⋅q
REVISED TIME: 05-4-9
-2-
CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406
波矢改变一个倒格矢： Gn = n1b1 + n2b2 + n3b3
V* =
K K K v0 * ， v0 * = b1 ⋅ (b2 × b3 ) —— 倒格子原胞体积 N
N N Nv0 V = K K K = = 3 v0 * b1 ⋅ (b2 × b3 ) (2π ) (2π )3
状态密度：
波矢 q 的取值
K
在原子振动波函数 µα ⎜ ⎟ = Ak e
⎛l ⎞ ⎝k ⎠
⎧ b1 h1b1 b1 N ⎧ N1 − < h1 ≤ 1 ⎪− 2 < N ≤ 2 ⎪ 1 2 2 ⎪ ⎪ K K K ⎪ h h h b hb b N K ⎪ N q = 1 b1 + 2 b2 + 3 b3 —— ⎨ − 2 < 2 2 ≤ 2 Ì ⎨ − 2 < h2 ≤ 2 N1 N2 N3 N2 2 2 ⎪ 2 ⎪ 2 N ⎪ N3 ⎪ b3 h3b3 b3 − < h3 ≤ 3 ≤ ⎪ ⎪− < 2 ⎩ 2 N3 2 ⎩ 2
—— q 和 q + Gn 产生的位相一样
K
K
K
b1 ⎧ b1 ⎪ − 2 < qx ≤ 2 ⎪ b K ⎪ b —— q 的取值限制在一个倒格子原胞中，即第一布里渊区： ⎨ − 2 < q y ≤ 2 2 ⎪ 2 b ⎪ b3 − < qz ≤ 3 ⎪ 2 ⎩ 2
固体物理基础课程-1
Eph
h ph
hc
ph
~
E2
E1
元素能级数据库与能谱/光谱分析——化学组成的无损分析
“全元素”分析——无需指定分析元素； 分析精度比较低，低
试样要求低，而且为无损检测；
含量元素往往分析
SEM/TEM中都配备能谱分析仪
不出来
原因：物质波，波函数模的平方代表粒子出现的几率密度
电子能级
电子的状态：取决于四个量子数(n，l，m，ms )
孤立原子与固体材料的内层电子的电子能级情况如何？ 1) 氢原子的电子能级： －13.6/n2 (eV)
2) 类氢离子的电子能级： － 13.6 x Z2 /n2 (eV) 3) 多电子原子中电子的能级：
固体物理基础C
第一部分 固体材料中电子态
固体材料内能——微观角度观察
出发点：固体材料是大量原子相互结合的产物 材料能量：其中所有原子能量之和
内能 = 核能 + 核外电子能量 + 振动能
能量的基准：不涉及核反应时，所有原子核的能量为0——基准
注意：涉及核能时，核外电子能量往往远远低于核能，可忽略！
0K下 U(0K)取决于核外电子能量： 为所有组成原子中各电子所 处能级的能量之和
n0为粒子波传播方向上的单位矢量，也就是粒子运动的方向p it r k Aexp iEt r p
A为振幅，t为时间，r为空间 位置矢量，i为虚数单位。
依据量子理论微观粒子的状态完全由波函数Ψ r, t 描述。 一般波函数 Ψ r, t 的物理意义：粒子出现的几率密度
—各量子数都有影响：元素周期性排布
—非全满电子亚层中电子填充的洪特(Hund)法则 比如：Fe原子，核外26个电子，如何排布？ 1s22s22p63s23p63d64s2
《固体物理基础教学课件》第3章
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
固体物理第三章
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理学01_05
§1.5 晶体的宏观对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性，同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。
—— 介电常数可以表示为一个二阶张量：),,,(z y x =βαεαβ—— 电位移分量∑=ββαβαεE D可以证明对于立方对称的晶体：αβαβδεε0=——对角张量所以：E D KK 0ε=—— 介电常数可以看作一个简单的标量。
在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内，介电常数具有如下形式： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⊥⊥εεε000000//对于平行轴（六角轴）的分量：//E //////E D ε=对于垂直于轴（垂直于六角轴的平面）的分量：⊥E ⊥⊥⊥=E D ε正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。
而立方晶体的光学性质则是各向同性的。
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。
在三维情况下，正交变换表示为：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛z y x a a a a a a a a a z y x z y x 331313232212131211'''—— 矩阵是正交矩阵。
3,2,1,},{=j i a ij —— 如图XCH001_062所示，绕z 轴转θ角的正交矩阵： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−1000cos sin 0sin cos θθθθ—— 中心反演的正交矩阵：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−100010001—— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1； —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1。
一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对称性越高。
1 立方体的对称操作1) 绕三个立方轴转动：23,,2πππ，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。
《固体物理-徐智谋》第三章 晶格振动与晶体热力学性质.ppt
2
2
2
2
(共N个值)
所以波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分离的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
因为 V p q
所以 v p a
m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2 sin aq
m2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相
差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相
关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 如何推
导呢？
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
固体物理学答案详细版
原胞的体积 = c (a b) = 1 (3i
3j
3k ) (3i
3
j
)
=13.5*
-30
10
3
(m )
2
1.7 六方晶胞的基失为： a
3a
ai j ， b
2
2
3 ai
a j ，c
ck
2
2
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区
.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积 Ω=a·（ b*c ） = 3 a2c 2
相应波矢：
4
,
5a
2 ,0, 2 , 4
5a
5a 5a
由于
4
qa
sin ，代入 ， m及 q 值
m
2
则得到五个频率依次为（以 rad/sec 为单位）
8.06
× 1013， 4.99 × 1013， 0，4.99 × 1013，8.06 × 1013
3.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
1.3 二维布拉维点阵只有 5 种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
正方 a=b a^ b=90°
六方 a=b a^b=120°
矩形 a≠b a^b=90 °
带心矩形 a=b a^b=90 °
平行四边形 a≠ b a^ b≠ 90°
故d
[( h )2
( k )2
(
l
)2]
1 2
a1
a2
a3
1.9 用波长为 0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角
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对于原子间的排斥力，不管哪种结合方 式，其产生的原因有如下两点： 1. 带正电荷的原子核之间的库仑排斥力 2. 原子或正负离子的闭合电子壳层相互 交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力
12
通常晶体有五种不同的结合方式： 范德瓦耳斯结合：气体 Ar 离子结合: 离子晶体 共价结合：金刚石 金属结合：金属 氢键结合：冰
6
第 3 章 晶体结合与弹性常量
〈1〉离子性结合：以这种形式结合的晶体称
为离子晶体。以正负离子作为组成晶体的结构单 元，如 NaCl晶体，以 Na + , Cl − 作为结构单元而形 成。引力是异类离子间的库仑引力，斥力来自同 类离子间的库仑斥力及泡利不相容原理，为了能 够稳定组合成晶体，正负离子是交替排列的，每 一类离子都是以异类离子为最近邻，泡利原理产 生的斥力是短程力，只有电子态交叠才出现。
U (r )
r
3
第 3 章 晶体结合与弹性常量
3. 晶体的内聚能
dU (r ) F ∝− dr
U
U r (r )
U (r )
在 r=r0 处 F = 0 ，因此
dU ( r ) =0 dr
O
r0
U a (r )
r
即在 r=r0 处晶体内能具有最小值Uc，也就是说， 把晶体的各个原子分解为相距无限远的、中性自由原 子所需的能量为 | U c | ，通常称之为晶体的内聚能 以自由原子的能量为参考点，原子组成晶体后系统能量的降低。
排斥力 总合力
O
r0
rm
吸引力
r
绝对零度和不考虑外力
2
第 3 章 晶体结合与弹性常量
2. 晶体的内能
吸引和排斥作用对晶体内能的贡献 A U a (r ) = − m U r B U r (r ) = n r U r (r ) 晶体总内能 r0 A B O U (r ) = − m + n r r 其中，能量的零点 U a (r ) 取在 r→∞处，m<n
第 3 章 晶体结合与弹性常量 〈3〉金属性结合： 原子组成金属晶体后，金 属中的原子的价电子脱离母体原子形成自由传导 电子由其与失去了价电子的正原子实之间的库仑 作用而结合，原子实淹没在自由电子气体之中， 金属结合倾向于原子按最紧密方式排列，对原子 的排列方向无要求，因此金属较容易发生形变， 原子间可相互移动，有很好的塑性。 〈4〉范德瓦尔斯互作用： 范德瓦尔斯互作用发生在本来就具有稳定组 态的原子与分子之间，由范德瓦尔斯互作用结合 而成的晶体称为分子晶体。
第 3 章 晶体结合与弹性常量 〈5〉 氢键结合：以氢键结合的晶体称为氢键晶体。氢 有许多独具的特点： 〈a〉氢的原子实是一个质子，尺寸 约 10 −13 cm，比 105倍。 通常的原子实尺寸要小 〈b〉氢有很高的电离能，约13.6eV(即把氢的核外 电子拿走付出的能量),比Na、k高得多。（Na为 5.14eV,k为4.34eV) 〈c〉只有两个电子就可构成满壳层，比其它原子 （8个电子）要少。
第 3 章 晶体结合与弹性常量
〈2〉共价结合：以共价键结合的晶体称为共价
晶体。它是以每个原子贡献一个电子组成共价键 而形成的，共价键中的两个电子是自旋反平行的， 共价键具有饱和性和方向性，一个原子只能与周 围一定数目的原子组成共价键，若原子外层电子 不到半满（少于4个），都可形成共价键，若原 子的价电子数大于4，只有8-Z个电子才能形成共 价键（Z为价电子数），所谓方向性是指原子只 能在价电子出现几率最大的方向形成共价键。
第 3 章 晶体结合与弹性常量
5. 原子间吸引力及排斥力的机理
吸引力与排斥力的物理原因与晶体的具 体结合方式有关 对于原子间的吸引力，不同的结合方式 有不同的机理，例如： 离子结合 范德瓦耳 斯结合 正负离子之间的库仑作用力 原子或分子的电偶极矩之间 的相互作用
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第 3 章 晶体结合与弹性常量
第 3 章 晶体结合与弹性常量 §1、晶体结合的基本形式 什么使晶体维系在一起？
1. 晶体中原子之间的相互作用
晶体或其它固体的内聚力应全部归因于电子的负 电荷与原子核的正电荷之间的静电吸引相互作用 磁力对内聚力只有微弱影响，万有引力 可以忽略
1
第 3 章 晶体结合与弹性常量原子间相互 Nhomakorabea用力示意图
F
4
第 3 章 晶体结合与弹性常量 以自由原子的能量为参考点（即零点）， 原子组成晶体后系统能量的降低称为内聚能，或 者说也就是把一个晶体拆散成它的组成单元时， 外界需提供的能量。它表示晶体结合的强弱，组 成晶体时放出的能量多，拆散时供给的能量也多， 内聚能就大。
第 3 章 晶体结合与弹性常量
4. 晶体常见的结合方式