固体物理--能带理论
固体物理黄昆
V (r a )] f (r a )
2 r a
和
2 x 2 ,
2 y2 ,
2 z 2
微分结果一样
T
Hˆ f
(r)
[
2 2m
2 r
V
(r)]
f
(r
a
)
Hf (r a ) HT f (r )
T H HT
布洛赫定理：当势场
V
(r )
具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
(r
Rn
)
e
ik Rn
(r )
k 为一矢量。当平移晶格矢量为
了位相因子
e
ik
Rn
Rn
，波函数只增加
根据布洛赫定理，波函数可以写成
(r )
e
ik r
uk
(r )
布洛赫函数
H Hi
i
H i ( ri ) Ei ( ri )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多
电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子
TT T T
平移任意晶格矢量 Rm m1a1 m2a2 m3a3
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m1 1
能带理论在固体物理中的应用
能带理论在固体物理中的应用随着科技的不断进步，物理学研究的深度和广度也在不断扩展和深化。
当今，固体物理学已经成为物理学的一个重要分支，涉及了诸多领域，例如半导体物理、磁性物理、纳米材料等等。
能带理论作为固体物理学的重要基础理论之一，已经应用于许多领域，对于提供理论模型和实验设计都具有重大意义。
能带理论最早来源于研究金属中电子行为的工作，后经过发展和推广，得到了广泛应用。
在能带理论中，电子是以能带的形式出现的，能带是能量空间的一种描述方式，代表了在特定能量范围内，电子空间所具有的状态。
不同能带之间的电子状态是不同的，因此能带理论在描述电子的行为时非常有效。
在半导体物理中，能带理论被广泛应用。
半导体是指在温度很低时，电子受外力作用下所产生的电导率比金属低，比非金属高的物质。
在半导体中，能带理论对于半导体中的电子行为有着非常重要的作用。
例如，由于硅、锗等半导体中的禁带宽度较小，所以电子的自由运动范围也较小，容易受热效应和掺杂等外部因素的影响。
想要提高半导体的电导率，就必须通过能带理论来设计非常完美的材料结构。
在现代磁性物理的研究中，能带理论同样具有重要的地位。
磁性物理是指研究宏观或微观磁性体性质的物理学分支，它涉及到固体物理中的自旋和磁矩等概念，而能带理论对于研究这些问题有着非常重要的作用。
例如，在铁磁金属中，自旋极化效应会导致磁性电子在框架中的分裂，使电子的行为与非磁性电子的行为不同，因此能带理论的应用是非常必要的。
纳米科技是指通过控制和操作微小纳米级尺度的物质，从而制造新型材料和构建各种器件的技术。
能带理论也在纳米科技中得到了广泛的应用。
例如，通过计算和模拟得到的纳米结构的Electronic Density of States(EDoS)能够对纳米电子学中的输运性质，如霍尔效应和隧穿效应等进行研究。
因此，能带理论在纳米科技中的应用也有非常重要的意义。
总之，能带理论是固体物理学中重要的理论之一，它在多个领域中得到了广泛的应用。
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理学能带理论小结
固体物理学能带理论⼩结能带理论⼀、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近⾃由电⼦近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及⼏个典型的结构的计算；5）明⽩简约布⾥渊区的概念和能带的意义及应⽤；6）会计算能态密度。
本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍⽣出来的的模型的应⽤。
⽐如将能带理论应⽤于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。
了解容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。
⼆、基本容1、三种近似在模型中它⽤到已经下假设：1）绝热近似：由于电⼦质量远⼩于离⼦质量，电⼦的运动速度就⽐离⼦要⼤得多。
故相对于电⼦，可认为离⼦不动，或者说电⼦的运动可随时调整来适合离⼦的运动。
多体问题化为了多电⼦问题。
2）平均场近似：在上述多电⼦系统中，可把多电⼦中的每⼀个电⼦，看作是在离⼦场及其它电⼦产⽣的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。
多电⼦问题化为单电⼦问题。
3）期场近似：假定所有离⼦产⽣的势场和其它电⼦的平均势场是期势场，其期为晶格所具有的期。
单电⼦在期性场中。
2、期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格期性时，电⼦波动程的解具有以下性质：形式⼀：()()nik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式⼆：()()ik rr e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了期场的波函数可取布拉维格⼦的所有格⽮成⽴。
2）证明过程：a. 定义平移算符µT ，)()()()(332211321a T a T a T R T mmmm ?= b ．证明µT 与?H的对易性。
ααHT H T =c.代⼊期边界条件，求出µT 在µT 与?H共同本征态下的本征值λ。
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
第二章能带理论ppt课件
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中 运动的单电子，其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
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固体物理中关于能带理论的认识
摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的
概念更细致的把握。
关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定
引言
能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。
能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。
1 能带理论的假定
能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。
量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。
能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。
实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。
如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。
1.1 绝热近似
考虑到电子与核的质量相差悬殊。
可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。
电子运动时,可以认为核是不动的。
电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。
1.2 平均场近似
因为所有电子的运动是关联的。
可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。
使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。
使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。
1.3 周期场假定
薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。
代表一种平均势能，应是恒量。
因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。
2 电子的共有化运动
我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定
的轨道上运动。
由于电子在空间运动的范围受到限制,电子在能量上就呈现出不连续的状态, 电子的能量只能取彼此分立的一系列可能值——能级。
晶体是由大量的原子在空间有规则地周期性地排列而成的。
相邻原子间距只有几个埃的能量级,例如,硅的原子间距为4.2埃。
因此,晶体中的原子状态和孤立原子中的电子状态不同,特别是外层电子的状态会有显著的变化。
原子中的电子分列在内外层电子轨道上,每一层轨道对应于确定的能量。
当原子间相互接近形成晶体时,不同原子的内外层个电子轨道之间就有一定的交迭,相邻原子最外层轨道上交迭最多,内层轨道交迭较少。
当原子组成晶体后, 由于电子轨道间的交迭,电子不再完全局限于某一个原子中,他可以由一个原子转移到相邻的原子上去,而且可以从相邻的原子再转移到更远的原子上去,以致任何一个电子可以在整个晶体中从一个原子转移到另一个原子,而不再专属于哪一个原子所有, 这就是晶体中电子共有化运动。
应该注意到,不同原子的相似轨道才有相近的能量,电子只能在相似轨道上进行转移。
因此,产生共有化运动是由于不同原子的相似轨道间的交迭而引起的。
每一个原子能级结合成晶体后,引起“与之相应”的共有化运动。
例如,3s轨道引起“3s”的共有化运动,2p轨道引起“2p”的共有化运动。
从共有化运动来看,当电子“经过”每一个原子时,他的运动仍接近于原来的原子轨道(3s或2p)上的运动，从原子运动的观点看,共有化运动就是电子由一个轨道转移到另一个相似的轨道,如下图所示。
3 能带的一般解释
晶体中电子共有化运动引起了能级的分裂,我们以最外层的价电子为例来说明。
假如晶体中包含N个原子(N约为1022数量级),原子最外层的价电子是一个，它的能量级为En,当这些原子相距很远时,每个原子的价电子的能级都是En,所以是互不相关的能级。
但是,当N个原子组成晶体后每个价电子的运动都受到其它原子核的影响,它们的能级也会发生变化。
根据泡利不相容原理,一块晶体中的电子运动状态不能相同。
为了容纳原来属于N个单个原子的所有价电子,原来分属于N 个单个原子的相同的价电子能级就必须分裂成属于整个晶体的N个能量稍有差别的能级。
这些能级相互靠得很近,分布在一定的能量区域,通常把这N个相互靠得很近的能级所占据的能量区域称为能带,如下图所示。
在原子结合成晶体时,如果内层电子的轨道也有交迭,则价电子能级分裂成价电子能带的同时,其内层电子的能级也要分裂。
根据同样道理,能量比价电子能级更高的激发态能级也要分裂,形成激发态能级。
在两个能带之间的区域中,不存在电子的能量,因此这个能量区域中也不可能有电子,这与单个原子两能级之间的能量区域中不可能有电子一样。
我们称这两个能带之间的区域为“禁带”。
每个能带和禁带的宽度是由各种晶体的具体原子结构和晶体结构决定的。
一般约为零点几到几个电子伏特。
总结
从以上分析可知,能带理论是研究晶体中电子运动规律的一种近似理论。
晶体由原子组成, 原子又包括原子核和最外层电子,它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化,首先假定晶体中的原子核固定不动,并按一定规律作周期性排列,然后进一步认为每个电子都是在固定的原子核周期势场及其他电子的平均势场中运动,这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论是现代晶体电子技术的理论基础,对于微电子技术的发展起了无可估量的作用。
而且是说明晶体性质最重要的基础理论。
它的出现是量子力学,量子统计理论在固体中最直接最重要的应用。