第三章方位投影

假想一平面切（割）地球，然后按一定的数学方法将地球面 投影在平面上，即得到方位投影。
2
方 位 投 影
正射投影 透视投影 外心投影 球面投影 球心投影 纬线——一组同心圆 正轴 经线——交于投影中心的直 线束，夹角不变 非透视投影 横轴 等高圈——同心圆 斜轴 垂直圈——同心圆半径，夹 角不变
方位投影——又称平面投影
RZ C
式中C为积分常数。因Z = 0 时， = 0，故C = 0。 于是：
RZ
22
等距离方位投影的变形公式：
长度比为：
1 1 2
R sin Z Z sin Z
面积比为：
P 1 2 Z sin Z

a,b
最大角度变形为：
sin

2

投影中心: 平面和球面相切的一点 用圆球体代替椭球体：M=N=R B,L
投影中心
1. 方位投影分类
根据投影面和地球球体相切位置不同 当投影面切于地球极点时，为正轴投影。 当投影面切于赤道时，为横轴方位投影。 当投影面切于既不在极点也不在赤道时，斜轴方位投影。
2、正轴方位投影
投影中心为极点，纬线为同心 圆，经线为同心圆的半径，两 条经线间的夹角与实地相等。
由此得到直角坐标公式为:
x cos
LR sin Z cos D R cos Z
y sin
LR sin Z sin 4 D R cos Z
变形公式为:
d L( D cos Z R) RdZ ( D R cos Z )2 3 L 2 R sin Z D R cos Z
P 2
41
当Zk=0，即投影面切在投影中心，则有：
k 2R
Z 2Rtg 2
Z sec 2
2
对于正轴投影，只要在等角方位投影一般公式 中以 代，以90- 代 Z 即可，有：

k )tg (45 ) 2 2 k 2 2 cos (45 )sec (45 ) 2 2 2 R cos 2 (45
经纬线形式
中央经线为直线，其它经线是对称于 中央经线的凹向曲线；中央纬线为直 线，其它纬线是对称于中央纬线的凸 向曲线。 在中央经线上纬线间隔自投影中心向 外逐渐减小在中央纬线上经线间隔自 投影中心向东、向西方向逐渐减小。
横轴等面积方位投影
变形分布规律
投影中心无变形，离投影中心愈远角度、长度变形增大 。 20
Q
d
Q’
d
d
R 2 sin ZdZ

Z
D RdZ A
C
B
d
D’ A’
C’ B’
最大角度变形为：

2 a b ab
球面微分梯形在平面上的投影
sin

或
tg (45

4
)
1 2
（6-5）
12
d d m Rd (90 ) Rd
d n rd R sin(90 )
Zk k tan R sin Z k 2
或
Zk k 2 R cos 2
2
40
等角方位投影的一般公式为：

x cos
2 R cos 2
y sin Zk Z sec 2 2 2 0
Zk Z tan 2 2
1 2 cos 2
经纬线形式
中央经线为直线，其它经纬 线均是曲线。 在中央经线上纬线间隔相等。
变形分布规律
斜轴等距离方位投影
投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长 度变形增大，面积变形、角度变形都不大 。
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§3-4 透视方位投影
透视方位投影的概念
透视方位投影是方位投影的特殊情 况。它是用透视的原理来确定 = f(Z)的函数关系。

4
A′
Z 投影变形公式为: 2 R tan 2 d 2 Z 1 sec
RdZ
1
2 2 Z 2 sec R sin Z 2 2 Z P sec 2
§3-6 球面投影（等角方位投影）
等角方位投影的条件：
１、 2分别为垂直圈 和等高圈的长度比
1 2
P mn
d
R 2 sin(90 )d
mn sin 2 mn
m和n分别是经纬线长度比

方位投影的特征
由投影中心到任何一点的方位角保持与实地相等（无变形）。
14
§3-2
等面积方位投影
等面积方位投影(Lambert)的条件：
P 1 2
移项积分，得：
30
§3-4 透视方位投影
Q 'O qA QA qO
' '
A′
有如下的一些关系: Q ' A'
Q 'O R D
qA R sin Z qO R cos Z D
带入上式:
4
P
3
Z
2
1
LR sin Z D R cos Z
§3-4 透视方位投影
LR sin Z D R cos Z
此投影为波斯托于1581年所创.又称波斯托投影。

正轴等距离方位投影
25
正轴等距方位投影
经纬线形状
纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线圆 心的直线束，经线投影后保持正长，所以投影 后的纬线间距相等。
变形分布规律
球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的长半 径和纬线方向一致，短半径与经线方向一致， 且等于微圆半径r，又因自投影中心，纬线扩大 程度越来越大，所以变形椭圆的长半径也越来 越长，椭圆越来越扁。
42
正轴等角方位投影
43
横轴等角方位投影
44
斜轴等角方位投影
45
§ 3.7 球心投影（日晷投影）
对于球心投影而言,D=0,L=R,因此有:
LR sin Z D R cos Z
A′
R tan Z
3 投影变形公式为:
d 1 sec2 Z RdZ 2 sec Z R sin Z
Q
d
Q’
d

Z
D RdZ A
C
B
d
D’ A’
C’ B’
长度比为：
球面微分梯形在平面上的投影
AD ' d 1 AD RdZ D ' C d d 2 DC rd R cos(90 Z )d R sin Z
11
面积比为：
P ab 1 2
d 1 RdZ R sin Z
2
2
C R 2 cos Z
式中C为积分常数，因Z= 0时， = 0，故C = R2。 于是：
2 2R2 (1 cos Z )
整理后开方得：
2 R sin
Z 2
15
等面积方位投影的变形公式：
长度比为：
2 1
D 3 D Q Q
A A A A 2 A’ 1 A’ 3 2 A’ 4 3 A’ 1 4
A 4
4 A
3 2 1

根据投影面与地球的相对位置（即投影中心Q的纬度2 0）的不同 1 分类：
图6-6 透视方位投影
1）正轴（ 0 = 90°）
2）斜轴（ 0 <0 < 90°）
3) 横轴（ 0 = 0°）
1
1
L2 ( D cos Z R) P 12 ( D R cos Z )3
最大角度变形公式为:
sin

2

a b ab
x cos
LR sin Z cos D R cos Z
LR sin Z sin y sin D R cos Z
或
0
按公式 得：
d RdZ R sin Z
移项积分后，得：
ln ln tan
或
Z ln k 2
Z k tan 2

注意：Z=0 Z=90是否可用 39
要求系数 k，可指定某等高圈Zk上的长度比2(k)=1，有：
2( k )
即
k 1 R sin Z k
P 12 cos Z
a tan(45 ) sec Z 4 b


(a)以北极为中心的正射投影
(b)以赤道为中心的正射投影
(c)以北纬45度为中心的正射投影
§3-6 球面投影（等角方位投影）
对于等角方位投影而言,D=R,L=2R,因此有:
LR sin Z D R cos Z 2 R 2 sin Z 2 R sin Z R(1 cos Z ) 1 cos Z
等变形线都是以投影中心为圆
心的同心圆。 包括等角、等积、
等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
概念：方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球
表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所 得到的图形。 投影平面上，由投影中心（平面与球面相切的点，或 平面与球面相割的割线圆心点）向各个方向的方位角 与实地相等，等变形线是以投影中心为圆心的同心圆， 切点或相割的割线无变形。适合制作形状大致为圆形 区域的地图。
第三章 方位投影
3.1 方位投影的种类和基本原理 3.2 等面积方位投影
3.3 等距离方位投影
3.4 透视方位投影的种类和一般公式
3.5 正射投影
3.6 球面投影（等角方位投影）
3.7 球心投影（日晷投影）
3.8 方位投影的分析和应用
§ 3.1方位投影的种类和基本原理