《概率的乘法公式》
概率乘法定理
概率乘法定理概率乘法定理概率乘法定理是概率论中的一个基本定理，它描述了多个事件同时发生的概率。
具体而言，当两个或多个事件同时发生时，它们的联合概率等于它们各自发生的概率的乘积。
该定理可以用于计算复杂事件的概率，是许多统计学和科学领域中常用的工具。
一、概念介绍1.1 事件在概率论中，事件是指一个可能发生或不发生的结果。
例如，在掷骰子时，掷出点数为3就是一个事件。
1.2 随机变量随机变量是指一个随机实验所产生的结果。
例如，在掷骰子时，点数就是一个随机变量。
1.3 概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
它通常用0到1之间的数值来表示。
例如，在掷骰子时，点数为3的概率为1/6。
二、概率乘法定理2.1 两个事件同时发生时的联合概率假设有两个事件A和B，它们分别有各自独立发生的概率P(A)和P(B)。
当这两个事件同时发生时，它们的联合概率P(A∩B)等于它们各自发生的概率的乘积，即：P(A∩B) = P(A) * P(B)这个公式称为概率乘法定理。
它适用于任意两个事件的情况。
2.2 三个或更多事件同时发生时的联合概率如果有三个或更多的事件同时发生，它们的联合概率可以通过多次使用概率乘法定理来计算。
例如，假设有三个事件A、B和C，它们分别有各自独立发生的概率P(A)，P(B)和P(C)。
当这三个事件同时发生时，它们的联合概率P(A∩B∩C)可以按照以下方式计算：P(A∩B∩C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A∩B)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率；P(C|A∩B)表示在事件A和B都已经发生的条件下，事件C发生的概率。
2.3 应用举例2.3.1 抛硬币问题假设有一枚硬币，在抛掷时可能出现正面或反面。
如果连续抛掷两次硬币，并要求两次都出现正面，则根据概率乘法定理，它们的联合概率为：P(两次都出现正面) = P(第一次出现正面) * P(第二次出现正面|第一次出现正面)假设硬币是公平的，则P(第一次出现正面) = 1/2，P(第二次出现正面|第一次出现正面) = 1/2。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
条件概率的乘法公式
条件概率的乘法公式在概率论和统计学中，条件概率的乘法公式是一项重要的工具，用于计算两个事件同时发生的概率。
它基于条件概率的概念，指出当一个事件依赖于另一个事件时，两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第二个事件在第一个事件发生的条件下发生的概率。
条件概率是指在给定另一个事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，表示事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的乘法公式可以用以下公式表示：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的乘法公式在实际应用中有着广泛的应用，在许多领域中都可以看到它的身影。
下面将通过几个例子来展示条件概率的乘法公式的应用。
例子1：假设有一批产品，其中20%是次品。
现在从中随机抽取两个产品，求两个产品都是次品的概率。
解答：我们可以将事件A定义为第一个产品是次品，事件B定义为第二个产品是次品。
根据题意，P(A) = 0.2，即第一个产品是次品的概率为0.2。
而在第一个产品是次品的条件下，第二个产品也是次品的概率为P(B|A) = 0.2。
则根据条件概率的乘法公式，两个产品都是次品的概率为P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = 0.2 * 0.2 = 0.04。
例子2：某市场调查显示，在购买某品牌手机的用户中，80%的人对其性能非常满意。
另外，根据另一项调查，不满意该品牌手机性能的人中有30%的人会考虑更换其他品牌手机。
现在从该品牌手机用户中随机选取一个人，求他对该品牌手机性能不满意且考虑更换其他品牌手机的概率。
解答：我们可以将事件A定义为对该品牌手机性能不满意，事件B 定义为考虑更换其他品牌手机。
根据题意，P(A) = 1 - 0.8 = 0.2，即对该品牌手机性能不满意的概率为0.2。
概率的乘法公式中,事件a、b是互斥事件。(2分
概率的乘法公式中,事件a、b是互斥事件。
(2分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：概率论是数学中重要的一个分支，主要讨论在给定一定条件下某个事件发生的可能性。
概率的乘法公式是计算联合概率的一种方法，其中事件a、b是互斥事件。
互斥事件指的是两个事件之间不存在交集，即一个事件发生时另一个事件不可能发生。
在这篇文章中，我们将探讨概率的乘法公式的基本原理以及互斥事件的特点。
概率的乘法公式主要用于计算两个或多个事件同时发生的概率。
在计算概率时，我们通常会使用事件的发生次数除以总的可能性次数来得到概率值。
而在计算联合概率时，需要考虑多个事件同时发生的情况。
对于两个事件a、b来说，它们的联合概率可以通过乘法公式来表示：P(a∩b) = P(a) * P(b)其中P(a∩b)表示事件a和事件b同时发生的概率，P(a)和P(b)分别表示事件a和事件b单独发生的概率。
概率的乘法公式告诉我们，两个事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率相乘。
在概率论中，互斥事件是一个重要的概念。
互斥事件是指两个事件之间不存在交集，即一个事件发生时另一个事件不可能发生。
举个简单的例子，假设有一个骰子，事件A表示掷出的点数是奇数，事件B表示掷出的点数是偶数。
由于点数不能既是奇数又是偶数，所以事件A 和事件B是互斥事件。
在计算互斥事件的联合概率时，可以直接使用概率的乘法公式来计算。
因为互斥事件的概率不会同时发生，所以它们的交集概率为零，即P(a∩b) = 0。
概率的乘法公式在计算互斥事件的概率时可以简化为：这个公式告诉我们，互斥事件的联合概率等于零，即互斥事件不可能同时发生。
这也符合互斥事件的定义，即两个事件之间不存在交集。
第二篇示例：在概率论中，乘法公式是一种用来计算两个事件同时发生的概率的方法。
当事件a和事件b是互斥事件时，它们之间不存在交集，即两个事件不可能同时发生。
在这种情况下，乘法公式可以简化为P(a和b) = 0，即事件a和事件b同时发生的概率为零。
相互独立事件的概率计算公式
相互独立事件的概率计算公式相互独立事件的概率计算公式•独立事件的概率乘法公式•独立事件的概率加法公式独立事件的概率乘法公式独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况下发生的事件。
在这种情况下，我们可以使用乘法公式来计算相互独立事件的概率。
乘法公式表示为：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A)和P(B)分别代表事件A和事件B发生的概率。
举例说明：假设有一个标准的骰子，每个面上的数字从1到6。
现在我们要计算同时掷出两次骰子，第一次结果为偶数（事件A），第二次结果为奇数（事件B）的概率。
根据乘法公式，我们可以得出：P(A) = 3/6 = 1/2 # 第一次骰子掷出偶数的概率为3/6P(B) = 3/6 = 1/2 # 第二次骰子掷出奇数的概率为3/6P(A and B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4因此，同时掷出两次骰子，第一次结果为偶数，第二次结果为奇数的概率为1/4。
独立事件的概率加法公式独立事件的概率加法公式用于计算多个独立事件中至少发生一个事件的概率。
加法公式表示为：P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)其中，P(A)和P(B)分别代表事件A和事件B发生的概率，P(A and B)代表事件A和事件B同时发生的概率。
举例说明：假设一副扑克牌中，红桃牌的概率为1/4，黑桃牌的概率为1/4，梅花牌的概率为1/4，方块牌的概率为1/4。
现在我们要计算从一副牌中随机抽取一张牌，这张牌是红桃牌或黑桃牌的概率。
根据加法公式，我们可以得出：P(A) = 1/4 # 红桃牌的概率为1/4P(B) = 1/4 # 黑桃牌的概率为1/4P(A and B) = 0 # 红桃牌和黑桃牌在同一张牌上不可能同时出现P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B) = 1/4 + 1/4 - 0 = 1 /2因此，从一副牌中随机抽取一张牌，这张牌是红桃牌或黑桃牌的概率为1/2。
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
概率论乘法公式
设B={零件是乙厂生产}
300个
A={是标准件} 乙厂生产 所求为P(AB).
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
4
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
乙厂生产
所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
189个是
标准件
甲、乙共生产
优名酒各一瓶,第 三个拿到两瓶国 优名酒
从而： P (A) B 0 .4C 6 0 .57 3 0 .06 6 0 .0 71
20
例 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时 1
打二破 次的 落概 下率破为的概2 率，为若第107 一, 若次前落两下次时落未下打未破打,第 破, 第三次打破的概率为 9
b b c r r c brbrcbr 2 cbr 3 c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
14
一场精彩的足球赛将要举行，
5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
16
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
17
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
相互独立事件与概率的乘法公式
相互独立事件与概率的乘法公式说课人：董新森工作单位：东平县职业中专时间：2007年5月22日“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿一、教材分析1、教材所处的地位和作用本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。
2、教学目标（1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。
（2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。
（3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。
3、教学重点与难点教学重点：概率的乘法公式的应用教学难点：区分互斥事件和相互独立事件二、教学和学法本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。
三、教学过程设计1、从数学问题引入探究主题若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？（引出相互独立事件的概念）（2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。
（3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。
（4）试举出几个相互独立事件的例子。
2、发现规律从以上事例中引导学生观察、分析、归纳P（A∩B）=P（A）×P（B）一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件都发生的概率，等于每个发生的概率的积，即P（A1∩A2…∩A n）=P（A1）×P（A2）…×P（A n）3、指导应用，深化认识例1：甲、乙两射手在同样条件下击中目标的概率分别为0.6和0.7，则（1）求甲、乙都击中目标的概率。
（2）求甲、乙都不击中目标的概率。
（3）求甲击中、乙不都击中目标的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2）
P（A）=3/5 P（B）=2/4
C= A∩B
P（C）=6/20
P（C）= P（A）× P（B）= 6/20 实用文档
（2）相互独立事件同时发生的概率公式：
“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件， 它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A ∩ B
两个相互独立事件A,B同时发生的概率为： P（A ∩ B）= P(A) · P(B)
如果A,B是两个相互独立事件,那么1－P(A)•P(B)表示什么
1－P(A)•P(B)表示：事件A和B到少有一个不发生。
A•B
A•B
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑）
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
A•B
实用文档
A• B
巩固练习（1）
1、一个口袋装有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸出1个球，
得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球中任意摸出1个球，
得到白球”记作事件B，那么， 1）在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？
1/3
2）在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？2/3
实用文档
1、相互独立事件及其同时发生的概率
（1）相互独立事件的定义：
事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影 响，这样两个事件叫做相互独立事件。
注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥
是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发
（白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2）
（白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2）
（白3，白1） （白3，白2） （白3，黑1） （白3，黑2）
（黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2）
（黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑
3）这里事件A与事件B是相互独立的吗？
实用文档
典例分析
例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中 目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。
分析： 记：“甲射击1次，击中目标”为事件A， “乙射击1次，击中目标”为事件B，且A与B相互独立，
P(A)+P(Ā)=1
实用文档
❖ 问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，
2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率 是多少？
甲
乙
分析:设A=“从甲坛子里摸得白球”
B=“从乙坛子里摸得白球”
问：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率是 否 有影响？
结论：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没 有影响
实用文档
巩固练习(2)
生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合 格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件， 都抽到合格品的概率是多少？
582 625
实用文档
例2：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开 关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 （3）相互独立事件同时发生的概率公式的推广： 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 实用文档
11.4 相互独立事件 与概率的乘法
公式
实用文档
复习回顾： ①什么叫做互斥事件？ 什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； A与B互斥事件且A∪B=Ω，叫对立事件。
②两个互斥事件A、B至少有一个发生的概率公式是什么？
P(AUB)=P(A)+(B)
③若A与Ā为对立事件，则P（Ā）与P（A）关系如何？
生的概率没有影响。
②如果事件A与B相互独立，那么 Ā与B，A与B，A与B是 不是相互独立的
相互独立
实用文档
❖ 问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，
2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球， ❖ 它们都是白球的概率是多少？
分析:设A=“从甲坛子里摸得白球”，B=“从乙坛子里摸得 白球”，C=“从这两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”
1P(A•B•C) 10.027 0.973
实用文档
巩固练习（3）
在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙 地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是 否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1（3）0.其3中)=至0少.5有61个地方下雨的概率.
P=1-0.56=0.4实用4文档
小结：
1、相互独立事件的定义，注意利用问题的实际意 义进行判断。
2、相互独立事件同时发生的概率： P（A ∩ B）= P(A) · P(B) 3、注意解题步骤！ 作业：
P200第2、3题
实用文档