全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月文数试题
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年下学期3月高三联考文数答案
15．【答案】
11π 36
，+
【命题意图】本题考查三角变换及三角函数的性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
【解析】
f
x
sin x
π 6
sin
x
2π 3
=
sin
x
π 6
cos
x
π 6
1 2
sin
2
x
π 3
,
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对任意 x R , f f x f ,则 f 1 , f = 1 ,
3．【答案】B 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数公式及特殊角的三角函数值；考查数学运算核心素养.
【解析】 3 cos 285 sin 285 2 cos 30 cos 285 2sin 30 sin 285 = 2cos 315 = 2 cos 360 45 =
2cos 45 = 2 ,故选 B.
【解析】由 x 1时 f x x 3 且 7 1 3 ,
2
2
可得 x 7,1 时 f x x 3 的图象关于直线 x 3 对称,
2
x 7, 3时 f x 2 , x 1 时 f x 2 ln x 2 ,且 x 1 时 f x 单调递增,
所以 x1 x2 6 , 7 x1 3, 3 x2 1 , x3 > 1 ,
则该点落在△ADE
内的概率为
a2 b2
a b2
a2 b2 2 a2 b2
1 2
，故选
B.
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7．【答案】D
【命题意图】本题考查圆与双曲线的几何性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养.
【解析】因为双曲线
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020-2021【名校提分专用】高三数学9月月考试卷 理
四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学9月月考试卷 理第I 卷（选择题）一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案） 1．已知集合2{|02},{|10}A x x B x x =<<=-<，则A B ⋃= A. ()1,1- B. ()1,2- C. ()1,2 D. ()0,12．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则复平面内表示z 的共轭复数的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．“3a =”是“直线40x y -+=与圆()()2238x a y -+-=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的最小值为 A ．5 B ．4 C.92D ．35．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种6．等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=⋅+，则a b= A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 7．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是A. 1008?i >B. 1009?i ≤C. 1010?i ≤D. 1011?i <8．已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 11AB AD BD AA ==，则异面直线1A B 与11B D 所成角的大小为A. 6πB. 4πC. 3πD.2π9．函数()()cos (0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度10．如图为某个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. π32B. π36C. π48D. 16π11．已知点21,F F 分别是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上，下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心， 1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）2 12．已知方程()()210f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，当函数()2x f x x e =时，实数k的取值范围是A. ()(),22,-∞-⋃+∞B. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ C.28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分） 13．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．14．已知点()2,1A -，点(),P x y 满足线性约束条件201024x y x y +⎧≥-≤-≥⎪⎨⎪⎩，O 为坐标原点，那么OA OP ⋅的最小值为 ．15.设O 为坐标原点，抛物线C ：x y 42=的准线为l ，焦点为F ，过F 且斜率为3的直线与抛物线C 交于B A ,两点，且||||BF AF >，若直线AO 与l 相交与D ，则=||||BD OF . 16.已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()(),x h x ，()(),x g x 关于点()(),x f x 对称，若()sin h x a x =-是()g x 关于()cos()cos()44f x x x ππ=+-的“对称函数”，且()g x 在(,)62ππ上是减函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共70分）17. （12分）已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 18.（12分）已知函数()()2sin 22cos 16f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12f A =， ,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值.19．（12分）随着我国经济的不断深入发展，百姓的生活也不断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成了很大的压力，为此交警部门通过对交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[]0,9，分别有5个级别：[0,2)T ∈畅通；[2,4)T ∈基本畅通；[4,6)T ∈轻度拥堵；[6,8)T ∈中度拥堵；[]8,9T ∈严重拥堵．早高峰时段（3T ≥），从北京市交通指挥中心随机选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部份频率分布直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数[4,8)T ∈时的中位数和平均数；（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1,AP AD ==A 到平面PBC 求二面角D AE C --的大小.21. （12分）已知函数()2ln f x ax bx x x =++在()()1,1f 处的切线方程为320x y --=.（1）求实数,a b 的值； （2）设()2g x x x =-，若k Z ∈，且()()()2k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （10分）22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线():sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．高三理科数学9月月考试题参考答案4．【答案】C 【解析】由题意得，因为,a b 为正实数，所以121252()()2222b a a b a b a b a b+=++=++5592222≥+=+=，当且仅当22b a a b =，即12,33a b ==时，等号成立，即122a b+的最小值为92，故选C. 5．【答案】B 【解析】分两类：（1）2男1女，有2145C ?C 30=种；（2）1男2女，有1245C ?C 40=种，所以共有2145C ?C +1245C ?C 70=种，故选B ．6．【答案】A 【解析】13n n S a b -=⋅+， 11,2a S a b n ∴==+≥时, 212?3n n n n a S S a --=-=,因为数列是等比数列, 123a b a ∴+=⨯,即13b a =-,故选A.7．【答案】B 【解析】第一次循环: 01,2S i =+=；第二次循环: 11,33S i =+=；第三次循环:111,435S i =++=；依此类推，第1009次循环:11111,10103520152017S i =+++++=,满足题意，退出循环.故其中判断框内应填入的条件是: 1009i ≤ (或1010i <).选B.8．【答案】B 【解析】如图所示：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB AD == 11AA =.所以11DC B C ==且易 知11//D C A B ,所以11B D C ∠（或其补角）即为所求.在11B D C ∆中， 11DC B C == BD =111124D CB B D C ππ∠∠==，.9．【答案】B 【解析】2A = ,22T π= ， T π= , 2ω= , 203πϕ⨯+= ,解得： 23πϕ=-，所以()22cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， ()2sin22cos 22g x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ， 22222236123x x x πππππ⎛⎫-=-+=+- ⎪⎝⎭ ，根据平移原则，可知函数向左平移12π个单位，故选B. 10．【答案】B 【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，其外接球半径3=R ，故外接球表面积为π3611．【答案】D 【解析】根据题意()120,,(0,)F c F c -，一条渐近线方程为ay x b=，则2F 到渐b =，设2F 关于渐近线对称的点为M ， 2F M 与渐近线的交点为A ，所以2F M=2b ，A 为2F M 的中点，又O 是12F F 的中点，所以1//OA F M ,所以∠12F MF =90°，12F MF 为直角三角形，由勾股定理得22244c c b =+，所以离心率为212．【答案】B 【解析】2'22xxxf x xe x e x x e =+=+（）（）， 令'0f x =（），解得0x =或2x =-， ∴当2x -＜或0x ＞时， '0f x （）＞，当20x -＜＜时， '0f x （）＜，f x ∴（）在2-∞-（，）上单调递增，在20-（，）上单调递减，在0+∞（，）上单调递增，∴当2x =-时，函数f x （）取得极大值242f e -=（）， 当0x =时， f x （）取得极小值00f =（）． 作出f x （）的大致函数图象如图所示：令f x t =（），则当0t =或24t e＞时，关于x 的方程f x t =（）只有1解；当24t e=时，关于x 的方程f x t =（）有2解；当240t e<<时，关于x 的方程f x t =（）有3解．210f x kf x -+=（）（） 恰有四个不同的解，∴关于t 的方程210t kt -+= 在240,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上有1解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⋃⎪⎝⎭有1解，显然0t =不是方程210t kt -+=的解，∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e⎛⎫⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有1解，4216410k e e ∴-+＜，解得2244e k e +＞． 故选B ．二、填空题（共20分，5分/小题）13．【答案】6【解析】设等差数列{}n a ,首项1a ,公差为3,则515453602S a ⨯=+⨯=,解得16a =,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填6.14．【答案】-1【解析】点P x y （，） 满足线性约束条件20,{10, 24,x y x y +≥-≤-≥∵212OA OP x y x y ⋅=-⋅=-（，）（，）， 令目标函数2z x y =-， 画出可行域，联立方程解得最优解A （-2，-3），2z x y =-，在点A 处取得最小值-1： 15.【答案】43【解析】：过F 且斜率为3的直线方程为1)y x =-，与抛物线C ：xy 42=联立解得1(33),)3A B ，则直线AO 方程为y =与:1l x =-的交点(1,D -，因此||134||43OF BD ==16.【答案】(,2]-∞【解析】：根据对称函数的定义可知()sin cos()cos()244g x a x x x ππ-=+-，即()c o s g x x a x =+，故'()2sin 2cos 4sin cos cos g x x a x x x a x=-+=-+，,,cos 062x x ππ⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭Q '()0g x ≤Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，即4sin 0x a -+≤在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，min (4sin )a x ∴≤又4sin y x =Q 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭的最小值接近2，故2a ≤ 三、解答题（共70分）17.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 18.解：（1）()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭11cos2cos2cos2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭， 3分 由()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得， ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 6分 （2）()1sin 262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 0A π<<， 22666A ππππ<+≤+， 于是5266A ππ+=，故3A π=. 8分由b a c 、、成等差数列得： 2a b c =+，由9AB AC ⋅=得： 1cos 9,9,182bc A bc bc ===， 10分 由余弦定理得： ()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，于是， 222454,18,a a a a =-==. 12分19．解：（1）由直方图知，[]48T ∈，时交通指数的中位数为5+1×(0.2/0.24)=35/6………………2分[]48T ∈，时交通指数的平均数为4.50.25⨯+⨯+⨯+⨯=．………………4分 （2）设事件A 为“一条路段严重拥堵”，则()0.1P A =，则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：2233331117()(1)()101010250P C C =⨯⨯-+⨯=， 所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为7250． ………………7分（3）由题意，所用时间x 的分布列如下表：………………10分则300.1350.44450.36600.140.6Ex =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟．…12分 20．（1）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC (4)分（2）因为,PA ABCD ABCD ⊥平面为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直设AB t =，则PB A PBC P ABC V V --=有1133PBC ABC S S PA ∆∆⋅=⋅即：111113232⋅=⋅⋅，解得：32t = 如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则131(,30),0,,),(0,,)222D E A =u u u ，3(,0,0)2B ，则33((22C AC =uuu r 设1(,,)n x y z =u u r 为平面ACE 的法向量，则1100n A C n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r即30,21022x y z ⎧+=⎪⎪+=⎪⎩可取1(,3n =-u r ……8分又2(1,0,0)n =u u r为平面DAE 的法向量由12121213cos ,42n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，故二面角D AE C --的大小为3π………………12分 21. 解：（1）()21ln f x ax b x =+++'，所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ， 0b = ………………3分 （2）由（1）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2x >恒成立， ………………4分 设()ln (2)2x x x h x x x +=>-，则()()242ln 2x xh x x '--=-，令()42ln (2)m x x x x =-->，则()2210x m x x x='-=->，所以函数()m x 为()2,+∞上的增函数.………………6分 因为()2842ln842ln 440m e =-<-=-=，()31062ln1062ln 660m e =->-=-= 所以函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --= ………………8分 故当02x x <<时， ()0m x <，即()0h x '<； 当0x x <时， ()0m x >，即()0h x '>所以函数()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增………………10分所以()()0000000min 0041ln 2212x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--所以02x k <，因为()08,10x ∈，所以()04,52x ∈，又因k Z ∈所以k 最大值为4………………12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即s i n c o s 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．………………5分（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得1x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．……………10分 23.选修4-5：不等式选讲最新人教版试题部编本试题，欢迎下载！ 解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．………………5分 （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4， 所以24m ->，解得6m >或2m <-．………………10分。
全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 数学(文) 含答案
附： K 2 =
n(ad − bc)2
，n＝a＋b＋c＋d。
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
18.(12 分) 已知△ABC 中 3ACtanC＋AB(tan∠BAC＋tanC)＝0。 (1)求 cos∠BAC； (2)若 AC＝3，AB＝1，点 D 在 BC 边上，且∠BAD＝∠CAD，求 AD 的长。 19.(12 分)
4
A.
B.
C.2 D.4
3
3
4.已知数列{an}是等比数列，若
a32a9 a52
= 4 ，则 a5＝
A.2 B.4 c.2 2
1
D.
4
x ≥ −1
y ≥ −1
6.已知实数
x，y
满足约束条件
x
−
2
y
+
2
≥
0
，则
3x－y
的最大值是
2x − y − 2 ≤ 0
A.4
B.3
C.－2
D. − 7
2
6.某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备
(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点值代
表)； (2)现从 10 月 1 日在该商场购买商品的顾客中随机抽取 100 名顾客，经统计有男顾客 40 人， 其中 10 人购物时刻在[19，23](夜晚)，女顾客 60 人，其中 50 人购物时刻在[7，19)(白天)，根 据提供的统计数据，完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“男顾客更喜欢 在夜晚购物”?
A.5 5
B.2 13 ＋ 2
2020届河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”(文)数学试题及答案解析
2020届河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”（文）数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．设集合A ={x |x 2≥2x }，，则AB =（ ）A ．{2,3}B ．{0,1,2}C ．{-1,0,2,3}D ．{3}2．已知复数z 满足3z=i(2z+1)-，则z =（ ）AB ．2C D ．33．已知命题:p x y ∃<，使得x |x |≥y |y |，则p ⌝为（ ） A ．x y ∃≥，使得x |x |≥y |y | B ．，总有x x y y <C ．x y ∃<，使得x x y y <D ．x y ∀<，总有x x y y <4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134 B ．135C ．136D ．1375．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m -=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2 D ．37．已知0.61.2 1.22,log2.4,log3.6x y z ===，则（ ） A ．x y z << B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<8．若2tan1tan 1212m ππ=-，则m =（ ）A B C ．2D ．9．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．2πC ．12π- D ．22π- 10．将函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．2311．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos cos sin B A B C -=，c =，则角A =（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 12．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，4BC =，2CD =，3AD =，3AD AE =，以BE 为折痕将△ABE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面PBE ⊥平面EBCD ，则四棱锥P EBCD -外接球的表面积为（ ） A ．83π B ．163πC ．12πD ．16π第II 卷（非选择题）二、填空题13．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若()//b a c λ-，则实数λ=______.14．设变量,x y 满足约束条件03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为__________．15．已知O 为坐标原点，F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 且倾斜角为120︒ 的直线与椭圆C 交于第一象限一点P ，若△POF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为___________. 16．已知函数2,[0,1]()e ,(1,3]x x x f x x -∈⎧=⎨∈⎩，若存在实数12,x x 满足1203x x 剟?，且()()12f x f x =，则212x x -的最大值为__________.三、解答题17．为考查某种药物预防疾病的效果，随机抽查了50只服用药的动物和50只未服用药的动得知服用药的动物中患病的比例是15，未服用药的动物中患病的比例为25.（I ）根据以上数据完成下列2×2列联表：（II ）能否有99%的把握认为药物有效？并说明理由. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．已知数列{}2log n a 是等差数列，且254,32a a ==. （I ）证明：数列{}n a 是等比数列，并求出其通项公式：（II ）求数列()()1111n n n a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形,SA ⊥平面ABCD ，22,60,2BC AB ABC SE ED ︒==∠==，F 为SC 的中点.（I ）求证，//BF 平面ACE ；（II ）若2SA =，求三棱锥S AEC -的体积.20．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（I ）求证：MAB ∆是直角三角形；（II ）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.21．已知函数()()ln 1x a x f x x--=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()11x xf x e --≤，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线12cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:4cos 2sin 0C ρθθ+-=. （I ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）若曲线1C 与2C 交于,A B 两点（A 在B 的上方），点()1,0P -，求22PA PB -的值.23．已知函数()1f x x x x a =+--. （I ）当1a =时，求不等式()5f x <的解集；（II ）若()1,x ∈+∞时，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围.2020届河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”（文）数学试题参考答案1．C 【分析】将集合A 化简，再与集合B 进行交集运算. 【详解】{}{2|2=|0A x x x x x =≤…或}2x ≥ {}1,0,2,3A B ∴-=故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．A 【分析】将z 从3z=i(2z+1)-中分离出来，利用复数的四则运算，得到z ，结合模长公式即可求出z . 【详解】()()()()32135512121215i i i iz i i i i -+---====+--+-z ∴=故答案选A 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题. 3．D 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x |x |≥y |y |所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D 【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题. 4．B 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题. 5．D 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
湖南省百校联考2020-2021学年高三上学期9月月考数学试题(wd无答案)
湖南省百校联考2020-2021学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题(★) 1. 若，则（）A．B．C．a D．(★★★) 2. 设集合，，则=（）A．（0，1）B．C．（－3，1）D．(★★) 3. 下列四个数中，最大的是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 若，则“ ”是“ ”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 5. 函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 设集合，，若，则 a的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 7. 某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）A．1万B．9千C．8千D．7千(★) 8. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：，）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 若，则的值可能为（）A．B．C．D．(★★) 10. 设命题，在上是增函数，则（）A．p为真命题B．为，在上是减函数C．p为假命题D．为，在上不是增函数(★★★) 11. 已知函数，则（）A．的极值点不止一个B．的最小值为C．的图象关于轴对称D．在上单调递减(★★★★) 12. 已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A．B．C．D．三、填空题(★★) 13. 已知函数且，则曲线在点处的切线方程为________.(★★★) 14. 已知曲线关于直线对称，则的最小值为________.(★★★) 15. 不等式的解集为__________.(★★★★) 16. 关于函数有如下四个命题：① 的最小值为；② 在上单调递增；③ 的最小正周期为；④方程在内的各根之和为.其中所有真命题的序号是________.四、解答题(★★) 17. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 存在最大值，则求出最大值；若问题中的 不存在最大值，请说明理由.问题：设 是数列的前 项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★) 18. 2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为 ，求随机变量的分布列与数学期望. 附：参考公式其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635(★★★) 19. 在中， ， .（1）求 ； （2）若的周长为 求 的面积. (★★★) 20. 如图，已知，平面，平面 ，过点 且垂直于的平面 与平面的交线为 ，，，.（1）证明：平面；（2）设点是上任意一点，求平面与平面所成锐二面角的最小值.(★★★) 21. 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点.（1）求到的焦点的距离；（2）若的对称轴为轴，过（9，0）的直线与交于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.(★★★) 22. 已知函（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.。
全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月理数试题(wd无答案)
全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月理数试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知是锐角，若，则（）A．B．C．D．(★) 3. 设，，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知函数，则（）A．2B．0C．D．(★★) 5. 函数的一个对称中心为，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知函数的图象在处的切线与直线相互垂直，则实数的值为（）A．2B．4C．6D．8(★★) 7. 已知函数关于直线对称，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(★★) 8. 下列说法错误的是（）A．“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件B．命题“在中，若，则为等腰三角形”是真命题C．设命题：，函数恒有意义，若为真命题，则的取值范围为D．命题“，”是真命题(★★★) 9. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．(★★) 10. 函数的部分图象如图所示．则（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知对任意实数，函数满足，当时，函数，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，若函数有且仅有8个不同的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知集合，则的子集个数为______．(★★★) 14. 已知集合，，若“ x∈ A”是“ x∈ B”的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是________．(★★)15. 已知，，，，则的值为______．(★★) 16. 若函数在区间有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．三、解答题(★★★) 17. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式恒成立，如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．(★★★) 18. 已知函数是上的偶函数．（1）求的值并判断在上的单调性；（2）若，使得不等式，求实数的取值范围．(★★★) 19. 若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”．（1）已知，求函数的“相伴特征点”；（2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象．(★★★) 20. 函数的两个相邻的最低点与最高点分别是，（1）问当向左最少平移多少个单位时，得到的函数关于坐标原点对称？（2）求证：对于任意的，都有．(★★★★) 21. 已知函数．（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求实数的取值范围，(★★★) 22. 已知函数，且函数在点处的切线为轴．（1）当时，证明：；（2）已知，，求证：．。
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全国百强名校领军考试2020-2021学年高三9月文
数试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，，则
（）
A．B．C．D．
2. 已知是锐角，若，则（）
A．B．C．D．
3. 已知命题：，，命题：，，则
（）
A．命题是假命题B．命题是真命题
C．命题是假命题D．命题是真命题
4. 已知函数，则
（）
A．2 B．0 C．D．
5. 函数对任意实数，都有，则的最小值为（）
A．
B．C．D．
6. 已知函数，那么下列说法正确的是（）
A．函数在上是增函数，且最小正周期为
B．函数在上是减函数，且最小正周期为
C．函数在上是增函数，且最小正周期为
D．函数在上是减函数，且最小正周期为
7. 函数的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
8. 下列说法错误的是（）
A．“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件B．命题“在中，若，则为等腰三角形”是真命题
C．设命题：，函数恒有意义，若为真命题，则的取值范围为
D．命题“，”是真命题
9. 已知函数，将函数的图象向左平移
个单位后得到函数的图象，则方程的根的个数为
（）
A．8 B．9 C．10 D．12
10. 已知定义在上的奇函数满足，且时，
，则在下列区间中，单调递增的是（）
A．B．C．
D．
11. 已知函数，若，则下列各结论中正确的是（）
A．B．
C．D．
12. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，
，若函数有且仅有8个不同的零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知集合，则的子集个数为______．
14. 已知集合，，若“x∈A”是
“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
15. 已知，，，，则的值为______．
16. 若函数在区间有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题
17. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式
恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
18. 已知函数.
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，若，使得不等式，求实数的取值范围.
19. 若当时，函数取得最大值.
（1）求的值；
（2）若是的一个零点，当时，求的值.
20. 函数的两个相邻的最低点与最高点分别是，
（1）问当向左最少平移多少个单位时，得到的函数关于坐标原点对称？（2）求证：对于任意的，都有．
21. 设函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若时，总有恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若在曲线上的一点的切线方程为轴，求此时的值；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.。