约分与通分
分式的约分和通分
分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
约分和通分的概念
约分和通分的概念①互质数： 最大公因数是11.最大公因数的几种情况 ②存在倍数关系：最大公因数是较小数 ③一般情况： 短除法2.把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫约分。
约分的理论依据是分数的基本性质（除法）； 约分的最后结果是最简分数。
3.分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫最简分数。
也就是分子和分母是互质数的分数是最简分数。
4.约分的方法：①逐次约分（用分子和分母的公因数去约，可能约两次也可能约三次）②一次约分（用分子和分母的最大公因数去一次性约分）5.几个数公有的倍数，叫它们的公倍数，其中最小的倍数叫它们的最小公倍数。
公倍数的个数是无限的因此没有最大公倍数。
公倍数和最小公倍数的关系：公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
6. 求最小公倍数的方法：①列举法 ②筛选法 ③集合圈 ④分解质因数 ⑤短除法①互质数： 最小公倍数是它们的乘积7.最小公倍数的几种情况 ②存在倍数关系： 最小公倍数是较大数③一般情况： 短除法8.比较大小：①分母相同（即分数单位相同），分子大则分数就大。
②分子相同（即取的份数相同，不同分数单位的个数相同）分母小则分数反而大。
9.把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫通分。
通分的理论依据是分数的基本性质（乘法） 通分的关键：找出几个分母的公分母（最小公倍数）；求最小公分母的方法和求最小公倍数的方法相同。
10.小数化成分数的方法：①一位小数写成10几 ②两位小数写成100几③三位小数写成1000几…… 再约分化简，结果必须是最简分数。
11. 分数化小数的方法 ①一般情况：分子÷分母（除不尽的保留两位小数）②特殊情况：分母是2、5、20、25、50等（同时乘一个数）化为分母是10、100、1000再化为相应的小数。
12.怎么样的最简分数能化为有限小数？ 能：分母中除了含有2和5以外，不含有其他质因数不能 ：分母中含有2和5以外的质因数，不能化为有限小数。
五年级数学上册算式的约分与通分
五年级数学上册算式的约分与通分算式的约分与通分在五年级数学上册中是一个重要的知识点。
本文将详细介绍算式的约分与通分的概念、方法和应用。
通过学习本文，读者将对约分与通分有更深入的理解，并能够运用这些知识解决实际问题。
一、约分的概念和方法1. 约分的概念约分是指将一个分数的分子与分母同时除以同一个数，使得分数的值保持不变，但分子与分母的数值变得较小。
在算式中，约分可以简化分数的操作，使得计算更加简便。
2. 约分的方法约分的方法是找到分子与分母的最大公因数，然后将分子与分母都除以最大公因数。
最大公因数是指能够同时整除分子与分母的最大整数。
例如，对于分数6/12，最大公因数为6，因此可将分子与分母都除以6，得到1/2，即为6/12的约分结果。
二、通分的概念和方法1. 通分的概念通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数，使得这些分数可以进行加减运算。
在算式中，通分可以将不同分母的分数转化为相同的分母，方便运算。
2. 通分的方法通分的方法是找到这些分数的最小公倍数，然后将分母都改为最小公倍数。
最小公倍数是指能够同时整除这些分母的最小整数。
例如，对于分数1/3和2/5，最小公倍数为15，因此可以将1/3的分母改为15，得到5/15；将2/5的分母改为15，得到6/15。
现在这两个分数的分母相同，可以进行加减运算。
三、约分与通分的应用1. 约分与通分的运算规则在算式中，需要进行约分与通分的运算，则先进行约分，然后进行通分。
这样可以减少运算的复杂度，简化计算过程。
2. 约分与通分的应用举例在实际问题中，约分与通分的知识可以应用于比例、分数的加减乘除等计算中。
例如，小明用了3/4小时做完一份作业，小红用了2/5小时做完相同的作业。
他们两个一起做完这份作业需要多长时间？解决这个问题时，首先需要将3/4和2/5通分，找到它们的最小公倍数。
最小公倍数为20，将3/4通分为15/20，将2/5通分为8/20。
然后将15/20和8/20相加，得到23/20。
分数的基本性质、约分与通分(适用于小学六年级数学)
分数的基本性质、约分与通分知识梳理1、 分数的分类及基本性质（1） 分数的分类：真分数与假分数真分数：分子比分母小的分数称为真分数；例如：45 等。
假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数；例如：54,等。
带分数：带分数是假分数的另外一种表现形式；它由整数和真分数相加得到。
例：1+45 =145 。
（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的大小不变。
2、约分（1）约分的概念：把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值（大小）不变，这样的过程叫约分。
约分的依据为分数的基本性质。
如：2430 =45（2）最简分数的概念：分子、分母的公因数只有1的分数称为最简分数。
（3）最大公因数的求法 ①列举法例如：求12和18的最大公因数；12的因数有：1、2、3、4、6、12；18的因数有：1、2、3、6、12、18；12和18的公因数有：1、2、3、6；所以12和18的最大公因数是：6.② 短除法例如：求12和18的最大公因数（如下图所示）：12和18的最大公因数为：2×3=6 ③分解质因数法如：12=2x2x3,18=2x3x3,公有的质因数是2,3，所以12和18的最大公因数是2x3=6（4）实际应用当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。
3、通分（1）通分的概念：把分母不相同的分数化成和原来分数大小相等且分母相同的分数，这个过程叫通分。
通分的依据是分数的基本性质。
（2）最小公倍数的求法：①列举法例如：求6和8的最小公倍数。
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。
②短除法例：用短除法求16和24的最小公倍数；用短除法求6、8、12的最小公倍数。
16和24的最小公倍数是：6、8和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48；2×3×2×2=24③分解质因数法例如：求6和15的最小公倍数。
约分和通分
【知识要点归纳】 1．约分的意义（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
如：32、41、65等。
2.约分的方法（1）用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
（2）应用约分的方法对一个分数约分。
如：把3018约分。
①约分的形式：②约分时尽量口算。
如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。
如：3.通分的意义通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时，要根据分数的基本性质运算。
4.通分的方法（1）先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
（2）通分时应注意的问题： ①注意通分的格式。
②通分时，要能很快地看出公分母，并用口算通分；通分时，遇到有带分数的，只把分数部分通分，整数部分不变，但不能丢掉整数部分。
例如：把41和65通分用4和6的最小公倍数作公分母。
41＝3431⨯⨯＝123 65＝2625⨯⨯＝12105.小数化分数的方法小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数，能约分的要约分。
6.分数化小数的方法分数化小数，要用分子除以分母；除不尽时，可以根据需要按“四舍五入”保留几位小数。
如：31＝1÷3≈0.33（保留两位小数）7.判断一个最简分数能否化成有限小数的方法一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【典型范例剖析】例1 已知b b a⨯＝452，a 、b 最小各是多少？分析：根据题意，可把45分解质因数，看组成“b ×b ”缺哪一个质因数，这是约分所致，应设法补上。
把45分解质因数是：45＝3×3×5，要把3×3×5变换成“b ×b ”的形式，必须补上质因数“5”。
分式的约分与通分
分式的约分与通分
分数在数学中非常常见。
在进行数学计算和分析时，通常需要
将分数进行约分或通分。
在本文中，我们将探讨分数约分和通分的
方法及其在数学中的应用。
分数的约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，
使分数变得简化。
例如，2/4可以约分为1/2，因为2和4的最大公
约数是2，除以2后得到1和2。
分数约分的方法是，先求出分子
和分母的最大公约数，然后同时除以最大公约数。
分数的通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数，使它
们具有相同的分母。
例如，1/3和2/5的通分可以得到5/15和6/15，因为它们的最小公倍数是15。
分数通分的方法是，先分别求出每个分数的因数分解式，然后将分母的因数相乘，再将分子和新的分母
相应乘上一个倍数，使新分子和旧分子相等。
分数的约分和通分在数学中具有广泛的应用。
例如，当我们想
要将两个分数进行比较时，通常需要将它们变成相同分母的分数，
然后再比较它们的分子大小。
又例如，在分数加减法中，通常需要先将分数通分，然后再做加减运算。
综上所述，分数的约分和通分虽然看上去简单，但却是数学中很重要的基础知识。
对于初学者来说，熟练掌握这些方法，可以为后续的学习打下坚实的基础。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
分数的通分约分
（一）约分最简分数：分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
（即分子和分母互质）1. 约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫做约分。
2. 约分的方法：约分一般用分子和分母的公约数（1除外）去除分数的分子和分母通常要除到得出最简分数为止。
3. 最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。
注：（1）约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。
（2）约分的依据是分数的基本性质，分子、分母同时除以相同的数（0除外）分数的大小不变。
例1. 选择。
（把正确答案的序号填在括号里）（1）分子和分母的公约数只有1的分数是（）<1>真分数<2>假分数<3>带分数<4>最简分数（2）能约成的分数有（）<1><2><3><4>（3）一个分数的分子不变，分母缩小2倍，这个分数（）<1>大小不变<2>扩大2倍<3>缩小2倍<4>减少2倍答案：（1）<4> （2）<3> （3）<2>例2. 把下面的各分数约分。
例3. 先约分，再比较每组中两个分数的大小。
和和和（二）通分1. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
2. 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数做公分母，然后把各分数分别化成用这个公分母作分母的分数。
注：（1）几个分数，若分母相同，则这个分母叫做这几个分数的公分母。
（2）通分的依据仍是分数的基本性质，分子分母同时乘上相同的数（0除外）分数的大小不变。
例1. 先写出各组分数的最小公分母，再化成同分母分数。
（1）和的最小公分母是（）（），（）（2）和的最小公分母是（）（），（）（3）和的最小公分母是（）（），（）答案：（1）（12），（），（）（2）（24），（），（）（3）（12），（），（）例2. 把下面每组中的两个分数通分。
分数的约分与通分
分数的约分与通分分数是数学中常见的表示比例关系的形式，其中约分和通分是分数运算中的重要概念。
约分是指将一个分数化简为最简形式，即分子和分母没有公因数；通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的分母，以便进行比较和运算。
本文将详细介绍分数的约分和通分的概念、方法和运算规则。
一、分数的约分1.1 约分的概念约分是指将一个分数化简为最简形式的过程。
最简分数是指分子和分母没有公因数的分数，也就是不能再进一步约分的分数。
1.2 约分的方法约分的方法是通过分子和分母的最大公因数来实现的。
最大公因数是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
将分子和分母同时除以它们的最大公因数，即可得到一个最简分数。
1.3 约分的运算规则（1）如果一个分数的分子和分母都可以整除同一个数，那么可以同时约去这个数。
例如，分数4/8可以约分为1/2，因为4和8都可以被2整除。
（2）如果一个分数的分子和分母是互质的（没有公因数），则这个分数是最简分数，无法再进行约分。
二、分数的通分2.1 通分的概念通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数的过程，以便进行比较和运算。
通分后的分数具有相同的分母，方便进行加、减、乘、除等运算。
2.2 通分的方法通分的方法主要有两种：公倍数法和辗转相除法。
（1）公倍数法：分别找出两个或多个分数的分母，然后求它们的公倍数作为最小公分母，再将分子按比例乘以相应的倍数，得到通分后的分数。
（2）辗转相除法：将两个或多个分数的分母进行因式分解，然后找出它们的公因数和不同的因数，将这些因数相乘作为最小公分母，再将分子按比例乘以相应的倍数，得到通分后的分数。
2.3 通分的运算规则（1）通分后，加法和减法的运算规则是：保持分子不变，分母取通分后的分母。
（2）通分后，乘法的运算规则是：分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
（3）通分后，除法的运算规则是：将除数的分子和被除数的分母相乘得到新的分子，将被除数的分子和除数的分母相乘得到新的分母。
约分、通分
约分【知识归纳】1.公因数和最大公因数的意义:几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.求两个数的最大公因数的方法:(1)列举法;(2)先找出两个数中较小数的因数,再从中圈出另一个数的因数,找出最大公因数;(3)分解质因数法;(4)短除法3.求两个数的最大公因数的特殊方法:(1)当两个数成倍数关系时,较小数是这两个数的最大公因数;(2)当两个数是互质数时,这两个数的最大公因数是1。
4.约分的意义:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分5.最简分数的意义:分子和分母只有公因数1的分数6.约分的方法:(1)逐步约分法;(2)一次约分法。
【重难点点拨】1.把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分;像4这样,不能再约分了,叫作最简分数。
2.倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数;互质关系的两个数,最大公因数是1.【精典例题】例1、18和27的最大公因数是多少?例2、把2418化简。
专题训练【基础知识】1.求出下面每组数的最大公因数2和6 13和26 1和7 8和92.你能很快说出下列各组数的最大公因数吗?并对每组数的公因数的特点进行总结。
6和12 13和7 1和14 8和9 2和9【能力提高】3.把下列分数化成分母是36的分数(分数的大小不变)43 7212 654.把下列分数化成分子是28的分数(分数的大小不变)6314 41 725.把下面分数约分成最简分数2612 4030 4816123 5511 45256.把43的分子扩大到原来的3倍分母应该怎样变化才能使分数的大小不变?变化后的分数是多少?7.有两根铁丝,一根长12米,另一根长30米,现在要把它们截成相等的小段每根不许有剩余每小段最长多少米?一共可以截成多少段？8.把长是12厘米宽是8厘米的纸板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块？9.一个分数用3约分了一次,用4约分了两次得52,原来这个分数是多少?通分【知识归纳】1、公倍数和最小公倍数的意义:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的个数叫做它们的最小公倍数。
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约分和通分
1把下面的分数约分成最简分数。
2 8 6 10
8 10 9 15
14 18 70 66 21 30 105 88 2、把下面每组中的两个分数通分。
和和和 5 7 2 9 5 可 6 9 3 10 6
3、先约分，再比较每组中两个分数的大小。
24 3 30 18
32 12 70 48
4、先通分，再比较每组中个分数的大小。
7 9 7 5
15 20 18 12
5 8 4 11
9 15 5 13
3 7 13 3 5 5
5 10 15 4
6 8
5、把下列分数从大到小排列
3 2 5 1 7
4 3 6 8 12
6、有甲、乙、丙三个射击运动员练习射击，三人各自射击了30、40、50发子弹，分别打中了靶子25、36、40次，请问谁的命中率比较高一些？
3 6 12 7、.在下图中画出阴影表示下面的分数, 再比较它们的大小。
8、在O里填上适当的运算符号，在…
里填上适当的数。
20 = 20十、2= 25 25「)5 5
2 O〈…、=
8
5 C) ( - ) :')
0.36 = 1 2 3.2= 5.4 =
2 O 4
13、在()里填上适当的最简分数。
80 厘米 = ( ) 米
700千克=()吨
350平方分米=()平方米 4 时45分=()时
14、填一填。
(1 )把()分数化成和原来相等的()
分母分数，叫做通分。
(2 ) 通分的依据是
( )。
16 = 16 O《…)= 1 1
80 80 一2
6
9、把下列分数化成分母是10而大小不变的分数。
2 1 12 4 15 108
5 2 30 20 50 120
10.填空
(1)约分的依据是()，约分的结果通常要得到()分数。
3 7 2 2 5
(2)在6、4、8、4、21、9 中，()是最简真分数。
(3)分母是8的最简真分数有()，分子是6的最简假分数有()。
()。
11、把下列分数化成最简分数。
12 18 土13 旦2
18 27 20 65 32 8
12、把下列小数化成最简分数。
0.75 = 4.8= 1.25 =
2
(3)3的分母增加6,要使分数的大小不
变，分子应该()。
12
(4)把24的分子减去8,要使分数的大小
不变，分母应该()。
(5 )把一个分数约分，用3约2次，用
2
2约1次，最后得到5，原来的分数是()。
15、写出下面每组分数的公分母。
1 2 £ 7
(1) 4和3公分母可以是()(2) 5和15 公分母可以是()
3 2
(3) 14和35公分母可以是()
16、将下列各组分数通分。
(1) 8 12 (2) 17 51 (3) 10 9(4)
5 7
18 27
17、根据分数的意义比较大小。
1 4 3 3 11 5 7 7
2 5 7 4 14 14 18 17
18、先通分，再比较分数的大小。
7 5 9 10
9 6 22 33
19、采用合适的方法比较大小。
31
<()<()
25、李阳和胡明在篮球馆里进行投篮训练，李阳投了60次，投中了43次；胡明投了80次，投中了61次，请你帮着算一算，谁投的更准一些？
145 3 87 11 12 3 8 1 1
—— _ __ —__ __ —_ 2 __ 2 _
358 32 98 4 5 711 2 4 20、先通分，再比较分数的大小。
7 5 9 10
9 6 22 33
21、采用合适的方法比较大小。
145 3 87 11 12 3 8 1 1
_ _ _ __ __ _ __ _ _ 2 __ 2 —
358 32 984 5711 2 4
22、把下面的分数分类。
14 2 15 12 1
2、7、9、6、4、8、
3、5
1 1
比4大的分数比4小的分数
23、选一选，填一填。
(1) 一个最简真分数，分子与分母的和是
10,这样的分数有()个。
A、2
B、3
C、
4
(2)一个分数的分子除以2,分母乘2,这个分数的分数的分数值将()。
A、乘4
B、除以4
C、不
变、
24、把下面各数按从小到大的顺序排列。
7 77
7
(1) 7 9 100 7.7 ()< ()<()<()
(2) 0.311 0.309 100 3 () < ()。