线性体系随机振动反应分析
合集下载
随机振动的响应分析
d 2 Rx 2 1 e
i 2 1
d
S X Rx 2 1 e
i 2 1
d
H h( 2 )e
i 2 i1
d 2 d 1 H
谱峰的“宽度”随质量的增加而减小，谱峰的 “高度”随质量的增加而增加。由于这两种相 反效果恰好互相抵消，所以谱密度曲线下面的 面积与质量m无关，因而均方值也与质量m无 关。
c 2 2n m n
由以上分析还可以看出，当阻尼大时，半功率 带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反 之，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡， 振幅就大。 可由试验先测出半功率带宽，然后可求出阻尼比。
e
e
1
i 2 1
SY h(1 )e
i1
d1 h( 2 )e
i 2
d 2 Rx 2 1 e
d
SY h(1 )e
i1
d1 h( 2 )e
i 2
y t x h(t )d x t h( )d
0
t
对于每个样本函数都可按上式写出其对应的输出的样 本函数。于是，对上式求集合平均，可得到输出的集 合平均为：
X t h( )d E Y t E
E X t 1 X t 2 Rx 2 1
h(1 )h( 2 ) E x t 1 x t 2 d1d 2
随机振动分析报告
随机振动分析报告1. 引言随机振动是振动工程中的重要研究领域，对于各种结构和系统的设计与分析都具有重要的意义。
本文将介绍随机振动分析的基本概念、方法和步骤，并通过一个示例来说明如何进行随机振动分析。
2. 随机振动的基本概念随机振动是指在一定时间范围内，振动信号的幅值和频率是不确定的、随机变化的。
随机振动的特点是无法通过确定性的数学模型来描述，因此需要采用统计方法进行分析。
3. 随机振动分析的步骤随机振动分析的基本步骤包括：信号采集、数据预处理、频谱分析、统计分析和模型建立等。
3.1 信号采集随机振动信号的采集可以通过传感器等设备进行。
采集到的信号需要进行滤波和采样处理，以便后续分析。
3.2 数据预处理在进行频谱分析和统计分析之前，需要对采集到的数据进行预处理。
常见的预处理方法包括去除噪声、补充缺失数据和归一化处理等。
3.3 频谱分析频谱分析是对随机振动信号进行频域分析的方法。
通过对信号的频谱特性进行分析，可以了解信号的频率分布和主要频率成分。
3.4 统计分析统计分析是对随机振动信号进行统计学特征分析的方法。
常见的统计分析方法包括均值、方差、自相关函数和互相关函数等。
3.5 模型建立通过对随机振动信号的分析，可以建立相应的数学模型，用于预测和仿真。
常见的模型包括自回归模型和自回归移动平均模型等。
4. 示例：汽车发动机的随机振动分析以汽车发动机的随机振动分析为例，介绍随机振动分析的具体步骤。
4.1 信号采集使用加速度传感器对汽车发动机进行振动信号的采集。
将传感器安装在发动机的合适位置，以获取准确的振动信号。
4.2 数据预处理对采集到的振动信号进行滤波和采样处理，去除噪声和不必要的频率成分，并将信号进行归一化处理。
4.3 频谱分析将预处理后的振动信号进行频谱分析，得到信号的频谱特性。
可以使用FFT算法将信号从时域转换为频域，并绘制频谱图。
4.4 统计分析对频谱分析得到的数据进行统计分析，计算信号的均值、方差和自相关函数等统计学特征。
随机振动分析
程序支持多个PSD基础激励，但是不考虑其关联性，也就 是程序不支持计算不同PSD激励的关联性。
3.随机振动分析步骤
（4）计算结果 程序支持三个方向的位移，速度和加速度； 因为每个方向的计算结果是统计结果，因此不 能使用一般的方法进行合并。
如果需要输出应力和应变，可用的应力结果只有名义应变和应力， 剪切应变和应力，等效应力。
4.工程实例:电路板的随机振动计算
1.随机振动分析简介
什么是随机振动分析
– 基于概率的谱分析. – 典型应用如火箭发射时结构承受的载荷谱，每次发射的谱不同，但统 计规律相同.
1.随机振动分析简介
• 和确定性谱分析不同，随机振动不能用瞬态动力学分析代 替. • 应用基于概率的功率谱密度分析，分析载荷作用过程中的 统计规律
什么是PSD?
3.随机振动分析步骤
（2）分析设置
Analysis Settings > Output Controls （1）默认情况下，位移，速度和加速度响应是输出的； （2）为了不输出速度或加速度响应，可以将输出选项设置 为No。
3.随机振动分析步骤
（3）载荷和支撑条件
1）支撑条件必须在模态分析中进行设置； 2）PSD分析中只支持PSD基础激励，包括 -PSD加速度 -PSD G加速度 -PSD速度 -PSD位移
• PSD是激励和响应的方差随频率的变化。 – PSD曲线围成的面积是响应的方差. – PSD的单位是 方差/Hz (如加速度功率谱的单位是 G2/Hz). – PSD可以是位移、速度、加速度、力或压力.
2.随机振动分析理论
（1）随机振动激励分布规律 因为随机振动激励被假设为服从高斯正态分布，因此没有计算发生 概率为100%的结构响应。 在实际工程中，分布式激励更加普遍； 此外，高sigma激励发生的概率很低；
线性体系随机振动反应分析
故 h(0 + ) = 1（8）作用一个单位脉冲，产生初速度 作用一个单位脉冲，
• •• 2 h + 2ξω0 h+ ω0 h = 0 ~ 齐次化（ ） 9 相当于 • 及h(0) = 0, h(0) = 1 （ ） 10 1 t ≥0 exp(−ξω0t ) sin ωd t 从而 h(t ) = ωd 0 t <0
T1 Ti
T
单自由度弹性体系在给定地震作用下某种反应 量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线 • 问题——反应谱到底反映了结构的特性还是地 震动的特性？
back
反应谱的性质
结构反应特点 低频（长周期）系统 （<=0.1Hz） <=0.1Hz）
Sd PGD（有效峰值位移） PGD（有效峰值位移）
动力放大系数 Ba=Sa/PGA Bv=Sv/PGV Bd=Sd/PGD
2 0
••
•
（23） ）
大写字母
X,F
为随机变量
•
初始条件：
X ( 0) = X ( 0) = 0
（24） ）
反应谱
单自由度弹性体系的地震反应 反应谱的定义 反应谱的性质 反应谱的影响因素及规律
back
单自由度弹性体系的地震反应
单自由度弹性体系
m
• 运动微分方程
– 受力分析
• 恢复力——虎克定律 • 阻尼力——瑞雷阻尼 • 惯性力——牛顿第二定律 • x’’g(t) x’’g(t) m(x’’+x’’g) cx’ kx kc
反应谱的性质反应谱的性质结构反应特点结构反应特点低频长周期系统低频长周期系统01hz01hzssddpgdpgd有效峰值位移有效峰值位移中频中等周期系统中频中等周期系统放大作用放大作用高频短周期系统高频短周期系统10hz10hzssaapgapga有效峰值加速度有效峰值加速度反应谱性质反应谱性质反应谱由中频段的放大区反应谱由中频段的放大区和两端的极限区三部分构和两端的极限区三部分构伪谱的性质伪谱的性质高频中频低频动力放大系数pgdbackback反应谱的影响因素及规律反应谱的影响因素及规律地震动方面地震动方面震级震级震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周期越后移期越后移震中距震中距震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周期越后移期越后移场地场地场地越软峰值越大反应谱峰点周期越后移场地越软峰值越大反应谱峰点周期越后移结构方面结构方面阻尼比阻尼比阻尼比越大反应越小曲线越平滑阻尼比越大反应越小曲线越平滑结构周期结构周期三段特性三段特性backback持时特性持时特性一般特征一般特征多种定义多种定义简要评价简要评价25150505152510152025303540backback设计地震动反应谱设计地震动反应谱backbackback水平地震影响系数水平地震影响系数pgapgamax045max特征周期30max02max场地类别场地类别iiiiiiiiiiiiiviv020020030030040040065065025025040040055055085085烈度烈度66778899多遇地震多遇地震181836367272144144罕遇地震罕遇地震225225405405630630烈度烈度66778899多遇地震多遇地震004004008008016016032032罕遇地震罕遇地震050050090090140140设计近远震场地类别场地类别的划分场地类别的划分backback场地覆盖层厚度m场地土类型80坚硬软弱iiiiiiiv
随机振动--第8章-线性系统动态特性
24
微分方程m x c x kx (t )两边同乘以dt，再从0 _ 到0 进行积分 (跨零积分)，可得：
0 0
0
(m x c x kx)dt (t )dt 1
0
由于在趋于0的时间间隔内，系统的位移来不及发生变化，即可以认为 x(0 ) 0, 于是上式左边各项积分分别为：
26
1 - n t 2 e sin( 1 nt ),当t 0 h(t) m 1 - 2 0, 当t 0
F(t)=δ(t) x(t)=h(t)
思考：力输入下 对应质量 m 的加速 度输出的脉冲响应 这就是在力输入下对应质量m的位移输出的脉冲响应函数。 函数？？
第8章 线性系统动态特性
{输入(激励)与输出(响应)的关系}
8.1 8.2 8.3 8.4
频率响应函数 脉冲响应函数 频率响应函数与脉冲响应函数的关系 对任意输入的响应
1
前面讨论了随机过程的主要特征，本章讨论振动系统输入 与输出之间的关系。 只讨论：稳定的常参数（非时变）线性振动系统 常参数（非时变）： 振动系统的参数（质量、刚度、阻尼等）不随时间变化 线性系统：适用叠加原理的系统。
X ( ) x(t )e
本例中 H ( ) A B
2 2
1 k 2 (c ) 2
13
频率响应函数H(w)的幅角φ称为系统的相位因子。
B ( ) c 本例中H ( )的幅角 arctg arctg A( ) k
增益因子和相位因子随频率w而变化的特 性，分别成为幅频特性、相频特性。
14
幅频特性 H ( )
微分方程m x c x kx (t )两边同乘以dt，再从0 _ 到0 进行积分 (跨零积分)，可得：
0 0
0
(m x c x kx)dt (t )dt 1
0
由于在趋于0的时间间隔内，系统的位移来不及发生变化，即可以认为 x(0 ) 0, 于是上式左边各项积分分别为：
26
1 - n t 2 e sin( 1 nt ),当t 0 h(t) m 1 - 2 0, 当t 0
F(t)=δ(t) x(t)=h(t)
思考：力输入下 对应质量 m 的加速 度输出的脉冲响应 这就是在力输入下对应质量m的位移输出的脉冲响应函数。 函数？？
第8章 线性系统动态特性
{输入(激励)与输出(响应)的关系}
8.1 8.2 8.3 8.4
频率响应函数 脉冲响应函数 频率响应函数与脉冲响应函数的关系 对任意输入的响应
1
前面讨论了随机过程的主要特征，本章讨论振动系统输入 与输出之间的关系。 只讨论：稳定的常参数（非时变）线性振动系统 常参数（非时变）： 振动系统的参数（质量、刚度、阻尼等）不随时间变化 线性系统：适用叠加原理的系统。
X ( ) x(t )e
本例中 H ( ) A B
2 2
1 k 2 (c ) 2
13
频率响应函数H(w)的幅角φ称为系统的相位因子。
B ( ) c 本例中H ( )的幅角 arctg arctg A( ) k
增益因子和相位因子随频率w而变化的特 性，分别成为幅频特性、相频特性。
14
幅频特性 H ( )
随机振动响应分析技术研究
随机振动响应分析技术研究一、引言随机振动响应分析是结构工程领域中一个非常重要的课题。
结构物的振动响应具有随机性、复杂性和非线性等特点，因此，能够对结构物在随机激励下的振动响应进行研究和分析，对于提高结构物的可靠性、耐久性和安全性非常关键。
二、随机振动响应分析的方法随机振动响应分析技术主要包括两种方法：频域分析和时域分析。
1. 频域分析频域分析是指将随机振动信号分解成一系列特定频率的正弦波分量，然后对这些正弦波分量进行分析、计算和处理。
这种方法一般使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行处理，可以方便地进行频率分析和频率响应。
2. 时域分析时域分析是指基于时间序列的方法，通过对随机振动信号的时间序列进行分析，得到结构物的响应特性。
这种方法可以使用自相关函数、互相关函数、功率谱密度和相干函数等分析工具。
三、随机振动响应分析的应用随机振动响应分析技术在各个领域都有广泛的应用。
1. 土木工程在土木工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估建筑物、桥梁、隧道等结构物在地震或风荷载下的响应情况，以及评估疲劳损伤的程度。
2. 航空航天工程在航空航天工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估航天器在发射过程中的响应情况，以及评估机体结构在飞行过程中的疲劳损伤程度。
3. 机械工程在机械工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估机械系统在振动环境下的可靠性和安全性，以及寻找和消除机械系统的振动问题。
四、随机振动响应分析技术的发展趋势随着科学技术和计算机技术的快速发展，随机振动响应分析技术也得到了极大发展和应用。
未来，随机振动响应分析技术的发展主要将呈现以下几个趋势：1. 多物理场耦合建模针对涉及多种物理场同时作用的振动问题，将机械、声学、热学、流体力学等多种物理场有机结合起来，建立更加全面且真实的多物理场耦合模型，以便更好地分析和解决复杂振动问题。
2. 精细化建模分析建立尽可能精细的结构物和振动环境的建模，以更加准确地反映实际情况，预测结构物的振动响应和疲劳损伤情况，从而提高结构物的可靠性和安全性。
(推荐)6-随机振动分析
Advanced Contact & Fasteners
1、随机振动分析简介
下面两幅图给出结构的正弦振动（强迫和自由） -下面的振动曲线是输入的振动载荷是一个固定的频率
Training Manual
更加一般的振动载荷时随机振动，这种振动是在同一时间点以不同的频 率进行振动
Advanced Contact & Fasteners
2、功率谱密度（PSD）
Training Manual
用来表征随机振动的一个参数称之为功率谱密度（PSD）
Advanced Contact & Fasteners
对于一个横定幅值的正弦振动，其1HZ的频率带宽的功率谱密度 为其幅值的平方值。
2、功率谱密度（PSD）
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
1）随机振动是稳定的（不随时间变化而变化），响应是一个稳定的 随机过程。
2）ergodic (one sample tells us everything about the random process)。
Advanced Contact & Fasteners
3、随机振动理论简介
（1）随机振动激励分布规律 许多随机过程都遵守着高斯分布规律。
Advanced Contact & Fasteners
1、随机振动分析简介
Training Manual
如果随机振动过程，其振动幅值是常量变化的，那我们如何 对随机振动激励进行评估和描述呢？
关键点：随机振动过程中，在给定的频率范围内，虽然其激励的 幅值还是发生变化，但是对于这个过程，幅值的平均值趋向于一 个相对稳定的常量。
第七章 随机振动的响应分析课件
E[Y(t)Y(t)]
学习交流PPT
11
则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
学习交流PPT
9
E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
学习交流PPT
10
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
学习交流PPT
3
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
学习交流PPT
6
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
学习交流PPT
11
则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
学习交流PPT
9
E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
学习交流PPT
10
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
学习交流PPT
3
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
学习交流PPT
6
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
t
back
运动微分方程的解答
• 最大反应及简化
Sd x(t ) max
(t ) max SV x
(t ) g (t ) Sa x x
三点近似关系：
max
Sa SV 2 Sd
back
反应谱的定义
s(t)= f(x’’g, ς, T1) Sa(ς, T1)
故
式中
x(t ) H () f 0eit
1 H ( ) 2 0 2 i 20
（15）
（16）
H ( ) 称为体系的频响函数或传递函数，它表 示在干扰 f (t )下反应 x(t )的振幅放大率，是线性体系 的固有频率特性。
对任意函数 f (t ) ，可用Fourier变换表示成 1 it ˆ f ( ) f ( t ) e dt （17） 2 逆变换
t
(0) x(0) x sin d t x(0) cosd t d
d 1 2
• 特解（强迫振动）——Duhamel 积分
x(t ) 1
d
t
0
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 结构方面
– 阻尼比 • 阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑 – 结构周期 • 三段特性
back
持时特性
• 一般特征 • 多种定义 • 简要评价
2.5 1.5
a(t) (m/s 2 )
0.5 -0.5 -1.5 -2.5 0 5 10 15 20 t (s) 25 30 35 40
back
设计地震动反应谱（2010规范）
back
反应谱的性质
• 结构反应特点 – 低频（长周期）系统 （<=0.1Hz） – 中频（中等周期）系统
• 放大作用 • SdPGD（有效峰值位移）
动力放大系数
Ba=Sa/PGA
Bv=Sv/PGV Bd=Sd/PGD
高频 中频 低频
– 高频（短周期）系统 （>=10Hz）
• SaPGA （有效峰值加速度） • 反应谱性质
– 反应谱由中频段的放大区 和两端的极限区三部分构 成 – 伪谱的性质 Sa SV 2 Sd
back
T
反应谱的影响因素及规律
• 地震动方面
– 震级 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 震中距 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 场地 • 场地越软，峰值越大，反应谱峰点周期越后移
0.45αmax
[2 0.2 1 (T 5Tg )] max
0 0.1 Tg
1 0.02
0.05 4 32 小于0时取0
5 Tg
6.0
T(s)
直线下降段斜率调整系数 这里 为阻尼比
3.阻尼调整系数 2 1 0.05
0.08 1.6
故 h (0 ) 1 （8）作用一个单位脉冲，产生初速度
2 h 2 h ~ 齐次化（ 9） 0 0h 0 相当于 （ 10） 及h(0) 0, h(0) 1 1 t0 exp(0t ) sin d t 从而 h(t ) d 0 t0
微冲量
f ( s)ds
设 时刻的单位脉冲 (t s) 的反应 h(t s) 则 在微冲量作用下的反应为
s
dx(t ) h(t s) f (s)ds
（3）
总反应为
x(t ) 0 h(t s ) f ( s )ds
t
（4）
h(t s) 也称为脉响函数。 t s 时 h(t s) 0 （脉冲发生前无响应）
线性体系随机振动反应分析
研究线性体系在平稳或非平稳随机干扰下的反应，初 始条件可以确定的，也可以是随机的。 1、单自由度线性体系的随机反应分析 基本方程： 2 (1) 2 x x f (t ) x
0 0
式中
x(t )
是描述质点运动的位移；
c k 和 0 m 分别为结构体系的阻尼比和固有圆频率； 2 mk
Sa PGA • 水平地震影响系数 F m Sa m g PGA g G k G
• 水平地震影响系数曲线
1.建筑阻尼比取0.05； 2.建筑阻尼比不等于0.05时； 衰减指数
0.05 0.9 0.3 6
α
αmax
(
Tg T ) 2 max
第二组
第三组
0.25
0.30
0.30
0.35
0.40
0.45
0.55
0.65
0.75
0.90
back
场地类别的划分
场地土类型 坚硬
中硬
中软
III III
0 3 9 80
软弱
IV
场地覆盖 层厚度(m)
场地土类别根据岩土层的剪切波速确定，分成5类。
back
0 0 0 0 h dt 0 d h h 0 h(0 ) 0 0 0 2 h ( t ) 2 dh 2 h 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 h(t ) dt 0 0
2、时程分析用的地震加速度最大值
烈度 多遇地震 罕遇地震 6 18 125 7 36（55） 220（310） 8 72（110） 400（510） 9 140 620
注：括号内数值分别用于设计基本加速度为0.15g和0.30g的地区
3、特征周期
场地类别 第一组 I0 0.20 I 0.25 II 0.35 III 0.45 IV 0.65
的解
(11)
式中
d 0 1
2
2）频域分析法
2 x 2 x 0 x f 0 eit
（12）
初始条件： x(0) x(0) 0 设 x(t ) Aeit 则
(i)
2
2 20i 0 Aeit f 0eit
（14）
f (t ) f1 (t ) / m ； m, k , c 为体系的质量，弹簧刚度和粘滞阻尼系数。
初始条件
x ( 0) x ( 0 ) 0
（ 2）
1）时域分析 Duhamel积分法：将整个荷载时程看作是由 一体系连续的短持续时间脉冲组成。先求短 脉冲作用下的反应，然后用叠加原理求得总 反应
x’’g(t)
x’’g(t)
m(x’’+x’’g) cx’ kx
– 方程建立——达朗贝尔原理
•
g ) cx kx 0 m( x x
2 g x 2x x x
• 运动微分方程的解答
back
运动微分方程的解答
• 通解（自由振动）
x(t ) e
考虑
s0
的情况，故当
时，
f (t ) (t )
2 0
0
h 20 h h (t )
2 (h 20 h 0 h)dt 1
（5） （6）
0
两端作跨零积分，有
0
0
(h 20 h h)dt 1
2 0
（7）
利用（6），得
f (t )
x(t ) 来自it ˆ f ( )e dt
（18）
即 在任意荷载作用下，
it ˆ H ( ) f ( )e dt
（19）
3）脉动函数和频响函数的关系
设 f (t ) (t ) 是单位脉冲时，它的Fourier变换 由式（17），可求得为 1 1 it ˆ （20） f ( ) (t )e dt 2 2 代入式（19），则得单位脉冲作用下得反应函数为
• 设初始位移和初始速度为零，则有
x(t )
d 0
1
t
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 速度
(t ) g ( )e x x
0
t
( t )
cosd (t ) sin d (t ) d d
（23）
大写字母
X,F
为随机变量
初始条件：
X ( 0) X ( 0) 0
（24）
反应谱
• • • • 单自由度弹性体系的地震反应 反应谱的定义 反应谱的性质 反应谱的影响因素及规律
back
单自由度弹性体系的地震反应
• 单自由度弹性体系
m
• 运动微分方程
– 受力分析
• 恢复力——虎克定律 • 阻尼力——瑞雷阻尼 • 惯性力——牛顿第二定律 kc
1 h(t ) 2
H ( )eit d
（21）
即： 变换时
1 除 2 处，脉响函数h(t ) 和频响函数 H () 是Fourier
H ( ) h(t )e
it
dt
（22）
2．平稳随机干扰下的反应
X 20 X X Fs (t )
2 0
• 绝对加速度
2 2 ( t ) x(t ) xg (t ) d x g ( )e (1 2 ) sin d (t )d 0 d t
g ( )e (t ) cos d (t )d 2 x
Max
ς T1
x’’g(t)
Duhamel 积分
Sv(ς, T1)
Sd(ς, T1)
Sy
ς Ti
t
back
运动微分方程的解答
• 最大反应及简化
Sd x(t ) max
(t ) max SV x
(t ) g (t ) Sa x x
三点近似关系：
max
Sa SV 2 Sd
back
反应谱的定义
s(t)= f(x’’g, ς, T1) Sa(ς, T1)
故
式中
x(t ) H () f 0eit
1 H ( ) 2 0 2 i 20
（15）
（16）
H ( ) 称为体系的频响函数或传递函数，它表 示在干扰 f (t )下反应 x(t )的振幅放大率，是线性体系 的固有频率特性。
对任意函数 f (t ) ，可用Fourier变换表示成 1 it ˆ f ( ) f ( t ) e dt （17） 2 逆变换
t
(0) x(0) x sin d t x(0) cosd t d
d 1 2
• 特解（强迫振动）——Duhamel 积分
x(t ) 1
d
t
0
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 结构方面
– 阻尼比 • 阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑 – 结构周期 • 三段特性
back
持时特性
• 一般特征 • 多种定义 • 简要评价
2.5 1.5
a(t) (m/s 2 )
0.5 -0.5 -1.5 -2.5 0 5 10 15 20 t (s) 25 30 35 40
back
设计地震动反应谱（2010规范）
back
反应谱的性质
• 结构反应特点 – 低频（长周期）系统 （<=0.1Hz） – 中频（中等周期）系统
• 放大作用 • SdPGD（有效峰值位移）
动力放大系数
Ba=Sa/PGA
Bv=Sv/PGV Bd=Sd/PGD
高频 中频 低频
– 高频（短周期）系统 （>=10Hz）
• SaPGA （有效峰值加速度） • 反应谱性质
– 反应谱由中频段的放大区 和两端的极限区三部分构 成 – 伪谱的性质 Sa SV 2 Sd
back
T
反应谱的影响因素及规律
• 地震动方面
– 震级 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 震中距 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 场地 • 场地越软，峰值越大，反应谱峰点周期越后移
0.45αmax
[2 0.2 1 (T 5Tg )] max
0 0.1 Tg
1 0.02
0.05 4 32 小于0时取0
5 Tg
6.0
T(s)
直线下降段斜率调整系数 这里 为阻尼比
3.阻尼调整系数 2 1 0.05
0.08 1.6
故 h (0 ) 1 （8）作用一个单位脉冲，产生初速度
2 h 2 h ~ 齐次化（ 9） 0 0h 0 相当于 （ 10） 及h(0) 0, h(0) 1 1 t0 exp(0t ) sin d t 从而 h(t ) d 0 t0
微冲量
f ( s)ds
设 时刻的单位脉冲 (t s) 的反应 h(t s) 则 在微冲量作用下的反应为
s
dx(t ) h(t s) f (s)ds
（3）
总反应为
x(t ) 0 h(t s ) f ( s )ds
t
（4）
h(t s) 也称为脉响函数。 t s 时 h(t s) 0 （脉冲发生前无响应）
线性体系随机振动反应分析
研究线性体系在平稳或非平稳随机干扰下的反应，初 始条件可以确定的，也可以是随机的。 1、单自由度线性体系的随机反应分析 基本方程： 2 (1) 2 x x f (t ) x
0 0
式中
x(t )
是描述质点运动的位移；
c k 和 0 m 分别为结构体系的阻尼比和固有圆频率； 2 mk
Sa PGA • 水平地震影响系数 F m Sa m g PGA g G k G
• 水平地震影响系数曲线
1.建筑阻尼比取0.05； 2.建筑阻尼比不等于0.05时； 衰减指数
0.05 0.9 0.3 6
α
αmax
(
Tg T ) 2 max
第二组
第三组
0.25
0.30
0.30
0.35
0.40
0.45
0.55
0.65
0.75
0.90
back
场地类别的划分
场地土类型 坚硬
中硬
中软
III III
0 3 9 80
软弱
IV
场地覆盖 层厚度(m)
场地土类别根据岩土层的剪切波速确定，分成5类。
back
0 0 0 0 h dt 0 d h h 0 h(0 ) 0 0 0 2 h ( t ) 2 dh 2 h 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 h(t ) dt 0 0
2、时程分析用的地震加速度最大值
烈度 多遇地震 罕遇地震 6 18 125 7 36（55） 220（310） 8 72（110） 400（510） 9 140 620
注：括号内数值分别用于设计基本加速度为0.15g和0.30g的地区
3、特征周期
场地类别 第一组 I0 0.20 I 0.25 II 0.35 III 0.45 IV 0.65
的解
(11)
式中
d 0 1
2
2）频域分析法
2 x 2 x 0 x f 0 eit
（12）
初始条件： x(0) x(0) 0 设 x(t ) Aeit 则
(i)
2
2 20i 0 Aeit f 0eit
（14）
f (t ) f1 (t ) / m ； m, k , c 为体系的质量，弹簧刚度和粘滞阻尼系数。
初始条件
x ( 0) x ( 0 ) 0
（ 2）
1）时域分析 Duhamel积分法：将整个荷载时程看作是由 一体系连续的短持续时间脉冲组成。先求短 脉冲作用下的反应，然后用叠加原理求得总 反应
x’’g(t)
x’’g(t)
m(x’’+x’’g) cx’ kx
– 方程建立——达朗贝尔原理
•
g ) cx kx 0 m( x x
2 g x 2x x x
• 运动微分方程的解答
back
运动微分方程的解答
• 通解（自由振动）
x(t ) e
考虑
s0
的情况，故当
时，
f (t ) (t )
2 0
0
h 20 h h (t )
2 (h 20 h 0 h)dt 1
（5） （6）
0
两端作跨零积分，有
0
0
(h 20 h h)dt 1
2 0
（7）
利用（6），得
f (t )
x(t ) 来自it ˆ f ( )e dt
（18）
即 在任意荷载作用下，
it ˆ H ( ) f ( )e dt
（19）
3）脉动函数和频响函数的关系
设 f (t ) (t ) 是单位脉冲时，它的Fourier变换 由式（17），可求得为 1 1 it ˆ （20） f ( ) (t )e dt 2 2 代入式（19），则得单位脉冲作用下得反应函数为
• 设初始位移和初始速度为零，则有
x(t )
d 0
1
t
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 速度
(t ) g ( )e x x
0
t
( t )
cosd (t ) sin d (t ) d d
（23）
大写字母
X,F
为随机变量
初始条件：
X ( 0) X ( 0) 0
（24）
反应谱
• • • • 单自由度弹性体系的地震反应 反应谱的定义 反应谱的性质 反应谱的影响因素及规律
back
单自由度弹性体系的地震反应
• 单自由度弹性体系
m
• 运动微分方程
– 受力分析
• 恢复力——虎克定律 • 阻尼力——瑞雷阻尼 • 惯性力——牛顿第二定律 kc
1 h(t ) 2
H ( )eit d
（21）
即： 变换时
1 除 2 处，脉响函数h(t ) 和频响函数 H () 是Fourier
H ( ) h(t )e
it
dt
（22）
2．平稳随机干扰下的反应
X 20 X X Fs (t )
2 0
• 绝对加速度
2 2 ( t ) x(t ) xg (t ) d x g ( )e (1 2 ) sin d (t )d 0 d t
g ( )e (t ) cos d (t )d 2 x
Max
ς T1
x’’g(t)
Duhamel 积分
Sv(ς, T1)
Sd(ς, T1)
Sy
ς Ti