2020北京海淀高一(上)期末试卷数学含答案
11．（4 分）已知 OA (1, 0) ， AB (1, 2) ， AC (1, 1) ，则点 B 的坐标为 ， CB 的坐标为 ．
12．（4 分）函数 f (x) 2x 2 的零点个数为 ，不等式 f (x) 0 的解集为 ． x
13．（4 分）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在 20 世纪最后 5 年间毕业的校
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yi ) | i 1 ，2， ， N}(N N ) ，寻找函数 y f (x) 去拟合数据点集 S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能 地反映数据点集中元素位置的分布趋势． （Ⅰ）下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法对应的序号） A ．对于任意的数据点集 S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B ．存在数据点集 S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点 C ．对于任意的数据点集 S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧 D ．拟合函数的图象所经过的数据点集 S 中元素个数越多，拟合的效果越好 （Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度 ”，用以衡量数据点集在拟合函数 图象周围的分布情况．如图所示，对于数据点集{P1 ， P2 ， P3} ，在如下的两种“偏置度 ”的定义中，使得函数 f1(x) 的偏置度大于函数 f2 (x) 的偏置度的序号为 ；
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2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）设集合 A {x | 1 x 2} ， B {0 ，1， 2} ，则 A B (
（其中 | (x, y) | 代表向量 w (x, y) 的模长） （Ⅲ）对于数据点集 S {(0, 0) ，(1,1) ，(1,1) ，(2, 2)}，用形如 f (x) ax b 的函数去拟合．当拟合函数 f (x) ax b 满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度 ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点 ．（填点的坐标）
①则
f
2
(
2 3
)
；
②设函数 g(x) f2 (x) f4 (x) ，则在函数 g(x) 的值域中所含元素的个数是 ．
三、解答题：本大题共 4 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（11 分）某校 2019 级高一年级共有学生 195 人，其中男生 105 人，女生 90 人．基于目前高考制度的改革， 为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对 2019 级高一年级全体学生进行了问卷调查．现采用按 性别分层抽样的方法，从中抽取 13 份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表 格记录了抽取的这 13 份问卷中此题的答题情况．
C．存在 a ， b [1 ， 2] 且 a b 满足 f （a） f （b）
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D．存在 a ， b [1， 2] 且 a b 革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、
能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为 256 比特，则密码一共有 2256 种可能，因此，为了破解 密码，最坏情况需要进行 2256 次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行 2.5 1011 次哈希运算，假设机器一直正 常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 ( ) （参考数据 lg2 0.3010 ， lg3 0.477)
选“同意”的人数 选“不同意”的人数
男生
4
a
女生
b
2
（Ⅰ）写出 a ， b 的值； （Ⅱ）根据上表的数据估计 2019 级高一年级学生该题选择“同意”的人数；
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（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取 2 份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率． 16．（11 分）已知函数 f (x) ax2 2ax 3 ． （Ⅰ）若 a 1 ，求不等式 f (x) 0 的解集； （Ⅱ）已知 a 0 ，且 f (x) 0 在 [3 ， ) 上恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）若关于 x 的方程 f (x) 0 有两个不相等的正实数根 x1 ， x2 ，求 x12 x22 的取值范围． 17．（12 分）如图，在射线 OA ， OB ， OC 中，相邻两条射线所成的角都是120 ，且线段 OA OB OC ．
C．{0 ，1， 2}
D．{1 ，0，1， 2}
2．（4 分）不等式 | x 1| 2 的解集是 ( )
A．{x | x 3}
B．{x |1 x 3}
C．{x | 1 x 3}
D．{x | 3 x 3}
3．（4 分）下列函数中，既是偶函数，又在 (0, ) 上是增函数的是 ( )
A． y 1 |x|
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
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C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：
甲运动员得分：19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40
设 OP xOA yOB ．
（Ⅰ）当 x 2 ， y 1 时，在图 1 中作出点 P 的位置（保留作图的痕迹）； （Ⅱ）请用 x ， y 写出“点 P 在射线 OC 上”的一个充要条件： ； （Ⅲ）设满足“ x 2 y 4 且 xy 0 ”的点 P 所构成的图形为 G ， ①图形 G 是 ； A ．线段 B ．射线 C ．直线 D ．圆 ②在图 2 中作出图形 G ． 18．（10 分）已知函数 f (x) 的图象在定义域 (0, ) 上连续不断．若存在常数 T 0 ，使得对于任意的 x 0 ， f (Tx) f (x) T 恒成立，称函数 f (x) 满足性质 P(T ) ． （Ⅰ）若 f (x) 满足性质 P （2），且 f （1） 0 ，求 f （4） f (1 ) 的值；
)
A． {0}
B．{0 ，1}
C．{0 ，1， 2}
【解答】解： A {x | 1 x 2} ， B {0 ，1， 2} ，
A B {0 ，1} ．
D．{1 ，0，1， 2}
故选： B ． 2．（4 分）不等式 | x 1| 2 的解集是 ( )
A．{x | x 3}
B．{x |1 x 3}
C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
5．（4 分）已知 a ， b R ，则“ a b ”是“ a 1 ”的 (
)
b
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4
分）已知函数
f
(x)
2 x
,
x
2,
若关于 x 的函数 y f (x) k 有且只有三个不同的零点，则实数 k 的取值
友，他们 2018 年的平均年收入约为 35 万元．由此 （填“能够”或“不能” ) 推断该大学 20 世纪最后 5 年
间的毕业生，2018 年的平均年收入约为 35 万元，理由是 ．
14．（4 分）对于正整数 k ，设函数 fk (x) [kx] k[x] ，其中[a] 表示不超过 a 的最大整数．
4 （Ⅱ）若 f (x) log1.2 x ，试说明至少存在两个不等的正数 T1 ，T2 ，同时使得函数 f (x) 满足性质 P(T1) 和 P(T2 ) ．（参 考数据：1.24 2.0736) （Ⅲ）若函数 f (x) 满足性质 P(T ) ，求证：函数 f (x) 存在零点． 四、附加题：（本题满分 0 分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过 100 分） 19．在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合．定义数据点集为平面点集 S {Pi (xi ，
n
① | (xi , yi f (xi )) || (x1, y1 f (x1)) (x2 , y2 f (x2 )) (xn , yn f (xn )) | ； i 1 n
② | (xi , yi f (xi )) | | (x1, y1 f (x1)) | | (x2 , y2 f (x2 )) | | (xn , yn f (xn )) | ． i 1
C．{x | 1 x 3}
【解答】解：| x 1| 2 ，2 x 1 2 ，1 x 3 ，
D．{x | 3 x 3}
不等式的解集为{x | 1 x 3} ．
故选： C ．
3．（4 分）下列函数中，既是偶函数，又在 (0, ) 上是增函数的是 ( )
A． y 1 |x|
B． y 2x
C． y x2
A． 4.5 1073 秒
B． 4.5 1065 秒
C． 4.5 107 秒
D．28 秒
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上.
9．（4 分）函数 f (x) ax (a 0 且 a 1) 的图象经过点 (1, 2) ，则 a 的值为 ．
10．（4 分）已知 f (x) lgx ，则 f (x) 的定义域为 ，不等式 f (x 1) 0 的解集为 ．
乙运动员得分：17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33
对于 A ，极差是数据中最大值与最小值的差， 由图中的数据可得甲运动员得分的极差为 47 16 21 ，乙运动员得分的极差为 33 17 16 ，
得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此 A 正确；
2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数学试题和答案(原版)
北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数 学2020.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =−<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}−,, （2）不等式|1|2x −≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x −≤≤D. {|33}x x −≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是( )A. 1y x=B.2x y =C.y =D.ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 ( ) A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( ) A.(3,1)− B. (0,1) C. (]3,0− D. (0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)−，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x −<的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =−，则点B 的坐标为_________,CB 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=−的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =−，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人. 基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =−−.（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB =+.（Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .(18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (参考数据:41.2 2.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1图2图附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度δ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度δ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑;②1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =−，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度δ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）北京市海淀区2109-2020学年高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1,)−∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636−=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A == ..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =−−≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =−−开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =−−≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分 (Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=−>⎪⎩， ..........8分解得3a <−，所以a 的取值范围是{|3}a a <−. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+−=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =−=−，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =−=−， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =−，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =−∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =−=−<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分(Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k −+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T−=+>−即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=−，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=−=−，，由111()()k k f f T TT −=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +−=−=−∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=−<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。
最新版北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标 ．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨． （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={n2|n∈Z}，B={n+12|n∈Z}，则下列图形中能表示A与B关系的是()A. B.C. D.2.命题p：∀x∈(0,+∞)，e x>x+1+12x2，则￢p为()A. ∀x∈(0,+∞)，e x≤x+1+12x2B. ∃x0∈(0,+∞),e x0<x0+1+12x02C. ∀x∈(0,+∞)，e x<x+1+12x2D. ∃x0∈(0,+∞),e x0≤x0+1+12x023.函数是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A. B.C. D.4.某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取管理人员()A. 200人B. 30人C. 70人D. 40人5.下列四个命题中正确的是()A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|C. 若x>2，则函数y=x+1x有最小值2D. 若a<b<0，则a2<ab<b26.同时掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为()A. 56B. 16C. 23D. 137.函数f(x)=√x −(14)x 的零点所在的区间为( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,1)D. (1,2)8.对于直线m ，n 和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是( )A. m ⊥n ，m//α，n//βB. m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂αC. m//n ，n ⊥β，m ⊂αD. m//n ，m ⊥α，n ⊥β9.已知正实数，且，则的最小值为( )A.B.C.D. 510. 出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km (不含3 km)；3 km 到7 km (不含7 km)按1.6元/ km 计价；7 km 以后按2.2元/ km 计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2 km)，需付车费 ( )(精确到1元)A. 26元B. 27元C. 28元D. 25元二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 已知不等式ax 2+bx +2<0的解集是(1,2)，则a +b 的值为______． 12. 某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图).S 1、S 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S 1______S 2.(填“>”、“<”或“=”)13. 已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1,9]，函数y =[f(x)]2+f(x 2)的最大值为______ ． 14. 一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算输出口B ，执行的运算程序是： ①当从A 口输入自然数l 时，从B 口输出实数12，记为f(1)=12；②当从A 口输入自然数n(n ≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n −1)的n−1n+1倍．通过计算f(2)、f(3)、f(4)的值，归纳猜想出f(n)的表达式为______ ．15. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累计计算：全月应纳税所得额 税率%不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超过4500元至9000元的部分20%某人一月份应交纳此项税款300元，则他当月工资、薪金所得是 元． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16. 集合A ={y|y =√16−x 2}，B ={x|m ≤x <1+3m}． (1)当m =1时，求A ∩B ，∁R A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的范围．17. 已知函数f(x)对任意的a ，b ∈R ，都有f(a +b)=f(a)+f(b)，并且当x >0时，f(x)>0． (1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=6，解关于m 的不等式f(3m 2−m −2)<3．18. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A ，城市B 进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市A 比赛时，甲队胜乙队的概率为35，平乙队的概率为15；在城市B 比赛时，甲队胜乙队的概率为13，平乙队的概率为16，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(Ⅰ)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (Ⅱ)求两场比赛甲队得分X 的分布列．19. 已知二次函数的定义域为[−1,2]，(1)若，求函数的值域；(2)若 >0，且函数是[−1,2]上的单调函数，求的范围及此时函数的最值．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查集合的关系，考查Venn图，属于基础题．根据集合A，B所表达的意思，进行分析，进而可得结果．解：根据题意，由于集合A={n2|n∈Z}，B={n+12=12(2n+1)|n∈Z}，根据集合的元素n是整数集可知，集合A是12的整数倍，集合B是12的奇数倍，故B⫋A，故选A．2.答案：D解析：解：因为原命题为全称命题，所以其否定为特称命题；即：∃x0∈(0,+∞)，e0x≤x0+1+12⋅x02；故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，以及特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)且f(0)=0，可变形为：f(−x)+ f(x)=0，f(−x)−f(x)=−2f(x)，f(x)⋅f(−x)≤0，而由f(0)=0，由知D不正确．故选D考点：函数奇偶性点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．4.答案：B解析：解：某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，应抽取管理人员：300×1501500=30(人)．故选：B．按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，利用分层抽样的性质能求出应抽取管理人员的数量．本题考查抽取的管理人员的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：A，均为正数，才能相乘，不正确；B，若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|，正确；C，若x>2，则函数y=x+1x 有最小值2+12=52，不正确；D，a=−2，b=−1时不成立．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：A解析：解：同时掷两个骰子，向上的点数共有36种不同情况，分别为：其中向上的点数相同的事件共有6种，故向上的点数相同的概率P=636=16，故向上的点数不相同的概率P=1−16=56，故选：A列举出所有情况，及出现相同点数的情况数，先求出向上点数相同的概率，进而利用对立事件概率减法公式，得到答案．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．7.答案：B解析：解：根据题意可计算得f(0)=−1<0，f(14)=12−(14)14<0，f(12)=√12−(14)12>0，所以函数的零点所在区间为(14,12)， 故选：B ．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解． 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．8.答案：C解析：对于C 项：∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又m ⊂α，∴α⊥β．9.答案：A解析：试题分析：因为，正实数，且，所以，=，故选A 。
北京市海淀区高一上期末数学试卷((有答案))
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog 2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数T ≠0，使得f （x ）=Tf （x +T ）对任意的x ∈R 成立，则称函数f （x ）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f （x ）=x ，g （x ）=sinπx 是否是Ω函数；（只需写出结论） （Ⅱ）说明：请在（i ）、（ii ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i ）计分（i ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是偶函数，则f （x ）是周期函数； （ii ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是奇函数，则f （x ）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a ＞1时，函数f （x ）=a x 一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V ，对于，∈V ，≠，定义V （，）=|x ∈V |x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V （，）中的三个元素； （2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V （，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b ＜a．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g （x ）=f （x ）﹣2=x 2+c ﹣2， 若函数g （x ）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c ﹣2）＞0， 解得：c ＜2；（Ⅲ）证明：函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上， ∵|c 2+1|2﹣|c |2=c 4+c 2+1=（c 2+）2+＞0恒成立， 故|c 2+1|＞|c |，故不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx +φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f （x ）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f （x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x ）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ+≤2x +≤2kπ+，求得kπ+≤x ≤kπ+，可得函数f （x ）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x +∈[，]，sin （2x +）∈[﹣，1]，f （x ）∈[﹣，2]，即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f （x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。
2021-2022学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷及答案
2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2} 2．（4分）命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（）A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤03．（4分）已知a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．1a ＜1bC．2a＞2b D．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）4．（4分）已知函数f（x）=3x−log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．（4分）4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）A．p1p2p3B．1﹣p1p2p3C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）6．（4分）下列函数中，在R上为增函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x2C．y={2x，x≥0x，x＜0D．y＝lgx7．（4分）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C= 310Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．18008．（4分）逻辑斯蒂函数f （x ）=11+e −x 二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f （x ）的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点（0，f （0））对称 B ．函数f （x ）的值域为（0，1）C ．不等式f （x ）＞12的解集是（0，+∞）D ．存在实数a ，使得关于x 的方程f （x ）﹣a ＝0有两个不相等的实数根9．（4分）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差大于乙得分的极差B ．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C ．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D ．甲得分的标准差小于乙得分的标准差10．（4分）已知函数f （x ）＝2x 2+bx +c （b ，c 为实数），f （﹣10）＝f （12）．若方程f （x ）＝0有两个正实数根x 1，x 2，则1x 1+1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案 (2)
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13fk α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-.16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
2020北京海淀高一(上)期末数学含答案
2020北京海淀高一（上）期末一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =-<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}-,, （2）不等式|1|2x -≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x -≤≤D. {|33}x x -≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是 ( )A. 1y x=B.2x y =C.y =ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：．．．A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知，则“”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,a b ∈R a b >x ()y f x k =-k (3,1)-(0,1)(]3,0-(0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥（8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（参考数据） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 秒 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)-，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x -<的解集为 . （11）已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则点B 的坐标为_________,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=-的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________.（13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是________________________________________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.25622562112.510⨯lg 20.3010,lg30.477≈≈28三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =--.（Ⅰ）若1a =，求不等式的解集；（Ⅱ）已知0a >，且在[3,)+∞上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . （Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .()0f x ≥()0f x ≥a1图2图(18)（本小题共10分）已知函数的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.(Ⅰ)若满足性质，且，求的值；(Ⅱ)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和. (参考数据:)(Ⅲ)若函数满足性质，求证：函数存在零点.()f x 0T >0x >()()f Tx f x T =+()f x ()P T ()f x (2)P (1)0f =1(4)()4f f +1.2()log f x x =12,T T ()f x 1()P T 2()P T 41.2 2.0736=()f x ()P T ()f x附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =去拟合数据点集，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集，在如下的两种“偏置度”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x y f x x yf x x y f x δ=-=-+-++-∑;② 1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=-=-+-++-∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）()f x S S S S S δ{}123,,P P P δ()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =-δ2020北京海淀高一（上）期末数学参考答案一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.（9）12（10） (0,)+∞；{|12}x x << （11）(22)，；(03)， （12）1 ；(,0)(1,)-∞+∞ （13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） (Ⅰ) 由题意可得 1051343195a =⨯-=； ..........2分 901324195b =⨯-=； ..........4分 (Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为441059012076⨯+⨯=； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636-=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件A ，则366()427P A == ..........11分 （16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =--≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =--≥， ...........6分 所以的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分(Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=->⎪⎩， ..........8分解得3a <-，所以的取值范围是{|3}a a <-. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+-=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分aa（18） (Ⅰ) 因为()f x 满足性质(2)P ，所以对于任意的0x >，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =-=-， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =-，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =-∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数()f x 同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分 (Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为()f x 的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k -+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T-=+>-即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，()f x 存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=-，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=-=-，，由111()()k k f f T TT -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T+-=-=-∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=-<. 所以，()f x 存在零点.综上，()f x存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ① ...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。
(9份试卷汇总)2019-2020学年北京市海淀区数学高一(上)期末经典模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()6223++ B ．()6225++C ．10D ．122．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin B =，574ABC S =△，则b =（ ） A.23B.27C.15D.143．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A.34k ≥或 4k ≤- B.34k ≥或 14k ≤- C.344k -≤≤D.344k ≤≤ 4．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计π的值：在区间[1,1]-内随机抽取200个数，构成100个数对(,)x y ，其中以原点为圆心，1为半径的圆的内部的数对(,)x y 共有78个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A.257B.227C.7825D.72255．已知函数()sin f x x =和()22g x x π=-的定义域都是[],ππ-，则它们的图像围成的区域面积是（ ） A.πB.22π C.32πD.3π6．已知△ABC 的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC u u u v u u u v u u u v v++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A.1:1:1B.3:23:2C.3:2:1D.3:1:2 7．如果角的终边在第二象限，则下列结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．设函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数 B．()()f x g x 是奇函数 C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数9．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（） A ．7 B ．4C ．233D ．310．设函数，则是( )A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数 11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.12πB.11πC.10πD.9π12．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.22(2)(2)1x y ++-= B.22(2)(2)1x y -++= C.22(2)(2)1x y +++= D.22(2)(2)1x y -+-=二、填空题13．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．14．已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则ab=______． 15．数列的前项和，则的通项公式为__________．16．已知数列{}n a ，1011023a =，且()*1121n n n N a a +=+∈，则12a a -=________． 三、解答题17．已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2xf x =-。
【精准解析】北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末考试练习数学试卷
海淀区2020-2021学年第一学期期末练习高一数学一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（ ）A. {}2,4,5B. {}1,2,5C. {}1,6D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】由图可得B A ⊆，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：B A ⊆，{}1,2,3A =，由选项可知：{}1,3A ⊆， 故选：D.2. 若1:(0,),2p x x x∀∈+∞+≥，则p ⌝为（ ） A. 1(0,),2x x x ∃∈+∞+< B. 1(0,),2x x x∃∈+∞+C. 1(0,),2x x x∃∈+∞+ D. 1(0,),2x x x∀∈+∞+< 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定变换形式即可得出结果.【详解】1:(0,),2p x x x∀∈+∞+≥， 则p ⌝为1(0,),2x x x∃∈+∞+<. 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A. 2y x =- B. 12y x =C. 1y x -=D. 3y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可. 【详解】对A ，函数2y x =-的图象关于y 轴对称，故2y x =-是偶函数，故A 错误； 对B ，函数12y x =的定义域为[)0,+∞不关于原点对称，故12y x =是非奇非偶函数，故B 错误； 对C ，函数1y x -=的图象关于原点对称，故1y x -=是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，故C 正确； 对D ，函数3y x =的图象关于原点对称，故3y x =是奇函数，但在(0,)+∞上单调递增，故D 错误. 故选：C.4. 某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（ ） A. 18人 B. 36人 C. 45人 D. 60人【答案】B 【解析】 【分析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：301=1505， ∴抽取的男生人数为：1180365⨯=. 故选：B .5. 已知,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22a b >B.11a b< C. ||||a c b c >D.c a c b -<-【答案】D 【解析】 【分析】对A ，B ，C ，利用特殊值即可判断，对D ，利用不等式的性质即可判断. 【详解】解：对A ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但22a b <，故A 错； 对B ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但11a b>，故B 错； 对C ，若0c ，a b >，则||||a c b c =，故C 错；对D ，a b >a b ∴-<-，则c a c b -<-，故D 正确. 故选：D.6. 从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x 和y ，则xy为整数的概率是（ ） A.16B.14C.12D.712【答案】B 【解析】 【分析】先计算出从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，共有12种情况，再求出满足xy为整数的情况，即可求出xy为整数的概率.【详解】解：从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数， 则x 有4种选法，y 有3种选法，共有4312⨯=种情况；则满足xy为整数的情况如下：当2y =时，4x =或6x =有2种情况； 当3y =时，6x =有1种情况； 当4y =或6y =时，则xy不可能为整数， 故共有213+=种情况， 故x y 为整数的概率是：31=124. 故选：B .7. 已知函数()52xf x x=-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3【答案】C 【解析】 【分析】分析函数()f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论. 【详解】由于函数2xy =为增函数，函数5y x=-在(),0-∞和()0,∞+上均为增函数， 所以，函数()52xf x x=-在(),0-∞和()0,∞+上均为增函数. 对于A 选项，当()1,0x ∈-时，20x >，50x->，此时，()0f x >，所以，函数()f x 在()1,0-上无零点；对于BCD 选项，当0x >时，()130f =-<，()5324022f =-=>， 由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()1,2内.故选：C.8. 已知函数2()2f x x ax =-，则“0a <”是“函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求出a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】解：2()2f x x ax =-的对称轴为：22ax a -=-=， 若()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则0a ≤，即0a <，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 反之，()f x 区间(0,)+∞上单调递增，0a ≤，故 “0a <”是“函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”充分不必要条件. 故选：A.9. 对任意的正实数,x y ，不等式4x y +≥m 的取值范围是（ ） A. (0,4] B. (0,2]C. (,4]-∞D. (,2]-∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据不等式4x y +≥恒成立等价于min m ⎛⎫≤，再根据基本不等式求出min⎛⎫，即可求解. 【详解】解：4x y +≥即m xy≤， 即minm xy ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭又4424y yx x xy y x y x=+≥⋅= 当且仅当“4yx y x=”，即“2x y =”时等号成立， 即4m ≤，故(,4]m ∈-∞. 故选：C.10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）A. x y ka b =+(0,0k a >>且1a ≠)B. log x y k x b =+(0,0k a >>，且1a ≠)C. (0)ky b k x=+> D. 2(0)y ax bx c a =++> 【答案】B 【解析】 【分析】由散点图直接选择即可.【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型， 即B 符合. 故选：B.二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.11. 不等式230x x -<的解集为__________. 【答案】()0,3 【解析】由不等式230x x -<，即(3)0x x -<，所以不等式的解集为{|03}x x <<.12. 某超市对6个时间段内使用,A B 两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式A 的次数的极差为______；若使用支付方式B 的次数的中位数为17，则m =_______.【答案】 (1). 23； (2). 8m = 【解析】 【分析】根据极差，中位数的定义即可计算.【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式A 的次数的极差为：25223-=；使用支付方式B 的次数的中位数为17， 易知：9m ≤，1610172m++∴=解得：8m =.故答案为：23；8m =.13. 已知213211log ,2,33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________________.(用“<”连结)【答案】a c b << 【解析】 【分析】利用特殊值即可比较大小. 【详解】解：221log log 103a =<<， 103221b =>=，21139c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故a c b <<. 故答案为：a c b <<.14. 函数()f x 的定义域为D ，给出下列两个条件：①对于任意12,x x D ∈，当12x x ≠时，总有()()12f x f x ≠； ②()f x 在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件①②的函数()f x ，则()f x =______________. 【答案】()1f x x=【解析】 【分析】根据题意写出一个同时满足①②的函数()f x 即可. 【详解】解：易知：()1f x x=，在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递减，故对于任意12,x x D ∈，当12x x ≠时，总有()()12f x f x ≠；且()1f x x=在其定义域()(),00,-∞⋃+∞上不单调. 故答案为：()1f x x=.15. 已知函数222,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-≥=⎨--<⎩，给出下列四个结论：①存在实数a ，使函数()f x 为奇函数；②对任意实数a ，函数()f x 既无最大值也无最小值； ③对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点；④对于任意给定的正实数m ，总存在实数a ，使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________. 【答案】① ② ③ ④ 【解析】 【分析】分别作出0a =，0a >和0a <的函数()f x 的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为0a =，0a >和0a <时函数()f x 的图象，对于① ：当0a =时，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，()f x 图象如图1关于原点对称，所以存在0a =使得函数()f x 为奇函数，故①正确；对于② ：由三个图知当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，所以函数()f x 既无最大值也无最小值；故② 正确；对于③ ：如图2和图3中存在实数k 使得函数()y f x =图象与yk =-没有交点，此时函数()y f x k =+没有零点，所以对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点不成立；故③ 不正确对于④ ：如图2，对于任意给定的正实数m ，取1a m =+即可使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减，故④正确； 故答案为：① ② ④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论0a =，0a >和0a <即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或满算步骤.16. 已知全集{}{},||1|2,|05U R A x x B x x ==-<=<<，求： （1）A B ；（2）()UA B ⋃.【答案】（1）{}03A B x x ⋂=<<；（2）{()1UA B x x ⋃=≤-或}0x >.【解析】 【分析】（1）求出集合A ，再根据集合间的基本运算即可求解； （2）求出UA ，再根据集合间的基本运算即可求解.【详解】解：（1）由12x -<， 解得：13x，故{}13A x x =-<<， 又{}|05B x x =<<，{}03A B x x ∴⋂=<<；（2）由（1）知：{}13A x x =-<<，{1U A x x ∴=≤-或}3x ≥，{()1U A B x x ∴⋃=≤-或}0x >.17. 已知函数1()f x x x =-.（1）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；（2）解不等式()()124x x f f +>.【答案】（1）见解析；（2）{}1x x <【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，得到124x x +>，即可解出x 的集合.【详解】解：（1）设任意的()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()12f x f x -121211x x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121211x x x x =--+()()121212x x x x x x -=-+()121211x x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，120x x ∴-<，12110x x +>，即()1212110x x x x ⎛⎫-⋅+< ⎪⎝⎭， 即()()12f x f x <，即对任意的()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x <，()f x ∴在区间(0,)+∞上是增函数；（2）由（1）知：()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；又120,40x x +>>，∴()()124x x f f +>，即12242x x x +>=，即12x x +>，解得：1x <，即()()124x xf f +>的解集为：{}1x x <. 【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤：1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <，2.作差：计算()()12f x f x -，3.定号：确定()()12f x f x -的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.18. 某网上电子商城销售甲､乙两种品牌固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：1 2 1 2 3假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即23x <≤)的概率.【答案】（1）110；（2）1191250 【解析】【分析】（1）由频率表示概率即可求出；（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.【详解】解：（1）在图表中，甲品牌的50个样本中， 首次出现故障发生在保修期内的概率为：21215010++=， 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件A ，利用频率估计概率，得()110P A =， 即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期内的概率为：110； （2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件B ，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件C ，利用频率估计概率，得：()()213,502550P B P C ===， 则()P BC BC + ()()()()P B P C P B P C =+()()()()11P B P C P B P C =-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦13131125502550⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1191250= , ∴某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：1191250. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.19. 函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数k ，对任意的x D ∈，总有|()()|f x f x k --≤，则称函数()f x 具有性质()P k .（1）判断下列函数是否具有性质(1)P ，并说明理由.①()2021f x =；②()g x x =；（2）已知()f x 为二次函数，若存在正实数k ，使得函数()f x 具有性质()P k .求证：()f x 是偶函数；（3）已知0a k >，为给定的正实数，若函数()2()log 4x f x a x =+-具有性质()P k ，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 具有性质(1)P ；()g x 不具有性质(1)P ；（2）见解析；（3）2,2k k -⎡⎤⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据定义即可求得()f x 具有性质(1)P ；根据特殊值即可判断()g x 不具有性质(1)P ； （2）利用反证法，假设二次函数()f x 不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；（3）根据题意得到24()(l g 41)o x x f x f x a a ⎛⎫+= ⎪⋅+⎝-⎭-，再根据()2()log 4x f x a x =+-具有性质()P k ，得到24log 41x x a k a ⎛⎫+≤ ⎪⋅+⎝⎭，解不等式即可. 【详解】解：（1）()2021f x =，定义域为R ，则有|()()|0f x f x --=，显然存在正实数1k =，对任意的x ∈R ，总有|()()|1f x f x --≤，故()2021f x =具有性质(1)P ；()g x x =，定义域为R ，则()|()()|2g x g x x x x --=--=，当2x =时，|(2)(2)|2241g g k --=⨯=>=，故不具有性质(1)P ；（2）假设二次函数()f x 不是偶函数，设()()20f x ax bx c a =++≠，其定义域为R ，即0b ≠，则()()()22|()()|2f x f x ax bx c a x b x c bx --=++--+-+=， 易知，|()()|2f x f x bx --=是无界函数，故不存在正实数k ，使得函数()f x 具有性质()P k ，与题设矛盾，故()f x 是偶函数；（3）()2()log 4x f x a x =+-的定义域为R ，()()f x f x --()()()22log 4log 4x x a x a x -=+--++()()22log 4log 42x x a a x -=+-+-224log log 4241x xx a x a ⎛⎫+=+- ⎪⋅+⎝⎭2224log log 2241x xx a x a ⎛⎫+=+- ⎪⋅+⎝⎭24log 2241x x a x x a ⎛⎫+=+- ⎪⋅+⎝⎭24log 41x x a a ⎛⎫+= ⎪⋅+⎝⎭，()2()log 4x f x a x =+-具有性质()P k ，即存在正实数k ，对任意的x ∈R ，总有|()()|f x f x k --≤， 即24log 41x x a k a ⎛⎫+≤ ⎪⋅+⎝⎭， 即24log 41x x a k k a ⎛⎫+-≤≤ ⎪⋅+⎝⎭， 即42241x k k x a a -+≤≤⋅+， 即4222412x x k k x xa a -+≤≤⋅+， 即222222x xkk x x a a ---+⋅≤≤⋅+， 即222222k x x k x x k x k x a a a -----++⋅≤+⋅≤+⋅，通过对比解得：22k k a -≤≤，即2,2k ka -⎡⎤∈⎣⎦.【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.。