逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统一二节
命题逻辑的自然演绎系统-1
命题逻辑的自然演绎系统-1计算机科学M O O C课程群离散数学基础命题逻辑的自然演绎系统(一) 形式语言和变形规则定义：形式语言 L形式语言 L 包括初始符号集和形成规则。
初始符号(1)命题变量符号p1, p2, p3, … ；(2)命题联结词?, ∧, ∨, →, ?；(3)辅助性符号 (, )，用于描述联接词的辖域或运算优先次序。
形成规则(1)单独的命题变量符号是合式公式 (wff，简称公式)；(2)若 A 是 wff，则 ?A 也是 wff；(3)若 A, B 是 wff，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 也是 wff；(4)当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。
规定公式最外层括号可以省略；省略括号情况下，联接词的结合按?, ∧, ∨, →,的次序进行。
一般地定义：(A?B) = (A→B)∧(B→A)说明生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式，称为该合式公式的子式。
生成合式公式最后一步使用的联结词称为该公式的主联结词。
比如(A∧B)→(A∨B) 中的→；又如A∨(A∧B) 中的∨。
定义：变形规则变形规则(或推演规则) ?° Γ├ B?± 描述合式公式之间的语法推演关系，它只涉及公式的形式结构，与其真值含义无关。
“Γ├ B”表示在演绎系统 N 中“由Γ 形式推出B”的语法推演关系 (或语法变形)，也称为 N 的定理。
其中Γ 是元语言符号，描述 N 中的一个有限公式集合，称为规则的前提，B 是 N 的公式，称为结论公式。
规定等价规则：(1) 若Γ├ A∧B 则Γ├ B∧A；(2) 若Γ├ A∨B 则Γ├ B∨A。
Γ = {p1, p2, …, p n} 时，Γ├ B 也可以写成p1, p2, …, p n├ B定义：基本变形规则集 R每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式。
设Γ 是 L 中的一个有限公式集，A, B, C 是 L 的公式。
自然演绎逻辑导论
§8∶7·2 对SC的完全性的证明 如果SL中含有联结词的K或少于K个出现的每一命题P满足元命题，那么SL中含有联结词的K＋1个出现的每一命题P也满足元命题。 ：在SC中，如果Γ⊢ P, 那么Γ⊨ P。 前者证明的是奠基命题（basis clause），即“定理对该序列的第一项成立”； 5：如果命题集Γ是SC不一致的，那么，至少有一Γ的有限子集是SC不一致的。 定义：SL的一个命题集Γ是真值函项地一致的，当且仅当，至少有一真值指派使得Γ的每一成员是真的。 对于SL的一个命题P和一个命题集Γ，如果在SC中可以从Γ推演出P，那么Γ重言蕴涵P。 命题常项：从A到Z的大写字母（带或不带正整数下标）。 : 如果Γ⊨ P，那么对于Γ的每一个母集Γ 而言，Γ ⊨ P。 如果SL的一个命题集Γ重言蕴涵一个命题P，那么在SC 中P可由Γ推演出来。
项地不一致的，那么Γ也是SC不一致的。
（最大一致性引理）：如果Γ是SL的一个命题 集并且是SC一致的，那么，至少有一个SC最 大一致性集合使得，Γ是它的子集。
逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统三四节
补充材料二：
无效推理的证明
如果推理无效，那么运用推理规则不可能从前提推演出结论 。这意味着形式证明方法不能证明推理是无效的。 1，用真值表证明推理是无效的。 如果一个推理是无效的，至少存在一组赋值使得推理的前提 真而结论假。 例：用真值表判定下列推理是否有效： C（AB），AC /BC 2，用归谬赋值法证明推理的有效或无效。 归谬赋值法的基本思路同间接证明方法类似。我们要证明一 个推理是有效的，先假设它无效，这就是归谬。 例：判定下列推理是否有效： A（BC），（CD）F /AF 3，证明公式集合的协调性。
（附录）练习题：
一，用条件证明规则构造以下推论： 1，JK 2，ZCB，QB 3，P（QR），P（RQ） ） 二，使用间接证明构造以下推论： 1，PQ，PQ 2，FN，NBJ，BFD 3，PR，QS，PQ
/JJK /ZQ /P（QR
（二）条件证明规则的应用
例1： PQ RP ） 例2： P（QS） RP Q
/QR
（证明略
/RS
（证明如下）
证明： （1）P（QS） （2）RP （3） Q （4）R （5）R （6）P （7）QS （8）S （9）RS 证毕
（PQ）R QS PS /） PS （4）P （5）S （6）Q （7）PQ （8）R 证毕
PR PR PR PA-CP （3）、（4），MP （2）、（5）， （4）—（6），CP （1）、（7），MP
有的推论的证明只需一次使用条件证明规则，但是有的却需 要多次使用条件证明规则。 例4： P（QR） R Q（PS）
/PQ
例5： ABC CDE
/A（DEC）
命题逻辑自然演绎系统
练习：
1.
┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
2019年1月19日星期六
14
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理
2019年1月1Biblioteka 日星期六152. ┐P→（R→┐Q） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ┐S ∴ ┐R
讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2019年1月19日星期六
5
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)， (p)，((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个 字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
2019年1月19日星期六
8
整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和B推出A;
2019年1月19日星期六 20
蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
即：（Γ→（A→B））←→（Γ∧A→B）
命题逻辑的自然演译系统
4命題邏輯的自然演譯系統4.1 自然演繹系統的特徵自然演繹系統(system of natural deduction)的產生是針對公理系統(axiom system)而來，公理系統中的證明比較難建立，而且比較冘長。
公理系統除了為數很少的公理之外，它的推論規則也相當少，在證明的建立上，困難相對增加。
還有一個重要的難題，就是選擇什麼句式當作公理，這個問題本身是一個爭論的議題。
公理是自明的(self-evident)，公理本身不需要任何證明。
公理經過語意學的解釋之後必然為真。
自然演繹系統可以說是只由一組推論規則所構成的演繹系統。
這種演繹系統不需要預設任何公理，它只在證明時假定一些句式為真，再利用推論規則去導出所要的句式。
由假定(assumption)而得到證明的這種概念，是自然演繹法的基本概念。
例如先假定φ，再從這個假定推理出ψ。
句式ψ的真假並不是自然演繹法的重點。
它所注重的是，ψ的真是根據φ的真，亦即φ→ψ為真。
在這個推論中，可以結論出φ→ψ為真，而不論φ為真或假。
由於φ的真不保證φ→ψ的真，所以φ不再是φ→ψ的前提。
在這個推論得出φ→ψ時，φ就從φ→ψ的前提中去前提化(discharged)。
這個論證型同時也是一語句連詞的引進規則(introduction rule)：[φ](n):ψ(n)φ→ψ因為φ在第n個步驟的證明中會去前提化，所以用括號[ ] 括起來。
應用上述規則後被去前提化的假設φ以自然數n加以標示，表示在第n個步驟時會應用這個規則，同時將φ去前提化。
在自然演繹系統中，又稱之為條件句的引進規則(簡稱→I)。
除了引進規則之外，還有所謂的語句連詞的消去規則(elimination rule)。
例如條件句的消去規則：φφ→ψψ建立自然演繹系統的目標是將這類的推理有系統的普遍化，也就是針對語句連詞找出成對的引進規則與消去規則。
在公理系統中，導出都是由公理開始的，經由公理從推論規則導出的是定理，定理是由公理導出的句式，所以‘├φ’是公理系統中導出的基本概念。
实用法律逻辑学 第六章 演绎推理
如: 所有的液体都有弹性 水是液体 水有弹性
M S S
P M P
研究推理的形式结构说明推理既有内 我们令S 表达水，M表达液 容联系，也有形式联系，形式正确是 体，P表达弹性。则有： 保证从前提推导结论的必要条件
二、推理是人有目的的思维活动
1、间接知识是人们获取知识的重要 来源 2、推理是人有目的的思维活动
演绎推理( 第六章 演绎推理(一)
━━对简单命题所构成的 ━━对简单命题所构成的 演绎推理的研究
第一节 推理概述
一、推理的特征及作用
1、推理是由一个或一组命题推导出一 个新命题的思维形式
例如: “对评估的思考” 案例：“南京地区凡萌生智齿的女性都是19至 21岁之间的女青年” ……
想问题就是思维过程， 用已知命题推导出一个 未知命就是推理
3.3 演绎推理结论为真的两个条件
前提真实 推理形式有效
3.4区别推理形式有效、合理、 3.4区别推理形式有效、合理、结论真实性 区别推理形式有效
第三节 三段论
一.三段论推理是演绎推理的典型形式
三段论推理就是借助一个共同的概念， 1、三段论推理就是借助一个共同的概念，以连接 两个性质命题而推出一个新命题的演绎推理 如： 所有人犯罪有原因 他犯罪了 他有原因 凡渔都是用腮来呼吸的 鲸不是用腮来呼吸的 鲸不是鱼
——[美]普特南：《理性、真理与历史》 [ 普特南： 理性、真理与历史》
3、演绎推理结论为真的要求
3.1推理形式有效性并不意味着结论的真 3.1推理形式有效性并不意味着结论的真 实性 如:
所有有名望科学家都是大学毕业的 爱因斯坦是有名望的科学家 爱迪生 爱因斯坦 是大学毕业的 爱迪生 这一形式正确的推理结论必然真？ + +
命题逻辑的自然演绎系统推理技巧
在命题逻辑中，自然演绎系统推理技巧是一项重要的认知工具，它帮助我们理性地推导和论证命题之间的关系。
通过自然演绎系统推理技巧，我们可以更加深入地理解命题之间的逻辑联系，从而加强我们的批判性思维和逻辑推理能力。
接下来，我将从浅入深地探讨命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。
我们需要了解命题逻辑的基本概念。
在命题逻辑中，命题是陈述句或命题句，可以是真或假。
通过对命题的组合和关联，我们可以得到更加复杂的命题，从而进行自然演绎系统推理。
在自然演绎系统推理中，我们需要牢记几项基本原则：排中律、矛盾律和第三种排中律。
我们可以探讨如何运用自然演绎系统推理技巧来进行逻辑推理。
我们需要通过演绎推理的方式，从已知的真命题出发，推导出需要证明的命题。
在进行演绎推理时，我们需要特别注意使用命题逻辑的各种推理规则，如假言推理、拒斥推理和构造性二难推理等。
这些推理规则可以帮助我们更加清晰地展示命题之间的逻辑关系，从而得出正确的结论。
在实际应用中，我们可以通过举例或实际情景来说明自然演绎系统推理技巧的有效性。
我们可以通过分析一个实际的论证过程，来展示使用自然演绎系统推理技巧能够帮助我们更加准确地分析问题、推导结论。
我们需要总结和回顾命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。
通过总结和回顾，我们可以进一步加深对这一主题的理解，并将其运用到实际生活中。
总结和回顾还可以帮助我们发现命题逻辑的自然演绎系统推理技巧在实际应用中的局限性，从而促进我们对逻辑推理方法的不断完善和改进。
个人观点上，自然演绎系统推理技巧对于我们的思维和认知能力至关重要。
通过掌握这些技巧，我们可以更加准确地分析问题、推导结论，并在日常生活中做出更好的决策。
我认为对于命题逻辑的自然演绎系统推理技巧，我们应该深入研究和运用，并不断完善和拓展其应用范围。
通过深入的文章内容探讨，我相信你对命题逻辑的自然演绎系统推理技巧有了更加全面、深刻和灵活的理解。
希望这篇文章能够帮助你在未来的学习和工作中更好地运用自然演绎系统推理技巧，提高逻辑思维能力，取得更好的成果。
《逻辑学》第六章谓词自然推理精品PPT课件
对当关系的变化
在谓词逻辑中，性质命题的结构分析有一些不同于传统逻辑的分析。特别 是，这种分析基于命题逻辑。因为，全称命题成了一个蕴涵式，特称命题成 了合取式。
矛盾关系仍成立： 例如，否定 (x)(Sx¬Px) ，即 ¬(x)(Sx¬Px) , 它等于 (x) ¬(Sx¬Px) ,即(x)(Sx ∧Px) ，这就是E假等值于I真
对“如果所有的牛是食草动物，那么，有些动物是食草动物”， 要析出全称量词 (x) 和存在量词 (x)
分析谓词
凡是不直接表示事物本身的普遍语词，都要析为谓词。如 ， “ 在巴塞罗那奥运会上，某球赛赛场的所有观众是中国人或美国 人” ， 其中要析出谓词 “ 观众”、“中国人”、“美国人”。同样 的谓词用同样的谓词符号。
原来是受全称量词约束的，这样的个体称为不带标记的，它是任意选取的
个体。一个变项是否可用全称概括，就看它是否从去掉全称量词得来。
教科书p215例证明中的第5步错误，10条命题逻辑证明规则中无
“假言三段论；p216例2证明中的第5步错误，证明规则中无 “否定后
件”。误用+ 规则的例子 重庆很大，所以一切东西都很大。 a＝重庆 L＝很大
2. Ea
AP
3. (x) Ex
2 , +
错误 a不是从去掉全称量词得来的
4. ¬(x) Ex ∧(x) Ex
1, 3 , ∧+
5. ¬Ea
2 , 4 , ¬+
6. (x) ¬Ex
5 , +
存在概括规则 （存在量词引入 + E.G.）
任一个体（υ）有某性质（φ），当然就存在一个体（x ）有性质（φ）。
(x) (VxGx）∧ (x) (Cx Gx）＝ (x) (（Vx ∨Cx ）Gx） 即 “无论弹琴还是舞剑都是他的爱好”
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第二节：推演规则
（一）整推规则 （二）置换规则 （三）条件证明规则 （四）间接证明规则
（一）整推规则
通常，整推规则有10条。
推理规则1：肯定前件（MP）或蕴涵消去规则（-）
PQ P Q
PQPQ
如果这一地区的阳光充足，那么植被就好。 这一地区的阳光的确充足。 所以，这一地区的植被好。
推理规则8：二难推理（CD）假言选言推理
PQ R S PR Q S
如果我读博士研究生，我将成为学者。 如果我当教师，我将成为人类灵魂的工程师。 我或者读博士研究生或者当教师 所以，我或者成为学者或者成为人类灵魂工程师。
推理规则9：归谬推理
根据重言蕴涵式（ABB）A，我们得到归谬推理规则 ：从ABB可以推得A。也就是：
P Q PQ
袁媛有一本美学书。 袁媛有一本逻辑学书。 所以，袁媛有一本美学书和一本逻辑学书。
推理规则6：析取引入规则（+）（附加律）
P PQ
袁媛有一本美学书。 袁媛有一本美学书或逻辑学书。
推理规则7：假言连锁（HS）假言三段论
PQ Q R PR
如果我志存高远，就刻苦学习。 如果我刻苦学习，就一定能考上研究生。 所以，如果我志存高远，就一定能考上研究生。
/R（ST）
（证明略）
/QR
（证明略）
/AB
（证明略）
/CD
（证明略）
（附录）练习题：
一，请为以下推理构造形式证明：
（1）（PQ）R，Q /PR （2）（PQ）R，PS /RS （3）P（RQ），PQ，SRQ，S /R （4）PQR，QPS，ST，PH /T （5）PQ，QPR，QPRS /PS
6，分配律（Dist） A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC） 7，结合律（Ass） A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C 8，移出律（Exp） （AB）C（A（BC）） 9，蕴析律（Impl） （AB）（AB） 10，等值律（Ep） AB（AB）（BA）
例1： 如果王蓉是优秀教师，那么她既认真教书又潜心育人；王 蓉没有认真教书或者没有潜心育人；所以，王蓉不是优秀 教师。
P：王蓉是优秀教师 Q：王蓉认真教书 R：王蓉潜心育人 P（QR） QR
/P
P（QR） QR 证明： （1）P（QR） （2）QR （3）（QR） （4）P 证毕
（一），如果推理前提真，则结论一定真。 （二），所依据的只有推理的规则，没有公理。
自然演绎推理有不同的系统，那是因为人们选择了不同的规 则作为前提。我们仅介绍其中一种，这样的系统主要包括以 下三个方面的内容：
（一），初始符号 （二），形成规则 （三），推演规则
有的公式比较复杂，其中辖域最大的联结词 我们称之为主联结词。 （ABCD）（EFG） 从公式我们也可以看出，联结词的结合力依 以下次序递减： ，，，，
P（QQ） P
如果曹雪芹登上了月球，那么地球不是圆的并且地球是圆的。 所以，曹雪芹没有登上月球。
推理规则10：破坏式二难推理（DD）
PR Q S RS PQ
如果他有容人之量，他就能团结人。 如果他有感恩之心，他就懂得回报。 或者他不能团结人或者他不懂得回报。 所以，他或者没有容人之量或者没有感恩之心。
（1）如果小张参加长跑比赛，那么小林参加短跑比赛。 （2）如果小汪参加跳远比赛，那么小莫参加跳高比赛。 （3 ）如果小林参加短跑比赛，或者小莫参加跳高比赛，那 么A班比赛得分将提高。 （4）如果A班比赛得分提高，那么A班同学受到鼓舞。 （5）小张参加长跑比赛或者小汪参加跳远比赛； （6）所以，A班比赛得分提高并且A班同学受到鼓舞。
整推规则小结：
上述10条推理规则，构成了本自然 演绎系统的推演基本依据。在应用 时，我们强调：以上10条规则不论 哪一条都必须应用于整个命题，而 不能应用于命题的某一个部分；或 者说，这10条规则必须应用于主联 结词，而不能应用于非主联结词。 正因为如此，这10条推理规则也被 称之为“整推规则”。
P：古励考上剑桥大学 Q：古励的英语水平高 R：古励上职业技术学院 S：古励打算将来从事涉外作
PQ PR QS S
/R
（证明略）
（二）置换规则
置换规则的含义：对于任何命题 P ，无论它是以整个命题出现 ，还是作为一个命题的一部分出现，都可用与它重言等值的命 题Q来置换。
/P
PR PR （2），DeM （1）、（3）MT
例2： （PQ） （RS） Q
/（SP）
（证明略）
例3： （AB）（CB） CA /A （证明略）
例4： P Q PQR /（RS） （1）P （2）Q （3） PQR （4）PQ （5）（PQ） （6）（PQR）（RPQ） （7） RPQ （8）R （9）RS （10） （RS）
二，用整推规则或置换规则构造以下推理的有效性证明。
（1）P（QT），PQ，TS，Q /QS （2）M（NL），JK，M，M（NJ） /LK （3）PQ（RS），P，（RS）（TU），U /T （4）Q，（（PQ）（QS））R，（PQ） /S （5）J（HRST），S，（RH）J /T
（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr （6）tg
（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr
/tg
证明过程如下：
证明：
（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr （6）qs （7）t （8）g （9）tg 证毕 PR PR PR PR PR （1）、（2）、（5）CD （3）、（6）MP （4）、（7）MP （7）、（8）+
PR PR PR （1）、（2） （4）DeM （3）Ep （6） （5）、（7）MT （8） （9）DeM
例5： PQRS P（QR） PRRT 例6： PQR P 例子7： ABCD CDEF （EF） 例8： AB A（BC） A（BD ）
第六讲
命题逻辑的自然演绎系统概论
目标： 本章主要讨论命题演算。首先
我们要能熟练的运用推导规则， 其次在此基础上理解形式化的 逻辑系统与具体推理论证的关 系。
第一节：自然演绎系统概述 第二节：推导规则 第三节：条件证明规则 第四节：间接证明规则
第一节：自然演绎系统概述
强调两点：
注意：P、Q即可是命题变元，也可使简单命 题，还可以是复合命题。 （AB）（BC） AB BC
推理规则2：否定后件（MT）或蕴涵否后规则
根据重演蕴涵式（AB ） BA，我们得到否定后件 规则： PQ Q P 如果这一地区的阳光充足，那么植被好。 这一地区的植被不好。 所以，这一地区的阳光不充足。 （AB）C C （AB）
第一种情况：P作为整个命题出现。（PQ） 第二种情况，P作为命题的一部分出现。（（P）=（Q）） 以上两种情况，都能保证推论的有效性。
1，双否律（DN） AA 2，易位律（Tran） （AB）（BA） 3，德摩根律（DeM） （AB）AB （AB）AB 4，交换律（Com） ABBA ABBA 5，幂等律（Tant） AAA AAA
推理规则3：析取否定或析取消去（）规则
PQ P Q
王芳或者是公务员或者是教师。 王芳不是公务员。 所以，王芳是教师。
推理规则4：合取化简或合取消去规则（）
PQ P
袁媛有一本美学书和一本逻辑书。 所以，袁媛有一本美学书。
推理规则5：合取引入规则（+）
一般情况下，自然演绎推理的证明过程大致模式是：
P1 Pn S1 Sm C 结论
前提
过渡命题
如果古励能考上剑桥大学，那么古励的英语水平高；古励或 者上剑桥大学或者上职业技术学院；如果古励英语水平高， 那么古励打算将来从事涉外工作；所以，古励上职业技术学 院；因为古励不打算将来从事涉外工作。