机器人运动学坐标变换
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机器人的空间描述与坐标变换
3
2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P B P A PBo
（2-4）
OA
图2-3平移变换
第二章 机器人的空间描述和坐标变换
2.1 位姿和坐标系描述
2.2平移和旋转坐标系映射 2.3平移和旋转齐次坐标变换 2.4物体的变换和变换方程 2.5通用旋转变换
1
2.1位置方位表示与坐标系描述
1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 px
注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”
13
2.4物体的变换和变换方程
已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述 求坐标系{A}相对坐标系{B}的描述
B A
A B
T
即齐次变换的求逆问题。
T
一种直接的方法是矩阵求逆，另一种方法是根据变换矩阵的特点直 接得出逆变换。后一种方法更简单方便。
给定 A 计算 BT
ZA
q
P1 XA
图2-7旋转算子
0 sq 1 0 0 cq 0 0
0 0 0 1
9
定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
第一章机器人运动学(1)解析
点的齐次坐标（补充）
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵 x
a= x
, b= y
规定，一般情况：41列阵[a b c w]T 中 w 为 零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则[a b c 0]T 中 的 a、 图1.2 坐标轴的方向表示 b、c 表示某轴的方向； w不为零，则[a b c w]T 表 示空间某点的位置。
图示的矢量 u 的方向用可表达为： u = [a b c 0]T
B A
R
A B
R
1
A B
R
T
坐标变换
2）平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
坐标变换
3）.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
矩阵描述.
二、齐次坐标表示
将一个 n 维空间的点用 n+1 维坐标表示，则该 n+1 维坐标即为 n 维坐标的齐次坐标。记为：
P = [a b c w]T
w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w=1 时， 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即：
P = [PX PY PZ 1]T
当 w 不为1时，则相当于将该列阵中各元素同时 乘以一个非零的比例因子w，仍表示同一点P，即： a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
机器人技术 二、齐次坐标变换
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下 进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
因此通过求逆阵就可以求得求矩阵逆例题变换矩阵的逆第二章机器人运动学在一个具有六自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机照相机观察物体并测定它相对于照相机坐标系的位置然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动
第二讲
齐次坐标变换
主讲：吴海彬
福州大学机械工程及自动化学院
主要内容
引言 点的向量表示 单位向量 点和向量的齐次表示
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。 用“×”表示叉积，即
相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需 要右乘变换矩阵而不是左乘。
相对自身的运动即是相对动坐标。
相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐 标系中的点相对动坐标系的运动。 如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有 相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据 变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换 的对象（点或坐标）。
归纳总结机器人的坐标变换的类型
归纳总结机器人的坐标变换的类型摘要：一、机器人坐标变换的重要性二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换2.旋转矩阵变换3.线性变换4.非线性变换三、各类坐标变换的应用场景四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用五、总结与展望正文：一、机器人坐标变换的重要性在机器人技术中，坐标变换起着至关重要的作用。
它为机器人编程和控制提供了方便，使得机器人在执行任务时能够准确地定位和执行相应的操作。
坐标变换是将机器人从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，它有助于实现机器人末端执行器在不同坐标系下的定位和运动控制。
二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换：齐次变换是一种将机器人从源坐标系变换到目标坐标系的方法，它通过一个4x4的齐次矩阵实现。
齐次变换可以保持机器人的姿态不变，仅改变其位置。
2.旋转矩阵变换：旋转矩阵变换主要用于将机器人的姿态从源坐标系变换到目标坐标系。
通过旋转矩阵，可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的旋转。
3.线性变换：线性变换是将机器人从一个坐标系变换到另一个坐标系的一种方法，它包括平移和缩放两个过程。
线性变换可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的位置和尺寸变化。
4.非线性变换：非线性变换是指在变换过程中，机器人坐标系之间的转换关系不是线性的。
非线性变换通常用于处理机器人运动过程中的摩擦力、弹簧力等非线性因素。
三、各类坐标变换的应用场景各类坐标变换在机器人技术中有着广泛的应用。
例如，在工业机器人中，齐次变换和旋转矩阵变换用于实现机器人末端执行器的定位和姿态控制；线性变换则用于处理机器人末端执行器在不同坐标系下的尺寸变化。
在机器人导航和路径规划中，非线性变换有助于解决机器人运动过程中的非线性约束。
四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用坐标变换在机器人编程与控制中起到了关键作用。
通过对机器人进行坐标变换，可以使机器人更好地适应不同的工作环境，提高其在各种任务中的性能。
同时，坐标变换为机器人编程提供了便利，使得开发者可以更轻松地编写机器人控制程序，降低机器人编程的难度。
3机器人的位姿描述与坐标变换
利用旋转矩阵的正交性质:
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
4.2 位姿描述 4.3 坐标变换 4.4 轴和坐标系 4.5 工业机器人运动学分析
要加深理解 ➢学习了平移加旋转的综合坐标变换
主要内容
➢掌握关节机器人轴的概念和重要性。 ➢掌握机器人系统相关的坐标系以及它们的关系。
工业机器人的轴
U-3
➢工业机器人以6轴的关节式最常用， 以安川MA1400型号六自由度机器人 L-2 为例，从紧靠机座安装面开始将机 器人各轴取名为S轴、L轴、U轴、R S-1 轴、B轴与T轴。
sin
cos
cos 0 sin
R(Y
,
)
0
1
0
sin 0 cos
Yj
Yi
小结
➢学习了刚体位姿在坐标系中的描述方法 ➢要掌握用矩阵表示刚体上位置点和刚体姿态坐标系 ➢旋转矩阵用来表示刚体姿态，要掌握其使用方法
主要内容
➢学习坐标的平移变换 ➢学习旋转矩阵的使用和坐标的旋转变换
坐标平移变换
刚体姿态的直角坐标描述
➢旋转矩阵是研究机器人运动姿态的基础，它反映了刚体的定点旋转。
a o
n
a o
n
a n
o
刚体姿态的直角坐标描述
➢绕X轴、Y轴、Z轴旋转
Zi Zj
角--变换矩阵
Zi
Zj
Zi Zj
Yj
Yi
Xi Xj
Xi
Xj
Yi Yj
Xi
Xj
1
R(X , ) 0 0
0 cos sin
0
工具坐标系：工具坐标系是一个直角坐标系, 原点位于工具上。 基坐标系：基坐标系位于机器人基座。它是最便于机器人从一
个位置移动到另一个位置的坐标系。 工件坐标系：工件坐标系与工件相关，通常是最适于对机器人
进行编程的坐标系。 用户坐标系：用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工
主要内容
➢掌握关节机器人轴的概念和重要性。 ➢掌握机器人系统相关的坐标系以及它们的关系。
工业机器人的轴
U-3
➢工业机器人以6轴的关节式最常用， 以安川MA1400型号六自由度机器人 L-2 为例，从紧靠机座安装面开始将机 器人各轴取名为S轴、L轴、U轴、R S-1 轴、B轴与T轴。
sin
cos
cos 0 sin
R(Y
,
)
0
1
0
sin 0 cos
Yj
Yi
小结
➢学习了刚体位姿在坐标系中的描述方法 ➢要掌握用矩阵表示刚体上位置点和刚体姿态坐标系 ➢旋转矩阵用来表示刚体姿态，要掌握其使用方法
主要内容
➢学习坐标的平移变换 ➢学习旋转矩阵的使用和坐标的旋转变换
坐标平移变换
刚体姿态的直角坐标描述
➢旋转矩阵是研究机器人运动姿态的基础，它反映了刚体的定点旋转。
a o
n
a o
n
a n
o
刚体姿态的直角坐标描述
➢绕X轴、Y轴、Z轴旋转
Zi Zj
角--变换矩阵
Zi
Zj
Zi Zj
Yj
Yi
Xi Xj
Xi
Xj
Yi Yj
Xi
Xj
1
R(X , ) 0 0
0 cos sin
0
工具坐标系：工具坐标系是一个直角坐标系, 原点位于工具上。 基坐标系：基坐标系位于机器人基座。它是最便于机器人从一
个位置移动到另一个位置的坐标系。 工件坐标系：工件坐标系与工件相关，通常是最适于对机器人
进行编程的坐标系。 用户坐标系：用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工
机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页
0
0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
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xi cos x j sin y j 0 z j yi sin x j cos y j 0 z j zi 0 x j 0 y j 1 z j
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
工 业 机 器 人
第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
姿态可h ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h
ｏ ｙh ｙ
3.1 机器人的位姿描述
ｚ
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
cos(x , x h ) cos(x , yh ) cos(x , z h ) R cos(y , x h ) cos(y , yh ) cos(y , z h ) cos(z , x h ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
R
x , ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
②绕x轴旋转α角的 旋转变换矩阵为：
机器人运动学
ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
α
0 0 1 0 cos sin 0 sin cos
ｘj
ｙj ｏi ｏj
xi x j cos y j sin yi x j sin y j cos zi z j
ｘi
ｙi
ｘj
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.1 机器人位姿的表示
3.1.2 机器人的坐标系
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
机器人的位姿主要是 指机器人手部在空间的位
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
置和姿态，有时也会用到
其它各个活动杆件在空间 的位置和姿态。
α
ｙi
ｘi
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
R
y , ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③绕y轴旋转β角的 旋转变换矩阵为：
机器人运动学
ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
β
cos 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
①绕z轴旋转θ角 再将其写成矢量形式，则有： z ,
ri Rij rj
称上式为坐标旋转方程，式中： ——p点在坐标系{i}中的坐标列阵（矢量）； ri
r j ——p点在坐标系{j}中的坐标列阵（矢量）； z , R —— 坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵， ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平 移变换，则上述关系是应如何变化？
ri Rij ( pij rj )
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
数学模型：
机器人运动学
手的运动→位姿变化→位姿矩阵M
关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n 运动学方程： M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。
逆问题：已知M，求qi。
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
ｚ
px x p py y p z z
ｘ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙ
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。 2017年2月19日星期日
则：
12 0.866 0.5 0 5 11.830 9 13.794 rA p AB RAB rB 6 0.5 0.866 0 0 1 0 0 0 0
工 业 机 器 人
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述 3.2 齐次变换及运算 3.3 机器人运动学方程 3.4 机器人微分运动 习题
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
运动学研究的问题：
机器人运动学
手在空间的运动与各个
关节的运动之间的关系。 正问题：已知关节运动，求 手的运动。 逆问题：已知手的运动，求 关节运动。
2017年2月19日星期日
也称为方向余弦矩阵。
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
z , ——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵， Rij
是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和 坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j} 相对于坐标系{i}的姿态（方向）。
R
z , ij
cos sin 0
sin
cos 0
0 0 1
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 比较以下两式：
z , Rij
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
cos sin 0
3.2 齐次变换及运算
ｚi
ｚj
ｙj ｏi ｏj
θ θ
ｙi
ｘj
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 若空间有一点p，则其 在坐标系{i}和坐标系{j}中 的坐标分量之间就有以下关系：
机器人运动学
ｚi ｚj
ｙj ｏi
θ ｏj
3.2 齐次变换及运算
3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在先平移变换， 后旋转变换，则空间任一点在坐标系{i}和坐标系{j} 中的矢量之间就有以下关系：
ri pij Rij rj
称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。
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2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 将上式写成矩阵的形式，则有：
x i cos y sin i z i 0
sin cos 0
0 x j 0 y j 1 z j
设坐标系{i}和坐标系 {j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用 pij 矢量表示坐标系{i}和坐标系 {j}原点之间的矢量，则坐标系 {j}就可以看成是由坐标 系{i}沿矢量 pij平移变换而来的，所以称矢量 pij为平移变 换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
px pij p y p z
ｚi ｏi
ｏj pij ｙj
ｘj ｙi
ｘi
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢 量 r 和 r 表示，则它们之间有以下关系：
ri pij rj
β
ｏi
ｏj
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求 出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角 为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换 矩阵就为：
结论：
sin cos 0
z , 1 ij
0 0 1
, Rz ji
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
(R ) (R )
z , T ij
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第3章
3.2.1 直角坐标变换