甘肃省兰州大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
甘肃省兰州大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2018-2019学年度高二第一学期第二学段考试数学试题（理）（满分：150分 时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1．在ABC ∆ 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a b > 是sin sin A B > 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为（ ）A ．9B ．13C ．15D ．183．已知实数满足，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．4．已知数列满足：，，)(4221*+∈=-N n a a n n ，那么使成立的的最大值为（ ）A ．4B ．24C ． 6D ．255．定义：离心率的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E ：，为双曲线的半焦距，如果成等比数列，则双曲线E （ ）A ．可能是“黄金双曲线”B ．可能不是“黄金双曲线”C ．一定是“黄金双曲线”D ．一定不是“黄金双曲线 6．已知x ＞0，y ＞0，若m m yx x 282y 2+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜27．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为（ ） A ．B ．C ．2D ．8．在正四棱柱中，，E 为的中点，则直线BE 与平面所形成角的余弦值为 （ ） A ．1010 B ．51 C ．10103 D ．53 9．设F 为抛物线216y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++的值为 （ ） A ．36 B ．24 C ．16 D ．1210．函数()y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()21f x x x =-B ．()31f x x x =- C ．()1e x f x x =- D ．()1ln f x x x=-11．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设F 1，F 2分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆E于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．63 C ．31 D ．61二、填空题（每小题5分，共20分）13．设的内角所对边的长分别为,若,则角_________．14．设公比不为1的等比数列{a n }满足81321-=a a a ，且342,,a a a 成等差数列，则数列{a n }的前4项和为_____． 15．如图，点在正方形所在的平面外，AD PD ABCD PD =⊥，底面，则与所成角的度数为____________.16．已知函数f(x)，x ∈ (0,+ ∞)的导函数为()f x '，且满足()()32xxf x f x x e -=',f(1)=e-1,则f(x)在()()2,2f 处的切线为__ __三、解答题17．（10分）ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若)cos ,(cos C B m =，),2(b c a +=，且⊥.（1）求角B 的大小；（2）若8,7=+=c a b ，，求ABC ∆的面积.18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求二面角O ﹣AC ﹣D 的余弦值．19．（12分）已知动点P(x,y)(其中y 0≥)到x 轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若直线l ：x-y+1=0与动点P 的轨迹交于A 、B 两点，求△OAB 的面积.20.（12分）已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：2413=-a a ，10913=a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且经过点)0,2(A .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设)0,2(D -，过椭圆中心O 作直线BD 的垂线交l 于点C ，求证：∙为定值.22．（12分）已知函数x a x a x x f ln )1(21)(2++-=. （1）当1>a 时，求)(x f 的单调区间；（2）当1<a 且0≠a 时，若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.1. C2.D3.A4.C5.C6.D7.A8.C9.B 10.C 11.D 12.A 13.π32 14. 8515. 60 16．()228e 412e 4y x =--+ 【解析】∵()()32xxf x f x x e -='，∴()()32x xf x f x e x-='．令()()2f x g x x =，则()()()32x xf x f x g x e x -'='=，∴()()2x f x g x e c x==+（c 为常数），∴()()2x f x x e c =+， 又()11f e c e =+=-， ∴1c =-．∴()()21x f x x e =-，∴()()()222122x x x f x x e x e x x e x +=+'=--，∴()2284f e ='-．又()()2241f e =-，∴所求切线方程为()()()2241842y e e x --=--，即()2284124y ex e =--+．答案： ()2284124y e x e =--+17．（1）；（2）. 18.（1）证明略（2）72119.(1) 2x y 4=；（2）OAB S = 20.(1).(2).21. 4因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的标准方程为.设直线的方程为（一定存在，且）.代入，并整理得.解得，于是.又，所以的斜率为.因为，所以直线的方程为.与方程联立，解得.故为定值.22．（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）.（1）.当时，由，得或；由，得.故在，上单调递增，在上单调递减.（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减，则，因为，，且，所以，即.②当时，在，上单调递增，在上单调递减，在时取得极大值，且，因为，所以，则，所以在只有一个零点.综上，的取值范围为.。
甘肃省兰州市2018-2019学年高二上学期第二片区丙组期末联考数学(理)试题含答案
2018－2019学年度第一学期第二片区丙组期末联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷(选择题)注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：1.已知命题p ：Q ∈1，命题q ：函数()f x=1的定义域是[),+∞1，则以下为真命题的是（ ）A p q ∧B p q ∨C p q ⌝∧ Dp q ⌝∨2.椭圆x y +=2212516的离心率是（ ） A 35 B 45 C 925 D 16253.已知空间向量a 、b ，a b ⊥，(),,a =135，则b 的坐标可以是（ ） A (),,246 B (),,2610 C (),,--811 D(),,--5314.命题“若x y +=220，则x y ==0”的否命题．．．是（ ） A 若x y +=220，则x ≠0且y ≠0 B 若x y +≠220，则x ≠0且y ≠0C 若x y +=220，则x ≠0或y ≠0D 若x y +≠220，则x ≠0或y ≠05. 若方程x y m m -=--222112表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A m >2 B m -<<12 C m -<<11 D m -<<11或m >26. 以下各组向量中的三个向量，不能．．构成空间基底的是（ ） A (),,a=100，(),,b=020，,c=⎛⎫- ⎪⎝⎭1202 B (),,a=100，(),,b=010，(),,c=002C (),,a=101，(),,b=011，(),,c=212D (),,a=111，(),,b=010，(),,c=1027.“平面内，动点到两个定点的距离之和为一定值”是“动点的轨迹为椭圆”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 已知点1F 、2F 是椭圆2222x y +=的焦点，若点P 是椭圆上的一个动点，则12PF PF +的最小值是（ ）A 0B 1C 2D 9. 已知点1F 、2F 是椭圆x y a b+=22221()a b >>0的左、右焦点，点A 为椭圆与x轴正半轴的交点，点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，P 是椭圆上一点，PF 1与x 轴垂直，OP AB ，若椭圆上存在点Q ，使QF QF =120，则这样的Q 点的个数为（ ）A 4B 3C 2D 110. 已知点A 、B 在抛物线x y =24上，直线AB 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，直线AC 垂直于直线l ：y =-1，C 为垂足，若C 、B 、O （坐标原点）三点共线，则M 到直线l 的距离是（ ）A 3B 4C 6D 811.已知实数x ，y ，z 满足x y z ++=2221是（ ）A ,⎡⎣6B ,⎡⎤⎣⎦18C [],68 D,⎡⎤⎣⎦1112.以下三个命题：(1)若动点M 到定点(),A -50、(),B 50的连线斜率之积为定值-925，则动点M 的轨迹为一个椭圆。
甘肃省兰州高二上学期期末考试数学(理)模拟试卷(含答案)(2019级)
兰州市上学期期末考试模拟试题高二数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．.） 1. 命题p : 对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1≤0，则⌝p 是（ ） A.不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤0 B. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1≥0C. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1>0D.对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1>02. 抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（ ）A.4B.8C.16D.323. 若a 、b 为实数, 且a +b =2, 则3a +3b 的最小值为（ ） A ．6B ． 18C ．23D ．2434. 椭圆24x +y 2=1的焦点为F 1、F 2，经过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为P ，则|2PF uuu r |等于（ ）B. C.72D.4 5．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜66． 过双曲线221169x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF D （F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．127．已知空间四边形ABCD 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．c b a 213221+- B ．212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+ 8．已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A. 2233125100x y -=B. 221205x y -=C. 221520x y -=D. 2233110025x y -=9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ．0B ．21C ．43-D ．21-10. 椭圆上22221(0)x y a b a b+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A．B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 11. 已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z =2x -y 的最小值为 .13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为 ． 14．设双曲线2222b y a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 .兰州市2019-2020-1学期期末考试答题卡高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（每小题4分，共16分）11．；12．；13．；14．.三、解答题（本大题共5 小题，共44分）15.（本小题8分）己知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列.求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2.已知命题p :函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ：对函数y =-4x 2+4(2- m )x -1,y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．17．（本小题8分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1B 1中，AA 1=2AB =2AD =4，点E 在CC 1上且C 1E =3EC ．利用空间向量解决下列问题：（1）证明：A 1C ⊥平面BED ； （2）求锐二面角A 1-DE -B 的余弦值．A BC D E A 1B 1C 1D 1已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|.求∆AMN的面积．19. (本小题10分)如图所示，O 为坐标原点， A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A (2,0)是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且AC BC ⋅=0，|BC |=2|AC |． (1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO . 证明：存在实数λ，使PQ AB λ=．A BCyx兰州市2019-2020-1学期期末考试参考答案高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分）11．-72； 12．-125； 13．082=-+y x ； 14三、解答题（本大题共5 小题，共44分） 15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac∵a ，b ，c 都是正数，c a ca acb +<+≤=<∴20 ∴a +c >b , ……………………………4分 ∴a 2+b 2+c 2-(a -b +c )2=2(ab +bc -ca ）=2(ab +bc - b 2）=2b (a +c -b )>0 ∴ a 2+b 2+c 2>(a -b +c )2. ……………………………8分 16．（8分）解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分 若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0， 解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………4分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假当p 真q 假时，由213m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m >3 ……………………………6分当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨≤≤⎩ 解得：1≤m <2综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} …………………………8分 17．（8分）解：（Ⅰ）证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，．因为10AC DB =，10AC DE =，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ．……………………………4分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．……………………………6分4214==．所以二面角1A DE B --．……………………………8分 18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋ty 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t, ……………………………5分 ∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由|MN |得t =4， ……………………………8分 又A 到直线l 的距离为d……………………………9分∴∆AMN 的面积为S =12|MN |﹒d=6. ……………………………10分 19. (10分221y b+=(0)a b >>，则a =2由AC BC ⋅=0， |BC |=2|AC |得∆AOC 为等腰直角三角形，∴C (1，1)，代入得b, 2314y +=. ……………………………4分 （2）证明：设PC 斜率为k ,则QC 斜率为-k ，、∴直线PC 的方程为y =k (x -1)+1, 直线QC 的方程为y=-k (x -1)+1,由221)13=4y k x x y =-+⎧⎨+⎩( 得（1+3k 2）x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0. ……………………5分 又x C =1, 且x C x P =2236131k k k --+，∴x P =2236131k k k --+, 同理x Q =223+6131k k k -+ …………7分2222(31)2()213112331P Q P Q k k k k x x k k k x x k ----+===--+.…………9分, 所以//PQ AB λ，即一定存在实数λ，使PQ AB λ=．……………………10分。
2018-2019甘肃兰州高二上数学期末试题及答案
A. 若������ + ������ = 0，则������ ≠ 0且������ ≠ 0 C. 若������ 2 + ������ 2 ≠ 0，则������ ≠ 0且������ ≠ 0
【答案】D
2
2
B. 若������ + ������ = 0，则������ ≠ 0或������ ≠ 0 D. 若������ 2 + ������ 2 ≠ 0，则������ ≠ 0或������ ≠ 0
1
2.
椭圆
������ 2 25
+
������ 2 16
= 1的离心率为(
)
A.
3 5
B.
4 5
C.
3 4
D.
16 25
【答案】A 【解析】解：由椭圆 故选：A． 由椭圆
������ 2 25 ������ 2 25
+
������ 2 16
= 1的方程可知，������ = 5，������ = 4，������ = 3，∴离心率������ = ������ = 5，
− ������−2 = 1表示双曲线，
������ 2
可得：(������2 − 1)(������ − 2) > 0，解得：−1 < ������ < 1或������ > 2． 故选：D． 利用双曲线的简单性质，列出不等式求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 6. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是( ⃗ = (2 , −√2, 0) ⃗ = (1,0，0)，⃗ A. ������ ������ = (0,2，0)，������ ������ = (1,0，0)，⃗ ⃗ = (0,0，2) B. ⃗ ������ = (0,1，0)，������ ⃗ = (0,1，1)，������ ⃗ = (1,0，1)，������ ⃗ = (2,1，2) C. ������ ⃗ = (1,1，1)，⃗ ⃗ = (1,0，2) D. ������ ������ = (0,1，0)，������ 【答案】A
2018-2019甘肃兰州高二上数学期末试题(图片版)
甘肃省兰州市2018-2019学年高二上学期第二片区丙组期末联考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：1∈Q，命题q：函数f(x)=x−1的定义域是[1,+∞)，则以下为真命题的是()A. p∧qB. p∨qC. ￢p∧qD. ￢p∨q【答案】B【解析】解：∵命题p：1∈Q是真命题，命题q：函数f(x)=√x−1的定义域是[1,+∞)是假命题，∴在A中，p∧q是假命题，故A错误；在B中，p∨q是真命题，故B正确；在C中，￢p∧q是假命题，故C错误；在D中，￢p∨q是假命题，故D错误．故选：B．推导出命题p是真命题，命题q是假命题，从而p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∨q是假命题．本题考查命题真假的判断，考查或、且、非及复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.椭圆x225+y216=1的离心率为()A. 35B. 45C. 34D. 1625【答案】A【解析】解：由椭圆x225+y216=1的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率e=ca=35，故选：A．由椭圆x225+y216=1的方程可知，a，b，c的值，由离心率e=ca求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．3.已知空间向量a⃗、b⃗ ，a⃗⊥b⃗ ，a⃗=(1,3，5)，则b⃗ 的坐标可以是()A. (2,4，6)B. (2,6，10)C. (8,−1,−1)D. (5,−3,−1)【答案】C【解析】解：空间向量a⃗、b⃗ ，a⃗⊥b⃗ ，a⃗=(1,3，5)，在A中，当b⃗ =(2,4，6)时，a⃗⋅b⃗ =2+12+30=44≠0，故A错误；在B中，当b⃗ =(2,6，10)时，a⃗⋅b⃗ =2+18+50=70≠0，故B错误；在C中，当b⃗ =(8,−1,−1)时，a⃗⋅b⃗ =8−3−5=0，a⃗⊥b⃗ ，故C正确；在D中，当b⃗ =(5,−3,−1)时，a⃗⋅b⃗ =5−9−5=−9≠0，故D错误．故选：C．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是()A. 若x2+y2=0，则x≠0且y≠0B. 若x2+y2=0，则x≠0或y≠0C. 若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D. 若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0【答案】D【解析】解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0．故选：D．直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可．本题考查四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题．5.若方程x2m2−1−y2m−2=1表示双曲线，则m的取值范围是()A. m>2B. −1<m<2C. −1<m<1D. −1<m<1或m>2【答案】D【解析】解：方程x2m2−1−y2m−2=1表示双曲线，可得：(m2−1)(m−2)>0，解得：−1<m<1或m>2．故选：D．利用双曲线的简单性质，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A. a⃗=(1,0，0)，b⃗ =(0,2，0)，c⃗=(12,−√2,0)B. a⃗=(1,0，0)，b⃗ =(0,1，0)，c⃗=(0,0，2)C. a⃗=(1,0，1)，b⃗ =(0,1，1)，c⃗=(2,1，2)D. a⃗=(1,1，1)，b⃗ =(0,1，0)，c⃗=(1,0，2)【答案】A【解析】解：若空间三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 能构成空间的基底，则向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面， 对于选项A ，因为：a ⃗ =(1,0，0，)，b ⃗ =(0,2，0)，c⃗ =(12,−√2,0)， 则c ⃗ =12a ⃗ −√22b ⃗ ，即向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 共面， 故选项A 中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B ，C ，D 中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底， 故选：A ．结合空间三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 能构成空间的基底，则向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，逐一检验即可 本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，属简单题7. 平面内，“动点P 到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P 的轨迹是椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若动点P 到两个定点|AB|的距离之和为正常数2a ，当2a ≤|AB|时，动点P 的轨迹是线段AB ，或不存在，故充分性不成立，若动点P 的轨迹是椭圆，则满足，“动点P 到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，故平面内，“动点P 到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P 的轨迹是椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键．8. 已知点F 1、F 2是椭圆x 2+2y 2=2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A. 0B. 1C. 2D. 2√2【答案】C【解析】解：∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 当点P 到原点的距离最小时，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |达到最小值，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |同时达到最小值．∵椭圆x 2+2y 2=2化成标准形式，得x 22+y 2=1∴a 2=2且b 2=1，可得a =√2，b =1因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为b =1 ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2故选：C ．根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于点P 到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是2． 本题给出点F 1、F 2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P 指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9. 已知点F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点A 为椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，P 是椭圆上一点，PF 1与x 轴垂直，OP//AB ，若椭圆上存在点Q ，使QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则这样的Q 点的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：如图，A(a,0)，B(0,b)，P(−c,b 2a ). k AB =−ba ，k OP =−b 2ac，由OP//AB ，得−ba =−b 2ac ，则b =c ．∴以O 为圆心，以F 1F 2为直径的圆与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有两个交点，为短轴的两端点． ∴若椭圆上存在点Q ，使QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则Q 为短轴的两端点，Q 点的个数为2个． 故选：C ．由已知画出图形，求出A ，B ，P 的坐标，由已知可得−ba=−b 2ac，得到b =c ，由此可知，以O 为圆心，以F 1F 2为直径的圆与椭圆x 2a2+y 2b 2=1有两个交点，为短轴的两端点，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆、椭圆与圆位置关系的应用，是中档题．10. 已知点A 、B 在抛物线x 2=4y 上，直线AB 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，直线AC 垂直于直线l ：y =−1，C 为垂足，若C 、B 、O(坐标原点)三点共线，则M 到直线l 的距离是( )A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：如图，设AB ：y =x +m ，联立{x 2=4y y=x+m，得x 2−4x −4m =0． 设A(x 1,x 124)，B(x 2,x 224)，则C(x 1,−1)．由根与系数的关系可得：x 1+x 2=4，x 1x 2=−4m ． 由C 、B 、O 三点共线，得−1x 1=x 24，即x 1x 2=−4．∴−4m =−4，即m =1． ∴M 到直线l 的距离是y 1+y 2+2=x 124+x 224+2=x 12+x 224+2=(x 1+x 2)2−2x 1x 24+2=42−2×44+2=4．故选：B ．由已知画出图形，设AB ：y =x +m ，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合C 、B 、O 三点共线求得m ，再由梯形中位线的性质求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．11. 已知实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+z 2=1，则√(x −3)2+(y −4)2+(y −5)2的范围是( )A. [6,5√2]B. [5√2−1,8]C. [6,8]D. [5√2−1,5√2+1]【答案】D【解析】解：实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+z 2=1，看做是以坐标原点为球心的球， √(x −3)2+(y −4)2+(y −5)2的几何意义是球上的点与(3,4，5)的距离． 可知最小值：√32+42+52−1=5√2−1， 最大值为：√32+42+52+1=5√2+1，所以：√(x −3)2+(y −4)2+(y −5)2的范围是：[5√2−1,5√2+1]. 故选：D ．x 2+y 2+z 2=1，看做是以坐标原点为球心的球，√(x −3)2+(y −4)2+(y −5)2的几何意义是球上的点与(3,4，5)的距离.然后求解范围即可．本题考查空间两点间距离公式的求法，表达式的几何意义，考查空间想象能力以及计算能力．12.以下三个命题：(1)若动点M到定点A(−5,0)、B(5,0)的连线斜率之积为定值−925，则动点M的轨迹为一个椭圆．(2)平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线．(3)若过原点的直线与圆(x−2)2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹为一个圆．其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：对于(1)，若动点M到定点A(−5,0)、B(5,0)的连线斜率之积为定值−925，设M(x,y)，可得yx+5⋅yx−5=−925，即为x225+y29=1(x≠±5)，则动点M的轨迹为一个椭圆(不包括x轴上的点)，故(1)错误；对于(2)，平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等，如果定点不在定直线上，可得动点的轨迹是一条抛物线；若定点在定直线上，可得动点的轨迹为过定点垂直于定直线的直线，故(2)错误；对于(3)，圆C：(x−2)2+y2=4的圆心C(2,0)，半径为2，设A(0,0)，若过原点的直线与圆C：(x−2)2+y2=4相交于A、B两点，由MC⊥AB，可得M的轨迹为以AC为直径的圆(不包括原点)，故(3)错误．其中真命题的个数为0．故选：A．由直线的斜率公式化简整理，注意去掉x轴上的点，即可判断(1)；由抛物线的定义，即可判断(2)；由圆内的垂径定理，即可判断(3)．本题考查轨迹方程的求法，注意运用方程思想和定义法，易错点：一些特殊点，考查运算能力，属于基础题和易错题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(5,0)，则抛物线的标准方程为______．【答案】y2=20x【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(5,0)，可得p=10，所以抛物线的标准方程为：y2=20x．故答案为：y2=20x．利用抛物线的焦点坐标，求出p，然后求解抛物线的标准方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力．14.命题“存在实数a，使函数y=x a在其定义域内为非单调函数”是______(填“真”或“假”)命题．【解析】解：当a =2时，y =x 2在(−∞,0]为减函数，在(0,+∞)为增函数， 但在定义域内为非单调函数．则存在实数a ，使函数y =x a 在其定义域内为非单调函数， 故答案为：真．可取a =2，由二次函数的单调性，即可判断命题的真假．本题考查存在性命题的真假判断，主要是幂函数的图象和性质的运用，考查判断能力，属于基础题．15. 叙述空间向量基本定理：______【答案】如果三个向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 不共面，那么对空间任一向量p ⃗ ，存在有序实数组x 、y 、z ，使得p ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗【解析】解：空间向量的基本定理是，“如果三个向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 不共面，那么对空间任一向量p ⃗ ，存在有序实数组x 、y 、z ，使得p ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ”.故答案为：如果三个向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 不共面，那么对空间任一向量p ⃗ ，存在有序实数组x 、y 、z ，使得p ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ．根据空间向量的基本定理，写出定理的内容即可． 本题考查了空间向量的基本定理与应用问题，是基础题．16. 已知点F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,λ>0)且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点Q 到双曲线x 24−y23=1的一条渐近线距离的最大值为______． 【答案】√217+4【解析】解：椭圆x 24+y 23=1的a =2，F 1(−1,0)，若动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,λ>0)且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 可得F 1，P ，Q 三点共线，且同向，由|QF 1|=|PQ|+|PF 1|=|PF 2|+|PF 1|=2a =4， 可得Q 的轨迹为以F 1为圆心，4为半径的圆， 双曲线x 24−y 23=1的一条渐近线方程设为√3x −2y =0，由圆心到渐近线的距离为√3√3+4=√217， 可得点Q 到双曲线x 24−y 23=1的一条渐近线距离的最大值为√217+4，故答案为：√217+4．求得椭圆的焦点和a ，运用向量共线和椭圆的定义可得Q 的轨迹为以F 1为圆心，4为半径的圆，求得双曲线的一条渐近线方程，以及圆心到渐近线的距离d ，由最大值为d +r ，本题考查椭圆和双曲线的定义、性质，考查轨迹的求法，以及直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的运用，以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p ：x −2>0，q ：ax −4>0，其中a ∈R ．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围； (2)(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的范围； 【答案】解：（1）设命题p ：A =，即P ：A =，命题q ：B =，因为p 是q 的充分不必要条件， 则A ⊊B ，即{a ＞04a＜2，解得：a ＞2，（2）由（1）得：B ⊊A ， ①当a =0时，B =∅，满足，②当a ＞0时，由B ⊊A 得：4a ＞2，即0＜a ＜2， ③a ＜0时，显然不满足题意， 综合①②③得： 实数a 的范围：0≤a ＜2．【解析】（1）由命题与集合的关系，设命题p ：A =，命题q ：B =，因为p 是q 的充分不必要条件，则A ⊊B ，得解，（2）由B ⊊A ，分别讨论①当a =0时，②当a ＞0时，③a ＜0时，再综合可得解． 本题考查了含参不等式的解法及集合的包含关系及充分、必要条件，属简单题18. 已知四面体DABC 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB =BC =2，点E 是AC 的中点； (1)求证：DE ⊥AC ；(2)若异面直线CD 与BE 所成角为θ，且cosθ=√1010，求二面角D −AC −B 的余弦值；【答案】证明：(1)以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B −xyz ， 则A(2,0，0)，C(0,2，0)，E(1,1，0)， 设D(0,0，z)，(z >0)，∵DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴DE ⊥AC.………………(4分)解：(2)∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−z)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， ∴cosθ=|DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√24+z 2=√1010，解得z =4，即D(0,0，4)，………………(8分)设平面DAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −4z =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(2,2，1)， 又平面ABC 的法向量为n⃗ =(0,0，1)， 设二面角D −AC −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=13， ∴二面角D −AC −B 的余弦值为13.………………(12分)【解析】(1)以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B −xyz ，利用向量法能证明DE ⊥AC ． (2)求出平面DAC 的法向量和平面ABC 的法向量，利用向量法能求出二面角D −AC −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 已知双曲线与椭圆x 216+y 212=1有公共焦点，双曲线的渐近线方程为y =±√33x (1)求双曲线的标准方程；(2)若直线l ：y =kx −1与双曲线有两个不同的交点，求实数k 的范围 【答案】解：(1)双曲线与椭圆x 216+y 212=1有公共焦点，可知焦点诶(−2,0)，(2,0)， 即c =2，∵双曲线的渐近线方程为y =±√33x∴ba =√33， 又c 2=a 2+b 2， ∴a 2=3，b 2=1， ∴双曲线的方程为x 23−y 2=1，(2)由{y =kx −1x 2−3y 2=3，消y 可得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0， ∵直线l ：y =kx −1与双曲线有两个不同的交点， ∴1−3k 2≠0且△=36k 2+24(1−3k 2)>0， 解得−√2<k <√2，且k ≠±√33， 故k 的范围为{k|−√2<k <√2，且k ≠±√33}【解析】(1)先求出c =2，再根据渐近线方程可得ba =√33，又c 2=a 2+b 2，解得即可求出．(2)联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k 的范围．本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20. 已知点P(1,2)在抛物线y 2=2px(p >0)上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过A(4,0)的直线与抛物线交于M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)两点，试证明x 1x 2、y 1y 2均为定值，并求相应的定值．【答案】解：(1)∵点P(1,2)在抛物线y 2=2px(p >0)上， ∴4=2p ，即p =2， ∴抛物线的标准方程y 2=4x ；证明：(2)：过点P(4,0)且斜率为k 的直线l 的方程为：y =k(x −4)． 把y =k(x −4)代入y 2=4x ，消去y 得k 2x 2−(8k 2+4)x +16k 2=0， 由于直线与抛物线交于不同两点， 故k 2≠0且△>0，∴x 1⋅x 2=16，而y 1⋅y 2<0， ∴y 1⋅y 2=−16．当过点P(4,0)且斜率不存在时，也满足x 1⋅x 2=16，y 1⋅y 2=−16． 综上可得：x 1x 2，y 1y 2均为定值．【解析】(1)将点P 代入即求出p 的值，可得抛物线的方程；(2)过点P(4,0)且斜率为k 的直线l 的方程为：y =k(x −4).联立抛物线方程，由韦达定理可得x 1⋅x 2=16，y 1⋅y 2=−16，又由直线斜率不存在时，x 1⋅x 2=16，y 1⋅y 2=−16也成立，可得结论．本题考查了抛物线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线方程，属于中档题．21. 已知正四面体ABCD 的各边长均为2，点E 是边AB 的中点，点F 在边CD 上，且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)计算EF 的长；(2)求E 到平面BCD 的距离；【答案】解：(1)令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∵正四面体ABCD 的各边长均为2，点E 是边AB 的中点，点F 在边CD 上，且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c ⃗ |=2，<a ⃗ ,b ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=60∘， ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13c ⃗ ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +c ⃗ +13b ⃗ −13c ⃗ =−12a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(−12a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ )2=199，∴EF 的长|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√193．(2)平面BCD 的法向量m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，EB ⃗⃗⃗⃗⃗=12a ⃗ ， ∴E 到平面BCD 的距离：d =|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=|12a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +12a ⃗ ⋅c ⃗ |√(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=2√6=√63．【解析】(1)令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c ⃗ |=2，<a ⃗ ,b ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=60∘，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13c ⃗ ，从而求出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ ，由此能求出EF 的长． (2)平面BCD 的法向量m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，由此能求出E 到平面BCD 的距离． 本题考查线段长的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 1、F 2是椭圆C ：x 22+y 2=1的左、右焦点，点P(x 0,y 0)(y 0≠0)在椭圆上，过点P 的直线l 的方程为x 0x2+y 0y =1．(1)当PF 2⊥F 1F 2时，求△PF 1F 2的面积； (2)若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，试求△OAB 面积的最小值；【答案】解：(1)当PF 2⊥F 1F 2时， ∴x 0=1，∴|y 0|=√22， ∵|F 1F 2|=2c =2∴△PF 1F 2的面积S =12|F 1F 2|⋅|y 0|=√22(Ⅱ)∵直线l 与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，∴x 0≠0，y 0≠0．令y =0，得x =2x 0，则A(2x 0,0)， 令x =0，得y =1y 0，则B(0,1y 0). ∵点P(x 0,y 0)在椭圆C 上，∴x 022+y 02=1．∴1=x 022+y 02≥√2|x 0y 0|，∴1|x 0y 0|≥√2 ∴△OAB 的面积S △OAB =12|OA|⋅OB|=12|2x 0|⋅|1y 0|=1|x0y 0|≥√2当且仅当x 022=y 02=12，即|x 0|=1，|y0|=√22取等号， 故△OAB 面积的最小值为√2【解析】(1)根据PF2⊥F1F2时，即可求出|y0|=√2，三角形的面积可求出．2(2)在直线l中，分别令x=0，y=0，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的基本量的关系，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题。
2018-2019学年甘肃省兰州市第二片区丙组高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
+y ＝1 的左、右焦点，点 +y0y＝1．
2
（2）若直线 l 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，试求△OAB 面积的最小值；
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2018-2019 学年甘肃省兰州市第二片区丙组高二（上）期 末数学试卷（理科）
轴正半轴的交点，点 B 为椭圆与 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆上一点，PF1 与 x 轴垂直， OP∥AB，若椭圆上存在点 Q，使 0，则这样的 Q 点的个数为（ C．2 D．1
）
10． （5 分）已知点 A、B 在抛物线 x ＝4y 上，直线 AB 的斜率为 1，M 为线段 AB 的中点， 直线 AC 垂直于直线 l：y＝﹣1，C 为垂足，若 C、B、O（坐标原点）三点共线，则 M 到 直线 l 的距离是（ A．3 ） B．4
2
（1）计算 EF 的长；
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（2）求 E 到平面 BCD 的距离；
22． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1、F2 是椭圆 C： P（x0，y0） （y0≠0）在椭圆上，过点 P 的直线 l 的方程为 （1）当 PF2⊥F1F2 时，求△PF1F2 的面积；
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a 2
． （填
15． （5 分）叙述空间向量基本定理： 16． （5 分）已知点 F1、F2 是椭圆 + ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若动点 Q
满足
＝λ
（λ∈R，λ＞0）且| ．
|＝|
|，则点 Q 到双曲线
﹣
＝1 的一条渐
近线距离的最大值为
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17． （10 分）已知 p：x﹣2＞0，q：ax﹣4＞0，其中 a∈R． （1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的范围； （2） （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的范围； 18． （12 分）已知四面体 DABC 中，AB，BC，BD 两两垂直，且 AB＝BC＝2，点 E 是 AC 的中点； （1）求证：DE⊥AC； （2） 若异面直线 CD 与 BE 所成角为 θ， 且 cosθ＝ ， 求二面角 D﹣AC﹣B 的余弦值；
2018-2019学年甘肃省兰州一中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为：命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真4．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．命题“∀x∈R，x2﹣x+3＞0”的否定是C．命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”5．（5分）已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）A．y2＝8x B．y2＝﹣8x C．y2＝4x D．y2＝﹣4x6．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝（）A．1B．2C．D．47．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个8．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线y2﹣x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝（）A．B．C．2D．39．（5分）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则值为（）A．B．C．D．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线y2＝12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．14．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点A1到截面AB1D1的距离是．15．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”．四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是．16．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，求椭圆方程．②已知双曲线与圆M：x2+（y﹣5）2＝9．双曲线C的焦距为10，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线C的方程．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足．（Ⅰ）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点为M，且（O为坐标原点）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△F AB的面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，P A＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面P AB所成的角为30°，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．22．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2＝8，圆A内一定点B（1，0），动圆P过点B且与圆A 内切．记动圆圆心P的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C方程；（Ⅱ）过点的动直线l交轨迹C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段MN为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选：B．2．【解答】解：∵空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，∴＝＝+（）＝+＝．故选：B．3．【解答】解：函数y＝sin2x的最小正周期为，故命题p为假命题；由cos，可知函数y＝cos x的图象不关于直线x＝对称，故命题q为假命题．则p∧q为假．故选：C．4．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，满足逆否命题的定义，所以A正确；“∀x∈R，x2﹣x+3＞0”的否定是，满足命题的否定形式，所以B正确；命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题为：a＞b则ac2＞bc2，是假命题，所以C不正确；“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，满足命题的否命题的形式，D正确；故选：C．5．【解答】解：设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），则由，则，化简整理得y2＝﹣8x．故选：B．6．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB＝2，即c＝2，则a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，则a2＝4，a＝2，故选：B．7．【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P 也有两个．故符合要求的点P有六个．故选：C．8．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x＝﹣，准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（﹣）2＝1，解得y＝±，因为△ABF为等边三角形，所以＝2|y|，即p2＝3y2，即p2＝3（1+），解得p＝2．故选：B．9．【解答】解：把y＝1﹣x代入椭圆ax2+by2＝1得ax2+b（1﹣x）2＝1，整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，y1+y2＝2﹣，∴线段AB的中点坐标为（，），∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k＝＝＝．∴＝．故选：B．10．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC＝CA＝CC1，设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝＝，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO＝＝＝．故选：C．11．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．12．【解答】解：如图所示，∵|PF2|＝|F1F2|，∴|PF2|＝2c，则|PF1|＝2a﹣2c．∵3|PF1|＝4|QF1|，∴|QF1|＝（2a﹣2c）＝（a﹣c），则|QF2|＝2a﹣（a﹣c）＝c．在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2＝．在△QF1F2中，由余弦定理可得：，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2＝0，得＝0，整理得：，∴5a＝7c，则25a2＝49c2＝49（a2﹣b2），∴．则．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：抛物线y2＝12x的准线为x＝﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y＝x，y＝﹣x，这三条直线构成边长为2 的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2 ×2 ×sin60°＝．故答案为：．14．【解答】解：设点A1到截面AB1D1的距离为h，由已知数据可得AB1＝AD1＝＝，B1D1＝，∴cos∠B1AD1＝＝，故sin∠B1AD1＝，∴＝×××＝，由等体积法可得＝，∴××h＝××1×1×2，解得h＝，故答案为：．15．【解答】解：不妨设获奖的歌手是甲，则四位歌手中的话甲、乙、丙、丁是假的，与四位歌手的话只有一位是假的矛盾，故假设错误，不妨设获奖的歌手是乙，则四位歌手中的话丙是假的，与四位歌手的话只有一位是假的相符，故假设正确，不妨设获奖的歌手是丙，则四位歌手中的话乙、丁是假的，与四位歌手的话只有一位是假的矛盾，故假设错误，不妨设获奖的歌手是丁，则四位歌手中的话甲、丙、丁是假的，与四位歌手的话只有一位是假的矛盾，故假设错误，故答案为：乙．16．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x＝，y＝，∴k OM＝＝≤＝，当且仅当t＝时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【解答】（本题满分10分）解：①设椭圆方程为mx2+ny2＝1（m，n＞0，m≠n）．由，解得m＝，n＝．∴椭圆方程为：．………（5分）②由2c＝10，知c＝5．渐近线方程为bx±ay＝0且a2+b2＝25，又圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r＝3．∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线C的方程为．………（10分）18．【解答】解：（I）当a＝1时，x2﹣5ax+4a2＜0，即为x2﹣5x+4＜0，解得1＜x＜4，当p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜4．当q为真时，由，知2＜x≤5．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，4）．………（6分）（II）￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件．设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则B⇐A．由x2﹣5ax+4a2＜0得（x﹣4a）（x﹣a）＜0，∵a＞0，∴A＝{x|a＜x＜4a}，又B＝{x|2＜x≤5}，则a≤2且4a＞5，解得＜a≤2．∴实数a的取值范围是（，2]．（12分）19．【解答】满分（12分）．解：法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，由余弦定理得，，∴，…（1分）∴，∴AB1⊥AB．…（2分）又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，∴AC⊥AB，又∵AC∩AB1＝A，∴AB⊥平面AB1C．（4分）又∵B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C．（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴AB1⊥AC．（6分）如图，以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，（7分）则，∴．（8分）设平面BCB1的法向量＝（x，y，z），由，得令z＝1，得．∴平面BCB1的一个法向量为．…（9分）∵，…（10分）∴＝＝，…．…（11分）∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为．（12分）法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，则∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．（6分）由（Ⅰ）知，AB 1⊥AB，，AB＝AC＝1，B1C＝2，∴，∴AB1⊥AC，又∵AB∩AC＝A，∴AB1⊥平面ABC，（7分）∴．（8分）取BC中点P，连结PB1，∵BB1＝B1C＝2，∴PB1⊥BC．又在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，∴，∴，∴，∴．（9分）∵，∴，即，∴．（10分）∵AB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AB1⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，B1C1＝BC＝2，∴AB1⊥B1C1，∴．（11分）在Rt△AHC1中，，所以AC1与平面BCB1所成的角的正弦值为．（12分）20．【解答】解：（I）由题意，抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点的坐标为（8，﹣8），代入抛物线方程可得64＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线C方程为y2＝8x；（II）∵不过原点的直线l2与l1垂直，∴可设l2的方程为x＝y+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M，直线方程代入抛物线方程，可得y2﹣8y﹣8m＝0，△＝64+32m＞0，∴m＞﹣2，由韦达定理得y1+y2＝8，y1y2＝﹣8m，∴x1x2＝m2，由题意，OA⊥OB，即x1x2+y1y2＝m2﹣8m＝0，∴m＝8或m＝0（舍去），∴l2的方程为x＝y+8，M（8，0），∴S△F AB＝|FM|•|y1﹣y2|＝3＝24．21．【解答】证明：（1）连结OP，∵P A＝PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面P AB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…（4分）又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…（6分）解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2．∵侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面P AB，CB⊥平面P AB，△DP A≌△CPB，∴∠DP A为直线PD与平面P AB所成的角∴∠DP A＝30°，∠CPB＝30°，，∴DP＝CP＝2，∴△PDC为等边三角形，…（9分）设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角．由于∠CPB＝30°，PM＝1，∴在Rt△PMN中，，，∵，∴，∴ND2＝3+1＝4，∴，即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…（12分）22．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），半径为r，则|P A|＝2﹣r，|PB|＝r，∴|P A|+|PB|＝2＞|AB|＝2，∴点P的轨迹为椭圆，2a＝2，2c＝2，∴a＝，∴轨迹C方程为＝1．（2）当l与x轴平行时，以线段MN为直径的圆的方程为＝，当l与y轴平行时，以线段MN为直径的圆的方程为x2+y2＝1，由，得，∴若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．下面证明Q（0，1）为所求：若直线l的斜率不存在，设直线l：y＝kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（9+18k2）x2﹣12kx﹣16＝0，△＝144k2+64（9+18k2）＞0，，x1x2＝，＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+＝（1+k2）•﹣+＝0，∴⊥，∴以线段MN为直径的圆恒过点Q（0，1）．。
2018-2019甘肃省高二上学期期末考试数学（理）试题
甘肃省临夏中学2018—2019学年第一学期期末考试卷年级：高二 科目：数学（理科） 座位号命题： 审题：一、选择题（每小题4分，共10小题，总计40分，将正确选项填入答题栏） 1. 已知集合{}220A x x x =-->，则=A C R ( ) A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥2．已知实数m ，n 满足0m n +≥，则命题“若0mn ≥，则0m ≥且0n ≥”的逆否命题为( )A ．若0mn <，则0m ≥且0n ≥B ．若0mn ≥，则0m <或0n <C ．若0m ≥且0n ≥，则0mn ≥D ．若0m <或0n <，则0mn <3．抛物线 y x 42=的焦点到双曲线2213y x -= 的渐近线的距离是( )A.12 B. 32C. 1D. 3 4．如图，空间四边形ABCD 中，F E 、 分别是 CD BC 、的中点，则BD BC AB 2121++等于( ) A. EF B.FA C.AF D.FE5．若a 为实数,则“3=a ”是 “直线 032=++a y ax 与直线03)1(32=+-+-+a a y a x 互相平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．曲线192522=+y x 与)90(125922<<=-+-k ky k x 的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对7.在如图所示的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是11D C 的中点，则异面直线DE与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1053 B ．510 C ．55 D.10108.已知F 为抛物线x y 42=的焦点，P 是抛物线上的一个动点，点A 的坐标为)3,5(，则||||PF PA +的最小值为（ ）A ．5B ． 6 C. 7 D ．89.已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ,)0,10(2F ,M 是此双曲线上的一点，且满足021=⋅MF ，122MF MF ⋅=则该双曲线的方程是（ ） A ．1922=-y x B ．1922=-y xC. 17322=-y x D. 13722=-y x 10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题（每题4分，共16分）11．已知向量)1,5,1(-=，)5,3,2(-=,且b a k +与3-互相垂直,则k 的值是________________． 12．过抛物线x y 22= 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若5=AB ，则AB 的中点到y 轴的距离是__________.13．点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线L ：425=x 的距离的比是常数54，则M 的轨迹方程是________________．14. 椭圆36422=+y x 的弦被），（24 平分，则此弦所在直线方程为________________． 三、 解答题（写出必要的文字说明和解题步骤，共44分）15.（8分）设命题P:实数x 满足22430x ax a -+<）（0>a ；命题:q 实数x 满足()()320x x --≥；（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16.（8分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示．（1）证明：EC B BD 11//平面；（2）求直线1AD 与EC B 1平面所成角的正弦值．17.（8分）已知抛物线）（022>=P px y 过点),2(0y A ，且点A 到其准线的距离为4．（1）求抛物线的方程； （2）直线m x y l +=: 与抛物线交于两个不同的点P ,Q ，若OQ OP ⊥，求实数m 的值．18.(10分) 如图3，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，31==AA AC ，60=∠ABC .(1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角B C A A --1的正切值;(3)求1B 到平面1A BC 的距离.19.（10分）椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率是22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅ (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得PB PA OB OA ⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.图3ABCA 1B 1C 1高二数学理科答案一、选择题B D ACD B D B A D 二、填空题11. 310612. 2 13.192522=+y x 14.082=-+y x 三、解答题15.（1）32<≤x （2）21<<a16.（1）可用空间向量法，找出面B1EC 的一个法向量，然后证明与BD1的方向向量垂直即可. （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A （2,0,0），D1（0,0,1），B1（2,2,1），E （0,1, 1），C （0,2,0）找出平面B1EC 的一个法向量m=(-1,2,2),先计算方向向量和法向量的夹角，然后根据线面所成角定义求值，得1554. 17.（）x y 82=（）由⎩⎨⎧=+=xy m x y 82得0)82(22=+-+m x m x ，设),(11y x P ，),(22y x Q ，则m x x 2821-=+，221m x x =，822121=++=+m x x y y ，221212121)())((m x x m x x m x m x y y +++=++=，∵OQ OP ⊥，∴0822121=+=+m m y y x x ， ∴0=m 或8-=m ，经检验，当0=m 时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意， 当8-=m 时0>∆，符合题意， 综上，实数m 的值为-8．18.(1)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以A A AB 1⊥, 在ABC ∆中1AB =,3=AC , 60=∠ABC ,由正弦定理得 30=∠ACB .所以 90=∠BAC ,即AB AC ⊥，所以A ACC AB 1平面⊥,又因为A ACC C A 11平面⊂,所以1AB A C ⊥. （2）如图所示，作1AD A C ⊥交1A C 于D ，连接BD ，因为A ACC AB 1平面⊥,由三垂线定理可得1BD A C ⊥, 所以ADB ∠为所求角，在1Rt AAC ∆中，2663311=⨯=⋅=C A AC A A AD ，所以36261tan ===∠AD AB ADB(3)519.(1)12422=+y x(2)当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为1+=kx y ，A ，B 的坐标分别为),(,,2211y x y x ）（ 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=124122y x kx y得0242122=-++kx x k ）（，0>∆ 所以，221214k k x x +-=+，221212k x x +-=. 从而[])1)(1(21212121--+++=⋅+⋅y y x x y y x x PB PA OB OA λλ221121)12(4-2-222--+--=+--+=λλλλk k k ）（所以，当1=λ时，322112-=--+--λλk 此时，3-=⋅+⋅λ为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3， 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.。
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甘肃省兰州大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末
数学试题（理）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．在ABC ∆ 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a b > 是sin sin A B > 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设椭圆22
:
1259
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为（ ）
A ．9
B ．13
C ．15
D ．18
3．已知实数满足，则的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
4．已知数列满足：
，
，)(4221*
+∈=-N n a a n n ，那么使
成立的的最大
值为（ ）
A ．4
B ．24
C ． 6
D ．25
5．定义：离心率的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E ：
，
为双曲线的半焦距，如果
成等比数列，则双曲线E （ ）
A ．可能是“黄金双曲线”
B ．可能不是“黄金双曲线”
C ．一定是“黄金双曲线”
D ．一定不是“黄金双曲线 6．已知x ＞0，y ＞0，若
m m y
x
x 282y 2+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜2 7．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这
个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．
8．在正四棱柱
中，
，E 为的中点，则直线BE 与平面
所
形成角的余弦值为 （ ） A ．
1010 B ．51 C ．10103 D ．5
3
9．设F 为抛物线216y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++的值为 （ ）
A ．36
B ．24
C ．16
D ．12 10．函数()y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可以为（ ）
A ．()21f x x x =-
B ．()31
f x x x =- C ．()1e x f x x =- D ．()1
ln f x x x
=-
11．设函数，函数
，若对任意的
，
总存在
，使得
，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设F 1，F 2分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆E
于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足且
，则椭圆的离心率为
（ ）
A ．
33 B ．63 C ．31 D ．6
1
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．设
的内角
所对边的长分别为
,若
,则角
_________．
14．设公比不为1的等比数列{a n }满足8
1
321-
=a a a ，且
342,,a a a 成等差数列，则数列{a n }的前4项和为_____．
15．如图，点在正方形所在的平面外，AD PD ABCD PD =⊥，底面，则
与
所
成角的度数为____________. 16．已知函数
f(x)，x ∈ (0,+ ∞)的导函数为()f x '，且满足
()()32x xf x f x x e -=',f(1)=e-1,则f(x)在()()2,2f 处的切线为__ __
三、解答题
17．（10分）ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若)cos ,(cos C B m =，
),2(b c a n +=，且⊥.
（1）求角B 的大小；
（2）若8,7=+=c a b ，，求ABC ∆的面积.
18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2． （1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求二面角O ﹣AC ﹣D 的余弦值．
19．（12分）已知动点P(x,y)(其中y 0≥)到x 轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若直线l ：x-y+1=0与动点P 的轨迹交于A 、B 两点，求△OAB 的面积.
20.（12分）已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：2413=-a a ，10
913=a a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
21．（12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心
率为2
2
，且经过点)0,2(A .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设)0,2(D -，过椭圆中心O 作直线BD 的垂线交l 于点C ，求证：OC OB •为定值.
22．（12分）已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
++-=
. （1）当1>a 时，求)(x f 的单调区间；
（2）当1<a 且0≠a 时，若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.
答 案
1. C
2.D
3.A
4.C
5.C
6.D
7.A
8.C
9.B 10.C 11.D 12.A 13.
π32 14. 8
5
15. 60 16．()
228e 412e 4y x =--+ 【解析】∵()()32x
xf x f x x e -='，
∴
()()
3
2x xf x f x e x
-='．
令()()2f x g x x =
，则()()()
3
2x xf x f x g x e x -'='=
，
∴()()2
x f x g x e c x =
=+（c 为常数），
∴()()
2x f x x e c =+， 又()11f e c e =+=-， ∴1c =-．
∴()()
21x f x x e =-，
∴()()()
222122x x x f x x e x e x x e x +=+'=--， ∴()2
284f e ='-．
又()()
2241f e =-，
∴所求切线方程为()()()2241842y e e x --=--，即()
2
284124y e
x e =--+．
答案： ()
2284124y e x e =--+
17．（1）；（2）. 18.（1）证明略（2）
7
21
19.(1)
2
x
y
4
=；（2）
OAB
S22
=20.(1) .(2) .
21. 4
因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为（一定存在，且）.
代入，并整理得.
解得，于是.
又，所以的斜率为.
因为，所以直线的方程为.
与方程联立，解得.
故为定值.
22．（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）. （1）.
当时，由，得或；
由，得.
故在，上单调递增，在上单调递减.
（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，，且，
所以，即.
②当时，在，上单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，且，因为，所以，则，
所以在只有一个零点.
综上，的取值范围为.。