最新同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。
线性代数：矩阵的对角化与二次型
1 P1AP
2
n
A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn )1
n
( Ap1, Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
Api i pi (i 1,2,, n)
即p1, p2 ,, pn是A的n个特征向量.
又因为P可逆，所以p1, p2 ,, pn线性无关.8
推出 P1 AP .
从证明中可看出，相似变换矩阵P的列向量就是
A的对应于i的n个线性无关的特征向量.的对角元 是A的n个 特征值.
9
推论 1 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ,
则 A 可对角化.
1
即
A
~
2
n
注意：A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件，
特征向量不能由特征值唯一确定。
2
4.1.2 矩阵的特征值与特征向量的性质
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
3） 设A为n阶方阵，且A2 = A( A幂等），
则A的特征值只能是0和1.
4、 设i (i 1,2,, m)是方阵A的特征值，pi是对应于
i的特征向量. 若1 , 2 ,m互不相等，则p1 , p 2 ,
第四章 矩阵的对角化与二次型
4.1 矩阵的特征值与特征向量
1
4.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程 A I 0的全部根，即为A的
全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出(A i I )x 0的 非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
特征值与特征向量的求解方法
注意事项
在求解过程中，需要注意特征多项式f(λ)的根可能为重根，此时需要验证 是否满足定义中的条件。
在求解特征向量时，需要注意齐次线性方程组的基础解系的求法。
特征值与特征向量的应用举例
01
应用一
判断矩阵是否可对角化。若矩阵A有n个线性无关的特征向 量，则A可对角化。
02
图像处理
在图像处理中，经常需要对图像进行旋转、缩放等操作，这些操作可以通过矩阵对角化来实现。例如，将一个图像矩 阵与一个旋转矩阵相乘，就可以实现图像的旋转。
数据分析
在数据分析中，经常需要对数据进行降维处理，以提取数据的主要特征。通过对数据的协方差矩阵进行对角化，可以 得到数据的主成分，从而实现数据的降维。
REPORTING
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个重要分支，主 要研究向量空间、线性变换及其性质 。
本课程将系统介绍线性代数的基本概 念、理论和方法，包括向量空间、矩 阵、线性方程组、特征值与特征向量 、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程等领域的 基础课程，对于培养学生的抽象思维 、逻辑推理和问题解决能力具有重要 作用。
工具。
2023
PART 04
线性方程组与高斯消元法
REPORTING
线性方程组概念及解法
线性方程组定义
由n个未知数和m个线性方程组成的方程组，形如Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数 列向量，b为常数列向量。
解的存在性与唯一性
当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，且等于未知数个数n时，方程组有唯一解；当 秩小于n时，方程组有无穷多解；当秩大于n时，方程组无解。
要作用。
向量空间与子空间
线代相似矩阵与二次型
1 9 8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 是正交矩阵. 0
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
x, y xT y.
内积的运算性质
其中x, y, z为n维向量,为实数: (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量x的长度 或范数 .
a1 b1
由于b1 b2 ,故c3等于a3分别在b1,b2上的投影
向量c31及 c32之和,即
c3
c31
c32
[a3 ,b1] b1 2
b1
线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第4节-精选文档
1 P AP ,其中 是以 A 的 n个特征值为对
对应特征值 i 1 ,2 , ,s ), 恰有 ri个线性无 i(
关的实特征向量 ,把它们正交化并单位 ,即得 ri个
r r r n 知 , 单位正交的特征向量 .由 1 2 s 这样的特征向量共可得 n 个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 1 1 P AP P P
其中对角矩阵 的对角元素含 r 个 , , r 个 , 恰 1 1 s s 是 A 的 n 个特征值 .
2019/2/21 课件 9
1 1 1 2 2 2 12
T A 对称 , A , A
于是
p p p p Ap p p p, p p 0 .
T T T 1 2 1 2 12 2 1
T 1 2 2 1 T 2 1 2
课件
TT T p p Ap p p , 1 1 1 1 1 1A 1A
线 性 代 数
2019/2/21
课件
1
第五章 相似矩阵及二次型
2019/2/21
课件
2
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1
对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为
对应的特征向量 , 即Ax x , x 0 .
是实系数方程组 ,由Ai E 0知必有实的基础解
2019/2/21
课件
6
定理 2设 , A 的两个特征 ,p , 1 2是对称矩阵 1 p 是对应的特征向量 , 若 , 则 p 与 p 正交 . 2 1 2 1 2
第5章_相似矩阵及二次型(同济大学)
【教学章节】§1 向量的内积、长度及正交性【教学内容】向量的内积、长度和夹角;正交向量组和规范正交向量组;正交矩阵与正交变换. 【教学学时】2学时【教学目的】1.向量的内积、长度、夹角及正交概念;2.掌握规范正交向量组的定义及求法;3.理解正交矩阵的定义、性质及判别法,了解正交变换的概念和性质.【教学重点、难点】施密特正交化过程 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】 一、向量的内积 1、向量内积的定义定义1 设12(,,,)T n x x x x = ,12(,,,)T n y x x x = ,则定义x 与y 的内积(或称点积、数量积)为1122[,]Tn nx y x y x y x y x y =+++= 2、向量内积的性质 Ⅰ [,][,]x y y x =Ⅱ [,][,][,]k x y kx y x ky == Ⅲ [][][],,,x y z x z y z +=+Ⅳ [,]0x x ≥且[,]00x x x =⇔=Ⅴ 2[,][,][,]x y x x y y ≤(施瓦茨不等式)二、向量的长度 1、向量长度的定义定义2 设12(,,,)T n x x x x = ,则定义向量x 的长度(或称为范数)为x ==注1 长度等于1的向量称为单位向量;注2 对任一非零向量x 乘以1x 都可化为单位向量,这一过程称为向量的单位化.2、向量长度的性质Ⅰ 非负性:0,0;0,0;x x x x ≠>==当时当时 Ⅱ 齐次性:;x x λλ=Ⅲ 三角不等式:.x y x y +≤+三、向量的夹角定义3 设x ,y 是两个n 维非零向量,则定义x 与y 之间的夹角θ的余弦为[,]c o s x y x y θ=⋅,即[,]arccos x y x y θ=⋅ 例1 ()()1,2,2,33,1,5,1αβ==求向量与的夹角.解 cosαβθαβ⋅===4πθ∴=四、正交向量组1、正交向量及正交向量组的概念定义4 当[,]0x y =时称向量x 与向量y 正交;如果向量组12,,,n x x x 中的向量两两正交,则称之为正交向量组.注 两个n 非零向量x 与y 正交的充要条件是它们的夹角为90 . 2、正交向量组的性质定理1 任意一组正交向量组必线性无关.证明 设n 维向量组12,,,r ααα 为正交向量组,如果存在12,,,r λλλ 使11220r λαλαλα+++=1,Ta 以左乘上式两端得1110T λαα=.2111100,T αααα≠⇒=≠由10λ=从而有.同理可得 20r λλ=== ,12,,,r ααα 故线性无关.例2 已知三维向量3R 空间中两个向量12111,211αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交,试求一个非零向量3α,使123,,ααα两两正交.解 ()312312,,0,,Tx x x ααα=≠设且分别与正交,则由1323[,][,]0αααα==得1312323123[,]0[,]20x x x x x x αααα=++=⎧⎨=-+=⎩ 解方程得132,0x x x =-=.若令31x =,则有1323101x x x α-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 五、规范正交向量组1、规范正交向量组的定义定义5 如果向量组12,,,r e e e 满足以下条件: (1) 12,,,r e e e 两两正交; (2) 1(1,2,,)i e in ==则称12,,,re e e 是一个规范正交向量组.例如12340000,,,0000e e e e ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝⎝是4R 中的一个规范正交向量组. 注1 ()11,0,0T e = ,()20,1,0T e = ,…,()0,0,1Tn e = 为n 维向量空间n R 的一个规范正交向量组;注2设12,,,n e e e 为n 维线性空间n R 的一组规范正交向量组,x ,y 是n R 中的两个向量且1122n n x e e e λλλ=+++ ,1122n n y e e e μμμ=+++ , 则1122[,]n n x y λμλμλμ=+++ .2、规范正交向量组的求法——施密特正交化过程设12,,,r ααα 是一个线性无关的向量组,通过以下方法可将之化为规范正交向量组: (1) 先将12,,,r ααα 正交化得正交向量组12,,,r b b b :取11b a =2122121[,]b b a b b α=- 313233122212[,][,]a b a b b a b b b b =--……………………………………121121222121[,][,][,]r m r r r r r r a b a b a b b a b b b b b b ---=----(2) 将正交向量组12,,,r b b b 规范化得规范正交向量组12,,,r e e e :取 1111e b b =,2221e b b =,….,1r r re b b =例3设1231142,3,1110a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 先进行正交化,取 11b a =;2122121111[,]4532163111b b a b b α--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3132331222124111[,][,]1512120330111a b a b b a b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭再进行单位化得1111121e bb ⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭,2221111e bb -⎛⎫⎪==⎪⎪⎭,3331101e b b ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭123,,e e e 即合所求.例4 12312311,,,,.1a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭已知求一组非零向量使两两正交 解 23,a a 应满足方程10Ta x =,即1230x x x ++=,它的基础解系为12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭把基础解系正交化,即合所求,即取21101a ξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,1232121011[,]1110222111a ξξξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 六、正交矩阵与正交变换1、正交矩阵的定义定义6 如果n 阶矩阵A 满足T AA E =,则称A 是正交矩阵,简称正交阵. 2、正交矩阵的性质Ⅰ 设A 是正交矩阵,则1T A A -=;Ⅱ 设A 是正交矩阵,则T T AA A A E ==;Ⅲ 设A 是正交矩阵,则1()T A A -或也是正交矩阵; Ⅳ 两个正交矩阵之积仍是正交矩阵; Ⅴ 设A 是正交矩阵,则11-==A A 或.例5设x 为n 维列向量，1T x x =，令2T H E xx =-，证明H 是对称的正交阵． 证明 (2)2()2()2T T T T T T T T T T H E xx E xx E x x E xx H =-=-=-=-= ∴H 是对称矩阵(2)(2)4(2)(2)44()44T T T T T T T T T T T H H E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E=--=-+=-+=-+=∴H 是的正交矩阵 ∴H 是对称的正交阵．3、正交矩阵的判别方法定理2 n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的n 个行向量(或列向量)构成n R 的一个规范正交向量组.证明 A 是正交矩阵⇔T AA E =111211121121222122221212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⇔ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1212,,,T T Tn n E αααααα⎛⎫ ⎪⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭121111222212TT T n T T T n T T T n nn n E αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭ ()1,;,1,2,,0,T j i ij i j i j n i jαδα=⎧⇔===⎨≠⎩ 当当A ⇔的n 个行向量构成n R 的一个规范正交向量组.同理可证,n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的n 个列向量构成n R 的一个规范正交向量组.例6 判别下列矩阵是否为正交阵．()112131*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()1849998142999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭1111222211112222(3)0000⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎝解 (1) 考察矩阵的第1列和第2列,由于1111110,2232⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯+⨯≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故该矩阵不是正交阵;(2) 由于184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭184999814999447999T------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以该矩阵是正交矩阵． (3) ,,.该矩阵的每个列向量都是单位向量且两两正交所以是正交矩阵 4、正交变换定义6 若P 为正交阵,则线性变换y Px =称为正交变换．性质 正交变换保持向量的长度不变．证明 ,y Px =设为正交变换.y x ====则有【本节小结】 1、向量的内积 2、向量的长度 3、向量的夹角4、施密特正交化过程 【课外练习】 P137-1(1), P138-3【教学章节】§2 方阵的特征值和特征向量【教学内容】特征值和特征向量的概念,求法和性质 【教学学时】2学时【教学目的】1.理解特征值与特征向量的概念2.掌握特征值和特征向量的求法;3.了解特征值与特征向量的性质【教学重点、难点】特征根和特征向量的求法 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】一、特征值与特征向量的概念定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个数λ和一个n 维非零列向量x 使得 x Ax λ=则称λ为A 的特征值,而称非零列向量x 为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量. 注1 x Ax λ=等价于()0A E x λ-= 该齐次线性方程组有非零解的充要条件是0A E λ-=,即1112121222120n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称之为方阵A 的特征方程;方程左端是λ的n 次多项式,记为()f λ,称之为方阵A 的特征多项式.注2 任一个n 阶矩阵A 必有n 个复的特征值(重根按重数计算).注3 若y x ,是A 对应于特征值λ的特征向量,则x 与y 的非零线性组合y k x k 21+也是A 对应于特征值λ的的特征向量(21,k k 是不全为零的常数). 注4 对应于不同的特征值的特征向量不相等. 二、特征根和特征向量的求法 第一步 解特征方程1112121222120n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==- 求出特征值s λλλ,,,21第二步 对每一特征值i λ,解齐次线性方程()0i A E x λ-=,求出其基础解系r ααα,,,21 ,则矩阵A 对应于特征根i λ的所有特征向量可表示为r r k k k ααα+++ 2211.例1 3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭求的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为122,4A λλ==所以的特征值为11232102,1320x x λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时对应的特征向量应满足,121200x x x x -=⎧⎨-+=⎩即 解方程组得12x x =,11.1p ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以对应的特征向量可取为1122234101104,,,1340110x x x x λ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时由即 1221,.1x x p -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解得所以对应的特征向量可取为例2 110430.102A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭求矩阵的特征值和特征向量 解 2110430(2)(1)102A A E λλλλλλ---=--=---的特征多项式为 1232, 1.A λλλ===所以的特征值为 12,(2)0.A E x λ=-=当时解方程由于3101002410~010100000A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1001p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是方程的基础解系为,11(0)2kp k λ≠=所以是对应于的全部特征向量. 231,()0A E x λλ==-=当时解方程,由于 210101420~012101000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2121 p -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭于是方程的基础解系为,232(0)1kp k λλ≠==所以是对应于的全部特征向量. 例3 设211020,413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 的特征值与特征向量.解 A 的特征多项式为()2211020(1)2,413A E λλλλλ---=-=-+---所以A 的特征值为3121,2λλλ=-==.()11,0A E x λ=-+=当时解方程,由于 111101030~010414000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是方程的基础解系为1101p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11λ=-故对应于的全体特征向量为1(0) k k p ≠. ()232,20A E x λλ==-=当时解方程.由于 4114112000~000411000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是方程的基础解系为23011,014p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 232λλ==所以对应于的全部特征向量为 223233(,0)p k p k k k +不同时为.三、特征值与特征向量的性质定理1 ()12,,,,ij n n A a λλλ= 设阶方阵的特征值为则有121122(1);n nn a a a λλλ+++=+++12(2).n A λλλ=定理2 1212,,,,,,,.m m A m p p p λλλ 设是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量1212,,,,,,,.m m p p p λλλ 如果各不相等则线性无关证明 12,,,m x x x 设有常数使11220.m m x p x p x p +++= 则()11220m m A x p x p x p +++=1212,,,,,,,.m m A m p p p λλλ 是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量 (1,2,,)i i i Ap p i m λ∴==1112220m m m x p x p x p λλλ∴+++=类推之,有1112220k k km m m x p x p x p λλλ+++= ()1,2,,1k m =-把上列各式合写成矩阵形式,得()()1111221122111,,,0,0,,01m m m m m m m x p x p x p λλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.i 该矩阵可逆于是有 ()()1122,,,0,0,,0,m m x p x p x p = ()()1201,2,,.0,01,2,,.,,,j j j j m x p j m p x j m p p p ==≠== 即但故所以向量组线性无关. 定理3 矩阵A 和它的转置矩阵T A 具有相同的特征值.证明 由于()TT T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=-,故矩阵A 和它的转置矩阵T A 具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.定理4 设λ是方阵A 的特征值,则k λ是k A 的特征值. 证明 λ是方阵A 的特征值∴ 存在0x ≠使Ax x λ=()()()()22A x A Ax A x Ax x x λλλλλ∴=====()()()()322223A x A A x A x A x x xλλλλλ===== …………………………k k A x x λ=∴k λ是k A 的特征值.定理5 设λ是可逆矩阵A 的特征值,则1λ-是1A -的特征值.证明 λ是方阵A 的特征值∴ 存在0x ≠使Ax x λ= A 可逆∴ 1x A x λ-= 0x ≠ ∴ 0λ≠∴ 111A x x x λλ--==∴1λ-是1A -的特征值.推论 设λ是方阵A 的特征值,()1011n n n n a a a a φλλλλ--=++++ ,则()φλ是()A φ的特征值. 证明 λ是方阵A 的特征值∴ k λ是k A 的特征值.∴ k k A x x λ=∴ ()1011()n n n n A x a E a A a A a A x φ--=++++101110111011()()n n n n n n n n n nn n a x a Ax a A x a A x a x a x a x a x a a a a xxλλλλλλφλ------=++++=++++=++++=∴ ()φλ是()A φ的特征值.例4 设三阶矩阵A 的特征值为1,1,2-,求*32A A E +-. 解 1(1)220A =⨯-⨯=-≠∴ A 可逆∴ *112A A A A --==-∴ *132232A A E A A E -+-=-+-记1()232A A A E φ-=-+-,则1()232φλλλ-=-+- ∴ ()A φ的特征值为(1)1,(1)3,(2)3φφφ=--=-=∴ *132232()(1)(1)(2)9A A E A A E A φφφφ-+-=-+-==⋅-⋅=例 5 设12,λλ是A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为12,p p ,证明12p p +不是A 的特征向量.证明 设12p p +是A 的的特征向量.则存在λ,使1212()()A p p p p λ+=+.又由已知有 11122,A p p A p pλλ== ∴ 1211221()()A p p p p p p λλλ+=+=+ ∴ 1122()()0p p λλλλ-+-= 12,λλ是A 的两个不同的特征值 ∴ 由定理2知, 12,p p 线性无关∴ 12λλλ==,与题设矛盾∴ 12p p +不是A 的的特征向量.例6 设3阶对称矩阵A 的特征值为1231,1,0λλλ==-=；对应于12,λλ的特征向量依次为12122,122p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A ． 解 设123245356x x x A x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11222,2Ap p Ap p ==-，即 123245356221222222x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ....................... ①123245356222221222x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩ ...................... ②又由特征根的性质有1461230x x x λλλ++=++=................ ③ 解由①②③组成的方程组得1626364656111211121,,,,322343234x x x x x x x x x x =--==-=-=+ 令60x =得，123451212,0,,,3333x x x x x =-====，所以10210123220A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．【本节小结】1、特征值与特征向量的概念2、特征根和特征向量的求法3、特征值与特征向量的性质【课外练习】P138-5(2), 8,11【教学章节】§3 相似矩阵 §4 对称矩阵的对角化【教学内容】相似矩阵与相似变换的概念和性质; 矩阵的对角化 【教学学时】2学时【教学目的】1.理解相似矩阵与相似变换的概念2.了解相似矩阵与相似变换的性质3.会利用相似变换将方阵对角化4.会利用对角矩阵计算矩阵多项式及矩阵的幂【教学重点、难点】利用相似变换将方阵对角化 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】§3 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 ,,,A B n P 设都是阶矩阵若有可逆矩阵使 11,,.,.AP B P B A A B A AP A P P A B --= 则称是的相似矩阵或说矩阵与相似对进行运算称为对进行相似变换可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵二、相似矩阵的性质1、矩阵的相似关系是一种等价关系,它满足①自反性:A A 与本身相似;②对称性:,A B B A 若与相似则与相似;③传递性:,,.A B B C A C 若与相似与相似则与相似 2、(),.m m A B A B m 若与相似则与相似为正整数 证明 A B 与相似1,P P AP B -⇒∃=可逆阵使得11111111111()()()()m mm P APm Am B P AP P APP AP P AP P A PP A PP PP AP P AA AP P A P-----------⇒=====个个 ⇒.m m A B 与相似3、,,.n A B A B A B 若阶矩阵与相似则与的特征多项式相同从而与的特征值亦相同 证明 A B 与相似1,P P AP B -⇒∃=可逆阵使得()()1111.B E P AP P E PP A E P PA E PA E λλλλλ----⇒-=-=-=-=-⇒A B 与的特征值相同.推论 若n 阶方阵A 与对角阵12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似,12,,,n A n λλλ 则即是的个特征值. 证明 12,,,n n λλλΛ 即是的个特征值,而A 与Λ相似123,,,,n A n λλλ∴ 由定理知是的个特征值. 三、利用相似变换将方阵对角化1,,,n A P P AP A -=Λ对阶方阵若可找到可逆矩阵使为对角阵这就称为把方阵对角化. 定理1 ()n A A A n 阶矩阵与对角矩阵相似即能对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量. 证明 1,,P P AP -=Λ设存在可逆阵使为对角阵()12,,,n P P p p p = 将用其列向量表示为,1,,AP AP P P -=Λ=Λ由得即()()121212,,,,,,n n n A p p p p p p λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ()1122,,,.n n p p p λλλ= ()()1212,,,,,,n n A p p p Ap Ap Ap ∴= ()1122,,,n n p p p λλλ=()1,2,,.i i iAp p i n λ∴==12,,,n p p p ∴ 分别是A 对应于特征值12,,,n λλλ 的特征向量P 可逆,故0P ≠∴ 12,,,n p p p 线性无关,即A 有n 个线性无关的特征向量.反之,设12,,,n p p p 分别是A 对应于特征值12,,,n λλλ 的特征向量且线性无关,取()12,,,n P p p p = ,则0P ≠,从而P 可逆.由于()()()12121122,,,,,,,,,n n n n AP A p p p Ap Ap Ap p p p Pλλλ====Λ故1P AP -=Λ,从而n A 阶矩阵与对角矩阵相似.推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等,则A 与对角阵相似.注 如果A 的特征方程有重根,此时不一定有n 个线性无关的特征向量,从而矩阵A 不一定能对角化,但如果能找到n 个线性无关的特征向量,A 还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1)224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 212(2)533102A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭解 (1)由于A E λ-122224242λλ--=-----()()227λλ=--+0=,故A 的特征值为1232,7λλλ===-.对于特征值122λλ==,解方程()20A E x -=.由于1221222244~000244000A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为12200,1.11αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于特征值37λ=-,解方程()70A E x +=.由于11082227254~011245000A E ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以方程的基础解系为3122α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 由于2010120,112≠-123,,ααα所以线性无关,.A 因而可对角化(2) 由于21253312A E λλλλ----=----()31λ=--,123 1.A λλλ===所以的特征值为 对于特征值1λ=,解方程()0A E x +=.由于312101523~011101000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.故A 不能化为对角矩阵. 例2 矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭能否对角化？若能对角化,求出可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.解 由于46350361A E λλλ--=------()()212λλ=--+ 1231,2A λλλ===-所以的全部特征值为对于特征值121λλ==,解方程()0A E x -=.由于360120360~000360000A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为121,0ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2001ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对于特征值32λ=-,解方程()20A E x +=.由于 6601012330~011363000A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 123,,ξξξ由于线性无关所以A 可对角化.()123201,,101011P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭令1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭则有. 例3 设00111100A x ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,问x 为何值时,矩阵A 可以对角化？ 解 由于20111(1)(1)100A E x λλλλλ--=-=--+,所以矩阵的特征值为1231,1λλλ=-==. 对于特征值11λ=-,可求得线性无关的向量恰有一个,故矩阵A 可对角化的充要条件是对应于重根231λλ==,有两个线性无关的特征向量,即方程()0A E x -=有两个线性无关的解,亦即()1R A E -=.由于10110110~001101000A E x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,要使()1R A E -=,必须使10x +=,即1x =-.因此,当1x =-时, 矩阵A 可以对角化.四、利用对角矩阵计算矩阵的幂及矩阵多项式定理2设2012()n n A a E a A a A a A ϕ=++++ ,若存在可逆矩阵P 使1AP B P -=为对角矩阵,则1k k P A B P -=,1()()A P B P -=.证明 由于1AP B P -=,故1A PB P -=,于是1111111111()()()kk PBP k Bk PBP PBP PBP A PB P P B P P P P BP P BB B P PB P ----------====个个201211211012210121()()()nn n n n n A a E a A a A a A a PEP a PBP a PB P a PB P P a E a B a B a B P P B P ϕϕ------=++++=++++=++++=推论 设2012()n n A a E a A a A a A ϕ=++++ ,若存在可逆矩阵P 使1AP P -=Λ为对角矩阵,则1211kkk k k n P P A P P λλλ--⎛⎫ ⎪⎪==Λ ⎪ ⎪⎝⎭ ,1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ . 证明 由于12,k kk k n λλλ⎛⎫ ⎪⎪=Λ ⎪ ⎪⎝⎭ 12()()()()n ϕλϕλϕϕλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,由定理2结论可得. 注 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的幂及多项式 .定理3 (),()f A f A O λ=设是矩阵的特征多项式则证明A 只证明与对角矩阵相似的情形,,A P 若与对角矩阵相似则有可逆矩阵使11(,,),n AP diag P λλ-=Λ= 其中i λ为A 的特征值,()0i f λ=,1,A P P -=Λ由有1()()f A Pf P -=Λ11()()n f P Pf λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1PO O P -== 例4 设142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,求100A . 解 142034(1)(5)(5)043A E λλλλλλλ--=--=---+- ∴矩阵A 的特征值为1231,5,5λλλ===-．对特征值11λ=,解方程()0A E x -=得特征向量()11,0,0Tp =;对特征值25λ=,解方程(5)0A E x -=得特征向量()22,1,2p =; 对特征值35λ=-,解方程(5)0A E x +=得特征向量()31,2,1Tp =-.取123121(,,)012021P p p p ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,则P 为可逆矩阵且1100050005P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭1100050005A P P -⎛⎫⎪∴= ⎪⎪-⎝⎭10011001100100100121100121050012050012005021005021A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪∴==-- ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100100100121100505105110120500120505021005021005⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例5 设3223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求109()5A A A ϕ=-; 解 32(1)(5)23A E λλλλλ--==---- .∴ 矩阵A 的特征值为121,5λλ==对特征值11λ=,解方程()0A E x -=得特征向量)11,1Tp =;对特征值25λ=,解方程(5)0A E x -=得特征向量)21,1Tp =-.取1211(,)11P p p -⎫==⎪⎭,则1(1,5)P AP diag -==Λ,从而1A P P -=Λ1()()A P P ϕϕλ-∴=10915P P -⎡⎤=Λ-Λ⎣⎦1091(1,5)5(1,5)P diag diagP -⎡⎤=-⎣⎦1(4,0)Pdiag P -=-114011110011--⎫⎛⎫=⎪⎪-⎭⎝⎭221122211--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．§4 对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明 ,,A x λ设复数为实对称矩阵的特征值复向量为对应的特征向量,0.Ax x x λ=≠即λλ用表示的共轭复数x x 表示的共轭复数,由于A 为实对称矩阵,故,T A A A A ==,于是有()()A x A x Ax x x λλ====,从而()()T T T T x Ax x Ax x x x x λλ===,(1) ()()()T T T T T T x Ax x A x Ax x x x x x λλ==== (2)(1)-(2)式得()0.T x x λλ-=由于0x ≠,故2110n nTi i i i i x x x x x ====≠∑∑,故0λλ-=,即λλ=,说明λ是实数.注 定理1的意义是:由于对称矩阵A 的特征值i λ为实数,所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=是实系数方程组,由0i A E λ-=知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量. 定理2 12121212,,,,,A p p p p λλλλ≠设是对称阵的两个特征值是对应的特征向量若则与正交. 证明 由已知有11122212,,p Ap p Ap λλλλ==≠,T A A A = 为对称矩阵故()()1111111TTTTTT p Ap A p p p A λλ∴====()12222221111TTTTp Ap p p p p p p λλλ∴===()12210T p p λλ∴-=12λλ≠210Tp p ∴=,即12p p 与正交.定理3 1,,,A n P P AP A n -=ΛΛ 设为阶对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明 略定理4 ,,(),A n A k R A E n k λλ-=- 设为阶实对称矩阵是的特征方程的重根则从而对应特征 值λ恰有k 个线性无关的特征向量.证明 由定理3知,A 与对角矩阵12(,,,)n diag λλλΛ= 相似,从而A E λ-与E λΛ-相似,当λ是A 的k 重特征值时, 12,,,n λλλ 这n 个特征值中有k 个等于λ,有n k -个不等于λ,从而对角阵E λΛ-的对角元恰有k 个等于0,有n k -个不等于0,于是()R E n k λΛ-=-,而()()R A E R E λλ-=Λ-,所以有()R A E n k λ-=-.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为:第一步 求出A 的全部互不相等的特征值12,,,s λλλ ,它们的重数依次为12,,,s k k k(12s k k k n +++= )第二步 对每个i k 重特征值,解方程()0i A E x λ-=,得i k 个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化,得i k 两两正交的单位特征向量.因12s k k k n +++= ,故共得n 个两两正交的单位特征向量.第三步 将这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ,则1P AP -=Λ. 例1 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵P ,使1P AP -为对角阵.220(1)212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400(2)031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 011(3)101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解 (1) 由()()()220212412002A E λλλλλλλ---=---=--+=--得A 的特征值 1234,1,2λλλ===-.对特征值14λ=,解方程()40A E x -=得基础解系1221ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,将之单位化得121231η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; 对特征值21λ=,解方程()0A E x -=得基础解系2212ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;将之单位化得221132η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; 对特征值32λ=-,解方程()20A E x +=得基础解系3122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;将之单位化得311232η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 取()1232211,,2123122P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭,则1400010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. (2) 由()()240031240013A E λλλλλλ--=-=--=-得A 的特征值1232,4λλλ===. ()12,20,A E x λ=-=对由得基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,将之单位化得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝;()234,40,A E x λλ==-=对由得基础解系23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,23ξξ与恰好正交,再将它们单位化得2100η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,30η⎛⎫ =⎝. 取()123010,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝,则1200040004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(3) 由()()2111112011A E λλλλλ---=--=--+=-得A 的特征值1232,1λλλ=-==. ()12,20,A E x λ=-+=对由得基础解系1111ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,将之单位化得1111p -⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭; ()231,0,A E x λλ==-=对由得基础解系23111,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将23ξξ,正交化得22100ηξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 2333222111[,]1101122102ηξηξηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;再将23ηη,单位化得 11111,102p p -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭⎭. 取()123,,0P p p p ⎛ == ⎝,则1200010001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 【本节小结】1、相似矩阵与相似变换的概念2、相似矩阵的性质3、利用相似变换将方阵对角化4、利用对角矩阵计算矩阵的幂及矩阵多项式5、实对称矩阵的性质6、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 【课外练习】 P138-14,16(2),24(2)【教学章节】§5 二次型及其标准形§6 用配方法化二次型为标准形§7 正定二次型【教学内容】二次型及其标准形;用配方法化二次型为标准形; 正定二次型 【教学学时】2学时【教学目的】1.了解二次型及其有关概念2.掌握二次型的矩阵表示方法3.了解合同矩阵及其性质4.掌握化二次型为标准形的方法5.掌握用拉格朗日配方法化二次型为标准形6.掌握正(负)定二次型的判别法 【教学重点、难点】化二次型为标准形;正(负)定二次型的判别法 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】§5 二次型及其标准形 一、二次型及其有关概念 1、二次型定义1 12,,,n n x x x 含有个变量的二次齐次函数()22212111222121213131,1,,,222 n nn nn n n nf x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++称为二次型.例如 ()22212312313,,2454f x x x x x x x x =++-,()123121323,,f x x x x x x x x x =++都为二次型; 2、实二次型及复二次型定义2 ,ij a f 当是复数时称为复二次型,,ij a f 当是实数时称为实二次型.3、二次型的标准形定义3 只含有平方项的二次型2221122n nf k y k y k y =+++ 称为二次型的标准形(或法式)． 例如 ()222123123,,44f x x x x x x =++为二次型的标准形. 4、二次型的规范形定义4 只含有平方项且平方项的系数只能是1,1,0-这三个数的二次型称为二次型的规范形.例如 ()222123123,,f x x x x x x =+-,()2212313,,f x x x x x =-均为二次型的规范形. 二、二次型的表示方法2111121211n n f a x a x x a x x =+++2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++11111221221122221122()()n n n n n n n nn n x x a x a x x a x a x a x x a x +++++++++11112212112222121122(,,,)n n n nn n n nn n a a x a x x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫ ⎪+++⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭()1112112122221212,,,n n n n n nn n a a a x aa a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11121121222212,,n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记, T f Ax A x =则二次型可记作其中为对称矩阵. 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型．这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．因此称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵,f 称为对称矩阵A 的二次型.例1 写出二次型22212312232346 f x x x x x x x =+-+-的矩阵解 22212312232346f x x x x x x x =+-+-21121321222321323320223033 x x x x x x x x x x x x x x x =++++-+-- 120223.033A ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪--⎝⎭三、合同矩阵及其性质1、定义定义5 设A 和B 都是n 阶矩阵,若有可逆矩阵C 使T B C AC =,则称矩阵A 与B 合同. 2、性质定理1 设矩阵A 与B 合同,如果A 是对称矩阵,则B 也是对称矩阵,且()()R A R B =. 证明 ,,T A A A =由于为对称矩阵故于是()TT T T T T B C AC C A C C AC B ====,所以B 是对称矩阵;又由于T B C AC =,C 可逆,从而T C 也可逆,由矩阵秩的性质知()()R A R B =. 四、化二次型为标准形设11111221221122221122,,n n n n n n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (),ij C c =记则上述可逆线性变换可记作x Cy =, T f Ax x =将其代入有()()()TT T T f x Ax Cy A Cy y C AC y ===只要12T n k k C AC k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,即T C AC 为对角阵,f 就可化为标准形 ()1122222121122,,n n n n n k y k y f y y y k y k y k y k y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪==+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ .因此化二次型为标准形实际上寻求可逆矩阵C ,使T C AC 为对角阵.,,.,T A P P AP =Λ由于对任意的实对称矩阵总有正交矩阵使把此结论应用于二次型有 以下结论:定理2 (),1,,nij i j ij ji i j f a x x a a x Py f ====∑任给二次型总有正交变换使化为标准形2221122,n n f y y y λλλ=+++()12,,,n ij f A a λλλ= 其中是的矩阵的特征值.推论 (),1,,()nij i j ij ji i j f a x x a a x Cz f Cz ====∑任给二次型总有可逆变换使为规范形.证明 由定理2知2221122()n n f Py y y y λλλ=+++ ,设二次型f 的秩为r ,则12,,,n λλλ 中有r 不为0,不妨设1212,,,0,0r r r n λλλλλλ++≠==== ,令12,1,i n k i r k K k i r k ⎛⎫⎪≤ ⎪== ⎪> ⎪⎩⎝⎭ 其中则K 可逆,变换y Kz =将()f Py 化为()T T T T T f PKz z K P APKz z K Kz ==Λ,而 11,,0,,0TrrK K diag λλλλ⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,记C PK =,则可逆变换x Cz =将f 化为如下规范形 22111()r r rf Cz z z λλλλ=++ 注 由以上上讨论可知用正交变换化二次型为标准形的方法:第一步 ,;T f x Ax A =将二次型表示为矩阵形式求出第二步 求出A 的全部互不相等的特征值12,,,s λλλ ,它们的重数依次为12,,,s k k k12s 第三步 对每个i k 重特征值,解方程()0i A E x λ-=,得i k 个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化,得i k 两两正交的单位特征向量.因12s k k k n +++= ,故共得n 个两两正交的单位特征向量.第四步 将这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ,则1P AP -=Λ.第五步2211,. n n x Py f f y y λλ==++ 作正交变换则得的标准形 例2 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---,.x Py =通过正交变换化成标准形解 二次型的矩阵为172221442414A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭由()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫ ⎪-=---=-- ⎪ ⎪---⎝⎭得A 的特征值1239,18λλλ===. ()19,90A E x λ=-=对解方程得基础解系1122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,将之单位化得1132323p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;()2318,180A E x λλ==-=对解方程得基础解系23221,001ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将23ξξ,正交化得22210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 2333222222[,]4101455105ηξηξηη---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;再将23ηη,单位化得 20p ⎛- =⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3p ⎛-=-⎪⎝⎭.取1323230P ⎛--=-⎪⎝⎭,作正交变换为1122331323,230x y x y x y ⎛--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有22212391818f y y y =++. 例3 求一个正交变换x Py =,把二次于型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++ 化为标准形.解 二次型的矩阵为101111011110A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 由3111111(3)(1)111111A E λλλλλλλ-----==+-----得A 的特征值12343, 1.λλλλ=-===()13,30A E x λ=-+=对解方程得基础解系,11111ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,将之单位化得1111121p ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭;()2341,0A E x λλλ===-=对解方程得正交的基础解系 234101101,,011011ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再将234,ξξξ,单位化得234012012,,120120p p p ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝.取120121201120121201P ⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,作正交变换为11223344120121201120121201y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭则有222212343 f y y y y =-+++.§6 用配方法化二次型为标准形一、拉格朗日配方法的具体步骤1、若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再用同样的方法对其余的变量进行配方,直到都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到二次型的标准形;2、若二次型中不含有平方项,但是0ij a ≠(),i j ≠ 则先作可逆线性变换i i j j i j k kx y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ()1,2,,,k n k i j =≠ 且 化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方. 例1 化二次型12312132325226 f x x x x x x x x x =+++++,.为标准形并求所用的变换矩阵 解 22212312132325226f x x x x x x x x x =+++++22211213232322256x x x x x x x x x =+++++()22222123232323232256x x x x x x x x x x x =++---+++ ()222123232344x x x x x x x =+++++()()22123232.x x x x x =++++1123223332y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩令,则1123223332x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,即112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212312132325226f x x x x x x x x x ∴=+++++2212y y =+ 所用变换矩阵为()111012,10.001C C -⎛⎫⎪=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭例2 化二次型121323226 f x x x x x x =+-,成标准形并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项,所以11221233,x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩令 112233*********y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 ,则 221213231213232262248f x x x x x x y y y y y y =+-=--+,再配方得()()222132332226.f y y y y y =---+113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩令,则113223332,y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 222123226. f z z z ∴=-+所用变换矩阵为110101110012001001C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 113111.001⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()20.C =-≠§7 正定二次型一、惯性定理一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形,显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换,来研究二次型的标准形所具有的性质． 定理1 (),,T f Ax r x = 惯性定理设有实二次型它的秩为有两个实的可逆变换 ()()22211222221122110,0,,,,,.r r i r ri r r x Cy x Pzf k y k y k y k f z z z k k λλλλλλ===+++≠=+++≠ 及使及则中正数的个数与中正数的个数相等注 二次型的的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性系数, 负系数的个数称为二次型的负惯性系数.若二次型f 的秩为r ,正惯性系数为p ,则f 的规范形为222211p p r f y y y y +=++--- . 二、正(负)定二次型的概念定义1 ()T f x x Ax = 设有实二次型()()()(1)0,000,,;(2)0,()0,,.x f x f f A x f x f A ≠>=≠< 如果对任何都有显然则称为正定二次型并称对称矩阵是正定的如果对任何都有则称为负定二次型并称对称矩阵是负定的例如 222416f x y z =++为正定二次型22123f x x =--为负定二次型 三、正(负)定二次型的判别定理2 :.T f Ax n x =实二次型为正定的充分必要条件是它的标准形的个系数全为正 证明 x Cy =设可逆变换使()()21.ni i i f x f Cy k y ===∑充分性 ()01,,.k i n >= 设 0,x ≠任给 10,y C x -=≠则 故()210.ni i i f x k y ==>∑必要性0,s k ≤假设有() ,s y e =则当单位坐标向量时()0.s s f Ce k =≤0,s Ce ≠显然.f 这与为正定二次型相矛盾故()01,,.i k i n >=推论 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正．定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式为正,即110,a >111221220,a a a a >, 11110;nn nna a a a > 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是:A 的奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即()()111110,1,2,,.r rr rr a a r n a a ->=这个定理称为霍尔维茨定理． 四、正定矩阵的一些简单性质性质1 1,,;,T A A A A -*设为正定实对称阵则均为正定矩阵 性质2 ,,.A B n A B +若均为阶正定矩阵则也是正定矩阵例1 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性.解 ()123,,f x x x 的矩阵为524212,425-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭它的顺序主子式 50,>5210,21=>52421210,425--=>--故二次型f 是正定二次型.例2判别二次型()22212312313,,2454f x x x x x x x x =++-的正定性. 解 用特征值判别法.二次型的矩阵为202040,205A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭由0E A λ-=得A 的特征值为1231,4, 6.λλλ===故二次型f 是正定二次型.例3 判别二次型22256444f xy xz y x z =---++的正定性.解f 的矩阵为522260,204A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由于 1150,a =-<1112212252260,26a a a a -==>-800,A =-<故二次型f 是负定二次型.【本节小结】1、二次型及其有关概念2、二次型的表示方法3、合同矩阵及其性质4、利用正交变换化二次型为标准形的方法5、用拉格朗日配方法化二次型为标准形的方法6、正(负)定二次型的概念及其判别法 【课外练习】 P140-27(1),32。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数相似矩阵和二次型(“矩阵”相关文档)共7张
特征向量. [x y]称为向量x与y的内积。
则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似。
x (x1 x2
xn)T
二次型可记作 f xTAx 其中A是一个对称矩阵
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角 阵相似
5.3 相似矩阵理论
设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使
P则对 可称逆A1进矩BA是P行阵A运P的B称算相为P似把矩1AA变阵P成称B为或的对说相A矩似进阵变行A换与相矩B似阵相变。似换。 x则则则如含 则[2[则如y设二则二如x则则设如则2设[如Ay则xxxx称称称果有称称果A次称次果称称A果称A果称特特=((((为为λxyxyBBBnnBBn型 B型 nBBnBnByyy征征x1111]]]阶个 阶阶阶阶是是是是是n是是是是n是称B可可值值阶阶矩变 矩矩矩矩都AAAAAAAAAAx为x记记与与xyxy方 方11的的的的的的的的的的阵量 阵阵阵阵是2222向yy作作特特阵阵相相相相相相相相相相11AxAAAAn量1征征阶的的,的的,的ff似似似似似似似似似似若若xxx向向矩nnnnn与矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩22存存xx个个个个个xyyTT量量阵y阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵222在在AA特特特特特的xx数数征征征征征内若λλ或或或或或或或或或或值值值值值积和和其其xyxy有说说说说说说说说说说互互互互互。nnnn非非中中))))可矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩TTTT不不不不不零零AA逆阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵是是相相相相相的的矩AAAAAAAAAA一一等等等等等xxx与与与与与n与与与与n与阵nnn个个维维的yyBBBBBBBBBBPnn对对列列相相相相相相相相相相则则则则则二称称向向似似似似似似似似似似AAAAA次使矩矩与与与与与量量。。。。。。。。。。齐阵阵对对对对对xx次,,使使角角角角角函得得数阵阵阵阵阵相相相相相似似似似似
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同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及
二次型
------------------------------------------作者xxxx
------------------------------------------日期xxxx
线性代数教学教案
第四章 相似矩阵及二次型
授课序号01
n n x y ⎪ ⎪⎭⎝⎭
]T 1122x y x y ==++
y x y 为实数):
n x ⎭
是向量空间的一个基，如果
是V 的一个规范正交基。
2,,r αα是向量空间第一步，将基12,,αα
[][[ 11,
-
ββ
12
=
β
四、正交矩阵：
的行向量组是n的一个规范正交基．
为正交矩阵，则线性变换
授课序号0２
11
12
nn a a a λ
-，=A λ是方阵A 的特征值， α为对应于特征值是方阵A 是方阵A 的同一特征值λ是矩阵,,,βββ的线性无关的特征向量，则
授课序号03
n λ⎭
()()()11110m a a ---+++B P P B P P E P
10a a +B E 若有可逆矩阵P ，使)(ϕ=A P Λ()k n n ϕλλ⎪⎪⎪⎭，的高次幂k A 及
授课序号04
授课序号0５
2
222232a x a ++
2
2a x a x x ++
),i j n ≤≤均为实数n )222
211,
,n p p r x x x x x +=+
+--
-,就称其为二次型的规范形()22
12111222,,,n nn n f x x x a x a x a x =++
+
12n n n nn x a a a ⎪ ⎪⎝⎭
⎭x A 的矩阵,也把()T f x x x =A 叫做对称阵的秩就叫做二次型()T f x x x =A 的秩．
总有可逆变换
授课序号０6
2
r r
z λ+二、正定二次型与正定矩阵:正定二次型：T =x Ax ,如果对于任何
1
,n
n nn a a a >奇数阶主子式为负, 偶数阶主子式为正1
r
r rr
a a >。