2011年高考试题(福建卷理科数学)
2011福建高考考卷文科理科包答案
绝密☆启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14B.13 C.12 D.235.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+1 6.(1+2x)3的展开式中，x 2的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 8.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA ·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一．定不可能．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学(理工农医类)注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。
解析2011福建高考数学(理)
解析2011福建高考数学（理）又一年的高考结束，几家欢喜几家愁。
每年的高考总会引起大家的关注，经历高考的我们对高考深有感触，前几天在qq空间上经常可以看到同学们对高考发表的心情。
6月7号我还收到一条信息“祝高考三周年快乐”，看了信息就想笑……高考是人生的一道坎，如果没有高考，可能成为遗憾，可能高三的日子是艰辛的，但回味却是无穷的。
不得不说今年福建高考数学（理）难度不大，甚至可以说很低，很多题目就可以直接看出答案，很多题目考查的知识并不需要有多么深入。
下面先说说题目，和去年相同，整份试卷10道选择题，5道填空题，6道解答题，基本覆盖了高中数学的所有重要知识点（函数，三角，数列，解析几何，立体几何，向量，概率）。
选择题分别考查了复数与集合，命题条件，三角公式，概率，定积分，二项展开式，圆锥曲线的离心率，线性规划，三角函数，函数与数列和三角形结合等；填空题分别考查了程序框图，三棱锥的体积，概率，解三角形，具有某种性质的映射等；解答题分别考查了数列与三角函数，直线与圆和抛物线，导数应用题，概率与数学期望，立体几何，矩阵与线性变换、坐标和参数方程、不等式选讲等。
总统来说高考常考的知识点都考到了，但难度不大，知识点的考查相对停留在表面，比较没有深层的考查。
前阵子看到一新闻说今年高招录取率将超过90%，可能有这方面的原因使得今年的考题难度下降很多。
从解题层面上说，这份试卷基于高中所学的方法和技巧就可以解决这份试卷中的绝大多数题目，并不需要超纲知识或竞赛方面的知识或者大学的高数知识。
这份试卷并没有什么怪题偏题，整体的命题思路和去年的差不多，命题立足学科的整体意义，在在充分考查数学基础知识、基本技能和基本思想方法的同时，突出考查考生的数学能力和数学素养。
这份试卷命题注意到了数学知识的应用广泛性，着力考查学生利用数学知识分析解决数学问题和实际问题的能力，如第8题考查了向量数量积与线性规划知识之间的内在本质联系，,7，9,10,15都突出体现对相关数学知识的本质涵义的考查。
2011年福建省高考数学试卷评析(一)——理科试卷的评析
招生全国统一考试大纲》 以下简称 （ 考纲 和＜ ０ １ ） ＜ １ ２ 年福 建 高 考 考试 说 明 （ 下简 称 考 试 说 明 》 以 ）也 就 必然地 是福 建高 考命 题 的直接 依据 ．
今年 ，福建省高考数学试卷结合我省普通高中 的教 学情况 ，在全面考查数学基础知识、基本技能 和基本思想方法 的同时 ，注重考查考生的数学能力 和数学素养 ， 中学数学教学起到良好的导向作用． 对 １ ．试卷的总体分析 １ ． １试卷 内容分析 表一 基础知识的考查分布
标 发展学生的数学应用意识” 将“ 列为十大理念之一 不谋而合——“ 高中数学课程应力求使学生体验数学 在解决实际问题 中的作用、数学与 日常生活及其他
学科 的联 系 ，促 进 学 生逐 步 形 成 和发 展 数 学应 用意 识 ，提 高 实践 能 力 ．” 这 份 试 卷 设置 了 多道 数 学化 的实 际 问题 ，考 生 解 题 前 须 发现 和 提 取镶 嵌 在 实 际 生活 中的 数 学 ，在 此基 础 上 分析 自己的解 题 策 略 ．这 一 过程 超 越 了纯 粹 的运 算 和概念 记 忆 ，需 有对数 学 本质 的理 解 ． 当然 ，大 多试 题 都 能 立 足 数学 本 质 ，关注 数 学 的应 用主 要有题 ７ 、 １ 、８ ８和 １ ．其 中 ，题 ７ ８主 ９ 、 要 考查 考 生运 用数 学知 识解 决数 学 问题 的能 力 ， ７ 题
抽象概括能力 空 间想象能力
数据处理能力 分值 ５ ５
３
８ 、 Ｏ １ 、９ １ 、 ５ １、２ ２ ０
１ ９
基础 知识 课时数 对应 比例 对应 分值 集合与复数 ４ ４ ＋ 常 用逻 辑用语 ８
推理 证 明 ８
2011年福建省高考数学试题函数与导数部分
2011年福建省高考数学试题函数与导数部分5．1(2)0x e x dx +⎰等于 C A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e +9．对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是．D ．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2 10．已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：B①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④18．(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以101122aa +=⇒=；(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2210(6)3y x x =+--，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取得最大值(4)42f =答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.福建文6．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）C8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 10．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9D22．（本小题满分14分）已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e )＝2，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）。
2011福建高考数学
2011福建高考数学一、题目回顾2011年福建高考数学试卷共分为两卷，卷一为选择题，卷二为非选择题。
本文将对2011年福建高考数学试卷进行全面回顾和分析。
二、选择题选择题是高考数学试卷中的基础部分，它能够有效地考察考生对数学知识的掌握情况。
以下是2011年福建高考数学选择题的部分题目及解析：题目1若函数 $f(x)=\\frac{1}{\\sin^2x+\\sin x-6}$，则f(f)的定义域是？解析：首先我们要注意到分母中出现了 $\\sin x$，而$\\sin x$ 的取值范围是[−1,1]。
由于分母不可以为零，所以我们要求得 $\\sin x \ eq -2$ 和 $\\sin x \ eq 3$。
利用非等式的性质，我们可以得到 $x \ eq \\arcsin(-2)$ 和 $x \ eq\\arcsin(3)$。
然而由于 $\\arcsin(-2)$ 和 $\\arcsin(3)$ 都无解，所以f(f)的定义域为全体实数集。
题目2已知等比数列 $\\{a_n\\}$ 的前f项和为f f=2−3f，则f2的值等于？解析：我们知道数列前f项和的公式是 $S_n=\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中f1为首项，f为公比。
由已知条件得到$2-3^n=\\frac{a_1(1-3^n)}{1-3}$，化简可得f1=−4。
根据等比数列的性质，我们可以求得公比f=3。
然后代入公式f f=f1f f−1中得到f2=−12。
三、非选择题非选择题是高考数学试卷中的拓展部分，考察考生对数学原理和方法的理解和应用。
以下是2011年福建高考数学非选择题的部分题目及解析：题目1已知函数 $f(x)=x\\ln x$，求证：在区间(0,1)上函数f(f)单调递增。
证明：设f1，f2是区间(0,1)上的任意两个数，且满足f1<f2，则需证明f(f1)<f(f2)。
即证明 $x_1\\ln x_1 < x_2\\ln x_2$。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)解析版--数学理
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理试题解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-=13V S h = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 解析：由21i S =-∈得选项B 正确。
2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 解析：由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6解析：2sin 22tan 6cos aαα==，选D 。
2011年福建高考理科数学试卷及答案解析(Word)
2011年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅福建理，1】1．i 是虚数单位，若集合=S {1,0,1}-，则( )． A ．i S ∈ B ．2i S ∈ C ．3i S ∈ D ．2S i∈ 【答案】B ．【解析】2i 1S =-∈．故选B ．【2011⋅福建理，2】2．若a R ∈，则2a =是()()120a a --=的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】 当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 【2011⋅福建理，3】3．若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】D ． 【解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ．【2011⋅福建理，4】4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C ． 【解析】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 【2011⋅福建理，5】5．1⎰()2xe x dx +等于( )．A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【答案】C ． 【解析】()()11200210xxex dx e xe e e +=+=+--=⎰．故选C ．【2011⋅福建理，6】6．()312x + 的展开式中，2x 的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】B ．【解析】 15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．【2011⋅福建理，7】7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．1322或B ．223或C ．122或 D ．2332或 【答案】A ．【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则1212242623PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则1212242223PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以32c e a ==．故选A ．【2011⋅福建理，8】8．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是( )．A ．[-1.0]B ．[0.1]C ．[0.2]D ．[-1.2] 【答案】C ．【解析】 设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+． 作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅的取值范围是[]0,2．故选C ． 解析二：【2011⋅福建理，9】9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b R ∈，c Z ∈)，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是( )． A ．4和6 B ．.3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】D ．【解析】 ()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数．故选D ．【2011⋅福建理，10】10．已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是 ( )．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】B ．【解析】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=--22a ba b e e e ++=-2220a b a b a b eee+++≥=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立， 于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ①设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<． 由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作BF C P ⊥交CP 于F ． 因为()()22A C A C D f x f x y y y ++==，2ACB x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部，因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选Ｂ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2011⋅福建理，11】11．运行如图所示的程序，输出的结果是 ．【答案】 3．【解析】 123a =+=．所以输出的结果是3．【2011⋅福建理，12】12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 ．【解析】2Δ112333ABC V S PA =⋅=⨯=D BCA【2011⋅福建理，13】13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ． 【答案】35． 【解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 【2011⋅福建理，14】14．如图，ABC ∆中，2AB AC ==，BC =D 在BC 边上，ADC ∠=45，则AD 的长度等于 ．【解析】解法1：由余弦定理222cos 2AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅所以30C =︒. 再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以AD 解法2：作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为BC =EC =．于是1AE ==，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以AD =．【2011⋅福建理，15】15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意R λ∈，均有((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ=-=+-则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① 1:f V R → ()1f m x y =- (),m x y V =∈；② 2:f V R → ()2f m x y =+ (),m x y V =∈； ③ 3:f V R → ()31f m x y =++ (),m x y V =∈．其中，具有性质P 的映射的序号为 ．（写出所有具有性质P 的映射的序号） 【答案】①③．【解析】设()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλ．对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλ()()()11221x y x y =-+--λλ，()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλ，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，①是具有性质P 的映射； 对于②，()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλ()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ，()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立， 所以②不是具有性质P 的映射； 对于③，()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ，()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλ()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，③是具有性质P 的映射． 因此，具有性质P 的映射的序号为①、③．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅福建理，16】16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和S 3=133． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解析】本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =．所以11211333n n n n a a q---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值，则sin(2)16πϕ⨯+=，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ．函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+．【2011⋅福建理，17】17．（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m R ∈．(Ⅰ) 若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (Ⅱ) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由． 【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想． （Ⅰ）解法1：由题意，点P 的坐标为()0,m ． 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=，则r MP ===，所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． 解法2：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,,m r r ⎧+==解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（Ⅱ）解法1：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--． 设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ，由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-． 所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．【2011⋅福建理，18】18．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． （Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式210(6)3ay x x =+-- 得 11102a=+，所以2a =． （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<． 每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦，()36x <<．()()()()()()21062363064f x x x x x x ⎡⎤'=-+--=--⎣⎦．于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x ()3,44()4,6()f x '+-()f x单调递增极大值42单调递减由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点． 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【2011⋅福建理，19】19．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准．(Ⅰ) 已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；(Ⅱ) 为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． (Ⅲ) 在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学； （2）“性价比”大的产品更具可购买性．【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想．（Ⅰ）因为16EX =，所以50.46780a b ⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=，又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=， 解方程组67 3.2,0.5a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.3a =，0.2b =．（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 4 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：2X3 4 5 6 7 8 P0.30.20.20.10.10.1所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．【2011⋅福建理，20】20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，CD CDA ∠=45．(Ⅰ) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ；=．(Ⅱ) 设AB AP()i若直线PB与平面PCD所成的角为︒30，求线段AB的长；()ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．【解析二】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，所以PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =∩，所以P AB AD ⊥面平，又P AB AB ⊂面平，P PAB AD ⊥面平面平．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图乙的空间直角坐 标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ⊥．在Rt ΔCDE中，sin 4512DE CD =︒==． 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =-，()0,4,PD t t =--，（i ）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由n CD ⊥，n PD ⊥得0,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()0,40,x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =-， 又(),0,PB t t =-，由直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，得21cos 602n PB n PBt ⋅︒===⋅．解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去） 所以45AB =． （ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，设()0,,0G m ，()04m t ≤≤-． 则()1,3,0GC t m =--，()0,4,0GD t m =--，()0,,GP m t =-，则由GC GD =得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-，①由GP GD =得()2224t m m t --=+， ②从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③ 方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．解法2：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到 点,,,P B C D 的距离都相等，由GC GD =得45GCD GDC ∠=∠=︒， 从而90CGD ∠=︒，则CG GD ⊥，设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，3AG AD GD λ=-=-．在Rt ΔABG 中，1GB ===>与1GB GD ==矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．【2011⋅福建理，21】21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0a >，0b >）．（I ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（II ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C '：2214x y +=，求,a b 的值．【解析】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11001MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为2003M ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以112220100301x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以121x =，120y =，230x =，231y =，即112x =，10y =，20x =．213y =， 所以1102103M -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y '''．则00a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,ax x by y'=⎧⎨'=⎩， 又点(),P x y '''在曲线22:14x C y '+=上，所以2214x y ''+=， 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =， 又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）点P 的极坐标为(4,)2π，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q的坐标可设为,sin )Q αα． 点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++．所以当cos()16πα+=-时，d(3)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M ． （I ）求集合M ；（II ）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（Ⅱ）因为,a b M ∈，则01a <<，01b <<，(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．。
2011年福建高考数学理科试卷（带详解）
2011福建理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则，则（ ） A ．i S Î B ．2i S Î C ． 3i S ÎD ．2iS Î 【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】22i 1S =-Î．故选B ．2．若a ÎR ，则2a =是()()120a a --=的 （ ） A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充要条件．充要条件 C ．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件，但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ．3．若tan 3α=，则2sin 2cos aa的值等于的值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．6 【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【考查方式】给出式子和正切函数值，利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===aa aa a a．故选D ．4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于内部的概率等于 （ ） A ．14 B ．13 C ．12D ．23第4题图题图【测量目标】几何概型．【测量目标】几何概型．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率12ABE ABCD S P S ==△．故选C ． 5．()1e2xx dx +ò等于等于（ ） A ．1 B ．e 1- C ．eD ．e 1+ 【测量目标】定积分．【测量目标】定积分．【考查方式】给出定积分，求解．【考查方式】给出定积分，求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()()11200e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=ò．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【测量目标】二项式定理．【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】15C 2rrr r Tx +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ． 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线Γ的离心率等于的离心率等于 （ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32【测量目标】圆锥曲线的定义．【测量目标】圆锥曲线的定义． 【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率．离心率．【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λì+==+=ïí==ïî所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λì-==-=ïí==ïî所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +ìïíïî………上的一个动点，则OA OM的取值范围是的取值范围是（ ） A ．[]1,0- B ．[]0,1 C ．[]0,2 D ．[]1,2- 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设()()1,1,z OA OM x y x y ==-=-+ ．作出可行域，如图，直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM 的取值范围是[]0,2．故选C ．第8题图题图9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ÎR ，c ÎZ )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2 【测量目标】函数的求值．【测量目标】函数的求值．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ÎZ ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数．不是偶数．10．已知函数()e xf x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：给出以下判断：①ABC △一定是钝角三角形②ABC △可能是直角三角形可能是直角三角形 ③ABC △可能是等腰三角形可能是等腰三角形 ④ABC △不可能是等腰三角形不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是其中，正确的判断是（ ） A ．①．①,,③ B ．①．①,,④ C ．②．②,,③ D ．②．②,,④【测量目标】基本不等式、指数函数的性质、函数的单调性、等差数列的性质、函数图象的应用．应用．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】设a b <．首先证明()()22f a f ba b f ++æö>ç÷èø．()()22f a f b a b f ++æö-ç÷èø2eee22a baba ba b +++++=--2e e e2a b ab++=-222e e e e e 0a ba ba bab+++-=-= …，（步骤1）当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是，所以等号不成立，于是 ()()022f a f b a b f ++æö->ç÷èø， ()()22f a f b a b f ++æö>ç÷èø． ① （步骤2） 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C C x x y y，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ② （步骤3） 如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ^交BN 于E ，作B F C P ^交CP 于F ．因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2A CB x x y f +æö=ç÷èø， 由①式，D B y y >，（步骤4）D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 内部，（步骤5）因而90DBA DEA °Ð>Ð=，又CB A D B A Ð>Ð，所以ABC △一定是钝角三角形．结论①正确．（步骤6）若ABC △是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ^，因而AC x 轴，这是不可能的，所以ABC △不是等腰三角形．结论④正确；不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选B ．（步骤7）第10题图题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．第11题图题图【测量目标】程序语句．【测量目标】程序语句．【考查方式】给出程序语句，计算求解．【考查方式】给出程序语句，计算求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ^底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______． 【测量目标】三棱锥的体积．【测量目标】三棱锥的体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2113233334ABCV SPA ==´´´=△． 13．盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______． 【测量目标】随机事件与概率．【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】35【试题解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ´===． 14．如图，ABC △中，2AB AC ==，23BC =，点D 在BC 边上，45ADC °Ð=，则AD 的长度等于______．第14题图（1）【测量目标】余弦定理、正弦定理．【测量目标】余弦定理、正弦定理．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度． 【难易程度】中等【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】解法一：由余弦定理【试题解析】解法一：由余弦定理22241243c o s 222223AC BC AB C AC BC +-+-===´´ ,（步骤1） 所以30C °=．（步骤2） 再由正弦定理再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =Ð，即2sin 30sin 45AD °°=，所以2AD =．（步骤3） 解法二：作AE BC ^于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为23BC =，则3EC =．（步骤1）于是221AE AC EC =-=，（步骤2）因为ADE △为有一角为45°的直角三角形．且1AE =，所以2AD =．（步骤3）第14题图（2） 15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V ®R 满足：对任意向量()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，以及任意λÎR ，均有，均有()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f x y x y V®=-=ÎR m m ；② ()()222:,,,f V f x y x y V ®=+=ÎR m m ； ③ ()()33:,1,,f V f x y x y V ®=++=ÎR m m ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）． 【测量目标】向量的坐标运算、映射．【测量目标】向量的坐标运算、映射．【考查方式】给出三个映射，利用向量的坐标运算求出与f 具有相同性质的映射．具有相同性质的映射． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】①，③【参考答案】①，③【试题解析】设()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，则，则()()()()11221,1,x y x y l l l l +-=+-a b()()()12121,1x x y y l l l l =+-+-．（步骤1） 对于①，对于①， ()()()()()()1212111fx x y y l l l l l l +-=+--+-a b()()()11221x y x y =-+--l l ，（步骤2）()()()()()()112211f f x y x y l l l l +-=-+--a b ，所以()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b 成立，①是具有性质P 的映射；（步骤3）对于②，()()()()()()21212111f x x y y l l l l l l +-=+-++-a b()()()()2121211x x y y =+-++-l l l l()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-l l l l l l ，（步骤4） ()()()()()()22112211f f x y x y l l l l +-=++--a b ， 显然，不是对任意λÎR ，()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，成立，所以②不是具有性质P 的映射；（步骤5） 对于③，()()()()()()12121111fx x y y l l l l l l +-=+-++-+a b()()()112211x y x y =++-++l l ，（步骤6）()()()()()()11221111f f x y x y l l l l +-=+++-++a b()()()()112211x y x y =++-+++-l l l l ()()()112211x y x y =++-++l l ． 所以()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，③是具有性质P 的映射．的映射．（步骤7）因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．（步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{{}}n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0π)f x A x A j j =+><<在π6x =处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．的解析式．【测量目标】等比数列的通项、性质及前n 项和、函数sin()y A x w j =+的图象及性质．的图象及性质． 【考查方式】给出等比数列的公比和前几项的和，给出等比数列的公比和前几项的和，求其通项公式；求其通项公式；求其通项公式；已知函数的最大值为数列已知函数的最大值为数列的一项，求其解析式．的一项，求其解析式． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由3q =，3133S =Þ()311313133a -=-，解得113a =．（步骤1）所以11211333n n n n a a q---==´=．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．（步骤3） 又因为函数()f x 在π6x =处取得最大值，处取得最大值， 则πsin 216jæö´+=ç÷èø，因为0πj <<，所以π6j =．（步骤4） 函数()f x 的解析式为π()3sin 26f x x æö=+ç÷èø．（步骤5） 17．已知直线:l y x m =+，m ÎR ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l ¢，问直线l ¢与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．明理由．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【考查方式】给出直线方程，根据圆与直线的位置关系求圆的方程；根据圆与直线的位置关系求圆的方程；给出抛物线方程和直线给出抛物线方程和直线的条件，判断两者之间的位置关系．的条件，判断两者之间的位置关系． 【难易程度】较难【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）解法一：由题意，点P 的坐标为(())0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ^．01102MP l m k k -==-- ，所以2m =．（步骤1） 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则()()2202208r MP ==-+-=，（步骤2） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤3）第17题图（1）解法二：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224202m r mr ì+=ï-+í=ïî，解得222m r =ìïí=ïî．（步骤1） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤2）（Ⅱ）解法一：因为直线:l y x m =+，且，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．（步骤4）由24,,x y y x m ì=í=--î得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-´=，解得1m =．（步骤5）所以，当1m =时，Δ0=，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，Δ0¹，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤6）解法二：因为直线:l y x m =+，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．设直线l ¢与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x ¢=，则0112x =-，02x =-， ()022y m m =---=-．（步骤3） 所以切点为()2,2m --，切点在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =．（步骤4）所以，当1m =时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤5）第17题图（2）18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．千克． （Ⅰ）求a 的值；的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所获得的利润最大．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【考查方式】给出函数关系式，根据条件求解，再利用导数求利润最大时的销售价格． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式，由函数式210(6)3ay x x =+--得 11102a =+，所以2a =．（步骤1） （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f xx x x x x éù=-+-=+--êú-ëû，()36x <<．（步骤2）()()()()()()21062363064f x x x x x x éù¢=-+--=--ëû．（步骤3） 于是，当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：的变化情况如下表：x()3,44()4,6()f x ¢+-()f x极大值由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（步骤4） 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（步骤5） 19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,,8…，其中5X …为标准A ，3X …为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：1X 5 6 7 8P0.4 a b0.1且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 53 8 34 3 4 4 75 67 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．的数学期望． （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．“性价比”大的产品更具可购买性． 【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；根据样本数据求期望；给出产品性根据样本数据求期望；给出产品性价比的公式，判断购买性．价比的公式，判断购买性． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为16EX =，所以，所以50.46780.16a b ´+++´=，即67 3.2a b +=，（步骤1）又0.40.11a b +++=， 所以0.5a b +=，解方程组67 3.20.5a b a b +=ìí+=î解得0.3a =，0.2b =．（步骤2）（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 45 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1（步骤3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：列如下表：2X 345 6 7 8P0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1（步骤4） 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =´+´+´+´+´+´=．（步骤5） （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=，（步骤6）甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>．所以，乙厂的产品更具可购买性．（步骤7）20．如图甲，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ^底面，四边形ABCD 中，AB AD ^，4AB AD +=，2CD =，45CDA °Ð=．（Ⅰ）求证：PAB ^平面平面P AD ； （Ⅱ）设AB AP =．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等？说明理由．明理由．第20题图题图【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【考查方式】给出四棱锥及其边角关系和条件，证明面面垂直；根据线面角求解线段长度，探索点的存在性．探索点的存在性． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）因为PA ABCD ^底面，AB ABCD Ì底面，所以PA AB ^．（步骤1）又AB AD ^，PA AD A =∩，所以AB ^平面P AD ，又AB Ì平面P AB ， PAB ^平面平面P AD ．（步骤2）（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ^．（步骤3）在Rt CDE △中，2cos 45212DE CD °===．（步骤4） 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =- ，()0,4,PD t t =--，（步骤5）（i ）设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，由CD ^ n ，PD ^ n 得00CDPD ì=ïí=ïîn n , ()040x y t y tz -+=ìí--=î取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =- ，（步骤6） 又(),0,PB t t =-，由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，得，得22222241cos602(4)2PB t t PBt t t t °-===++- n n ．（步骤7） 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去），故舍去）所以45AB =．（步骤8）第20题图（1）（ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 设()0,,0G m ，()04mt -剟．则()1,3,0GC t m =-- ，()0,4,0GD t m =-- ，()0,,GP m t =-，（步骤9）则由GC GD = 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-， ①由GP GD =得()2224t m m t --=+， ②（步骤10）从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．（步骤11）第20题图（2）解法二：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 由GC GD =得45GCD GDC °Ð=Ð=， 从而90CGD °Ð=，则CG GD ^，（步骤9）设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，（步骤10）3AG AD GD λ=-=-．（步骤11） 在Rt ABG △中，()222223932122GB ABAG λλλæö=+=+-=-+>ç÷èø． （步骤12）与1GB GD ==矛盾，矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B CD 的距离都相等．的距离都相等． （步骤13）第20题图（3）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修42-：矩阵与变换：矩阵与变换设矩阵设矩阵 00a Mb æö=ç÷èø（其中0a >， 0b >）． （Ⅰ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线22:14x C y ¢+=，求,a b 的值．的值．【测量目标】矩阵与行列式初步．【测量目标】矩阵与行列式初步．【考查方式】给出矩阵，求其逆矩阵；给出曲线方程及其在矩阵对应的线性变化作用下得到的曲线方程，求未知量．的曲线方程，求未知量． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122xy Mx y -æö=ç÷èø，则11001MM -æö=ç÷èø，（步骤1） 因为2003M æö=ç÷èø，所以112220100301x y x y æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，（步骤2） 所以121x =，120y =，230x =，231y =， 即112x =，10y =，20x =．213y =，（步骤3） 所以1102103M -æöç÷=ç÷ç÷ç÷èø．（步骤4） （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y ¢¢¢．则00a x x b y y ¢æöæöæö=ç÷ç÷ç÷¢èøèøèø，即ax x by y ¢=ìí¢=î，（步骤5） 又点(),P x y ¢¢¢在曲线22:14x C y ¢+=上，所以2214x y ¢¢+=，（步骤6） 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =，（步骤7）又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．（步骤8） （2）选修44-：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直接坐标系x O y 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3c o s s i nx θy θì=ïí=ïî（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，判断点P 与直线l 的位置关系；的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【考查方式】给出直线方程和点的极坐标，判断点与直线的位置关系；给出曲线的参数方程，求曲线上的动点到直线的最小距离．求曲线上的动点到直线的最小距离． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，（步骤1）因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（步骤2）（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q 的坐标可设为()3cos ,sin Q αα．点Q 到直线l 的距离为的距离为π2cos 43cos sin 4π62cos 22622αααdαæö++ç÷-+æöèø===++ç÷èø．（步骤3） 所以当πcos 16αæö+=-ç÷èø时，d 取得最小值2．(步骤4) （3）选修45-：不等式选讲：不等式选讲设不等式211x -<的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若,a b M Î，试比较1ab +与a b +的大小．的大小．【测量目标】不等式选讲．【测量目标】不等式选讲．【考查方式】给出不等式，求其解集；给出关于集合两个元素的式子，比较它们的大小． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由211x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（步骤1）（Ⅱ）因为,a b M Î，则01a <<，01b <<，（步骤2）()()()()1110ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．（步骤3）。
2011年福建理解析
2011年高考（福建理）一、选择题1 ．i 是虚数单位,若集合S ={-1,0,1},则（ ）A ．i ∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 2 ．若a ∈R,则a =2是(1)(2)0a a --=的（ ）A ．充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件3 ．若tan α=3,则2sin 2cos αα的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64 ．如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235 ．1(2)x e x dx +⎰等于（ ）A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +6 ．5(12)x +的展开式中,2x 的系数等于（ ）A ．80B ．40C ．20D ．107 ．设圆锥曲线E 的两个焦点分别为1F ,2F ,若曲线E 上存在点P 满足1||PF :12||F F :2||PF =4:3:2,则曲线E 的离心率等于（ ）A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或328 ．已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,则OA OM ∙的取值范围是（ ）A ．[-1.0] B ．[0.1]C ．[0.2]D ．[-1.2]9 ．对于函数()f x =sin a x bx c ++(其中a ,b ∈R ,c ∈Z ),选取a ,b ,c 的一组值计算(1)f 和(1)f -,所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ）A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和210．已知函数()f x =xe x +,对于曲线y =()f x 上横坐标成等差数列的三个点A ,B ,C,给出以下判断:①ABC ∆一定是钝角三角形； ②ABC ∆可能是直角三角形 ③ABC ∆可能是等腰三角形； ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题11．运行如图所示的程序,输出的结果是_______.12．三棱锥P-ABC 中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC 是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 13．何种装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.14．如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于______.15．设V 是全体平面向量构成的集合,若映射:f V R →满足:对任意向量a =(1x ,1y )∈V ,b=(2x ,2y )∈V 以及任意λ∈R ,均有(+(1))f a b λλ-=()+(1)()f a f b λλ- 则称映射f 具有性质P .先给出如下映射:①1:f V R →,1()f m x y =-,m =(,)x y V ∈;②2:f V R →,22()f m x y =+ ,m =(,)x y V ∈;③3:f V R →,3()1f m x y =++,m =(,)x y V ∈其中,具有性质P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质P 的映射的序号)三、解答题16．已知等比数列{n a }的公比q =3,前3项和3S =133. (I)求数列{n a }的通项公式;(II)若函数()f x =sin(2)A x ϕ+(A >0,0<ϕ<π)在6x π=处取得最大值,且最大值为3a ,求函数()f x 的解析式.17．已知直线l :y x m =+,m ∈R .(I)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ',问直线l '与抛物线C:24x y =是否相切?说明理由.18．某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y =210(63a x x +--）,其中3<x <6,a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (I)求a 的值(II)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19．某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,,8,其中X ≥5为标准A ,X ≥3为标准B,已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准:且1的数字期望1=6,求,的值;(II)为分析乙厂产品的等级系数2X ,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数2X 的数学期望. (Ⅲ)在(I)、(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:(1)产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学;(2)“性价比”大的产品更具可购买性.20．如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,︒=∠45CDA . (I)求证:平面PAB⊥平面PAD; (II)设AB=AP.(i)若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30,求线段AB 的长; (ii)在线段AD 上是否存在一个点G,使得点G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由 21．选修4-2:矩阵与变换设矩阵00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(其中a >0,b >0).(I)若a =2,b =3,求矩阵M 的逆矩阵1M -;(II)若曲线C :221x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ':2214x y +=,求a ,b 的值.22．选修4-4:坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数). (I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,2π),判断点P 与直线l 的位置关系; (II)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.23．选修4-5:不等式选讲设不等式|21|1x -<的解集为M .(I)求集合M ;(II)若a ,b ∈M ,试比较1ab +与a b +的大小.2011年高考（福建理）参考答案一、选择题 1.【命题意图】本题考查复数运算、元素与结合关系,是送分题. 【解析】∵2i =-1∈S ,故选B.【答案】B2.【命题意图】本题考查充要条件的判断,是送分题. 【解析】∵a =2⇒(1)(2)0a a --=,但(1)(2)0a a --=a =2,∴a =2是(1)(2)0a a --=充分而不必要条件,故选A. 【答案】A3.【命题意图】本题考查二倍角正弦公式、同同角三角函数基本关系式,是容易题. 【解析】2sin 2cos αα=22sin cos cos ααα=2tan α=6,故选D. 【答案】D4. 【命题意图】本题考查几何概型计算,是容易题.【解析】点Q 取自△ABE 内部的概率等于ABEABCD S S ∆矩形=12AB BC AB BC ⨯⨯=12,故选C.【答案】C5. 【命题意图】本题考查定积分的计算,是简答题.【解析】1(2)x e x dx +⎰=210()|x e x +=1202(1)(0)e e +-+=e ,故选C.【答案】C6. 【命题意图】本题考查二项展开式的通项公式,是简单题.【解析】含2x 项是5(12)x +展开式的第3项,故其系数为2252C =40,故选B.【答案】B7.【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的定义与离心率的计算,考查分类整合思想,是中档题.【解析】∵1||PF :12||F F :2||PF =4:3:2, ∴设1||PF =4k ,12||F F =3k ,2||PF =2k ,(0k >)若圆锥曲线为椭圆,则2a =1||PF +2||PF =6k ,2c =12||F F =3k ,则离心率e =22c a =36k k =12;当圆锥曲线为双曲线时,则2a =12||F F —2||PF =2k ,2c =12||F F =3k ,则离心率e =22c a =32k k =32,故选A. 【答案】A8. 【命题意图】本题考查简单线性规划、平面向量的数量积等知识,考查数形结合思想及化归与转化数学的应用,是中档题.【解析】作出可行域,如图所示,设z =OA OM ∙,则z =x y -+,作出0l :0x y -+=,平移0l ,知l 过点(1,1)时,min z =0,过(0,2)时,max z =2,∴OA OM ∙的取值范围为[0,2],故选C.【答案】C9.【命题意图】本题考查函数的奇偶性和逻辑推理能力,是难题.【解析】∵(1)f =a b c ++,(1)f -=a b c --+, ∴(1)f +(1)f -=2c 是偶数, ∴(1)f ,(1)f -不可能是一奇一偶,故选D.【答案】D10. 【命题意图】本题考查等差中项、向量的数量积等知识,考查学生数据处理能力.【解析】∵()f x '=+1xe >0,∴()f x 在(-∞,+∞)上单调递增, 设A ,B ,C 三点的横坐标分别为x d -,x ,x d +(d >0), 则A (x d -,x dex d -+-),B (x ,x e x +),C (x d +,x d e x d +++),BA =(d -,x d xe e d ---),BC =(d ,x d x e e d +-+),∴BA BC ∙ =2()()x d x x d xd e e d e e d -+-+---+=222222xx d x d x d x x x d x d ee de e e de de de d --++-+-+-+--+-=222[2()]()xdd x d x d de e e d e e --+-+-++-∵0de->,d e >0, ∴d d e e -+≥2,当且仅当d d e e -=,即d =0时取等号,又∵d >0,∴dd e e -+>2, ∴2[2()]x d d e e e --+<0,∵xy e =在(-∞,+∞)上是增函数,x d x d -<+,d >0,∴+x dx dee-<,∴(x dx dd ee -+-）<0,又22d <0,∴BA BC ∙<0,即ABC ∠为钝角, ∴ABC ∆是钝角三角形,显然①正确,排除②,∵||BA,|BCx d x e e d ---<x d x e e d +-+,∴||||BA BC ≠,∴ABC ∆不可能是等腰三角形,故④正确,排除③,综上①④正确,故选B. 【答案】B二、填空题11. 【命题意图】本题考查程序框图中的赋值语句、输出语句,是容易题.【解析】∵1a =,2b =,∴a a b =+=3,∴输出的结果为3. 【答案】312.【命题意图】本题考查棱锥的体积公式、等边三角形的面积公式、线面垂直等知识及计算能力,是简单题.【解析】∵PA⊥底面ABC,∴PA 是三棱锥P —ABC 的高,且PA=3,∵ABC ∆是边长为2的正三角形,∴ABC S ∆=224-ABC P V=13313.【命题意图】本题考查组合知识和等可能事件概率的计算,是中档题.【解析】5个球任取两个共有25C 不同的取法,其中所取出的2个球颜色不同的取法有1132C C,∴所取出的2个球颜色不同的概率为113225C C C =35. 【答案】3514. 【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形,是中档题.【解析】(法1)过A 作AE⊥BC,垂足为E,∵AB=AC=2,BC=是BC 的中点,且在Rt AEC ∆中(法2) ∵AB=AC=2,BC=由余弦定理知,cos C =2222AC BC AB AC BC+-⨯==2, ∴C=30°,在△ADC 中,∠ADE=45°,由正弦定理得,sin sin AD ACC ADC=∠, ∴AD=sin sin AD C ADC ∠122⨯15.【命题意图】本题考查向量的运算及运用新概念解决问题的能力和字母运算能力,是难【解析】∀任意向量a =(1x ,1y )∈V ,b=(2x ,2y )∈V 以及任意λ∈R ,则+(1)a b λλ-=1212((1),(1))x x y y λλλλ+-+-,对①,1(+(1))f a b λλ- =1212[(1)][(1)]x x y y λλλλ+--+-=1122()(1)()x y x y λλ-+--=11()+(1)()f a f b λλ-,具有性质P ;对②,2(+(1))f a b λλ-=21212[(1)](1))x x y y λλλλ+-++-=22221122122(1)(1)(1))x x x x y y λλλλλλ+-+-++-,22()+(1)()f a f b λλ- =221122)(1)()x y x y λλ++-+（,显然, 2(+(1))f a b λλ- ≠22()+(1)()f a f b λλ-,故不具有性质P ,对③,3(+(1))f a b λλ-=1212[(1)][(1)]1x x y y λλλλ+-++-+=1122(1)(1)(1)x y x y λλ+++-++=33()+(1)()f a f b λλ-,具有性质P ,∴具有性质P 得映射序号为①③.另解:解:先验证①是否是具有性质P 的映射.:设1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈ ∵f 1()=x-y, 则f(a)=f((x 1,y 1))= x 1-y 1, f(b)=f((x 2,y 2))= x 2-y 2, 设m =λa+(1-λ)b,∴有f 1(m )=f 1(λa+(1-λ)b)= f 1{λ(x 1,y 1)+(1-λ)(x 2,y 2)} = f 1{ (λx 1, λy 1)+ ((1-λ)x 2, (1-λ)y 2)} = f 1{ [λx 1+(1-λ)x 2, λy 1+(1-λ)y 2]}=[ (λx 1+(1-λ)x 2]-[λy 1+(1-λ)y 2)] =[λx 1-λy 1]+[(1-λ)x 2-(1-λ)y 2] =λ( x 1-y 1)+ (1-λ)(( x 2-y 2)) =λ f(a) + (1-λ) f(b) ∴f 1是具有性质P 的映射.再来验证②是否是具有性质P 的映射. 设1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈∵f 2()=x 2+y, 则f(a)=f((x 1,y 1))=21x +y 1, f(b)=f((x 2,y 2))=22x +y 2,设m =λa+(1-λ)b,∴有f 1()=f 1[λa+(1-λ)b]= f 1{λ(x 1,y 1)+(1-λ)(x 2,y 2)} = f 1{ (λx 1, λy 1)+ [(1-λ)x 2, (1-λ)y 2]} = f 1{ (λx 1+(1-λ)x 2, λy 1+(1-λ)y 2)} =[(λx 1+(1-λ)x 2)2+λy 1+(1-λ)y 2)=)()1()(22221212y x y x +-++λλ+221)1(x x λλ-=2λf(a)+ (1-λ)f(b)+221)1(x x λλ- ≠λ f(a) + (1-λ) f(b) ∴f 2是不具有性质P 的映射.最后验证③是否是具有性质P 的映射. 设1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈∵f 1()=x+y+1, 则f(a)=f((x 1,y 1))= x 1+ y 1+1. f(b)=f((x 2,y 2))= x 2+ y 2+1. 设=λa+(1-λ)b,∴有f 1()=f 1(λa+(1-λ)b)= f 1{λ(x 1,y 1)+(1-λ)(x 2,y 2)} = f 1{ (λx 1, λy 1)+ ((1-λ)x 2, (1-λ)y 2)} = f 1{ (λx 1+(1-λ)x 2, λy 1+(1-λ)y 2)} =[λx 1-λy 1]+[(1-λ)x 2-(1-λ)y 2]+1 =λ( x 1-y 1)+ (1-λ)( x 2-y 2)+1 =λ(x 1+ y 1+1)+ (1-λ)( x 2+ y 2+1.) =λ f(a) + (1-λ) f(b) ∴f 3是具有性质P 的映射. 【答案】①③三、解答题16. 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式以及三角函数的最值问题,考查函数与方程思想和运算求解能力,是简单题.【解析】(I)由q =3,3S =133得,31(13)13a --=133,解得1a =13∴数列{n a }的通项公式n a =23n -.(II)由(I)可知n a =23n -,∴3a =3, ∴函数()f x 的最大值为3, ∴A =3,∵()f x 在6x π=处取得最大值, ∴sin(2)6πϕ⨯+=1, 又∵0<ϕ<π,∴ϕ=6π, ∴()f x =3sin(2)6x π+.【点评】本题题目简单,但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉.17. 【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想,是中档题.【解析】(I)由题意知P (0, m ),∵以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,∴PM k =002m --=1-,解得m =2,∴圆M 的半径r =∴所求圆M 的方程为22(2)8x y -+=;(II)∵直线l 关于x 轴对称的直线为l ',l :y x m =+,m ∈R , ∴l ':y x m =--,代入24x y =得2440x x m ++=,∆=2444m -⨯⨯=1616m -,当m <1时,∆>0,直线l '与抛物线C 相交; 当m =1时,∆=0,直线l '与抛物线C 相切; 当m >1时,∆<0,直线l '与抛物线C 相离.综上所述,当m =1时,直线l '与抛物线C 相切,当m ≠1时,直线l '与抛物线C 不相切. 【点评】本题考查内容和方法很基础,考查面较宽,是很好的一个题.18. 【命题意图】本题考查运用函数、导数等基础知识解函数最优化应用题,考查应用意识、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.【解析】(I)∵当x =5时,y =11,∴210(5653a +--）=11,解得a =2; (II)由(I)知该商品每日的销售量y =2210(63x x +--）(3<x <6), ∴该商城每日的销售该商品的利润()f x =22[10(6](3)3x x x +---）=2210(3)(6)x x +--(3<x <6), ∴()f x '=210[(6)2(3)(6)]x x x -+--=30(4)(6)x x --当x 变化时,()f x ,()f x '的变化情况如下表:由上表可得,x =4是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, ∴当x =4时,max ()f x =42.答:当销售价格定为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【点评】本题的第1小题很简单,是送分题,第2小题也是简单的三次函数在某个区间上的最值问题,也比较容易.19. 【命题意图】本题考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类整合思想,是中档题.【解析】(I)由题意知,0.40.1150.46780.16a b a b +++=⎧⎨⨯+++⨯=⎩,解得0.30.2a b =⎧⎨=⎩;(II)由已知得,样本的频率分布表如下:2所以22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 4.8.=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件,所以其性价比为61.6= 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为4.81.2.4= 据此,乙厂的产品更具可购买性.20. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【解析】解法一:(I)∵PA ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴PA AB ⊥,又∵,,AB AD PA AD A ⊥= ∴AB ⊥平面PAD.又∵AB ⊂平面PAB,∴平面PAB ⊥平面PAD.(II)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz -(如图)在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于点E,则.CE AD ⊥在Rt CDE ∆中,DE=cos 451CD ⋅︒=,sin 451,CE CD =⋅︒=设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t)由AB+AD=4,得AD=4-t,所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---,(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--(i)设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,由n CD ⊥ ,n PD ⊥ ,得0,(4)0.x y t y tx -+=⎧⎨--=⎩取x t =,得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-,又(,0,)PB t t =- ,故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒,得21cos 60||,,2||||n PB n PB ⋅︒==⋅ 解得445t t ==或(舍去,因为AD 40t =->),所以4.5AB = (ii)假设在线段AD 上存在一个点G,使得点G 到点P,B,C,D 的距离都相等, 设G(0,m,0)(其中04m t ≤≤-)则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=- ,由||||GC GD = 得222(4)t m m t --=+,(2)由(1)、(2)消去t,化简得2340m m -+=(3)由于方程(3)没有实数根,所以在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点P,C,D 的距离都相等.从而,在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点P,B,C,D 的距离都相等.解法二:(I)同解法一.(II)(i)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A —xyz(如图)在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于E,则CE AD ⊥.在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于点E,则.CE AD ⊥在Rt CDE ∆中,DE=cos 451CD ⋅︒=,sin 451,CE CD =⋅︒=设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t)由AB+AD=4,得AD=4-t,(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---,(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,由n CD ⊥ ,n PD ⊥ ,得0,(4)0.x y t y tx -+=⎧⎨--=⎩取x t =,得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-,又(,0,)PB t t =- ,故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒,得21cos 60||,,2||||n PB n PB ⋅︒==⋅ 解得445t t ==或(舍去,因为AD 40t =->),∴4.5AB = (ii)假设在线段AD 上存在一个点G,使得点G 到点P,B,C,D 的距离都相等, 由GC=CD,得45GCD GDC ∠=∠=︒,从而90CGD ∠=︒,即,CG AD ⊥∴sin 451,GD CD =⋅︒=设,AB λλ=则AD=4-,3AG AD GD λ=-=-,在Rt ABG ∆中,GB ==1,=> 这与GB=GD 矛盾. 所以在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点B,C,D 的距离都相等,从而,在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点P,B,C,D 的距离都相等. 21. 【命题意图】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想【解析】(I)设矩阵M 的逆矩阵11122x y M x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则110.01MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭又2003M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112220100301x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴112211221121,20,30,31,,0,0,,23x y x y x y x y ========即 故所求的逆矩阵1102.103M -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(II)设曲线C 上任意一点(,)P x y ,它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ,则00a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭'',''x x ax x y y by y =⎛⎫⎛⎫⎧=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩即 又点'(',')P x y 在曲线'C 上, ∴22''14x y +=. 则222214a xb y +=为曲线C 的方程, 又已知曲线C 的方程为22224,1, 1.a x y b ⎧=⎪+=⎨=⎪⎩故 又2,0,0, 1.a a b b =⎧>>⎨=⎩所以 22.选修4-4:坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数). (I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,2π),判断点P 与直线l 的位置关系; (II)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.【解析】(I)把极坐标系下的点(4,)2P π化为直角坐标,得P(0,4).因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=,所以点P 在直线l 上,(II)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q的坐标为,sin )αα,从而点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++, 由此得,当cos()16πα+=-时,d 取得最小值,23.选修4-5:不等式选讲设不等式|21|1x -<的解集为M .(I)求集合M ;(II)若a ,b ∈M ,试比较1ab +与a b +的大小.【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.【解析】(I)由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<(II)由(I)和,a b M ∈可知0<a<1,0<b<1,所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=-->故1.ab a b +>+。
2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则（ ）．A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2iS ∈ 【解】2i 1S =-∈．故选B ．2．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件【解】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 3．若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ． 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ΔABE 内部的概率等于（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23 【解】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 5．()10e 2x x dx +⎰等于（ ）．A ．1B ．e 1-C ．eD ．e 1+【解】()()112000e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=⎰．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）．A ．80B ．40C ．20D ．10D C BE A【解】15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）． A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【解】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩所以12c e a ==． 若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2-【解】设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅的取值范围是[]0,2．故选C ．9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能是（ ）．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数.故选D ．10．已知函数()e x f x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ΔABC 一定是钝角三角形②ΔABC 可能是直角三角形③ΔABC 可能是等腰三角形④ΔABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）．A ．①,③B ．①,④C ．②,③D ．②,④【解】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=-- 22a b a be e e ++=-2220a ba b a b e e e +++≥=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭， ()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ① 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作B FC P ⊥交CP 于F ． 因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部， 因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】3．123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______．【解2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯= 13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】35． 所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 14．如图，ΔABC 中，2AB AC ==，BC =点D 在BC边上，45ADC ∠=︒，则AD 的长度等于______．【解．解法1．由余弦定理222cos 22AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅, 所以30C =︒.再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以AD = 解法2．作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC的中点，因为BC =，则EC =．D B C AE D B CA于是1AE ==，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以AD =15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，以及任意λ∈R ，均有()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f m x y m x y V→=-=∈R ； ② ()()222:,,,f V f m x y m x y V →=+=∈R ；③ ()()33:,1,,f V f m x y m x y V →=++=∈R ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）．【解】①，③．设()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλ． 对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλ()()()11221x y x y =-+--λλ， ()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλ，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，①是具有性质P 的映射； 对于②， ()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλ()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ， ()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，所以②不是具有性质P 的映射；对于③， ()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ， ()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλ()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，③是具有性质P 的映射． 因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A =+><<ϕϕπ在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解】（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =． 所以11211333n n n n a a q ---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值， 则sin 216⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭πϕ，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ． 函数()f x 的解析式为()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π． 17.（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m ∈R ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点P 的坐标为()0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则r MP === 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．解法2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,,m r r ⎧+==解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． （Ⅱ）解法1．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=，2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:ly xm '=--．设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-． 所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
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绝密☆启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项：
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考
证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字
笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式
13
V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V=Sh 2344,3
S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1
-，则 A.i S ∈ B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.
2S i ∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的
A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C.充要条件 C.既不充分又不必要条件
3.若tan α=3，则2sin 2cos a
α的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6
4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于
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A.
14
B.13
C.12
D.23 5.1
0⎰（e 2+2x ）dx 等于 A.1 B.e-1 C.e D.e+1
6.(1+2x)3的展开式中，x 2的系数等于
A.80
B.40
C.20
D.10
7.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于
A.1
322或 B.23或2 C.12
或2 D.2332或 8.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA u u u r ·的
取值范围是
A.[-1.0]
B.[0.1]
C.[0.2]
D.[-1.2]
9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．
是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
10.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形
②△ABC 可能是直角三角形
③△ABC 可能是等腰三角形
④△ABC 不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A.①③
B.①④
C. ②③
D.②④
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学(理工农医类)
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11.运行如图所示的程序，输出的结果是_______。
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12.三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正
三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______。
13.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球
2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于
_______。
14.如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点
D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等
于______。
15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量
1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有
((1))()(1)(),a b a b λλλλ=-=⎰+-⎰⎰
则称映射f 具有性质P 。
先给出如下映射：
其中，具有性质P 的映射的序号为________。
（写出所有具有性质P 的映射的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分13分）
已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=
133。
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π
=处取得最大值，且最大值
为a 3，求函数f （x ）的解析式。
17.（本小题满分13分）
已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。
（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2=4y 是否相切？说明理由。
18.（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I ）求a 的值
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（II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
19.（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I ）已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；
（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4
7 5 3 4
8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望.
在（I ）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”
=产品的零售价
期望产品的等级系数的数学； （2）“性价比”大的产品更具可购买性.
20.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，
四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，
︒=∠45CDA .
（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
（II ）设AB=AP.
（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；
（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
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设矩阵 00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（其中a ＞0，b ＞0）.
（I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；
（II ）若曲线C ：x 2+y 2
=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4x 22
=+，求a ，b 的值.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C
的参数方程为sin x a y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩. （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2
π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式11-x 2＜的解集为M.
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小.。