云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测数学(理)试题 含答案

机密★启用前 【考试时间：1月20日 15:00-17:00】昆明市第一中学2021届高中新课标高三第五次二轮复习检测理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)|0},{(,)|23}A x y x y B x y x y =-==-+=，则A B ⋂=（ ） A ．(3,3)-- B ．(3,3) C ．{(3,3)}-- D ．{(3,3)} 2．已知复数z 的共轭复数2z i =-，则5z=（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -3．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面4个数与祖冲之给出的约率22 3.14297⎛⎫≈ ⎪⎝⎭、密率355 3.1416113⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，这6个数字的中位数（精确到万分位）与极差分别为（ ）A ．3.1498，0.0484B ．3.1547，0.0484C ．3.1429，0.0615D ．3.1523，0.06154．为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了100个学生，看其是否知道刘徽的《九章算术注》、祖冲之的《大明历》赵爽的《周髀算经》和杨辉的《田亩比类乘除捷法》．经统计，其中知道《九章算术注》或《大明历》的有80人，知道《九章算术注》的有60人，知道《九章算术注》且知道《大明历》的有40人，用样本估计总体，则该校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.85．已知一个等比数列的公比0q <，且前5项和为53111,34a a a -=+，则4a =（ ） A ．2 B ．24 C ．8 D ．4 6．若函数31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(,4]-∞ C ．(,8)-∞ D ．(,8]-∞ 7．函数()ln ||(33)f x x x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知正三棱锥S ABC -，如果E ，F 分别为侧棱SC ，底边AB 的中点，那么异面直线EF 与AC 所成的角等于（ ） A ．90° B ．30° C ．45° D ．60°9．执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．已知双曲线2212y x -=上存在两点M ，N 关于直线y x b =-+对称，且MN 的中点在抛物线23y x =上，则实数b 的值为（ ） A ．0或94 B ．0 C ．94D ．8- 11．设函数()sin 2cos2f x a x b x =+，其中,,0a b ab ∈≠R ，若()6f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是，2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关()26k x k ππ=+∈Z 对称．其中正确的说法是（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．①③④12．已知()f x 是定义在(1,)+∞上的单调函数，()g x 是(0,)+∞上的单调减函数，且()()()235x y z f f f ==，则（ ）A ．(2)(3)(5)g x g y g z <<B ．(5)(2)(3)g z g x g y <<C ．(3)(5)(2)g y g z g x <<D ．(3)(2)(5)g y g x g z <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(1,2),(0,1),(,1),AB BD BC t t ===-∈R ，若//AD CD ，则实数t =_______． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，且362011a a =，则115S S =_______． 15．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F 的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为_____________．16．已知一个半径为1的硬质小球在一个内壁棱长为5的正方体密闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”．某日，学校工 会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数（单位：千步，且均在[4,20]内），按步数分组，得到频率分布直方图如右图所示．（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数（每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数）．（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,Nμσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）．（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈．18．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a C c A b +=． （1）求A ∠；（2）若a =，且D 为BC 的中点，求2AD 的最大值．19．（12分）如图甲，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是CD 的中点．现将正方形ABCD 沿AE 与BE 折起，使点C 与点D 重合（记为点P ），得到如图乙的四面体P ABE -．（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求锐二面角P AB E --的大小． 20．（12分）已知函数()e ln(1)xf x x =++．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若不等式()1f x ax -对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（12分）已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:(0)O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM 面积比的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点Q 的极坐标为(8,0)，动点P 的极坐标为(,)ρθ． （1）若2,3πρθ==，求点P 的直角坐标及OPQ 的面积；（2）在OPQ 中，若12OPQ POQ ∠=∠，求顶点P 的轨迹的极坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()|1||4|f x x x =++-． （1）求不等式()7f x 的解集；（2）若不等式()22()log 4f x m m -的解集为空集，求实数m 的取值范围．昆明市第一中学2021届5次联考参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 凹婷波 彭力 刘皖明 李文清 王在方 毛孝宗 王佳文 李露 陈泳序 崔锦 一、选择题1．解析：集合{(,)|0}A x y x y =-=表示直线y x =，集合{(,)|23}B x y x y =-+=表示直线23y x =+，则A B ⋂表示直线y x =与直线23y x =+交点的集合，所以{(3,3)}A B ⋂=--，选C ． 2．解析：因为i 2z =-，所以2z i =--，所以5522i z i ==-+--．选A ． 3．解析：因为223553.1429, 3.14167113≈≈，所以这6个数据的中位数是3.1498 3.15473.15225 3.15232+=≈，极差为3.2031 3.14160.0615-=，选D ．4．解析：由题意知该学校知道《大明历》的人数为60人，则该学校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为600.6100=，选B ． 5．解析：由53134a a a =+得4211134a q a q a =+化简得4234q q =+，整理得42340q q --=得24q =或21q =-（舍），得2q =-，所以()51151(132)1113a q a S q-+===--， 所以11a =-，33411(2)8a a q ==-⋅-=．选C ．6．解析：因为31()ln 3f x x a x =-，所以2()a f x x x '=-；又因为31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增，所以20ax x-≥在(2,)+∞上恒成立，即3a x ≤在(2,)+∞上恒成立．因为(2,)x ∈+∞时，38x >，所以8a ≤，选D ．7．解析：因为()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-==-，所以()f x 为奇函数，排除C ，D ；又因为1x >时()0f x <，排除B ，选A ．8．解析：取BC 的中点为D ，连接,ED DF ，则EFD ∠即为所求．易证AC SB ⊥，从而ED DF ⊥．设2AC =，则SB =DE =，1DF =．又因为三角形EDF 为直角三角形，所以60EFD ︒∠=，即为异面直线EF 与AC 所成的角，选D ．解析：依题意，222211log 1log log (1)log i A i i i i+⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭， ()()()()222222220log 2log 1log 3log 2log 4log 3log 8log 73S =+-+-+-++-=，输出，此时7i =，选B ．10．解析：设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点()00,P x y ，因为221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以212121212y y y y x x x x -+⋅=-+；又因为12021022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，所以002MN y k x ⋅=；又因为M ，N 关于直线y x b =-+对称，所以1MN k =，即002y x =；又因为点()00,P x y 在直线y x b =-+上，所以00y x b =-+；由00002y x y x b=⎧⎨=-+⎩可得2,33b b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22333b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即0b =或94b =，选A ． 11．解析：())f x x ϕ=+，由()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，得22()62k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2()6k k πϕπ=+∈Z ，取6πϕ=，从而()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得①正确，由222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数的增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，②不正确，③显然正确，由2()62x k k πππ+=+∈Z ，得对称轴为()26k x k ππ=+∈Z ，④正确，选D ． 12．解析：由已知得2351xyzk ===>，则,,(0,)x y z ∈+∞， 所以2log x k =，3log y k =，5log z k =， 所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <， 所以0325y x z <<<又因为g()x 是(0,)+∞上的单调减函数，所以(3)(2)(5)g y g x g z >>，选B ．二、填空题13．解析：因为向量(1,2)AB =，(0,1)BD =，(,1)BC t =-，所以(1,3)AD AB BD =+=，(,2)CD BD BC t =-=-，又//AD CD ，所以32t -=，解得23t =-．14．解析：因为是等差数列，所以()()()()()()111111661161551533311111111255552a a a a a a S a a a S a a a a a ++⋅+====++⋅+， 又因为362011a a =，所以63331120455a a a a ==，所以1154SS =． 15．解析：因为12128,6PF PF F F +==，所以()1212121172PF F SPF PF F F =++⨯=；又因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =． 16．解析：由题意，小球在正方体容器的每个面内接触不到的面积相同，且如图所示，每个面接触不到的面积为225316-=，正方体有6个面，则小球接触不到的面积共为16696⨯=．三、解答题（一）必考题 17．解：（1）依题意得0.0150.0170.0890.58110.22130.06150.03170.011911.6812x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈4分（2）因为()2~12,2N ξ，所以1(1418)(1221232)[(618)(1014)]0.15732P P P P ξξξξ<<=+<<+⨯=<<-<<≈， 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈． 8分（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1．由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400．2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===．所以X 的分布列为()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 12分18．解：（1）由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C C A B +=， ① 又因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ② 由①②得：sin sin cos sin C A A C =，而0C π<<，所以sin cos A A =，又因为0A π<<，所以4A π=． 6分（2）因为2AD AB AC =+，所以22224()2AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅所以2224AD b c =++，由余弦定理得：222b c =+-，所以222b c +=+，所以2122AD =+， 而222b c bc +≥（当且仅当b c =时，取“=”），所以222(2b c bc =+-≥-，即：bc ≤，所以21122AD =+≤+⨯=（当且仅当b c =时，取“=”），所以2AD 12分 而AP BP P ⋂=，所以PE ⊥平面PAB ．因为PE ⊂平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB ． 6分（2）【法一】如图，取AB 的中点O ，连接PO ，EO ． 因为三角形PAB 为边长为2的正三角形，所以PO AB ⊥，2PO ==在ABE 中，AE BE ==ABE 是等腰三角形，此时2EO =，EO AB ⊥．因为平面ABE ⋂平面PAB AB =，所以POE ∠为二面角P AB E --的平面角． 由（1）知PE ⊥平面PAB ， 所以PEO 为直角三角形， 所以1sin 2PE POE EO ∠==，即6POE π∠=． 所以锐二面角P AB E --的大小为6π．【法二】由（1）知PE ⊥平面PAB ．如图， 以点P 为坐标原点，建立空间直角坐标系．此时(0,0,0)P ，(2,0,0)B，A ，(0,0,1)E ，所以(1,AB =，(2,0,1)BE =-． 设锐二面角P AB E --的大小为θ，平面PAB 的法向量为m ，平面ABE 的法向量为n ． 因为PE ⊥平面PAB ，所以取(0,0,1)m =．因为00n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以(3,1,2n =．所以||3cos ||||2m n m n θ⋅==⋅，所以锐二面角P AB E --的大小为6π． 12分20．解：（1）依题意，0(0)ln(01)1f e =++=1()1x f x e x '=++，0(0)12f e '=+=， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-，即21y x =+． 4分 （2）令()()1(0)g x f x ax x =--≥， 则1()()1xg x f x a e a x ''=-=+-+．令1()(0)1x h x e x x =+≥+，则21()(1)x h x e x '=-+， 当0x ≥时，1x e ≥，2101(1)x <≤+，所以()0h x '≥，函数()h x 在[0,)+∞上是增函数． 所以()(0)2h x h ≥=，所以()2g x a '≥-．①当2a ≤时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,)+∞上是增函数， 所以()(0)0g x g ≥=，即对任意[0,)x ∈+∞不等式()1f x ax -≥恒成立． ②当2a >时，11a ->，由0x ≥，得1011x <≤+． 1()11x x g x e a e a x '=+-≤+-+． 当(0,ln(1))x a ∈-时，10xe a +-<，即()0g x <， 函数()g x 在(0,ln(1))a -上是减函数，所以()(0)0g x g <=，即()1f x ax -<，不合题意． 综上，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞． 12分21．解：（1）设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线的斜率存在且不为零，由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ，因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-， 联立方程1y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上． 5分（2）由（1）知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 而()211||124PFNSFN m m m ==+，()()()2232221||22181PMNm m mS PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PMNSm Sm ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PMN S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以PFN 与PDM 面积比的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．解：（1）当2ρ=，3πθ=时，1cos 212x ρθ==⨯=，sin 2y ρθ=== 所以，点P 的直角坐标为，11822OPQ P SOQ y ==⨯=‖ 5分 （2）由题意，1122OPQ POQ θ∠=∠=，32OQP πθ∠=-， 在OPQ 中，由正弦定理得83sinsin 22ρθπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即sin8sin 22θθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得816cos ρθ=+，22,00,33ππθ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 10分 23．解：（1）由不等式()7f x ≤可得：()|1||4|7f x x x =++-≤，可化为：1,147x x x <-⎧⎨---+≤⎩或14,147x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或4,147x x x >⎧⎨++-≤⎩，解得：21x -≤<-或14x -≤≤或45x <≤， 所以，不等式的解集为[2,5]-． 5分（2）因为()|1||4||(1)(4)|5f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当14x -≤≤时，等号成立，所以，min ()5f x =，由不等式()22()log 4f x m m ≤-的解集为空集，得()22log 45m m -<， 所以，20432m m <-<，解得40x -<<或48x <<， 所以，实数m 的取值范围为(4,0)(4,8)-⋃． 10分。