广义积分敛散性判别法的应用
微积分学广义积分敛散性判别说课讲解
(5) 无穷积分也可 分按 的照 换定 元积 法.进行计算
( 6 ) 若 [ a , ) 上 在 f ( x ) g ( x ) ,则 f ( x ) d x g ( x ) d x .
a
a
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际, 我 上们可以将定 无义 穷式 积写 分成 的下 : 面
a
a
则(1 由 )立即可: 得 f(x 出 )dx收 矛.敛 盾 a
与级数的情 , 比 形较 类判 似别法也 穷是 积判 分别 敛散性的重 . P要 积方分法是重要的 之比 一 . 较标
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f(x ),g (x )为定 [a , 义 )上在 的, 非 A [a ,负 ), 函
a f( x ) d x F ( x )0 x l iF ( m x ) F ( a ) . b f( x ) d x F ( x )b F ( b ) x l iF m ( x ). f( x ) d x F ( x ) x l i F ( m x ) x l i F ( m x ) .
x
G (x) g(t)dt
在 [a, )上有 . 上界
a
由 a x 时 , 0 f( x ) g ( x )得
x
x
0af(t)dtag(t)dt,
从而, 积分上限函数
x
F(x) f(t)dt
在 [a, )上有, 上界
a
故积 f分 (x)dx收.敛 a
(2) 运用反证.法
如 f果 ( x ) d x 发 ,积 散 g 分 ( x 时 ) d x 收 , 敛
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例5
讨P 论 －积a 分 d xp x (a0)的敛散性，
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性分析_唐廷载
的还是发散的,数P的选取就带有一定的盲目性,常常出现不是把P选大了就是把P
选小了,因而不能判定的情况.究其原因,就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或x、
b一0时的数量级进行必要的估计、分析,或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
表2广义积分敛散性同被积函数数量级和P的选取范围的关系
一
一-----,-----~-~
f(x,的数”一丁卜x)As一}一丁:f(x)d劣-
p的选取范围{敛散性
(l,+co)!收敛
P的选取范围{敛散性
常量零(一OO,1)1收敛敛
严巫阵l一阵一呼一阵阶数不低于入(入>l)的无穷小量(1,入〕敛}(一入,1)收敛1阶无穷小量散1(一‘,士…收,
二
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
作者：余小飞郭洪林
来源：《开心素质教育》2017年第07期
【摘要】本文首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，重点研究了柯西极限判别法在无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，并用例题加以说明。
【关键词】广义积分收敛发散
广义积分是定积分的推广形式，实际应用非常广泛，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要。
一、无穷区间上的广义积分
（1）定义
设函数f（x）在[a，+∞）上有定义，对？b>a，记
柯西极限判别法用极限的形式研究了广义积分的敛散性，为我们提供了很好的判别方法，非常值得推广运用。
（作者单位：河南工业职业技术学院）
参考文献：
[1]白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报，2000，14（1）：49-50.
[2]李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报：自然科学版，1996，13（2）：65-70.
[3]数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社，2001.。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
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再看下例
例2讨论介黔d·的敛散性解x一0为被积函数的瑕点。
考虑极限limx‘一InsinX
x~。十
一InsinX
x./10x~。+x一入+9/10
~~_一,_.9/。d,_,9,,.、一一.,~__,、I_翻.~.~、小。策了月又入俩足一入十下下盏之U,肚目入岌下万,田叹火)工、们U~十co,1旦入<、l,故刊别法大义又。1UtU
犷’f(·)d益收敛;
犷一“·,d·发散,
(b一x)人f(x)~d,也有同1)、2)的判别结果。需注意的是定理中
被积函数f(x)是非负的。
上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x)=x一奉或(x一a)一盖作为
比较对象,利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X一a,(a>0)的敛散性推导得出的。这在分析教材
的黎曼积分的极限来定义的。要判别它们的敛散性,可考虑函数在
其任一内闭子区间上的黎曼可积性,借助积分性质以及积分方法:
换元法、分部积分法等直接计算,对于被积函数是单调函数或含有
周期函数因子的无穷积分,可利用广义积分与级数的关系讨论其
收敛性,即转化为级数的敛散性问题。但是在大多数的情况下.都
是通过使用判别方法、准则来确定,如柯西收敛准则,绝对收敛的
厄一厂万二要不蕊弃
虑石子一x‘海石不;可取、一音
于是,lim
*1‘_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二=~1im
—=VZ一‘/-./,r一-;x~+,x了xVx一Vx一星这里、一合,d一吓,故原积分发散,2,、要判另”瑕积分丈,“·,‘d·(a是瑕点,的敛散性,由极限黑}f(x)}I
x入
,需考虑当x~a干
2)若
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
从而考虑选取、在斋与;之、;
又户补,‘a是瑕点),当‘<,时收敛,就可初步判断有晶<l,
比一19dx
2、在使用判别法时,如果遇到取久(l(或)l)得d二O,取入>l,得d~+co,说明判别法失
效,应当改用其它方法。
如对积分犷一摇汤,(a>。),由极限:呱一忌万-x入一1:二军益(Inx).+co,入>10,O<入提l,不能
推论2:假设下列条件成立:
(l)r(t,y,,…,yN)是强次线性的;(2)条件(H,)一(H、)成立
(3)条件(H。)(或H。)成立,且对充分大的t有g食(t)<t(或g*(t)<:(t))
那么方程(2)的所有解振动的必要与充分条件是(39)成立。
参考文献
[1〕x,oopa一samyandBG劝ang.05记lationandnonoseiuationinfirstorderneutra一d让介rontialegua-
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
时发散,由比较判别法知厂一f(X).d·发散.证毕
注:l)当百=d时,表明柯西极限判别法中极限存在,于是可得出柯西判别法的极限形式;
4、对判别法极限形式本质的认识
,)、要判另,犷一f(x)}‘·的敛散性,由极限式:竺乳}f(·)./赤,需考虑一+一时,f(·)一”
的速度:当它超过赤一。的速度,而、>1时,该,分收。;当它不超过赤一。的速度,而入、1
时,该积分发散,于是讨论f(x)一O的阶就成为判断积分是否收敛的关键。
例3
解
讨论犷一合·的敛散性考虑lim
tions.J.Mat卜^nal.and^PPI.151(1990),42一57
[2〕l一1andB.0zhang.osei一ationoffirstorderneutraldifferentiazequations^ppz.^nal,39
|日勺心!门
别讨论只一‘与丁广-一xdx,从而得出a>。时,r(a)w敛。但如果用狄利克雷判别法,有.知一‘卜,价.言一如一)!<M(常数),而:蚁告一。,卜(。,+一)单调,
广义积分敛散性判别法的应用
本文讨论的广义积分指无穷积分与瑕积分,即函数在无穷
区间上的积分与无界函数的积分。它们是借助于可变上(或下)限
。___3___.,~~,、,,‘,_
送里入~丁丈1,d~U,砍原积分收双。悦
分析讨论:能否取入一告呢?‘
由极限lim、奋
x~。+
一InX
V下~lim(一inx)~一co,不满足O<入<1,O簇d<十、的条件。x一O+
怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘
x~。十
Inx
侧丁~1jm,要使该极限值为有限,而O<久<l,x~。+x专一‘
2)判定出犷一f(x)d·发散、但犷一f(·)d·是否发散或条件收敛,还需另作判断,
3)对瑕积分也有类似定理3的推广形式.在具体应用推广的定理时容易判断广义积分的
敛散性.
例7讨论丁)一学d·的敛散性
安顺师专学报‘自然科学版)1995年第‘期
co,入>l
解由于
,·1e.恤加
1111】X
一
一
{不存在0,入<l,入~1,皿~+.X故柯西判别法失效,改用推广形式,取入一l,这
)仃,a>0,且一smx入f(x)=d(0镇d镇+co)
,)若、>,,0、d<+co,贝。犷一“·)d·收敛;
安,师守攀报(自鹅科攀压》1995年筑4期
1
limx!一工一。+一
,去一一。.这里、一告,d一。,故「:弓些-收敛;
Vxlnx
“
盲Vxlnx
由一im(l一x)
:~l一
1
一侧丁Inx
x一1
11见万下=干甲x~1一VXlnX二l,这里入~l,d=l,
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积分
瑕点是
dX
、/丁一。x
dx,,‘,~,.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
中都有介绍。
在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结
论—收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取
入后;还要结合考虑x性(x)的极限,当入,d符合判别法条件l)或幻后,才有相应的结论。对入、d
一、‘~_一~二9,‘.,一,.、~、,“00.一,_~_、.~、,_...一~班远取入俩足一入十1下又U,从阅气育,六刀一二二~型。田歹必堵活州月得:二tI、月J
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如对积”方一器‘一有两个奇“”“+一必须考虑且器‘·与厂一器‘:然””
别讨论。
另由狄利克雷判别法可知积分收敛。
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又如oamma函数:P(a)=x~’e一xdx,+oo是奇点脚<1时,x=。是奇点,故必须分
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
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于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
比较判别法、柯西判别法、积分判别法以及条件收敛的阿贝尔判别
法,狄利克雷判别法等来判别确定广义积分的敛散性。
现就常用的柯西判别法的极限形式判别广义积分的敛散性作
一些探讨,并予以推广。
一、对判别法的应用
为行文方便起见,给出柯西判别法的极限形式如下:
定理,对于无穷积分犷一f(·)d一设v·。[a,十一),f(·)
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X.
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有时候不知道需要进行比较的六的次“、,可以利用泰勒公式看出.
例4积”方一万君清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥