(整理)9广义积分习题课.Word版
第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
0>p 时，由于 1)1(1lim 0=+-→+pq p px x x x 因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1<p 时收敛，1≥p 时发散。
因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。
上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}1时发散。
对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰+∞-+=12)1(q p q x x dxI ，由于1)1(1lim =+-+∞→qp q qx x x x 因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。
此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。
上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1时发散。
综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。
或者为：min{p,q}<1<max{p,q}时收敛，其余时发散。
例2 讨论21sin()mx x I dx x +∞+=⎰的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。
分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。
注意验证积分片段有界性时的配因子方法。
解：先分析绝对收敛性，由于1sin()1||m mx x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。
当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性，2222A 2221111|sin()||(1)sin()|111 |sin()()|A A A x dx x dx x x x xx d x dx Mx xx +=-++≤+++≤⎰⎰⎰⎰由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。
由于2111sin()2sin ()1cos 2()2||m m m x x x x x x x x x++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+⎰收敛，21m dx x +∞⎰发散，因而，21|sin()|m x x dx x+∞+⎰发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。
注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。
注、不能将积分分成如下两部分21sin()mx x I dx x +∞+=⎰＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+⎰⎰， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。
例3 讨论dx xx I m ⎰+∞+=0)1ln(的敛散性。
分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +→和x →+∞时的性质，进行阶的比较。
解、记dx x x I m ⎰+=101)1ln(，dx xx I m ⎰+∞+=12)1ln(。
对1I ， 由于1)1ln(lim 1=+-→+mm x xx x ， 故，当11m ，即2m时，1I 收敛；当2≥m 时，1I 发散。
对2I ， 利用已知的结论：0)1ln(lim, 0=+>∀+∞→εεx x x ，则⎩⎨⎧≥∞+<==++∞→mp m p l x x x mpx , , 0)1ln(lim ， 当1>m 时，取p 使得m p <<1，则 0)1ln(lim =++∞→mpx x x x 故2I 收敛。
当1≤m 时，取1=p ，则+∞=++∞→mx x x x)1ln(lim 故2I 发散。
因而，当21<<m 时，I 收敛；21≥≤m m 或时I 发散。
例4 讨论sin 0sin 2x e xIdx x的敛散性，其中0。
分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel 判别法或Dirichlet 判别法。
解：记 dx x x e I x ⎰=10sin 12sin λ， dx xxe I x ⎰∞+=1sin 22sin λ 对1I ，当2 i.e , 11<<-λλ时，e x xe xx x 22sin lim sin 1=-→+λλ故，1I 收敛。
由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。
当2 i.e , 11≥≥-λλ时，e xxe xx x 22sin lim sin 1=-→+λλ 故，1I 发散。
对2I ，由于λλx ex x e x ≤2sin sin ， 故当1>λ时，2I （绝对）收敛。
当10≤<λ时，由于，对任意1>A ，222sin sin 1sin 1sin ≤=⎰⎰dt te dx x eAt Ax且 当+∞→x 时，λx 1单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，2I 收敛。
又，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=≥≥---λλλλλx x x e x x e x x e x x e x 4cos 122sin 2sin 2sin 1211sin 且⎰⎰∞∞＋＋发散，114cos 1dx x x dx x λλ收敛，因此，λλx e dx x x e x≤⎰∞+2sin sin 1发散。
因而，当10≤<λ时，2I 条件收敛。
综上，条件收敛时绝对收敛；时，I I ,1021≤<≤<λλ；发散。
时，I 2≥λ例5 讨论⎰+∞=0sin dx x x I q p 的敛散性，其中p 、q 非负。
分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子q x sin ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。
处理技巧是先易后难。
解、先考虑最简情形：0=q 时的情形。
记⎰=11)(dx x p I p ，⎰+∞=12)(dx x p I p ，此时，)(1p I 、)(2p I 分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，1->p 时，)(1p I 收敛；1-≤p 时， )(1p I 发散；而对2I ，1-<p 时)(2p I 时收敛，1-≥p 时)(2p I 发散，故0=q 时，I 发散。
当0≠q 时，令q x t =，qqp -+=1α，则 tdt tqI qq p sin 11⎰∞+-+=＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰+∞110sin sin 1tdt t tdt t q αα对⎰=101sin tdt t I α，由于 1sin lim 10=+→+ααttt t ，故1I 与dt t ⎰+101α同时敛散。
因而，2 , 1)1(-><+-ααie 时，1I （绝对）收敛；2-≤α时，1I 发散。
对⎰+∞=12sin tdt t I α，由于ααt t t ≤sin ，故，1-<α时，2I 绝对收敛；当01<≤-α时，由Dirichlet 判别法，2I （条件）收敛。
当0≥α时，利用周期函数的积分性质，则⎰⎰=≥+ππππα222sin sin tdt tdt t n n因而，由Cauchy 收敛准则，2I 发散。
综上：0=q 时，I 发散；0≠q 时， 011<+<qp －时，I 绝对收敛； 110<+≤q p 时，I 条件收敛； qp 11+≤ 时，I 发散。
注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。
注、也可以用配因子法处理。
下述的例子用阶的分析法。
例6 讨论dx x x I ⎰∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0311)sin 1(的敛散性。
分析 首先将积分分段处理，记dx x x I ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-103111)sin 1( ，dx x x I ⎰∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=13121)sin 1(。
从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。
对1I ，分析奇点附近被积函数的阶。
由于)(!31sin , )(!3sin 2233x o x x x x o x x x +-=+-=， 因而，1233sin (1)x xx，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。
对2I ，对被积函数作阶的分析，由于x 充分大时sin 1x x，因此，利用函数展开理论得)(01)1(2x x x ++=+αα , )1,1(-∈x ，由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。
解、记dx x x I ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-103111)sin 1( ，dx x x I ⎰∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=13121)sin 1(。
第五章 第4节广义积分
= ∞.
故原反常积分发散. 故原反常积分发散
13
例4 计算反常积分 ∫0 解
3
dx ( x − 1)
2 3
.
瑕点 x =1
(x − 1) 1 dx = lim 1−ε dx ∫0 ∫0 2 = 3, 2 ε →0 + 3 (x ( x − 1) 3 (x − 1) 3 dx = lim 3 dx = 3 ⋅ 3 2 , ∫1 ∫ 2 2 ε → 0 + 1+ ε 3 (x − 1) ( x − 1) 3
dx . 1 + x2
= lim [arctan x ]a+ lim [arctan x ]0
0 b a → −∞ b → +∞
= − lim arctan a + lim arctan b
a → −∞ b → +∞
− π + π = π . = − 2 2
5
2 例3 计算反常积分 ∫π
x 1+ x
2
+∞
2
−∞
=____； dx =____；
19
5 、广义积分 ∫
1
xdx
2
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
f ( x ) 在无穷区间[a ,+∞ ) 上的反常积分 ， 记作 上的反常积分，
(整理)第16章含参量积分.(可编辑修改word版)
1 - k2 sin 2 t ⎰ b第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常 义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。
但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力 / 2学中常遇到的椭圆积分： 01 - k2 sin 2 tdt ，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的 参量。
显然，若将k 视为一个变元，记 f (t , k ) = 为一 个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。
因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1 含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。
设 f (x , y ) 在 D = [a , b ] ⨯[c , d ]，此时 f (x , y 0 ) 是为关于 x 的一元连续函数，因而可积。
考虑其积分 ⎰a f (x , y 0 )dx ，显然其与 y 0 有关，b记为 I ( y 0 ) = ⎰a f (x , y 0 )dx ，更一般，引入bI ( y ) = ⎰a f (x , y )dx ，称其为含参变量 y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函0 0数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。
更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。
为此，先研究含参量积分的分析性质。
高等数学(第三版)课件：广义积分
b
a
f
(x)dx
lim
0
b
a
f
(x)dx
如果极限
( 0).
lim b
0 a
f (x)dx
( 0)，
存在，则称广义积分
b
a
f
(
x)dx
收敛.如果上述极限不
存在，就称广义积分
b
a
f
(
x)dx
发散.
函数f(x)在[a,b]上除点x=c∈(a,b)外都连续，且
lim f (x) ，则广义积分定义为
(x)dx，
此时，如果上式右端的两个广义积分a f (x)dx和
a
f
( x)dx都收敛，则称广义积分＋
f
( x)dx收敛，
否则称广义积分＋ f (x)dx发散.
上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.
例1
求
0
e
3x
dx.
解
0 e3xdx
lim
b
0be
3
xdx
1 3
lim
b
0be
3x
d(3x)
极限 lim b f (x)dx 0 a
，称为无界函数 f (x)在(a,b]
上的积分,记为 ab f (x)dx
即
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx，
a
0 a
若上式右端极限存在，则称广义积分
b
a
f
(x)dx
收敛.如
果上述极限不存在，就称广义积分发散.
类似地，函数f(x)在[a,b)上连续，且 lim f (x) xb
ln
13.积分与反常积分习题题目2010_45405037
１． ∫0 x 3 e − x dx ；
+∞
2
２． ∫1
π
+∞
arctan x dx ； x2
３． ∫0
+∞
x ln x (1 + x 2 ) 2
dx ；
4．计算 Euler 积分 五、证明题 （１）举例说明：
∫
2 0
ln sin xdx ．
∫a
+∞
f ( x)dx 收敛未必有 lim f ( x) = 0 ．即使非负函数也是如此．
二、定积分 ∫0 f ( x)dx 是和式 ∑ f (ξ i ) ⋅ Δxi 的极限，这个定义为定积分的近似计算提供了依
i =1
1
n
据．设定积分
∫0 f ( x)dx
1
存 在 ， 则 当 n → ∞ 时 ， 两 个 和 式 ： Sn =
1 n i −1 )和 ∑ f( n i =1 n
Σn =
1 n 2i − 1 1 ) 都趋向于 ∫0 f ( x)dx ．不过收敛速度有所不同．研究下面的问题： ∑ f( n i =1 2n
x →+∞ +∞
（２） 求证： 如果 f ( x) 在 [a,+∞) 上非负且一致连续，∫a 后习题）
f ( x)dx 收敛， 则 lim f ( x) = 0 ． （书
x →+∞
假设 f ′( x) 在 [0,1] 上连续，试证 （1） |
∫
1
0
f ( x)dx − S n |≤
a ≤ x ≤b
1 M； 2n
（2） |
∫
1
0
f ( x)dx − Σ n |≤
1 M， 4n
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
第四节 反常积分(广义积分)
f ( x)dx F ( x) F() F(a),F() lim F( x).
a
a
x
b
b
f ( x)dx F ( x)
F(b) F(),F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
10
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
例 求 a 0
x3 a2
x2
dx
(a 0).
解 令x a sint, dx a cos tdt
原式
2
a
3
sin
3
t
a
cos
tdt
0 a2 a2 sin2 t
a3
2 sin3 tdt
2 a3
0
3
注 此反常积分经变量代换化成了定积分.
32
下面是无穷区间上无界函数的反常积分
例
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
dlnx x
1 ln x
e
1
19
2002年考研数学(二)填空3分
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
(B)2arctan x
广义积分
§ 6.7 广义积分一. 广义积分我们所讨论的定积分⎰ba dx x f )(都是以有限区间],[b a ，有界函数（特别是连续函数）)(x f 为前提。
广义积分指： 1. 无限区间上的积分 设)(x f ∈C [)+∞,a ，而⎰+∞→bab dxx f )(lim 存在，其极限称为)(x f 在[)+∞,a 上的广义积分。
此时说广义积分⎰∞+adx x f )( 存在或收敛，若极限不存在，就说广义积分⎰∞+adx x f )(不存在或发散。
类似可定义广义积分⎰∞-b dx x f )(=⎰∞-→b aa dx x f )(lim而⎰∞+∞-dx x f )(=⎰∞+a dx x f )(+⎰∞-adx x f )(⎰+∞∞-dx x f )(收敛⇔⎰∞+adx x f )(与⎰∞-adx x f )( 都收敛。
例1 求广义积分 dx xex⎰∞+-02解 dx xex⎰∞+-02dx xe b xb ⎰-∞+→=02lim)](21[lim 22x d eb xb --=⎰-∞+→21][lim 212|0-=-=-+∞→bxb e例2 当a 取何值时，广义积分 ⎰∞+1axdx 收敛？解：当a 1≠时，)1(11][1111111|--=-==---⎰⎰ababababaxadx xxdx⎪⎩⎪⎨⎧<∞+>-=--=∴-∞+→∞+⎰发散）收敛）(1,(1,11)1(11lim11a a a baxdx ab a当a =1时，时发散。
当时收敛，当积分（发散）1 1≤>∴∞+==⎰⎰∞+∞+∞+a a xdx x xdx a111||]|[ln）到广义积分收敛，且收敛解计算例ππππ(2)2(arctan limarctan lim1lim1lim1111.30222222=+--=+-=+++=+++=++∞+→∞-→∞+→∞-→∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba xdxx dxx dx x dxxdx xdx b a bb a a)0()(lim)(lim)(,)(lim c b][a,)()0()(lim )(,)(lim ,),[)()()())0(,)(lim()(],[)()0()(lim,)(,],()(.2122,10201cx 000>+=∞=>=∞=∈>=>∞→→∈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+→→→-→-→+→+→+εεεεεεεεεεεεεεεc abc ba b ab a bx ba ba ba ba ba dxx f dx x f dxx f x f x f dx x f dx x f x f b a C x f dx x f dx x f dx x f dxx f b a x f dx x f x f ax b a C x f 则广义积分外均连续，而上除点在当广义积分则而类似，若不存在或发散。
(整理)9广义积分习题课.
第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
广义积分和含参数的积分 习题选解
广义积分和含参数的积分习题选解广义积分（GeneralizedIntegral）是一种常见的数学方法，在各类领域中都有着广泛的应用，特别是在解决含参数的积分问题上。
在学习这种方法之前，我们首先需要了解什么是含参数的积分问题，以及它们之间的联系。
其实，含参数的积分问题是指在求解积分过程中，在自变量中引入参数的积分问题。
这种积分问题一般比普通积分问题更难处理，因为在求解过程中，会出现许多不同的参数，需要找出适当的方法来解决。
而广义积分就可以有效地解决这种含参数的积分问题。
它的本质是将参数的问题转化为单变量的积分问题，从而可以较容易地求解出解析解。
下面，我们就以一些实例来深入剖析广义积分是如何解决参数问题的。
例1：求解 $∮_c(x^2+1)dx$解：首先，我们先将参数转化为单变量$t=x^2+1$，从而可以将上式转化为$∮_c(t)dt$，接着，将$dt$积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_a^b=x_b^2 + 1 - x_a^2 -1=∮_c(x^2 + 1)dx$例2：求解 $int_a^b e^{-x^2}dx$解：和上题一样，先将参数转化为单变量：$t=e^{-x^2}$，将上式转化为$∮_c(t)dt$，积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_a^b=e^{-x_b^2} - e^{-x_a^2}=∮_ce^{-x^2}dx$以上就是广义积分解决参数积分问题的两个实例，希望能帮助大家更好地理解这种方法。
即使是复杂的含参数的积分问题，也可以应用广义积分来完成。
下面，我们以一道含参数的积分习题来进一步剖析这种方法。
例：求解 $int_1^{sqrt{e}}e^{x^2}dx$解：首先，将参数转化为单变量$t=e^{x^2}$，从而可以将上式转化为$∮_c(t)dt$，接着，将$dt$积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_1^{sqrt{e}}=e^{sqrt{e}^2} -e^1=∮_1^{sqrt{e}} e^{x^2}dx$以上就是使用广义积分求解含参数积分问题的举例，可以看出，运用广义积分特别实用，可以将含参数的积分问题转化成更为容易解决的单变量的积分问题。
习题课__广义积分_185402114
习题课 广义积分1. 判断dx x x xx ⎰∞+++121arctan 的收敛性.解: 与dx x⎰+∞121比较，由极限比较法，收敛.2. 判断dx x x x ⎰∞++151ln 的收敛性.解: 由0ln lim3=+∞→xx x ，存在0>X ，使得当0>>X x 时，3ln x x <，167,11ln 535>=+<+p x x x x x x ，直接比较法，收敛.3. 判断广义积分dx x⎰πsin 1的收敛性.解: dx x⎰πsin 1dx xdx x⎰⎰+=πππ220sin 1sin 1，第一个积分显然收敛，对第二个积分令dt dx t x ==-,π，dx xdt tdx x⎰⎰⎰=-=2022sin 1sin 1sin 1ππππ，收敛.4. 讨论dx xxp⎰∞+0arctan 的收敛性.解: dx xxp⎰∞+0arctan dx xx p⎰=10arctan dx xx p⎰∞++1arctan对第一个积分，pxx arctan 与11-p x等价（0→x ），2,11<⇒<-p p 收敛.对第二个积分，pxx arctan 与qx1进行比阶，⎪⎩⎪⎨⎧=>=-+∞→qp q p xx qp x 2arctan limπ因此，当1>≥q p 时第二个积分收敛。
综合上述分析，21<<p 时积分收敛。
5. 判断广义积分的收敛性⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x解: ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101111ln dx x x ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x,0+→x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ∽x ln -，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+101111ln dx x x 收敛； ,+∞→x x x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111ln ∽221x ，⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x 收敛。