2-(3)势能、机械能守恒定律

15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)
0
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
2） 人造行星 第二宇宙速度 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 地球质量 m E , 抛体质量 m , 地球半径 R E . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 . 当 r ,
A = F dx ( 52.8 x + 38.4 x 2)dx = 0.5
1
= 19.8 +11.2 = 31（J ）
15 – 8
重力的功：
弹力的功：
多普勒效应
Aab mgha mghb (1) Aab 1 2 kx
2 a
第十五章 机械波
1 2
kxb (2)
2
万有引力的功： Aab
多普勒效应
第十五章 机械波
A外 A非保守内力 E2 E1
说明
1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变 系统的机械能. 例: 提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动是 靠非保守内力---磨擦力. 2）功能原理与动能定理并无本质差别 ,区别在于功能 原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功. 动能 原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.
多普勒效应
2 Gm RE
E
E
第十五章 机械波
E

Gm
RE h
h
``````
RE RE h )
v
g
Gm RE
2
v1
gR E ( 2
地球表面附近 R E h 计算得
故 v1
3
gR E
E0
v 1 7 . 9 10 m/s
E Gmm
E
第一宇宙速度
2( RE h)
E 2 E 1 mgh
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
s' Ff
h
P cos
FN
P sin
P
h 50 m , 0 . 050 , s ' 500 m , A f

m g ( s ' s )
由功能原理 可得
A f E 2 E1
下面进一步考虑保守内力作功的特点
一、保守力的功、势能
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .（例如重力、弹性力、 万有引力）
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
1. 重力的功
y a ya
dA = G . dr
dr
= ( m g j ) .(dx i + dy j ) G o = mg dy A = mg dy = ( m g y b m g ya )
E
多普勒效应
1 2 m v (G
2 1
第十五章 机械波
mm E RE
)
1 2
m v (G
2
mm E RE h
)
由牛顿第二定律和万有引力定律得
v
2
m
RE h
G
mm
E 2
(RE h)
h
``````
v
解得 v 1
2 Gm RE
E

Gm
E
RE h
15 – 8
v1
上式写成一般形式： 15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
Aab E pa E pb E p (4)
上式只给出了势能之差的表达式。（4）式右边的两 项都加以或减以一个常数，等式仍成立。
这说明：
1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值 2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零， 以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位 置称为参考点。 例如规定
v 1，是在地面上发射人造地球卫星
设 地球质量 m E , 抛体质量 m , 地球半径 R E .
解 取抛体和地球为一系统 ， 系统的机械能 E 守恒 . 1 mm E 2 E m v1 ( G ) 2 RE
1 2 m v (G
2
h
``````
v
mm
E
RE h
)
15 – 8
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
势能是属于相互作用的物体系统所共有， 若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。 “某物体的势能”只是习惯的说法。
15 – 功能原理 二、 8 多普勒效应
第十五章 机械波
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究 机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理 的变形。 m1 F1 第一个质点： F12 F13 （） 1 (1) (1) F21 A合 ＝Ek2 Ek1 F23 F31 第二个质点： m2 F32 （2） ( 2) ( 2) m3 A ＝E E
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
§ 2.1-3 教学基本要求
1 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 . 2 掌握动能定理 、功能原理和机械能守恒 定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法.
§2--3势能、机械能守恒定律
a

Mm r
2
dr G
Mm ra
15 – 8
势能的值是相对参考点而言的，参考 点选择不同势能的值不同。
如何选择参考点：
多普勒效应
第十五章 机械波
原则上可以任意选 择，但要以研究问题 方便为原则。
c
a
b
重力势能 零点可以任意选取。 弹性势能选平衡位置为势能零点。 万有引力势能常以无穷远为参考点。
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
A B
P
R
30
只有保守内力做功
EB EA
系统机械能守恒
o
A
取图中点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB 为重力势能零点
B
Ep 0
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
系统机械能守恒 E B E A 图中 B 点为重力势能零点 即
1 2 mv
2 B

1 2
kR
2
mgR ( 2 sin 30 )
若物体从a出发经任意路径回到a点，则有:
b yb
x
A = G . dr = 0
物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零.
2. 万有引力的功
F = G Mm 2
dA = F . dr
rb
太阳
0
b dr
r
θ = F dscos ( 90 + ) Mm = G 2 sin ds θ r r
Mm dr = G 2
rb dr A = GMm r r 2 = a
M
r ra
a
θ
F
地球
ds m
( GMm ) ( GMm )
rb
ra
3. 弹簧弹性力的功 弹簧 自然长度
F x x
o
F= kx
dA = Fdx = kx dx
xb A = x kx dx = a
1 kx 2 1 kx 2 (2 b 2 a)
*保守力的定义： 若力F 对物体所作的功决定于作功的起点和终点 而与作功的路径无关，称此力为保守力。 或：若有一个力能满足条件：
“同状态的量”合并：
多普勒效应
第十五章 机械波
A外＋A非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）
令
E k E p E 称为系统的机械能
A外 A非保守内力 E2 E1
----系统的功能原理 式中 E1 , E2 分别为作功前后系统的机械能
15 – 8
功能原理:系统的机械能的增量等于外力及非保守内 力作功之总和.
F . dr
则称此力为保守力。
=0
如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力。
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
[例]一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它伸长的反 试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克
方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。
服弹簧力所作的功。 解：
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
s' Ff
h
P cos
FN
P sin
已知
h 50 m , 0 . 050 , s ' 500 m ,
P 求 s.

解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
A f E 2 E1
又
A f m g cos s ' m gs m g ( s ' s )
例：弹性势能，以弹簧的平衡位置为 参 势能零点 E pa F dr
F
0
a
o
xa

xa
kxdx 2 kx
1
2 a
15 – 8
多普勒效应