透视解析几何中角的处理

透视解析几何中“角”的处理
解析几何中有关角的问题，涉及的知识点多，解决方法综合而灵活，是学习的一个难点，同时，又是高考的一个热点。

下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸，从中透视处理“角”的一般思维程序，以展示问题求解的一般策略，并由此建构解决“角”的方法体系，最终击破难点，轻取热点。

已知：椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上的任意
一点，试求∠F 1MF 2的最大值。

分析：所求解的目标——角，已学习过的哪些知识（如概念、公式、定理等）与角相关联？向量的数量积，余弦定理，到角公式，……
解法一：设M （x,y ）,),(1y x c MF ---= ),(1y x c MF --=由212121cos MF F MF MF MF MF ∠∙=∙得：
cos 21MF F ∠=22222
22)()(y
x c y x c y c x +-⋅+--+-把)1(22
2
2a x b y -=代入上式，化简得
=∠21cos MF F ||||2
2222a x a c a x a c c b x a c -⋅+-+=22222222222x a c a a c b x a c a -+-++-=2
222221x a
c a b -+- ∵0≤x 2
≤a 2
∴b 2
=a 2
-c 2
≤a 2
-2
22x a
c ≤a 2
∴
2
22a b ≤2
22
22
2x a
c a b -≤2 2221a b +-1cos 21≤∠≤MF F 当x 2
=0时，∠F 1MF 2取为最大值arccos(2221a
b +-)
解法二：根据焦半径公式ex a MF +=1 ex a MF -=2，由余弦定理得
∴
cos
|
|||2||||||212
21222121MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=
∠=
)
)((2)2()()(2
22ex a ex a c ex a ex a -+--++
=2
222
22222222222222221222x
e a b x e a c a x e a x e a c x e a -+-=--++-=---（下同解法一） 解法三：cos |
|||2||||||21221222121MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠
|
|||2||||2|||)||(|2121221221MF MF MF MF F F MF MF ⋅∙--+=
=|||||
|||221212MF MF MF MF b ⋅⋅- 121||||222
212-≥-⋅=a
b MF MF b 这里，2a=|MF 1|+|MF 2|||||221MF MF ⋅≥ ∴|MF 1|·|MF 2|≤a 2 当且仅当|MF 1|=|MF 2|即（M 位于短轴顶点B 1顶点）时等号成立（下略） 评注：定义是构筑知识体系的基础，利用定义解题，如同抓住了“纲”，能收到“纲举目张”的效果，可靠而灵巧。

解法四：由椭圆的对称性，可设M （x,y ）为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点，即0≤x<a,0<y ≤b(当M 位于点A 2时21MF F ∠=0) ，21MF F ∠可看作MF 1到MF 2的角
tan ∠F 1MF 2=
2
222111
212c y x cy
c
x y c x y c x y
c x y K k K K MF MF MF MF -+=+⋅
-++-
-=⋅+- =2
2422
2222222222)1(2y c b cy b y b
c b cy c y b y a cy
-=-+=-+- 令g(y)=224y c b y
-，则g'(y)=2
224
22422242224)
()()2()(y c b y c b y c b y c y y c b -+=---- 在其定义域内恒正,，故tan ∠F 1MF 2],0(b 在单调递增，当y=b 即x=0时，就是点M 位于上顶点B 2，∠F 1MF 2达到最大值*。

（下略）
上述探索异途同归：在点M 从右顶点A 2往上顶点B 2移动过程中，∠F 1MF 2逐渐增大，
并且当M 位于顶点B 2时达到最大。

变式：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，M 是椭圆上任意一点，A 1、A 2是椭圆的左、
右顶点，求∠A 1MA 2的最大值。

分析：|MA 1|、|MA 2|不是焦半径，公式|MA 1|=a+ex 、定义|MA 1|+|MA 2|=2a 不能用，并且 |MA 1|=2
2
)(y a x +-不能通过配成完全平方而化简。

故前三种解法都不可行。

解：tan ∠A 1MA 2=
1
2121MA MA MA MA K K K K ⋅+-2
2
2
1a x y a x y a x y -++-
-=2222a y x ay -+=
2
222
2
)1(2a y b
y a ay
-+-=
y
c ab 2
2
2-= tan ∠A 1MA 2],0(b 在单调递增，当y=b 时，即点M 位于上B 2时∠A 1MA 2最大，其值为2
2arctan
c ab
-+π。

至此，凸现了处理角的常用方法：到角公式，余弦定理，（向量）数量积的定义。

引伸1：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 长轴的两端点是1A 、2A ，且在椭圆上存在
点M ，使0
21120=∠MA A ，则椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A ．（0，1） B ．]3
6,
0( C ．)1,36
[ D ．不能确定，因结论不仅仅与e 有关 解：选C 。

在椭圆上存在点M ，使0
21120=∠MA A ⇔0
2211
20≥∠A B A ⇔22A OB ∠
060≥，
360tan tan 022=∠≥∠=A OB b a
即222113e
c a a -=-≤ 故36≥e 引伸2：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点M 为其上的动点，则当∠F 1MF 2为钝角时，点M 横坐标的取值范围是_______.
解：找出分界点P ：0
2190=∠PF F 的横坐标即可。

解52
2
=+y x 且14922=+y x 联立的方程组5
3±=x )5
3,
5
3(-
∈x
在“有着适度潜在距离”的相关问题之间建立精当的序列关系，会将知识结构化、网络
化，使得知识体系简约，易于理解，可以避免因知识繁杂而不得要领，并且结构化、网络化的知识给联想提供线索和桥梁，具有迁移和应用的活力。

详细理由如下：
（一）当b>c 时，∴b 2
>c 2
且b 2
≥y 2
>0 ∴b 4
>c 2y 2
∴tan ∠F 1MF 2=2
2422y c b cy
b -为正且
在(]b ,0上单调递增 ∴锐角∠F 1MF 2在y=b 时取得最大值，2
22tan c b bc
arc -
（二）当b=c 时
（Ⅰ）当y=b 时，tan ∠F 1MF 2不存在，即∠F 1MF 2=2π （Ⅱ）当0<y<b 时，b 4-c 2y 2>0，锐角∠F 1MF 2∈)2
,0(π
∴当y=b 时，∠F 1MF 2取得最大值
（三）当b<c 时，
（Ⅰ）当0<y<c b 2时，b 4>c 2y 2
tan ∠F 1MF 2=2
2422y c b cy b -为正且在（0，c b 2）上单调递增
∴锐角∠F 1MF 2∈)2
,
0(π
（Ⅱ）当y=c b 2时，tan ∠F 1MF 2不存在，即∠F 1MF 2=2
π
（Ⅲ）当c b 2<y ≤b 时，tan ∠F 1MF 2为负 且在],(2
b c
b 上单调递增。

∴钝角∠F 1MF 2∈
]2arctan ,2(22c
b bc
-+ππ ∴∠F 1MF 2在x=b 时取得最大值
所以，当y=b 时，即点M 位于上B 2时∠F 1MF 2最大。

]。