N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
流体力学-N-S方程
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
Hale Waihona Puke 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
N-S方程推导
作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用 的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切 力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力，也可以是一部分流 体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。单位作用面的压 （第一个下标表示作用面的法线方向， 应力、 切应力即为图 1 中的 σ 、τ 第二个下标表示力的方向）。 以 x 方向为例，流体单元受到的力：
2 əτzy dz — τzy+ —— əz 2 əτyz dy — τyz+ —— əy 2 əσyy dy — σyy+ —— əy 2
y
əτxy dx — τxy+ —— əx 2
əτyx dy — τyx+ —— əy 2
x
图 1 作用在单元体上的力 作用力有两类，即质量力和表面力。
1.1 质量力
( )
( )
( )
( )
( )
（22） 同理： r du ∂p 1 ∂ ρ x = − + µ∇ 2u x + µ ∇ u + ρ X （23） dt ∂x 3 ∂x
( )
ρ
ρ
du y dt
=−
r ∂p 1 ∂ + µ∇ 2u y + µ ∇ u + ρY （24） ∂y 3 ∂y
( )
r du z ∂p 1 ∂ = − + µ∇ 2u z + µ ∇ u + ρ Z （25） dt ∂z 3 ∂z 矢量形式： v v 1 v uv du ρ = −∇p + µ∇ 2 u + µ∇ ∇ u + ρ F （26） dt 3
引言
N-S方程讲解
黏性流体动量平衡方程−纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations ） 1.动量平衡的定义流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡根据牛顿第二定律：⎩⎨⎧≠∑=∑，运动，动力平衡，静止，静力平衡0F 0F 作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量作用力形式 动量形式[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量][动量传入量] - [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0稳定流动系统：不稳定流动系统：动量收支差量动量收支差量⒉ 动量传递方式1 黏性动量传输dydv x yx μτ-= 2 对流动量传输对流动量传输vvρ⒊ 作用力的形式体积力表面力压力重力作用力⒋ 动量平衡方程的推导元体分析法牛顿第二定律分析法建立方法建立依据在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。
⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅zz yz xz z y y y x y z x y x xx v v v v v v v v v v v v v v v v v ρρρρρρρρρv 以v x动量通量收支差量⑴ 对流动量收支差量x 方向的速度、x 方向的动量通量对流动量收支差量为同理，以v x 为准，y 方向、z 方向的对流动量收支差量：以v x 为准，元体对流动量收支差量为同理，以v y 、v z 为准，元体对流动量收支差量为 v x → v y 、v z⑵黏性动量收支差量黏性动量通量同样由九个分量组成以v x为准，C、D黏性动量通量收支差量黏性动量收支差量同理，v x在y、x以v x为准，元体黏性动量收支差量为同理，以⑶作用力的总和zxgxddydρzxgyddydρzxgzddydρx方向：P Ax方向合压力为x方向的总压力为同理，y、z方向的总压力为x →y、z重力⑷ 动量蓄积量z 方向x 方向y 方向 单位时间内元体动量的变化量[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量]⒌ 动量平衡方程式将以上式子代入下式，整理得：N-S 方程简化：const=ρ，连续性方程⑵const=μ，牛顿黏性定律⑴动量收支差xx x x x x x x g x p zv y v x v z v v y v v x v v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222z y x yy y y y y y y g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyxzz z z z z z z g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyx黏性力引起压力 体积力积累动量收支差量⒍ 动量平衡方程的讨论x2x 22x 22x 2x z x y x x x g x P z v y v x v z v y v v x v v ρμτρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂v v 对流动量动量蓄积量黏性动量压重（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现⎩⎨⎧作用力形式动量形式z zv y y v x x v v v d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ττz y x v zv v y v v x v v ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=v d d ττz y x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τz x y x x x x x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τ全微分)z ,y ,x ,(v v τ=x2x 22x 22x 2g x Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=xa y 2y 22y 22y2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=ya y z 2z 22z 22z 2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=z az惯性力黏性力压力重力流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的⑵ 适用条件黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)、层流流动理想流体：=μ没有黏性的流体简化： 0v =∂∂τ② 稳定流动， ③ 单位质量流体 0=μ①时，N-S 方程简化为欧拉方程理想流体、稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
NS方程推导
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
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纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
yx xy
yz zy
zx xz
16
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
Y方向的表面力：
xy
x
yy
y
zy
z
dxdydz
Z方向的表面力：
xz
x
yz
y
zz
z
dxdydz
17
本构方程和NS方程
动量流量及动量变化率
粘性流体动力学基础
z
vz vx
vz vx z
dz
dy
vyvx
vy vx y
dy
dx
动量流量
动量通量 x 流通面积
vx vx
dz
vxvx
vxvx x
dx
＝ 动量流量
y
vyvx vzvx
vz x
vx z
24
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程：
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
yy
p 2
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很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
根据位置的变化，分解成这两部分，正是基于这两个原因。
写成直角坐标系，用u,v,w 三个方向速度表示成如下：);,,,();,,,();,,,(t z y x w w t z y x v v t z y x u u === 代入上面加速度公式，得到至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。
随体导数也可以用复合函数求导的方法得到。
用复合函数链导法则会更容易理解一些。
后面接下来要推导的是流体力学连续方程。
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。
它的前提是对流体采用连续介质模型，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。
x2dx x u ∂∂假设有一个微体积正六面体，正六面体的中心三个方向的速度是u,v,w 。
左表面的流速2dxx u u u M ∂∂-= 右表面的流速2N dxx u u u ∂∂+=单位时间内x 方向流出和流进的质量流量差：dxdydz x u dydz dx x u u dydz dx x u u M M ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=-)()(21)(21ρρρρρ进出同理y 方向和z 方向的质量流量差：dxdydz yv ∂∂)(ρ dxdydz z)w (∂∂ρ 在dt 时间内因为密度变化而减少的质量为：dxdydz tdxdydz t dxdydz ∂∂-=∂∂+-ρρρρ)( 由质量守恒，单位时间内流出与流入六面体的流体质量差综合应等于六面体因密度变化而减少的质量。
0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⇒∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u t dxdydz t dxdydz z w y v x u ρρρρρρρρ以上就已经得到了连续性方程。
对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u 这个不可压缩流体的连续性方程很重要，下面推导N-S 方程的时候要用到。
接下来要推导出流体力学的N-S 方程。
在推导N-S 方程之前，有很多人都在这里有困惑。
这里有两个概念要搞清楚，那就是什么是理想流体和粘性流体。
我们很多课本在讲流体力学的时候是先讲了理想流体的动量方程，之后又没有接着讲粘性流体的动量方程，所以有些人到后面再讲N-S 方程就混淆了。
另外就是很多人一听到N-S 方程就心里有点害怕，畏惧了，还没来得及去仔细研究就放弃了，如果仔细研究一下，其实也不难，很多流体力学的书是用场论的知识去推导出N-S 方程的，我们工科学校对场论没有接触，最好还是用正六面体的方法来推导N-S 方程。
哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对N-S 方程的推导用的是正六面体法，很容易看懂。
清华大学的书就比较难，可以参考。
在这里得先推到一下理想流体的动量方程，后面再推导粘性流体的动量方程。
这里必须先分清理想流体和粘性流体的概念。
理想流体是一种不可压缩、不计粘性（粘度为零）的流体。
欧拉在忽略粘性的假定下，建立了描述理想流体运动的基本方程。
实际上，理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似模型。
但实际上由于流体中存在着粘性，流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能，并使流体流动出现许多复杂现象，例如边界层效应、摩阻效应、非牛顿流动效应等。
自然界中各种真实流体都是粘性流体。
下面推导理想流体动量方程。
理想流体和粘性流体的区别在于是否有粘性力，即切应力。
在理想流体内部取一微体积正六面体。
中心点压力p(x,y,z)，受力分析沿x 轴方向： 1.表面力，因为是理想流体，没有切应力，0=τ。
左表面dydz dxx p p A p P M M )2(∂∂-== 右表面dydz dxx p p A p P N N )2(∂∂+==2.质量力，单位质量力在三个坐标轴上分量是z y x f f f ,,。
x 轴方向质量力dxdydz f x ρ。
在x 轴方向由牛顿第二定律：zu wy u v x u u t u x p f dt du x p f dtdudxdydz dxdydz f dydz dx x p p dydz dx x p p ma F x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-−−−−−→−=∂∂-⇒=+∂∂+-∂∂-⇒=∑ρρρρ11)2()2(由前面速度随体导数同样y 轴z 轴列方程，可以得到理想流体动量方程组。
x2dx x p p ∂∂+z w wy w v x w u t w z p f z v w y v v x v u t v y p f z uw y u v x u u t u x p f z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρρρ111；；下面要推导粘性流体动量方程，也就是纳维斯托克斯方程，也叫做N-S 方程。
同样取一个微六面体，但粘性流体有切应力，分别对六个面做受力分析如图所示：x 方向的受力，质量力，左右方向压力，前后面切力，上下面切力。
由牛顿第二定律列方程：dtdudxdydzdydx dz z dydx dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz dxdydz f zx zx zx yx yx yx xx xx xx x ρττττττσσσρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+)()()(对粘性流体，切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：x yzoxzzx zy yz yx xy zux w y zz v x vy u τμττμττμτ=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=)(;)(;)(粘性流体中某一点三个方向的压力是不相等的，任意点的压力与三个方向的正应力有以下关系式：z wp y vp x up p zz yy xx zz yy xx ∂∂-=∂∂-=∂∂-=++=μσμσμσσσσ2;2;2);(31以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学，有相关的解释。
代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程：）（1)()()( dtdu z y x f dtdudxdydz dydx dz z dydx dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz dxdydz f zx yx xx x zx zx zx yx yx yx xx xx xx x ρττσρρττττττσσσρ=∂∂+∂∂+∂∂-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+ 把)();(;2zux w x v y u x u p zx yx xx ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂-=μτμτμσ代入上式（1）中：zu wy u v x u u t u z u y u x u x p f dtdu z w y v x u x z u y u x u x p f dt du z x w y x v x u z u y u x u x p f dt duz u z x w y x v y u x u x p f dt du z z u x w y x v y u x x u p f dtduz y x f x x x x x zx yx xx x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂-∂-⇒=∂∂+∂∂+∂∂-22222202222222222222222222222221)(2)()()2(νννρρμμμμρρμμμμμμρρμμμμμρρμμμρρττσρ随体导数代入前面可以得到这部分为由不可压缩流体连续性z w wy w v x w u t w z w y w x w p f z v wy v v x v u t v z v y v x v y p f zuw y u v x u u t u z u y u x u x p f z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-222222222222222222z 111νννρνννρνννρ这样对得到了粘性流体的动量方程，也叫运动微分方程，也叫纳维斯托克斯方程，也叫N-S 方程。
至此，从一个点开始，用欧拉法定义了速度，压力，密度，温度。
再后来得到随体导数的概念，从随体导数到能量守恒方程，也即连续性方程。
然后先推导了理想流体运动微分方程，后面加入了广义牛顿内摩擦定律得到了粘性流体运动微分方程，也就是N-S 方程。