纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
DV F P
(1)
Dt
这里 ：
DVVVV
x
动量在微元体表面的输入与输出
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
输入输出微元体的动量流量
x方向： ( xx2)( yyx)( zzx) dxdydz
y方向： ( xxy)(yy2)( zzy)dxdydz
Z方向的表面力：
xxz
yz
y
zz
z
dxdydz
动量流量及动量变化率
z
vzvx
vzvx
z
dz
dy
vyvx
vyvx
y
dy
dx
动量流量
动量通量 x 流通面积
vxvx
dz
vxvx
vxvx
x
dx
＝ 动量流量
y
vyvx vzvx
正应力与线变形速率：
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
线变形率与流体流动： 正应力中的粘性应力：
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
xxp2 xx2 3 v x x v yy v zz
yz
xy
xy x
流体力学-N-S方程
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
Hale Waihona Puke 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
N-S方程讲解
黏性流体动量平衡方程−纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations ） 1.动量平衡的定义流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡根据牛顿第二定律：⎩⎨⎧≠∑=∑，运动，动力平衡，静止，静力平衡0F 0F 作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量作用力形式 动量形式[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量][动量传入量] - [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0稳定流动系统：不稳定流动系统：动量收支差量动量收支差量⒉ 动量传递方式1 黏性动量传输dydv x yx μτ-= 2 对流动量传输对流动量传输vvρ⒊ 作用力的形式体积力表面力压力重力作用力⒋ 动量平衡方程的推导元体分析法牛顿第二定律分析法建立方法建立依据在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。
⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅zz yz xz z y y y x y z x y x xx v v v v v v v v v v v v v v v v v ρρρρρρρρρv 以v x动量通量收支差量⑴ 对流动量收支差量x 方向的速度、x 方向的动量通量对流动量收支差量为同理，以v x 为准，y 方向、z 方向的对流动量收支差量：以v x 为准，元体对流动量收支差量为同理，以v y 、v z 为准，元体对流动量收支差量为 v x → v y 、v z⑵黏性动量收支差量黏性动量通量同样由九个分量组成以v x为准，C、D黏性动量通量收支差量黏性动量收支差量同理，v x在y、x以v x为准，元体黏性动量收支差量为同理，以⑶作用力的总和zxgxddydρzxgyddydρzxgzddydρx方向：P Ax方向合压力为x方向的总压力为同理，y、z方向的总压力为x →y、z重力⑷ 动量蓄积量z 方向x 方向y 方向 单位时间内元体动量的变化量[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量]⒌ 动量平衡方程式将以上式子代入下式，整理得：N-S 方程简化：const=ρ，连续性方程⑵const=μ，牛顿黏性定律⑴动量收支差xx x x x x x x g x p zv y v x v z v v y v v x v v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222z y x yy y y y y y y g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyxzz z z z z z z g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyx黏性力引起压力 体积力积累动量收支差量⒍ 动量平衡方程的讨论x2x 22x 22x 2x z x y x x x g x P z v y v x v z v y v v x v v ρμτρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂v v 对流动量动量蓄积量黏性动量压重（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现⎩⎨⎧作用力形式动量形式z zv y y v x x v v v d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ττz y x v zv v y v v x v v ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=v d d ττz y x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τz x y x x x x x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τ全微分)z ,y ,x ,(v v τ=x2x 22x 22x 2g x Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=xa y 2y 22y 22y2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=ya y z 2z 22z 22z 2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=z az惯性力黏性力压力重力流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的⑵ 适用条件黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)、层流流动理想流体：=μ没有黏性的流体简化： 0v =∂∂τ② 稳定流动， ③ 单位质量流体 0=μ①时，N-S 方程简化为欧拉方程理想流体、稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。
N-S方程推导
质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。 工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。惯性力是一个 很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上， 在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力是完全一样的，只是惯 性力会随着加速度的消失而消失。如果认为惯性力是一种力，那么牛 顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。式的右端就是惯性力，左 端就是其他的常规力。其实观察一下重力，G=mg，同惯性力的 ma 本 质上是一致的，g 本身就是重力加速度。但在这个推导中，暂且不将
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
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直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz dx
vx dydz
vx dx dydz vx x
＝
微元体内的 质量变化率
x y 微元体及其表面的质量通量
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的 质量差：
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
1 p duy fy y dt
fz
1 p duz z dt
u x u x u x u x 1 ux uy uz X t x y z u y u y u y u y 1 ux uy uz Y t x y z u z u z u z u z 1 ux uy uz Z t x y z
( ) 0 t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
矢量形式：
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx v y vz 0 x y z
vz vx z dz
v y vx y
z
dy
v y vx
dy
动量流量
动量通量
dx dz
vx vx
vx vx
vx vx x
x
流通面积
dx
＝ 动量流量
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向 x方向，即 分速度vx的方向。
1 u z u y u y u x ( ) y ( x z ) 2 y z 2 z x
1 u y u x z ( ) 2 x y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z
1 u y u x 1 u x u z ) y ( ) z ( 2 z x 2 x y
•角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
方程的物理意义：
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点 加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
D V Vi Dt t t xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
yz
yz y dy
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
本构方程和NS方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
xz yz zz z z z z x y z fz x y z y z t x
注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程， 适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。
( vx ) ( vx ) dx dydzdt dxdydzdt vx dydzdt vx x x
Y方向：
( v y ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt ； Z方向： y z
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
p x
p y
p z
理想流体的运动微分方程 即欧拉运动微分方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程 以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
DV F P Dt
(1)
这里 ：
DV V V V Dt t
(2)
是流体微团的加速度，微分符号：
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生 伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。 • 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
或：
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 连续性方程 t x y z
粘性流体动力学基础
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
关键：寻求
流体应力与 变形速率之 间的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) z方向： dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
流体的瞬时质量为 X方向的瞬时动量为
dxdydz vx dxdydz
x dxdydz x方向： t
z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y x
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
切应力互等定律
在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
以应力表示的运动方程
x方向的运动方程： xx yx zx ( x ) x x x x y z fx t x y z x y z y方向的运动方程： y y y y xy yy zy x y z fy t x y z x y z z方向的运动方程：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设： 为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性；