10.7 斯托克斯(Stokes)公式与旋度
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10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
人大微积分课件10-7讲义斯托克斯stokes公式环流量与旋度
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdxxdyydz
0 D xy
dyddzzdx dxdy 1
x
y 1
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
xห้องสมุดไป่ตู้ y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
( 在 上 xyz3) 2
4 3
23ds2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
i j k
即 P zdz d P ydx x d ( P y y P zfy)dxd
yP [x ,y,f(x ,y) ] P y P zfy
P
z
dzdx
P y
dxdy
P[x,
Dxy y
y,
f
(x,
y)]dxdy,
1
根椐格林公式
P [x ,y ,f(x ,y )d ]x P d [x ,y y ,f(x ,y )d ]
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzd(xxy)dxd
[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
![[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度](https://img.taocdn.com/s3/m/42e81344b84ae45c3a358c2e.png)
曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
斯托克斯公式
∂ ∂y
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
斯托克斯公式——换流量与旋度
在Ω内处处有
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
机动 目录 上页
∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
10.7 斯托克斯公式
第七节 P 斯托克斯公式 P cos
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
z
o
1
A 1 y
2y z
xz
y x
杨建新
x
C
第七节
斯托克斯公式
B 1
z
d yd z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
dzd x
y
d xd y
z
S
x
o
1
2y z
xz
y x
A 1 y
(1 1) d y d z (1 1) d z d x (1 2) d x d y 2 d y d z 2 d z d x d x d y
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
y C
P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y
(利用格林公式)
杨建新
第七节
斯托克斯公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向. 这个规定方法也称为右手法则.
杨建新
第七节
斯托克斯公式
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,
第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
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4 2
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
2
0
o
y
2
2 t ) dt
x
2
2
1 cos 4 t 2
dt 3
0
例2 求 C ( 2 y
z ) dx ( x z ) dy ( y x ) dz ,
其中 C
是平面 x y z 1 与三坐标面的交线组成的闭曲线， 取逆时针方向。
cos
2
d
d 3
3
另法： 因为 C 的参数方程为
x 2 cos t , y
2
2 sin t , z 2
3 2
(t : 0 2 )
z
所以 C
z dx x dy y dz
2
C
2
0
(4
2 sin t 4 cos
2
4
t ) dt
0
2
连续偏导数， 则有
i x P j y Q k z R
斯 托 克 斯 公 式
Pdx Qdy Rdz
C
n dS
0
注： Pdx Qdy Rdz
C
i x P
j y Q
Q x
k z R
P y Q x
n dS
0
i x P j y Q k z R
rot F
例3 设
F xz i 2 x yz j 2 yz k ,
3 2 4
求 rot F , div ( rot F ).
k z 2 yz
4
解 （1） rot F
i x xz
3
j y 2 x yz
2
( 2 z 2 x y ) i 3 xz
与平面 z 2 的交线， 取逆时针方向。
i x z
o
D xy
2
2
z
n
解 原式
C
2
j y x
3
k z y
2
n dS
0
2 ydydz
2 zdzdx 3 x dxdy
2
y
0
3 x dxdy 22来自D xy2 0
3 x dxdy
2
x
3
§10.7 斯托克斯（Stokes）公式与旋度
一 斯托克斯公式 二 旋度
一 斯托克斯公式
C
定理：设空间有向光滑闭曲线 C 是有向曲面 的 边界， 的侧与C 的方向符合右手法则， P ( x , y , z ), 且
Q ( x , y , z ), R ( x, y, z)
在包含 的某个空间区域上有
则 F ( x , y , z ) 沿空间有向闭曲线 C 的环量定义为：
F ( x , y , z ) dl
C
Pdx Qdy Rdz
C
2 旋度 定义2
设
F ( x, y , z ) {P , Q , R}
是空间中一向量场，
则 F ( x , y , z ) 在该场中任一点 M ( x , y , z ) 处的旋度定义为 向量
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
2
0
o
y
2
2 t ) dt
x
2
2
1 cos 4 t 2
dt 3
0
例2 求 C ( 2 y
z ) dx ( x z ) dy ( y x ) dz ,
其中 C
是平面 x y z 1 与三坐标面的交线组成的闭曲线， 取逆时针方向。
cos
2
d
d 3
3
另法： 因为 C 的参数方程为
x 2 cos t , y
2
2 sin t , z 2
3 2
(t : 0 2 )
z
所以 C
z dx x dy y dz
2
C
2
0
(4
2 sin t 4 cos
2
4
t ) dt
0
2
连续偏导数， 则有
i x P j y Q k z R
斯 托 克 斯 公 式
Pdx Qdy Rdz
C
n dS
0
注： Pdx Qdy Rdz
C
i x P
j y Q
Q x
k z R
P y Q x
n dS
0
i x P j y Q k z R
rot F
例3 设
F xz i 2 x yz j 2 yz k ,
3 2 4
求 rot F , div ( rot F ).
k z 2 yz
4
解 （1） rot F
i x xz
3
j y 2 x yz
2
( 2 z 2 x y ) i 3 xz
与平面 z 2 的交线， 取逆时针方向。
i x z
o
D xy
2
2
z
n
解 原式
C
2
j y x
3
k z y
2
n dS
0
2 ydydz
2 zdzdx 3 x dxdy
2
y
0
3 x dxdy 22来自D xy2 0
3 x dxdy
2
x
3
§10.7 斯托克斯（Stokes）公式与旋度
一 斯托克斯公式 二 旋度
一 斯托克斯公式
C
定理：设空间有向光滑闭曲线 C 是有向曲面 的 边界， 的侧与C 的方向符合右手法则， P ( x , y , z ), 且
Q ( x , y , z ), R ( x, y, z)
在包含 的某个空间区域上有
则 F ( x , y , z ) 沿空间有向闭曲线 C 的环量定义为：
F ( x , y , z ) dl
C
Pdx Qdy Rdz
C
2 旋度 定义2
设
F ( x, y , z ) {P , Q , R}
是空间中一向量场，
则 F ( x , y , z ) 在该场中任一点 M ( x , y , z ) 处的旋度定义为 向量