7.斯托克斯公式
斯托克斯公式
170第七节 斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积 理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。
利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。
171如果 是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。
因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解 按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。
斯托克斯公式
斯托克斯公式
谢尔顿·斯托克斯（Shelton Stokes）公式也被称为具有电类似
性质的弹性场方程，它是分析可拉伸和压缩介质或材料的数值模型的
基础。
该公式在1883年由谢尔顿·斯托克斯提出，并以他的名字命名。
斯托克斯公式将电磁场的弹性行为表示为三个参数：介电常数（ε），适应度比率中的介电常数（ε r）以及电磁感应的面积
（A/m）。
它的一般形式是：F = εε rA/m，其中F是在磁通中作用
的力，ε是介电常数，ε r 是介电常数的适应度，A是电磁感应的面积，而m是材料中电量的固有表示。
斯托克斯公式被广泛应用于物理学，工程学，力学，材料科学和
电气工程中。
它可以用来描述电磁弹性材料，如水和金属/复合材料，
湿度传感器基材钢，半导体，磁性材料等的行为。
它可用来计算特定
场景中物体的位势和力的大小，以及外界条件对材料的作用的影响。
例如，斯托克斯公式可以用来计算立方体中内部产生的电压，以及外
部加热条件对立方体变形的影响。
斯托克斯公式还可以用来计算微波技术和无线网络中电磁屏蔽和
天线的功率吸收。
此外，它还可以用于评估飞行器，汽车和太空飞行
器在高性能环境中的飞行性能，以及评估电磁噪声和谐振技术的使用
效果。
因此，斯托克斯公式是一个非常有用的数学公式，可以用于分析
介质行为的各种性质。
它的用途涉及很多领域，从物理学到工程学，
从力学到材料科学，甚至天文学。
它使学术研究者和专业工程师能够
理解电磁弹性材料之间的关系，以及它们如何传递电磁信号。
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。
下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。
2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。
令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。
3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。
在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。
4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。
由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。
因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。
5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。
6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。
即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。
斯托克斯沉降公式适用条件
斯托克斯沉降公式适用条件斯托克斯沉降公式是描述球形颗粒在黏性流体中沉降速度的一个重要公式。
这个公式在很多领域都有着广泛的应用，比如物理、化学、地质、环境等。
咱们先来瞅瞅斯托克斯沉降公式长啥样哈：$v = \frac{2}{9}\frac{r^2 g (\rho_s - \rho_f)}{\eta}$ 。
这里面的$v$ 就是颗粒的沉降速度，$r$ 是颗粒的半径，$g$ 是重力加速度，$\rho_s$ 是颗粒的密度，$\rho_f$ 是流体的密度，$\eta$ 是流体的动力黏度。
那它适用的条件都有啥呢？首先，颗粒得是球形的。
要是颗粒长得奇形怪状的，那这公式可就不那么准啦。
我给您举个例子，就好比您扔一个圆溜溜的玻璃球和一个歪七扭八的小石块到水里，那它们下沉的情况能一样吗？肯定不一样嘛！其次，流体得是连续的、不可压缩的，而且得是黏性流体。
啥叫黏性流体呢？您可以想象一下蜂蜜，它流动起来比较费劲，有阻力，这就是黏性。
要是流体像空气那样，能随意压缩，或者根本没啥黏性，这公式也就不好使了。
还有啊，颗粒的沉降速度得比较小。
如果颗粒下落得太快，就会产生一些复杂的流动现象，比如涡流啥的，这时候斯托克斯沉降公式就不太能准确描述啦。
再来说说颗粒之间不能相互影响。
要是一堆颗粒挤在一起往下沉，它们会互相碰撞、干扰，那这公式算出来的结果也就不准了。
我之前在实验室做过一个小实验，就是为了验证斯托克斯沉降公式的适用条件。
我准备了一些大小均匀的玻璃珠，还有一种特定黏度的硅油。
把玻璃珠小心地放进硅油里，然后观察它们的沉降情况。
刚开始的时候，一切都还挺顺利，沉降速度和用公式算出来的差不多。
可后来我不小心多放了几颗玻璃珠，它们在下沉的过程中就开始互相碰撞，结果实际的沉降速度就和公式算的有了偏差。
这让我更深刻地理解了颗粒之间不能相互影响这个适用条件的重要性。
总之，斯托克斯沉降公式虽然好用，但咱们得清楚它的适用条件，不然得出的结果可能就不靠谱喽。
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
o
y
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 并 Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域 D xy .
x
z
n
:z
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
一、斯托克斯公式
Q P P R R Q )dxdy )dydz ( ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
又 cos f y cos ,
y
1
1
Dxy 如图
D xy
zdx xdy ydz
3 2
Dxy
o
1
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学领域中三个著名的公式，它们在计算曲线、曲面和体积的积分时非常有用。
下面将对这三个公式进行简要介绍。
1. 格林公式（Green's theorem）：格林公式是一个关于曲线积分和双重积分的定理。
它将曲线积分与曲面的面积积分联系起来。
根据格林公式，如果C是一个简单闭合曲线，它围绕一个平面区域D，且具有光滑的边界，如果P和Q是具有连续一阶偏导数的函数，则有以下关系式成立：∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式是一种有力的工具，用于计算曲线周围的环量和曲面上的通量。
2. 高斯公式（Gauss's theorem）：高斯公式是一个重要的曲面积分定理，也被称为高斯-斯托克斯公式的一部分。
该定理描述了通过一个连续可微的矢量场F流入或流出封闭曲面S的总量。
根据高斯公式，如果S是一个封闭曲面，其边界为曲线C，且F是一个具有连续二阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∬S F·dS = ∮C F·dr这个公式在电学、磁学和流体力学等领域中常被应用，用于计算场的通量与曲线周围的环量之间的关系。
3. 斯托克斯公式（Stokes's theorem）：斯托克斯公式是一个关于曲线积分和曲面积分的定理，也是高斯-斯托克斯公式的一部分。
根据斯托克斯公式，如果曲线C是一个光滑的边界，围绕一个光滑曲面S，且F是一个具有连续一阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学和计算机图形学等领域中广泛应用，用于计算曲线周围的环量与曲面上的旋度之间的关系。
总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学中重要的积分定理，它们在各种科学和工程问题的计算中发挥着关键作用，提供了一种将曲线、曲面和体积的积分相互联系起来的方法。
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
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(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,
Pdx Qdy Rdz 与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u Pdx Qdy Rdz
(4) 在G内处处有
, , P Q Q R R P
y x z y x z
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例4. 验证曲线积分 ( y z)dx (z x)dy ( x y)dz
dydz dzdx dxdy
z
1
n
0 Dxy
y 1
1 x
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由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
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例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4 3
(
x
y z)ds
(在上x y z 3) 2
4 3
3 2
ds
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
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例3. 为柱面
与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算
0
0
xy (x y)z
(x,0,0)
x
y
(x, y,0)
xy yz zx
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小结
斯托克斯公式
cos cos cos
x
y
ds z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
A tds
PQ R
斯斯托托克克斯斯公公式式的成物立理的意条义件
(
P z
cos
P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P
z
dzdx
P dxdy y
(
P y
P z
f y )cosds
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即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
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Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
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例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, 有
zdx xdy ydz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)
( x, y, z)
(0,0,0)
(
y
z)d
x
(z
x)
d
y
(x
y) d
z
解: 令 P y z , Q z x , R x y
P 1 Q ,
y
x
Q 1 R ,
z
y
R 1 P
x
z
积分与路径无关, 因此
y
z
z
(x, y, z)
x d y (x y) d z o
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I Leabharlann x yy2 xyz
dS
xz
o x
2y
0
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斯托克斯公式的又一种形式
[(
R y
Q ) cos
z
(P z
R)cos x
(Q x
P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
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根椐格林公式
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
C
即
P z
dzdx
P y
dxdy
C
P[ x,
y,
f
(x,
y)]dx
2
平面有向曲线
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 o 影.且所围区域Dxy . x
y Dxy
C
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思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z),
R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
)dzdx
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
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n
右手法则
其中 是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
则
n
1 {1,1,1}
o
y
x
3
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即 cos cos cos 1 ,
x
,
y
,
z
)dx,
空间有向曲线
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同理可证
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x
,
y,
z
)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z
)dz,
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz
( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.
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便于记忆形式
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第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
(Stokes formula) (Circulate and Rotation)
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度 *三、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 五、小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
A tds
其中
的单位法向量为
n
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有