第十章第节斯托克斯公式资料讲解
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
流体力学斯托克斯公式
流体力学斯托克斯公式哎呀，说起流体力学的斯托克斯公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！咱先来讲讲啥是斯托克斯公式。
这斯托克斯公式啊，简单说就是用来描述流体中曲面的环流和曲面积分之间关系的。
听起来是不是有点晕乎？别急，咱举个例子。
想象一下，你在游泳池里游泳。
水就是那个流体，你在水里游一圈，就相当于形成了一个环流。
而斯托克斯公式呢，就能算出你游这一圈所产生的各种效果。
比如说，它能告诉你水流对你的阻力有多大，你消耗了多少能量。
我记得有一次去水上乐园玩，看到一个巨大的旋转水滑梯。
人们从上面滑下来，那水就跟着人一起流动。
当时我就在想，这不就是斯托克斯公式能解释的现象嘛！水在滑梯的表面流动，形成了复杂的环流，而斯托克斯公式就能算出这些水流动的规律。
咱们再深入点说，斯托克斯公式在很多领域都大有用处。
比如在气象学里，它能帮助我们理解大气的流动，预测天气变化。
要是没有这个公式，气象学家们可就头疼啦！在工程领域，像飞机设计、船舶制造，斯托克斯公式也是必不可少的。
设计飞机翅膀的时候，得考虑空气的流动，这时候斯托克斯公式就能派上用场，让工程师们算出最佳的机翼形状，减少阻力，提高飞行效率。
还有在石油开采中，地下的石油就像流体一样在岩石缝隙中流动。
通过斯托克斯公式，工程师们可以更好地了解石油的流动情况，提高开采效率。
不过，学习斯托克斯公式可不是一件轻松的事儿。
我当年学习的时候，那可是费了好大的劲。
一堆复杂的数学符号和推导，搞得我头都大了。
但后来真正理解了，就发现它真的很神奇，能解决那么多实际问题。
总之啊，斯托克斯公式虽然有点难搞，但一旦掌握了，就像拥有了一把神奇的钥匙，可以打开很多未知领域的大门。
无论是在科学研究还是实际应用中，它都有着不可替代的作用。
希望通过我的这些讲解，能让您对流体力学的斯托克斯公式有那么一点点更清晰的认识。
下次再遇到相关的问题，说不定您就能想起这个神奇的公式啦！。
斯托克斯定理(流体)：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理（流体）：球体在黏性流体中运动的阻力公式一、引言斯托克斯定理是物理学中关于流体力学的重要定理之一。
它描述了一个球体在黏性流体中运动时所受到的阻力的公式。
本文将介绍斯托克斯定理的基本原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、斯托克斯定理的基本原理斯托克斯定理是19世纪早期英国物理学家乔治·斯托克斯提出的。
它基于流体力学的基本方程，通过对流体的流动进行数学建模，进而推导出了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力公式。
在黏性流体中，流体的流动可以用流体速度场来描述。
设流体速度场为V(r)，其中r为流体中的一个点。
根据流体力学的基本方程，可以得到流体中的速度场满足的方程为：∇·V = 0其中∇为梯度算子。
对于一个运动中的物体，其速度场可由以下公式给出：V(r) = V0 + ω×r其中V0为物体的整体运动速度，ω为物体的角速度，r为物体上的一个点。
接下来，我们考虑一个球体在黏性流体中的运动。
假设球体的半径为R，球心处的速度为V0，球体的角速度为ω。
我们可以将球体分解为无限多个微小的体积元素，每个体积元素的体积为dV。
根据斯托克斯定理，球体所受到的阻力可以通过对每个体积元素的贡献进行累加来得到。
由于流体的黏性，流体中的每个体积元素都会对周围的流体产生粘接力。
粘接力的大小与体积元素的速度梯度成正比。
根据流体力学的基本方程和牛顿第二定律，可以推导出球体所受到的阻力为：F = 6πηRV0其中F为球体所受到的阻力，η为流体的黏性系数，R为球体的半径，V0为球体的速度。
三、斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在流体力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用于解释流体中物体的运动特性，从而帮助科学家和工程师进行流体力学相关问题的分析和设计。
例如，在船舶设计中，斯托克斯定理可以用来计算船体在水流中的阻力，从而帮助设计师优化船体的形状和尺寸，提高船体的运动性能。
同样，在飞机设计中，斯托克斯定理可以应用于计算飞机在空气中的阻力，从而优化飞机的气动外形，提升飞机的飞行效率。
考研高等数学复习——斯克公式
练习题答案
一、 20.
三、rotA i j .
五、12 .
二、 a3 . 4
四、0.
六、0.
第七节
斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、斯托克斯(stokes)公式
右手规则
n
是有向曲面 的
正向边界曲线
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为 边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合 右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x
y
z dSBiblioteka y2 x yxzo
2y
x
0
公式 目录 上页 下页 返回 结束
三、 环流量与旋度
P d x Q d y R d z
设曲面的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线的单位切向量为 (cos , cos , cos )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
P
Q
R
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
rotA ndS A ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
10.7 斯托克斯公式
第七节 P 斯托克斯公式 P cos
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
z
o
1
A 1 y
2y z
xz
y x
杨建新
x
C
第七节
斯托克斯公式
B 1
z
d yd z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
dzd x
y
d xd y
z
S
x
o
1
2y z
xz
y x
A 1 y
(1 1) d y d z (1 1) d z d x (1 2) d x d y 2 d y d z 2 d z d x d x d y
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
y C
P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y
(利用格林公式)
杨建新
第七节
斯托克斯公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向. 这个规定方法也称为右手法则.
杨建新
第七节
斯托克斯公式
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,
第十章 Stokes 公式
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
高考数学冲刺斯托克斯公式考点精讲
高考数学冲刺斯托克斯公式考点精讲高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是让众多考生费尽心思。
在高考数学中，斯托克斯公式是一个较为复杂但又十分重要的考点。
今天，咱们就来详细讲讲这个考点，帮助同学们在冲刺阶段做好充分准备。
一、斯托克斯公式的基本概念斯托克斯公式是微积分中的一个重要公式，它建立了空间曲面积分和沿曲面边界的曲线积分之间的联系。
简单来说，如果我们有一个曲面和它的边界曲线，斯托克斯公式可以帮助我们将对曲面的某种运算转化为对边界曲线的运算，或者反过来。
用数学语言表述，设 S 是空间中的一个有向光滑曲面，其边界为有向闭曲线Γ，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)具有一阶连续偏导数，则有：∮＿Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬＿S （∂R/∂y ∂Q/∂z)dydz ＋（∂P/∂z∂R/∂x)dzdx ＋（∂Q/∂x ∂P/∂y)dxdy这个公式看起来可能有些复杂，但理解其背后的原理和意义是掌握它的关键。
二、斯托克斯公式的几何意义为了更好地理解斯托克斯公式，我们来探讨一下它的几何意义。
从直观上看，斯托克斯公式反映了向量场在曲面及其边界上的环流和旋度之间的关系。
旋度可以看作是向量场在某一点处的旋转程度，而环流则是向量场沿着曲线的积分。
想象一个水流的场景，如果水流在某个区域形成了漩涡，那么这个漩涡就对应着向量场的旋度。
而水流沿着边界流动的情况，就类似于向量场沿曲线的环流。
斯托克斯公式告诉我们，通过了解曲面的形状和向量场在曲面上的分布，我们可以计算出沿边界的环流，反之亦然。
三、斯托克斯公式的应用斯托克斯公式在解决许多数学和物理问题中都有着广泛的应用。
在数学中，它可以用于计算曲线积分和曲面积分，简化复杂的积分运算。
例如，当我们遇到一些难以直接计算的曲线积分时，可以通过构建合适的曲面，利用斯托克斯公式将其转化为曲面积分，从而找到更简便的计算方法。
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o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
3
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy PdxQdyRdz
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义:
i jk 称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
10
i jk 旋度roAt x y z PQR ( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
11
斯托克斯公式的又一种形式
x 1
6
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
x
y
z PdxQdyRdz
P Q R rA o n td S A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
15
习1题 07 P183
1(1)(3)(4)
总习题十 P184
3(1)(3)(5)(6),4(1)(2)(3), 5,6,7,10
16
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
则 沿 场A中 某 一 封 闭 的 有 向 C上曲的线曲 线 积 分
CAdsC PdxQdyRdz
称为向量A场沿曲线C 按所取方向的环.流量
9
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
12
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A t d或 s(r A o )n d t S A tds
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o ( s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
4
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
13
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过 所张的曲面的通 量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
14
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
PQR
dyddz zdxdxdy