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10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
《高数》斯托克斯(stokees)公式
20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy;
D
ab
D
D
1 x
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
9_8斯托克斯公式
r2
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
10.7 斯托克斯(Stokes)公式与旋度
4 2
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
斯托克斯公式
Σ
=−
∫∫ dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy
Σ
由于 Σ : x + y + z = a 或 z = a − x − y ， ( x, y ) ∈ Dxy = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a − x} 且 Σ 取上侧 , 于是由第二型曲面积分计算公式 ,有
旋线： x = a cos t , y = a sin t.z = 解
h t , 0 ≤ t ≤ 2π , A(a, 0, 0), B(a, 0, h) 如图 8.3 所示 . 2π
曲线 C ( A, B ) 加上线段 BA 构成逐段光滑闭曲线 Γ ,其中
X = x 2 − yz ， Y = y 2 − zx ， Z = z 2 − xy ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z = − z, = − y, = − x, = − z, = − y, = −x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
由斯托克斯公式,有
∫
=
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
∫∫ (−2 y − 2 z )dy ∧ dz + (−2 z − 2 x)dz ∧ dx + (−2 x − 2 y)dx ∧ dy
Σ
= −2 = −2
∫∫ ( y + z )dy ∧ dz + ( z + x)dz ∧ dx + ( x + y)dx ∧ dy
记以 Γ 为边界的图 8.3 所示的阴影部分的曲面为 Σ ,且 Σ 正方向与 Γ 的方向与符合右手系. 于是由斯托克斯公式,有
=−
∫∫ dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy
Σ
由于 Σ : x + y + z = a 或 z = a − x − y ， ( x, y ) ∈ Dxy = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a − x} 且 Σ 取上侧 , 于是由第二型曲面积分计算公式 ,有
旋线： x = a cos t , y = a sin t.z = 解
h t , 0 ≤ t ≤ 2π , A(a, 0, 0), B(a, 0, h) 如图 8.3 所示 . 2π
曲线 C ( A, B ) 加上线段 BA 构成逐段光滑闭曲线 Γ ,其中
X = x 2 − yz ， Y = y 2 − zx ， Z = z 2 − xy ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z = − z, = − y, = − x, = − z, = − y, = −x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
由斯托克斯公式,有
∫
=
Γ
( y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
∫∫ (−2 y − 2 z )dy ∧ dz + (−2 z − 2 x)dz ∧ dx + (−2 x − 2 y)dx ∧ dy
Σ
= −2 = −2
∫∫ ( y + z )dy ∧ dz + ( z + x)dz ∧ dx + ( x + y)dx ∧ dy
记以 Γ 为边界的图 8.3 所示的阴影部分的曲面为 Σ ,且 Σ 正方向与 Γ 的方向与符合右手系. 于是由斯托克斯公式,有
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
(数分)22.2 高斯公式 斯托克斯公式
22.2 高斯公式 斯托克斯( Stokes )公式
定义 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张成一片以它为边界的 完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
原式 [
+
- -
1+ 2 1 2
][(x y )dxdy ( y z )dydz (第一项用高斯)
o 1 x
y
( y z ) d x d y d z -[ ](x y )dxdy ( y z )dydz
d rd r (r sin z ) d z
0 0
1
3
2 0
6
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
z 3
若仅是柱面的外侧，则要补辅助平面
1 : z 0, x 2 y 2 1, 下侧
及 2 : z 3, x 2 y 2 1, 上侧。
其中是曲面 z R 2 x 2 y 2 ,
z 0的上侧
解：：z 0, x2 y 2 R2的下侧，这个平面在yz,xz平面投影为0
( x 3 zy )dydz ( y 3 xz )dzdx ( z 3 2 x 2 )dxdy 原式= 2 R 1 3 3 3 2 = 2 { }( x zy ) dydz ( y xz ) dzdx ( z 2 x )dxdy R +
1 2
5
定义 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张成一片以它为边界的 完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
原式 [
+
- -
1+ 2 1 2
][(x y )dxdy ( y z )dydz (第一项用高斯)
o 1 x
y
( y z ) d x d y d z -[ ](x y )dxdy ( y z )dydz
d rd r (r sin z ) d z
0 0
1
3
2 0
6
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
z 3
若仅是柱面的外侧，则要补辅助平面
1 : z 0, x 2 y 2 1, 下侧
及 2 : z 3, x 2 y 2 1, 上侧。
其中是曲面 z R 2 x 2 y 2 ,
z 0的上侧
解：：z 0, x2 y 2 R2的下侧，这个平面在yz,xz平面投影为0
( x 3 zy )dydz ( y 3 xz )dzdx ( z 3 2 x 2 )dxdy 原式= 2 R 1 3 3 3 2 = 2 { }( x zy ) dydz ( y xz ) dzdx ( z 2 x )dxdy R +
1 2
5
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
Pdx Qdy Rdz
P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }
一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )
R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
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的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被Γ所围的部分， 2
的单位法向量 n
1 1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
1 11
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
(
x
y
z)dS
取4为 3平面dxS 32
y2
z3
D
3
2
xy
的3(d上在xd侧y上被 ,Γx6所x围yy 的 z部分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xyd y xzd z .
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d xd y 3 .
Dxy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
通常，取为平面或球面等法向量的方向 余弦易求的曲面.
例1 利用斯托克斯公式计算 z d x x d y yd z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形 的整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向 量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d ydz
x
z
d yd z d z d x d x d y
P cos γdS y
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
f
y
左边
P z
f
y
P y
cos
γdS
P z
fy
P dxdy y
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(Q x
P y
)d
x
d
y
(Q(x, y,0) P(x, y,0))d xd y
x
y
D
z
n
O Dy
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
(3)
R dydz y
R dzdx x
R( x,
y,
z)dz
Γ
证明思路: 第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P( x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线 只交于一点,
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法
计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.
5º如何选取 ？ 在斯托克斯公式中，是以为边界的任意
分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空 间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
的正向边界曲线
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy .
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cos γ dS
z
y
z
y
cos β
fy
, cos γ
1
1
f
2 x
2 x
f
2 y
故有cos β f y cos γ
左边
P z
fy
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交 于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克 斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相 反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.
3º斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
O y
x = L
在yOz面, zOx面上的投影为零
y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
一阶连续偏导数, 则
斯托克
Pdx Qdy Rdz
斯公式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q dydz z
Q( x,
y,
z)dy
Γ
解(方法1) 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
注 1º斯托克斯公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边
界曲线上的曲线积分之间的关系.
2º斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysdz
或
P d x Qd y Rd z
x
P
dczodsx
y Q
dcxodsy
dS z
R
其中
n
{cos α,cos
β,cos γ}为指定侧的单位法向量.