微积分 斯托克斯公式与散度
格林公式 高斯公式 斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，是数学中与微分形式和曲线积分、曲面积分、体积积分相关的重要公式。
它们在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用，具有重要的指导意义。
首先，我们来介绍一下格林公式（Green's theorem）。
格林公式是微分方程与积分学的一个重要关系式，它将平面区域的曲线积分与对应区域的二维散度进行了联系。
具体而言，格林公式表明，在平面上，一个区域内的曲线积分等于该区域的散度通过整个区域的面积积分。
格林公式为我们解决一些平面区域内的曲线积分问题提供了便利，被广泛应用于流体力学、电磁学等领域的数学建模。
接下来，我们说说高斯公式（Gauss's theorem），也称为散度定理。
高斯公式通过将三维空间中的体积积分与对应区域的散度进行联系，提供了一种计算亥姆霍兹方程（也称为辐状-旋度方程）的方法。
高斯公式表明，一个封闭曲面内的散度通过整个封闭曲面的面积积分等于该封闭曲面所围成的区域的体积积分。
高斯公式为我们解决一些三维空间中的体积积分问题提供了便利，被广泛应用于电磁学、热传导等领域的数学建模。
最后，让我们来了解一下斯托克斯公式（Stokes' theorem）。
斯托克斯公式是微分形式与曲面积分以及曲线积分之间的一个重要联系。
它将一个曲线上的环量与曲面上的旋度通过对应曲面的面积积分进行了关联。
斯托克斯公式表明，在一个封闭曲面上的环量等于通过该封闭曲面所围成的曲面的旋度通过整个封闭曲面的面积积分。
斯托克斯公式为我们解决一些曲面积分和曲线积分的联系问题提供了便利，被广泛应用于电磁学、流体力学等领域的数学建模。
综上所述，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式在微分形式与曲线积分、曲面积分、体积积分之间提供了重要的联系，为我们解决一些数学建模中的问题提供了便利。
它们的应用广泛而且有着深远的影响，为物理学、工程学、计算机图形学等多个领域的研究与应用提供了坚实的数学基础。
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
9_8斯托克斯公式
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
微积分方法总结
积分方法总结李利霞摘要：微积分是大学一年级学的基础课，而在以后的课程中，我们会慢慢发现微积分几乎随处都用的到。
所以，在这里对积分方法做一个简单的总结。
关键字：二重积分 三重积分 曲面积分 曲线积分 散度 旋度 一：二重积分对于二重积分比较常用也比较简单，我在这里给出定限方法：如果是X 型，则将积分区域全部投影到x 轴上，确定x 的范围；在x 范围内取一点作平行于y 轴的射线，与区域的边界的两交点()()x 2x 1,ϕϕ则为对y 积分的上下限。
同理，可得y 型定限方法。
对于极坐标要定r ，θ的上下限。
二重积分是积分问题的基础，以后提到的各种积分方法最终都是通过某种方法换做二重积分。
下面给出二重积分的例子：dxdy y ⎰⎰=D2x I ；积分区域由2y 2-==x y x 与围成；y 2 0 x(1,-1)(4,2)x =2yY=x-2将积分区域对x 轴投影可得x 的上下限为[0 ,4]。
在[0,1]间，做平行与y 轴的射线得y 轴的范围[]x ,x -；在[1,4]间，同理得y 的范围[]x 2-x ，。
从而积分式子可以写作：dy y xdx dy xx ⎰⎰⎰⎰-+=221041xx-2y xdx I同理，也可以对x 先积分，将积分区域投影到y 轴上，做平行于x 的射线，定x 的上下限为[]2,y 2+y ；y 的范围[-1,2]。
对于极坐标，应先画出在xy 坐标上的积分区域，把边界值方程化为极坐标下的方程，定r 与θ，定r 时同样用发射法，从坐标原点发射。
（以上方法简称为投影发射法）。
二：三重积分（1）在直坐标系中定限法一：将积分区域投影到其中的一个坐标平面，如xoy 面上，得到xy D ,x 的积分面范围y ；做平行与z 轴的射线，穿过积分区域时，进入和出来所经过的面分别为()()y x z z s y x z z ,:;,:s 2211==；从而三重积分可化为二重积分：()()()()dz z y x f dxdy dxdydz z y x y x z y x z D xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω,,21,,,,f 。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量分析中经典的定理之一，它将曲面积分与闭合曲线积分联系起来，是高等数学中微分形式和外微分运算的重要应用之一。
斯托克斯定理在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
斯托克斯定理由苏格兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）于1854年提出，它建立了一个曲面与其边界线的关系。
斯托克斯定理的数学表述如下：设曲面S是一个光滑的有界曲面，其边界线为闭合曲线C，若F为一个光滑的向量场，则有以下等式成立：∬SrotF·dS = ∮C F·dr其中，rotF表示F的旋度，dS表示曲面S上小面元的面积，dr 表示C上小线段的长度元。
此式表明了曲面S上向量场F的旋度与该向量场沿曲线C的环路积分之间的关系。
斯托克斯定理的几何意义可以理解为：向量场在某个有边界的曲面上的旋度，与该向量场沿边界曲线的环路积分之间有一种平衡关系。
这种平衡关系可以用数学符号来表示，而斯托克斯定理就是这种关系的数学表达。
斯托克斯定理的应用非常广泛，可以用来求解许多具体问题。
例如，在电磁学中，斯托克斯定理可以将电流通过闭合曲面的总数转换为磁场穿过该曲面的通量，从而简化了计算的过程。
在流体力学中，斯托克斯定理可以用来研究旋转流体的流动速度和压强分布等问题。
在天体物理学中，斯托克斯定理可以用来分析星系的演化过程和宇宙的结构等。
斯托克斯定理的证明可以通过对曲面S进行分割，将其分割成无数个小面元，然后分别对每个小面元进行积分，最后将这些小面元的贡献相加即可。
证明过程相对复杂，需要运用到高等数学中的很多概念和技巧。
证明过程中，可以使用换元法、极限法、矢量代数等多种方法来推导。
斯托克斯定理在矢量分析和微分形式的研究中起着关键的作用，它不仅能够将曲面积分和闭合曲线积分联系起来，还可以将二维问题推广到三维空间中。
通过斯托克斯定理，我们可以更加深入地理解矢量场的性质和特点，并且可以将矢量场的问题转化为边界上积分问题，使得计算更加简洁、方便。
斯托克斯公式与场论初步
有势场，并称 u 为 A 的势函数.
12
定理4 设G R 是单连域，A ( M ) C (G ),
3
1
则以下四个命题等价：
A 是无旋场，即 rot A A O ;
沿G内任意简单闭曲线 C 的环量
A ds Pdx Qdy Rdz 0
c c
M ( x x , y )
M ( x x , y )
利用偏导数定义
A( x0 , y0 )
o
变量 , 取M点使
B( x , y )
x
20
u u( x x , y ) u( x , y ) lim x x 0 x
1 lim [ Pdx Qdy Pdx Qdy] x 0 x ( x 0 , y0 ) ( x 0 , y0 )
求某些二元函数的原函数的方法，同时
为解全微分方程提供了一种有效的方法。
23
验证向量场 A (3 x 2 6 xy ) i (3 y 2 3 x 2 ) j 例4
是有势场，并求其势函数. 因 P 3 x 2 6 xy , Q 3 y 2 3 x 2 解
( 3 x 6 xy ) (3 y 3 x ) 6 x y x 所以， 为有势场。 A
3 2
26
这个积分“常数”当然可能是 y 的函数， 故记作 ( y ) , 将(c)式两端对 y求导, 并与 (b)式比较，得： u 3 x 2 ( y ) 3 y 2 3 x 2 y ( y ) 3 y 2, ( y ) y 3 C
代入 (c) 式
从A B M
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
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. 从 x 轴正向看去 ,
取逆时针方向
z
.
n
x y 3 2
o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分
x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
斯托克斯公式：
( y
R
Q z
)dydz
( z
Байду номын сангаас
P
R x
)dzdx
( x
Q
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
dydz x P cos x P
(1 )
正向边界 为光滑或分段光滑的闭
如果函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) C 则有
( ),
( y
R
Q z
)dydz
( z
P
R x
)dzdx
( x
Q
dzdx y Q cos y Q
dxdy z R cos z R
关键：
求出 cos , cos , cos , 先化为第一类曲线积分 再化为二重积分计算
dS
, .
（1）斯托克斯公式的证明思路： 曲面积分
1
二重积分
2
曲线积分
（2）斯托克斯公式的实质：
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分
( y z ) dx ( z x ) dy ( x
2 2 2 2
2
y ) dz ,
2
其中 是平面 x y z
3 2
截立方体
: 0 x 1,
0 y 1 , 0 z 1的表面所得截痕
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的联系。 （3） 斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx
xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释：
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则
作业 习题8-7：3
第七节
一、斯托克斯公式
斯托克斯公式与散度
: 的正向边界曲线
.
规定如下 :
当人位于 指定侧的边界 行走时 , 若邻近处的 始终位于人的左侧 即为
, 则此
.
与 的侧的指向符合右手法
则.
设 定理： 是一张光滑或分片光滑
的定向曲面 , 的 曲线 .
Q P R Q P ( )i ( )j ( )k y z z x x y R
斯托克斯公式的旋度表示：
rot F d S
F dr
环流量： 沿定向闭曲线 F
的积分
F dr
z
y
x
2
y
2
1
o
y
o
x
x
二、旋度 定义：C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k
在点 ( x , y , z ) 处的旋度 i j k rot F x y z P Q R