斯托克斯公式
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10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
斯托克斯公式
3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1
2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1
3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z
n
o
y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
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3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P
A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。
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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是
3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n
斯托克斯公式
170第七节 斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积 理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。
利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。
171如果 是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。
因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解 按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
斯托克斯公式
2
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx y z
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z 空间有向曲线
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
斯托克斯公式
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
根椐格林公式
Dxy
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx y z
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z 空间有向曲线
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
斯托克斯公式
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
根椐格林公式
Dxy
斯托克斯公式
Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
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z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
o x
D
x
y
y C
2
简介 目录 上页 下页 返回 结束
则 P d x CP(x,y,z(x,y)d )x
D xy yP (x,y,z(x,y)d )xdy(利用格林公式)
n
D xy P y P z y zdxdy
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2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则
PdxQdyRdz在内与路径无关 在内处处有
Q R , z y
R P , x z
P Q y x
在内处处有
i jk
ro (P ,tQ ,R )x
y
z
0
PQ R
21
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3. 场论中的三个重要概念
设
uu(x,y,z),A ( P ,Q ,R ), x,y, z,
则
梯度:
gradu
ux,
uy,
u z
u
散度: diA vPx Q y Rz A
i jk
旋度: roAtx
y
z
A
PQ R
22
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思考与练习 设 rx2y2z2,则
d ( g r i r ) a v 2 r d ; r( g o rr ) a t0d .
x P
y Q
z
dS PdxQ dyRdz
R
6
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy
例5. 设 A(2y,3x,z2), :x2y2z24,n 为
的外法向量,计算 I roAtndS.
i jk
解:
rot A
x
y
z
(0,0,1)
2y 3x z2
n (c ,c o o s ,cso ) s
I cosdS 2Dxy dxdy8
17
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*四、向量微分算子
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x Dxy
dydzdzdxdxdy3 dxdy 3
利用对称性Dxy
2
7
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例2. 为柱面 x2y22y 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2dxxd yyxd zz.
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
y
z
故有
d u P d x Q d y R d z
(3)(4) 若(3)成立, 则必有
uP, uQ , uR
x
y
z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q y x y x
同理
QR, RP
证毕
z y x z
11
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 验证曲线积分 (y z )d x (z x )d y (x y )d z
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
PdxQ dyRdz0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , PdxQdyRdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y Q x, Q z R y, R x P z
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0,0,0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
16
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9
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证: (4)(1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1)(2) (自证)
(2)(3) 设函数
u (x ,y ,z )(x ,y ,z ) P d x Q d y R d z (x 0 ,y 0 ,z 0 )
则
u x
lim
x0
u(xx,y,z)u(x,y,z) x
点, 建立坐标系如图,则
(0,0,), r(x,y,z)
z l M
点 M 的线速度为
i jk
vr 0 0
o
r y
( y,x,0 ) x
xy z
i jk
rov t
x
y z
y x 0
(0,0,2)2
(此即“旋度”一词的来源)
15
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斯托克斯公式①的物理意义:
(rA o )ntdSA ds 为向量场 A 沿
lim 1(x x ,y ,z )P d x Q d y R d z
x 0 x(x ,y ,z )
lx im 0 1xxxxPdx lx i0 m p(x x,y,z)
P(x,y,z)
10
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 u Q(x, y,z), u R(x, y,z)
定义向量微分算子:
xiyjzk
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. (1 )设 u u (x ,y,z)则,
u u xi u yj u zkgraud 2uugraud
x2u2 2yu2 2zu2 u
18
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( 2 ) A P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k , 则 APxQ yRz diA v
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y s c d o S
与路径无关, 并求函数
u ( x ,y ,z ) ( ( 0 x , , 0 y ,0 ,z ) )( y z ) d x ( z x ) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z ,Q z x ,R x y
P1Q, y x
Q 1 R, R 1 P z y x y
第七节
第十章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 *四、向量微分算子
1
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含 在内的一
则其法线方向余弦
cos0,cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
o
c oc so c so s x
2y
I
x y
z
dS 1 2
(yz)dS 0
y2 xy xz
8
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q,R在 G 内
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.