纳维 斯托克斯方程 N S方程 详细推导

x方向的运动方程：
x
t
x
(x )
x
y
x
y
z
x
z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
y方向的运动方程：
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
xy
x
yy
y
zy
z
z方向的运动方程：
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
xz
x
yz
y
zz
z
注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程， 适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体 的质量流量
dz vx dydz
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
ux x
ux
ux y
uy
ux z
uz
X
1
p x
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
uz t
uz x
ux
uz y
uy
uz z
uz
Z
1
p z
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
DV F P
(1)
Dt
这里 ：
DV V V V
(2)
Dt t
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
t
Vi
xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
zz z
dz
yz
yz y
vz x
vx z
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和
6个切应力分量：
切应力互等定律
微元体上X和Z方向的表面力 在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
Y方向：
(
v
z
z
)
dxdydzdt；
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
1
3
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
y
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
1
3
z
矢量形式：
Dv f 1 p 2 1( )
Dt
3
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
Dvx Dt
动量在微元体表面的输入与输出
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
输入输出微元体的动量流量
x方向：
(
2 x
x
)
( y x
y
)
( z x
z
)
dxdydz
y方向：
( x y
x
)
( y 2
y
)
( z y
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx 附加粘性正应力
xx p xx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等
于正应力值。但有：
pm
xx yy zz
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
若流体不可压缩： vx vy vz 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。
适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
Y方向的表面力：
xy
x
yy
y
zy
z
dxdydz
vx t
vx
vx x
fx
1
p x
2x
x2
2x
y2
2x
z 2
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
矢量形式：
Dv f 1 p 2
Dt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程：
const const
3
p 'v
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率：
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设：
为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设：
➢应力与变形速率成线性关系;
➢应力与变形速率之间的关系各向同性；
➢静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力
xx yy zz p
本构方程和NS方程
Dvx Dt
fx
p x
2 3 x
2
x
x
x
y
vx y
vy x
z
vx z
vz x
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
常见条件下N－S方程的表达形式：
常粘度条件下N－S方程： const
Dvx Dt
fx
1
p x
2x
x2
2x
y2
2x
z 2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。