第三章纳维斯托克斯方程组
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
navierstokes 方程
navierstokes 方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由法国物理学家Navier和英国物理学家Stokes在19世纪提出。
Navier-Stokes方程是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方程组成的，它们分别描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在Navier-Stokes方程中，质量守恒方程描述了流体质量的守恒，即流体在运动过程中质量的增减关系。
动量守恒方程描述了流体运动过程中动量的守恒，即流体在受力作用下的运动规律。
能量守恒方程描述了流体运动过程中能量的守恒，即流体在运动过程中能量的转化和传递。
Navier-Stokes方程是非线性偏微分方程，其求解对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
然而，由于其复杂性和非线性特点，Navier-Stokes方程的求解一直是一个困难且具有挑战性的问题。
尽管Navier-Stokes方程的解析解很难求得，但通过数值方法和计算机模拟，可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
这种数值求解方法在工程领域和科学研究中得到了广泛应用，例如在航空航天、汽车工程、石油工程等领域。
Navier-Stokes方程的研究不仅仅局限于流体力学领域，它还与其他科学领域有着密切的联系。
例如，在天气预报和气候模拟中，Navier-Stokes方程被用来描述大气和海洋的运动规律。
在生物学中，Navier-Stokes方程也可以用来描述生物体内液体的流动和输运过程。
然而，Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多未解之谜。
其中一个著名的问题是Navier-Stokes方程的解的存在性和光滑性问题，即在一定条件下，是否存在唯一的解以及解的光滑性如何。
这个问题至今仍未完全解决，是数学界的一个重要问题之一。
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
虽然Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多困难和挑战，但通过数值方法和计算机模拟，我们可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
r0 r
1 2
r03 r3
v
U
sin
1
3 4
r0 r
1 4
r03 r3
（3-29）
p
p
3 2
Ur0 r2
cos
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第四节 低雷诺数流动
沿球面积分压强和切应力，可得总
阻力FD为
FD 6r0U
（3-30）
阻力系数
FD
CD
A 1 2
U 2
（3-31）
CD
二维楔形区域内的流动如图3-14所示。 流动由扩张角为2α的两壁面所限制，在
原点处的点源引起渐扩流动（点汇则引
起渐缩流动），
采用极坐标系，
则有
1 r
r
rvr
0
点源或点汇
O
r, vr
r
（参见附录C）（3-43） 图3-14 二维楔形流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
设相似速度剖面为
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
作业：p49 3-6
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
38
r02
FD 1 U 2 2
24
Ud0
24 Re
（3-32）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
vz x
vx z
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式： () 0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
动量在微元体表面的输入与输出
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
输入输出微元体的动量流量
x方向：
(
2 x
x
)
( y x
y
)
( z x
z
)
dxdydz
y方向：
( x y
x
)
( y 2
y
)
( z y
z
)
dxdydz
z方向：
( x z
x
)
(
y z
y
)
(
z
z
2
)
dxdydz
微元体内的动量变化率
流体的瞬时质量为 dxdydz
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生 伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。 • 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
或：
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 连续性方程 t x y z
目的
关键：寻求
流体应力与 变形速率之 间的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设： 为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性；
Y方向的表面力：
xy yy zy dxdydz y z x
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现以管道中心线为圆柱坐标系轴线, 并用x表示 (图3.1.3), 该方向速度为u.对于平行流动, 径向 和周向分速度为零, 故可按照与前面类似的讨论 得知 : u不随x变化, 只随径向位置r变化; 压力P不 dP 随r变化, 只随x变化, 且 常数.这时,由圆柱 dx 坐标系表示的动量方程[附录三, 式( A3.3.14c)] 可得 d 2 u 1 du dP 2 r dr dx dr
du dy
0
y h
由式(3.1.8)可知此条件对应于 dP U 2 dx 2 h B 1/ 2 1 当B 时, 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的 2 拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流.
3.哈根-泊肃叶流动
这是直圆管中的平行 流动。为保证是真正 的平行流动，需要满 足两个条件：第一， 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流（第七章）；第 二，管道足够长，以 形成充分发展了的管 道流(§10-6)。
若存在位函数 , 使 u grad 则由连续方程可得 u (grad ) 2 0 于是得 u (grad ) grad( ) 0
2 2 2
可见, 若此位函数 满足不可压无粘运动方程组 u 0 u 1 (u )u p t
h dP B U dx
2
图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B ＞0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个 槽道内速度为正值。当B＜0，压力沿流动方向增加，称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁 面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆 流的条件是
迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单 独求解温度（§2-4） 在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效，即本质上是层流解。 在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出， 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项 变为零。
2 h dP y u 1 2 dx h 可见速度剖面为抛物型.等式右端的负号表示速度指向压力 2
降低的方向若用 . umax 速度剖面可表示为
h 2 dP 表示中线上的最大速度, 则 2 dx
y 2 u umax 1 h
情况分别求解.
1.二维泊肃叶流动
对于两个平行直壁之间的定常二维流动, 方程(3.1.2)成为 dP d 2u 2 dx dy 若两平行壁面都是静止的, 如图3.1.1所示, 则边界条件 为 y h : u 0 其中2h为壁间距离.
由于P只是x的函数, 而u只是y的函数, 若要方程(3.1.3) 成立, 必须 dP d 2u 2 常数 dx dy 将此式对y积分, 考虑到边界条件(3.1.4), 则
2.库埃特流动
这是另一种平行直壁之间 的流动，其中一个直壁静 止不动，另一直壁在自身 所在平面内沿流向移动 （图3.1.2）。这时方程 (3.1.3)仍然成立，因而式 （3.1.5）也成立，但边 界条件应改为 y h : u 0 y h:u U 其中U 为上壁面平移速度.
方程(3.1.3)满足此边界条件的解为
2 U y h dP y u 1 1 2 h 2 dx h 当压力梯度为零时 2
U y u 1 2 h 这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这 简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度 的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B 有关
于是由不可压纳维 斯托克斯方程(2.2.8)关于y 和z向的分量可得P / y 0和P / z 0, 即压力 函数P只是坐标x和时间t的函数, P P (t , x).由平 行流定义式(3.1.1)可得, 动量方程(2.2.8)关于x向 的分量方程中平流项为零, 于是
2 2 u dP u u 2 2 t dx z y 此即关于u ( y, z , t )的线性微分方程以下分几种 .
本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。
Hale Waihona Puke 则它也满足对应的粘性方程组 u 0 u 1 (u )u p 2u t 因它使 u 0.
2
但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为， 若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数 可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。 所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有 物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动 时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际 意义的解（见§3-3）。
§3-1 平行定常流动中的 速度分布
平行流动是特别简单的一类流动, 其定义是只有一个速度分量 不为零, 所有流体微团沿同一方向运动不失一般性 . , 可设全流场 u v和w都为零, 则由不可压流量连续方程式(2.1.3)可知, 0,即 x 分量u不随x变化, 所以对于平行流可得 u u ( y, z , t ), v 0, w 0 设彻体力F 有势,即存在势函数H 使 F H 则可引入压力函数P, 使 P p H