2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第6节指数与指数函数教师用书教案理新人教版.doc
2022年高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数教案理
第 4 讲指数与指数函数【2022 年高考会这样考】1．考察指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考察指数的运算和函数图象的应用．3．以指数或指数型函数为命题背景，要点考察参数的计算或比较大小．【复习指导】1．娴熟掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以娴熟掌握这一基本技术是重中之重．2．本讲复习，还应联合详细实例认识指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决： 1 指数幂的运算； 2 指数函数的图象与性质基础梳理1．根式1 根式的观点假如一个数的n次方等于an＞1且， n∈N*，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若n ＝a，则叫做 a 的 n 次方根，此中n＞1且 n∈N*式子错误!叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数．2 根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时， a 的n 次方根用符号错误 ! 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号错误 ! 表示，负的n 次方根用符号－错误!表示．正负两个n 次方根能够合写为±错误 ! a ＞0．③错误 ! n＝a④当 n 为奇数时，错误!＝ a；当 n 为偶数时，错误!＝| a|＝错误!⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂1幂的相关观点①正整数指数幂：a n＝a· a· ·错误! n∈N*；②零指数幂： a0＝1a≠0；③负整数指数幂：a－＝错误! a＞0，m、 n∈N*，且 n＞1；⑤负分数指数幂：a－错误!＝错误!＝错误! a＞0， m、 n∈N*且 n＞1．⑥0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没存心义．2有理数指数幂的性质①a r a＝ a r＋a＞0， r 、∈Q②a r＝ a r a＞0，r 、∈Q③a b r＝ a r b r a＞0， b＞0， r ∈Q．3．指数函数的图象与性质＝ a a＞10＜a＜ 1图象定义域值域性质R0，＋∞过定点 0,1＜0 时， 0＜＜ 1＜0 时，＞ 1在－∞，＋∞上是减函数当＞ 0 时， 0＜＜ 1；当＞ 0 时，＞ 1；在－∞，＋∞上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是同样的，分数指数幂与根式能够互相转变，往常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两个防备1 指数函数的单一性是由底数a的大小决定的，所以解题时往常对底数a按： 0＜a＜ 1 和a＞1 进行分类议论．2换元时注意换元后“新元”的范围．三个要点点画指数函数＝aa＞0，且a≠1的图象，应抓住三个要点点：1，a， 0,1 ，错误 !双基自测1．2022·山东若点a, 9在函数＝ 3 的图象上，则tan错误 ! 的值为．A ． 0C ． 1分析由题意有a＝ 9，则a＝ 2，∴ tan错误 ! ＝ tan错误!＝错误! 3答案D2．2022·郴州五校联考函数 f ＝2|－1|的图象是．分析 f ＝错误!应选B答案B3．若函数f＝错误 ! ，则该函数在－∞，＋∞上是．A．单一递减无最小值B．单一递减有最小值C．单一递加无最大值D．单一递加有最大值分析设＝ f ， t ＝2＋1，则＝错误 ! ，t＝ 2＋ 1，∈－∞，＋∞t ＝2＋1在－∞，＋∞上递加，值域为1，＋∞．所以＝错误 ! 在 1，＋∞上递减，值域为0,1 ．答案A4．2022·天津已知a＝，b＝，c＝错误 ! ，则．A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞a＞b分析 c＝错误!＝5－＝5og3错误!，＞og22＝1，＜og44＝1，og3错误!＞og33＝1，又＞ og2错误 ! ＞ og3错误 ! ，∴ og2＞ og3错误 ! ＞ og4又∵＝ 5 是增函数，∴a＞c＞b答案C5．2022·天津一中月考已知a错误!＋a－错误!＝3，则 a＋ a－1＝______；a2＋ a－2＝________分析由已知条件 a错误!＋ a－错误!2＝9整理得： a＋ a－1＝7又 a＋ a－12＝49，所以 a2＋ a－2＝47答案7 47考向一指数幂的化简与求值【例 1】 ?化简以下各式此中各字母均为正数．1错误!；2错误 ! a错误 ! ·b－2·－ 3a－错误 ! b－1÷4a 错误!·b－3错误![ 审题视点 ]熟记有理数指数幂的运算性质是化简的要点．解 1原式＝错误!＝ a － 错误 ! － 错误 ! －错误 ! · b 错误 ! ＋错误 ! －错误 ! ＝错误 ! 2 原式＝－ 错误 ! a － 错误 ! b －3 ÷4a 错误 ! · b － 3错误 ! ＝－ 错误 ! a － 错误 ! b －3÷ 错误 !＝－ 错误 ! a － 错误 ! · b － 错误 !＝－错误!·错误! ＝－错误!化简结果要求1 若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；2 若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；3 结果不可以同时含有根号和分数指数幂，也不可以既有分母又有负指数幂．【训练 1】 计算：－2错误!1－错误 ! －错误 ! ＋错误 ! －错误 ! ；解 1原式＝错误 ! －错误 !－－ 1－2错误 !－2＋错误 !错误 !－1＝错误 ! －49＋错误 ! －1＝－ 452 原式＝ 错误 ! · a 错误 ! · a － 错误 ! · b 错误 !· b － 错误 ! ＝错误 ! a 0· b 0＝错误 !考向二指数函数的性质【例 2】 ?已知函数 f ＝错误 ! · 3a ＞ 0 且 a ≠1．1 求函数 f 的定义域；2 议论函数 f 的奇偶性；3 求 a 的取值范围，使f ＞ 0 在定义域上恒建立．[ 审题视点 ] 对分析式较复杂的函数判断其奇偶性要适合变形；恒建立问题可经过求最值解决．解 1 因为 a －1≠0，且 a ≠1，所以≠0 ∴函数 f 的定义域为 {| ∈ R ，且≠ 0} ．2 对于定义域内随意，有f －＝ 错误 ! －3＝ 错误 ! －3＝错误 ! －3＝ 错误 ! 3＝ f ，∴f 是偶函数．3 当 a ＞ 1 时，对＞ 0，由指数函数的性质知a ＞ 1，∴a － 1＞ 0，错误 ! ＋错误 ! ＞ 0又＞ 0 时， 3＞0，∴ 3错误 ! ＞ 0，即当＞ 0 时， f ＞ 0又由 2 知f为偶函数，即 f －＝ f ，则当＜ 0 时，－＞ 0，有f－＝f＞ 0 建立．综上可知，当a＞1时， f ＞0在定义域上恒建立．当 0＜a＜ 1 时，f＝错误 !当＞0时，1＞a ＞0，＋ 1＞0，aa－1＜0，3＞0，此时 f ＜0，不知足题意；当＜ 0 时，－＞ 0，f－＝f＜ 0，也不知足题意．综上可知，所求a 的取值范围是＞ 1a1 判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，此外，还可利用 f －± f ，错误!来判断．2将不等式恒建立问题转变为求函数值域问题，是解决恒建立问题的常用方法．【训练 2】设f＝错误 ! ＋错误 ! 是定义在 R上的函数．1f可能是奇函数吗2 若f是偶函数，试研究其在0，＋∞的单一性．解 1 假定f是奇函数，因为定义域为R，∴f－＝－ f ，即错误!＋错误!＝－错误!，整理得错误 ! e＋ e－＝ 0，即 a＋错误!＝0，即 a2＋1＝0明显无解．∴f不行能是奇函数．2 因为f是偶函数，所以 f －＝ f ，即错误 !＋错误 !＝错误!＋错误!，整理得错误 ! e－ e－＝ 0，又∵对随意∈ R 都建立，∴有a－错误!＝0，得 a＝±1当 a＝1时， f ＝e－＋e，以下议论其单一性，任取 1， 2∈0，＋∞且 1＜ 2，则 f 1－ f 2＝e1＋e－1－e2－e－2＝错误!，∵1 ，2∈0，＋∞且1＜ 2，∴e1＋2＞ 1， e1－e2＜ 0，∴ e1＋2－ 1＞ 0，∴f1－ f 2＜0，即 f 1＜ f 2，∴函数 f ＝错误!＋错误!，当 a＝1时在0，＋∞为增函数，同理，当 a＝－1时， f 在0，＋∞为减函数．考向三指数函数图象的应用【例 3】 ?2022·山东函数＝错误!的图象大概为．[ 审题视点]函数图象的判断要充足利用函数的性质，如奇偶性、单一性．分析＝错误 ! ＝1＋错误 ! ，当＞且跟着的增大而减小，即函数在答案A0 时， e2－ 1＞ 00，＋∞上恒大于且跟着的增大而增大，故＝1＋错误 ! ＞11 且单一递减，又函数是奇函数，应选A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，＝错误 ! ，＝ g10－ 1 等．比方：函数＝错误 ! ，【训练3】已知方程10＝ 10－， g ＋＝ 10 的实数解分别为α 和β，则α＋β 的值是________．分析作函数＝ f ＝10，＝ g＝g，＝ h＝10－的图象如下图，因为＝f 与＝ g 互为反函数，∴它们的图象是对于直线＝对称的．又直线＝ h 与＝垂直，∴＝ f 与＝ h 的交点 A 和＝ g 与＝ h 的交点 B 是对于直线＝对称的．而＝与＝ h 的交点为5,5．又方程10＝10－的解α为 A 点横坐标，同理，β 为B点横坐标．∴ 错误!＝5，即α＋β＝10答案10难点打破 3——怎样求解新情形下指数函数的问题高考取对指数函数的考察，常常突出新观点、新定义、新情形中的问题，题目除最基本问题外，着重考察一些小、巧、活的问题，突出考察思想能力和化归等数学思想．一、新情形下求指数型函数的最值问题的解法【示例】 ? 2022·福建五市模拟设函数＝ f 在－∞，＋∞内有定义．对于给定的正数，定义函数f K＝错误!取函数f＝ 2＋＋ e－，若对随意的∈－∞，K＋∞，恒有 f K＝ f ，则 K 的最大值为________．二、新情形下求与指数型函数相关的恒建立问题的解法【示例】 ? 若f1＝ 3|－1|，f2＝2·3|－a|，∈ R，且f＝错误 ! 则f＝f1对全部实数建立，则实数a 的取值范围是 ________．。
2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版
2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第6节指数与指数函数教案理新人教版年级：姓名：指数与指数函数[考试要求] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)n 次方根的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：a －mn ＝＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，a 是底数，指数函数的定义域为R .提醒：形如y ＝ka x，y ＝a x ＋k(k ∈R ，且k ≠0；a ＞0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 过定点(0,1)性质 当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)na n＝(na )n＝a . ( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a x 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) (4)若a m＜a n(a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________.2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2.]2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. －2x 2y [416x 8y 4＝42x 2y4＝|2x 2y |＝－2x 2y .]3．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a ，b ，c 的大小关系是________．c ＜b ＜a [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350，则a ＞b ＞1，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34＜⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴c ＜b ＜a .]4．某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为________．y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m ，x ∈N ) [当x ＝1时，y ＝a ＋ap %＝a (1＋p %)，当x ＝2时，y ＝a (1＋p %)＋a (1＋p %)p %＝a (1＋p %)2， 当x ＝3时，y ＝a (1＋p %)2＋a (1＋p %)2p %＝a (1＋p %)3， ……当x ＝m 时，y ＝a (1＋p %)m ，因此y 随年数x 变化的函数解析式为y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N )．]考点一 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．1．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________.－1679 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－105＋25－25＋2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]2．3．已知ab ＝－5，则a －b a＋b－a b＝________.0 [由ab ＝－5知a 与b 异号， ∴a－b a＋b－a b＝a－ab a 2＋b －ab b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.] 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12＝412. 考点二 指数函数的图象及其应用指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解[典例1] (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(0,1) [(1)由f (x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f (x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D．(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x 轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m 有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题变迁]1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．]2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1] [作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x|y＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x.[跟进训练]1．已知函数f (x)＝a x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )A．y＝1－x B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)A[易知A(1,1)．经验证可得y＝1－x的图象不经过点A(1,1)，故选A．] 2．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b ＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，而③④不可能成立．]考点三指数函数的性质及其应用比较指数式的大小比较幂值大小的三种类型及处理方法A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)A (2)B [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c ，故选A ．(2)设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数．又f (－y )＝2－y －5y，由已知得f (x )≤f (－y )，所以x ≤－y ，所以x ＋y ≤0.]点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．解简单的指数方程或不等式指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞ag (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．[典例2－2] (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x，x ≥0，2a －x，x ＜0，若f (1－a )＝f(a －1)，则a 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．(1)12 (2)(－3,1) [(1)当a ＜1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若a ＜0，则f (a )＜1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0；若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1. 综合可得－3＜a ＜1.]与指数函数有关的复合函数的单调性、值域1.与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t的单调性确定y ＝af (x )的值域．[典例2－3] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f (x )的值域为(0，＋∞)， 应使y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则y ＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.点评：形如y ＝af (x )(a ＞0)的函数的定义域就是函数y ＝f (x )的定义域． [跟进训练]1．若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18D ．[2，＋∞)B [2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2 ⇔2x 2＋1≤24－2x ⇔x 2＋1≤4－2x ， 解得－3≤x ≤1，∴2－3≤2x ≤2，即18≤y ≤2，故选B ．] 2．已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是________．f (a )＞f (b ) [a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714，则⎝ ⎛⎭⎪⎫9714＞⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，即a ＞b ， 又函数f (x )＝2x －2－x是R 上的增函数．∴f (a )＞f (b )．] 3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1的值域是________． (0,4] [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t . 因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为关于t 的减函数． 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．] 4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 [令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由x ∈[－3,2]得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34， 当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57，故所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.] 考点四 指数型函数的综合应用指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题． [典例3] 已知函数f (x )＝2a x －4＋a 2a x ＋a(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈[1,2]时，2＋mf (x )－2x ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2a －x －4＋a 2a －x ＋a ＝－2a x －4＋a 2a x ＋a，得a ＝2. (注：本题也可由f (0)＝0解得a ＝2，但要进行验证)(2)由(1)可得f (x )＝2·2x －22·2x ＋2＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， ∴函数f (x )在R 上单调递增．又2x ＋1＞1，∴－2＜－22x ＋1＜0， ∴－1＜1－22x ＋1＜1. ∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2x －12x ＋1＞0. 由题意得mf (x )＝m ·2x －12x ＋1≥2x －2在x ∈[1,2]时恒成立， ∴m ≥2x ＋12x －22x －1在x ∈[1,2]时恒成立． 令t ＝2x －1,1≤t ≤3，则有m ≥t ＋2t －1t ＝t －2t＋1. ∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2t ＋1max ＝103.∴m ≥103.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞. 点评：在指数型函数的综合应用中，把a x 看作一个整体，即令t ＝a x是常用的思维意识．[跟进训练] 已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域和值域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性．[解] (1)由a x＋1＞1知，f (x )的定义域为R ， f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， 由a x ＋1＞1得0＜2a x＋1＜2， ∴－1＜f (x )＜1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)因为f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1. 设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2ax 2＋1－2ax 1＋1＝.。
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.6.2指数函数2
一．课题：指数函数（2）二．教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4. 培养学生数学应用意识。
三．教学重点，难点：指数函数性质的运用四．教学过程：（一）复习：（提问）1．指数函数的概念、图象、性质2．练习：（1）说明函数34x y --=图象与函数4xy -=图象的关系； （2）将函数21()3x y =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；（3）画出函数1()2xy =的草图。
（二）新课讲解：例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .经过1年，剩留量y =1×84%=0.841；经过2年，剩留量y =1×84%=0.842；……一般地，经过x 年，剩留量0.84x y =，根据这个函数关系式可以列表如下： x 01 2 3 4 5 6 y 1 0.840.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数0.84y =的图象。
从图上看出0.5y =，只需4x ≈.答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2．比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.5 2.31.7,1.7（2）0.10.20.8,0.8-- （3）0.3 3.11.7,0.9 . （答案略）练习：习题2.6 第2题（口答）．例3．求下列函数的定义域、值域：（1）1218x y -= （2）11()2x y =- （3）3x y -= （4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．解：（1）210x -≠Q ∴12x ≠原函数的定义域是1{,}2x x R x ∈≠， 令121t x =- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)t y t R t =∈≠得0,1y y >≠， 所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．（2）11()02x -≥Q ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞， 令11()2x t =-(0)x ≥ 则01t ≤<，y =Q [)0,1是增函数 ∴01y ≤<，所以，原函数的值域是[)0,1．（3）原函数的定义域是R ， 令t x =- 则0t ≤，3t y =Q 在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，所以，原函数的值域是(]0,1．（4）原函数的定义域是R ， 由1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+得11x y a y +=--， 0x a >Q ∴101y y +->-， ∴11y -<<， 所以，原函数的值域是()1,1-．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
指数与指数函数第一轮复习_2022年学习资料
第二章函数概念与基本初等函数I-§2.5指数与指数函数内容-索引-基础知识-自主学习-题型分类-深度剖析-思想与方法系列-思想方法-感悟提高-练出高分基础知识自主学习指数与指数函数第一轮复习ppt课件知识梳理-1.分数指数幂-n-m-1规定：正数的正分数指数幂的意义是an-a>0,m,n∈N*,-且n>1;正数的负分数指数幂的意义是an-n d -a>0,m,n∈N,-且>1；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义，-2有理数指数幂的运算性质：a'as=a+s,as=as,ab”=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q:-答案2.指数函数的图象与性质-y=ax-a>1-0<a<1-ly=a*-0y=1-0.y=1-01-定义域-1R-答案值域-20,+∞-3过定点0.1-4当x>0时，y>1;5当x>0时，0<y<1;-当x<0时，0≤y≤1-当x<0时，y>1-性质-6在-∞，+上-7在-∞，+∞上是-是增函数-减函数-答案思考辨析-判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）-1a=a=a.×）-2分数指数幂a可以理解为个a相乘×-3-4=-102=1.×-4数y=a-'是R上的增函数.×-5函数y=a+1a心1的值域是0，+∞.×-6函数y=2-1是指数函数.×-答案2-考点自测-1.若a=2+V31,b=2-V31,则a+12+b+12的值是D-A.1-B.4-c-解析.a=2+V31=2-V3,b=2-V3 =2+V3,-.a+12+b+12=3-V32+3+V32-=12-63+12+63=3-解析答案2.函数y=-的图象可能是D-1-解析！-因为当x=1时，y=0,所以图象过点P1,0.故选D.-解析答案3.已知0.2m<0.2n,则m>n填“>”或“<”-解析设f代x=0.2x,fx为减函数，-由已知fm<fn,-..m>n.-12344①-解析案4.若函数y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，则实数a的取值范围-是-V2,-1U1,2-解析由y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，-得0<a2-<1,∴.1<a2<2,-即1<a<V2或-V2<a<-1.-解析答案。
通用版2022届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件
(2)(多选题)已知实数 a，b 满足等式12a＝13b，则下列五个
关系式中不可能成立的是( )
A.0<b<a
B.a<b<0
C.0<a<b
D.b<a<0
解析：设12a＝13b＝m，m>0，
所以 a＝log 1 m，b＝log 1 m，
2
3
当 m＝1 时，a＝b＝0，
当 0<m<1 时，0<b<a，
1
比较 1＝a0， 3 a ＝a 3 ，aa 的大小，底数相同，考查指数函
数 f(x)＝ax，0<a<13，单调递减，
而
0<a<13，所以
1＝a0>aa>
3
a
1
＝a 3 ，
所以 a<aaa <a 3 a .
答案：D
⊙分类讨论与数形结合思想的应用 [例 3](1)在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax＋a 与 y＝ ax 的图象大致是( )
两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)， 不等式 2x >x＋1 的解为 x<0 或 x>1.
所以不等式 f(x)>0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞). 故选 D.
答案：D
图 D4
5.(2020 年天津)设 a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则 a，b， c 的大小关系为( )
A.(－∞，－3]
B.[－3，0)
C.[－3，－1]
D.{－3}
解析：当 0≤x≤4 时，f(x)∈[－8，1]； 当 a≤x<0 时，f(x)∈－12a，－1， ∴－21a，－1⊆[－8，1]，
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数学案理含解析北师大版202107
第五节指数与指数函数命题分析预测学科核心素养本节在高考中的考查热点有：（1）比较指数式的大小；（2）指数函数的图像与性质的应用；（3）以指数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用.以选择题和填空题为主，难度中等.本节通过指数运算、指数函数的图像及性质考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第26页知识点一根式与指数幂的运算1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N＋当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数na零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数±na（a>0）负数没有偶次方根（1）na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a<0）n为偶数；（2）（na）n＝a（注意a必须使na有意义）.（1）幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝na m（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；②负分数指数幂：a＝1amn＝1na m（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；③（ab ）r ＝a r b r （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）. •温馨提醒•在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.1.（易错题）化简4a 23·b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a b 23的结果为（ ） A.－2a3bB.－8abC.－6a bD.－6ab 解析：原式＝4÷⎝⎛⎭⎫－23a b＝－6ab －1＝－6ab.答案：C 416x 8y 4（x ＜0，y ＜0）＝__________.解析：因为x ＜0，y ＜0，所以416x 8y 4＝（16x 8·y 4）14＝（16）14·（x 8）14·（y 4）14＝2x 2|y |＝－2x 2y . 答案：－2x 2y知识点二 指数函数的图像与性质0<a <1a >1图像性质定义域：R 值域：（0，＋∞）当x ＝0时，y ＝1，即过定点（0，1）当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 在R 上是减函数在R 上是增函数•指数函数y ＝a x （a >0，a ≠1）的图像和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为（ ） A.y ＝a （1＋p %）x （0＜x ＜m ） B.y ＝a （1＋p %）x （0≤x ≤m ，x ∈N ） C.y ＝a （1＋xp %）（0＜x ＜m ） D.y ＝a （1＋xp %）（0≤x ≤m ，x ∈N ）解析：由题意可知，y ＝a （1＋p %）x ，其中0≤x ≤m ，x ∈N . 答案：Bf （x ）＝a x －1a（a ＞0，a ≠1）的图像可能是（ ）解析：当a ＞1时，将y ＝a x 的图像向下平移1a 个单位长度得f （x ）＝a x －1a 的图像，A ，B 都不符合；当0＜a ＜1时，将y ＝a x 的图像向下平移1a 个单位长度得f （x ）＝a x －1a 的图像，而1a 大于1. 答案：D3.（易错题）若函数f （x ）＝a x 在[－1，1]上的最大值为2，则a ＝__________. 解析：当a ＞1时，a ＝2；当0＜a ＜1时a －1＝2，即a ＝12.答案：2或12授课提示：对应学生用书第27页题型一 指数函数的图像及应用f （x ）＝1－e |x |的图像大致是（ ）解析：由f（x）＝1－e|x|是偶函数，其图像关于y|x|≥1，所以f（x）的值域为（－∞，0]，排除C.答案：Af（x）＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f（a）＞f（c）＞f（b），则必有（）A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b＞0，c＞0－a＜2c D.1＜2a＋2c＜2解析：作出函数f（x）＝|2x－1|的图像如图所示，因为a＜b＜c，且有f（a）＞f（c）＞f（b），所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.答案：D函数解析式识别函数图像的选择题，可以考虑应用特值法.2.对于与指数函数的图像有关的问题，一般从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.[注意] 当底数a 与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.题型二 指数函数的性质及应用高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中、低档题.常见的命题角度有：（1）比较指数式的大小；（2）与指数函数有关的函数值域问题；（3）探究指数型函数的性质.[例1] （1）（2020·高考全国卷Ⅱ）若2x －2y ＜3－x －3－y ，则（ ） A.ln （y －x ＋1）＞0 B.ln （y －x ＋1）＜0 C.ln|x －y |＞0D.ln|x －y |＜0（2）若偶函数f （x ）满足f （x ）＝2x －4（x ≥0），则不等式f （x －2）＞0的解集为__________. [解析] （1）∵2x －2y ＜3－x －3－y ，∴2x －3－x ＜2y －3－y . ∵y ＝2x－3－x＝2x－⎝⎛⎭⎫13x在R 上单调递增，∴x ＜y ，∴y －x ＋1＞1，∴ln （y －x ＋1）＞ln 1＝0. （2）f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝f （－x ）＝2－x －4.∴f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f （x －2）＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.∴不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}. [答案] （1）A （2）{x |x ＞4或x ＜0}1.比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造同一幂函数，利用图像比较大小.2.有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解. 考法（二） 与指数函数有关的值域问题 [例2] （1）函数y ＝16－2x 的值域是（ ） A.[0，＋∞） B.[0，4] C.[0，4）D.（0，4）（2）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为__________. [解析] （1）函数y ＝16－2x 中，∵16－2x ≥0，∴2x ≤x ∈（0，16]，∴16－2x ∈[0，16）.故y ＝16－2x ∈[0，4）.（2）设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f （t ）＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，∴0≤f （t ）≤14，故当x ≥0时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. [答案] （1）C （2）⎣⎡⎦⎤－14，14形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c （a >0，且a ≠1）型函数的最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的X 围. 考法（三） 指数函数性质的应用[例3] 已知函数f （x ）＝a |x ＋b |（a ＞0，且a ≠1，b ∈R ）. （1）若f （x ）为偶函数，求b 的值；（2）若f （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数，试求a ，b 应满足的条件. [解析] （1）因为f （x ）为偶函数， 所以对任意的x ∈R ，都有f （－x ）＝f （x ）， 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.（2）记h （x ）＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数，即h （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2；②当0＜a ＜1时，f （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数，即h （x ）在区间[2，＋∞）上是减函数，但h （x ）在区间[－b ，＋∞）上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数.所以f （x ）在区间[2，＋∞）上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.与指数有关的核心素养（一）数学抽象、数学运算——指数运算的实际应用[例1]（2019·高考全国卷Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝（R ＋r ）M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为（ ） A.M 2M 1R B.M 22M 1R C. 33M 2M 1RD. 3M 23M 1R[解析] 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r2＝（R ＋r ）M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈3M 23M 1， ∴r ＝αR ≈3M 23M 1R .[答案] D高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程，求近似值的内容.让学生感觉数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. （二）创新应用——指数函数图像与性质的综合应用 [例2] 已知函数f （x ）＝e |x |，函数g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x ＞4，对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1），都有f （x －2）≤g （x ），则m 的取值X 围是（ ） A.（1，2＋ln 2） B.⎝⎛⎭⎫2，72＋ln 2 C.（ln 2，2]D.⎝⎛⎦⎤1，72＋ln 2 [解析] 作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g （x ）的图像（图略），可知当x ＝1时，y 1＝g （1），当x ＝4时，y 1＝e 2＜g （4）＝e 4，当x ＞4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72m ＞1，所以1＜m ≤72＋ln 2.[答案] D处理指数函数图像与性质的综合应用问题：一是要强化数形结合思想的运用，注意逻辑推理与数学运算能力.二是要强化分类讨论思想与等价转化思想的应用.[题组突破]1.（2020·高考全国卷Ⅲ）I （t ）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）＝K1＋e －0.23（t －53），其中KI （t *K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln 19≈3）（ ）解析：因为I （t ）＝K 1＋e －0.23（t －53），所以当I （t *K 时，K ⇒⇒1＋＝10.95⇒e －0.23（t *－53）＝10.95－1⇒（t *－53）＝19⇒（t *－53）＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66. 答案：C2.（2021·某某模拟）若“m ＞a ”是“函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为（ ） A.－2 B.－1解析：因为f （0）＝m ＋23，且函数f （x ）的图像不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23，因为“m ＞a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，所以a ＜－23，则实数a 能取的最大整数为－1. 答案：B。
高三数学高考考前复习指数与指数函数教案
学习必备欢迎下载第二章指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络基本初等函数 ( Ⅰ )函数的应用指数函数对数函数幂函数函数的零点整数指数幂函数与方程定义有理指数幂指数对数运算性质二分法无理指数幂指数函数对数函数函数模型及其应用互为反函数几类不同增长的函数模型定义定义用已知函数模型解决问题图像与性质图像与性质建立实际问题的函数模型二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数y a x与对数函数y log a x 互为反函数（a＞0，a≠1）。
4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 .5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
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指数与指数函数[考试要求] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)n 次方根的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)． ②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n＝＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，a 是底数，指数函数的定义域为R .提醒：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 过定点(0,1)性质当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a x 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)． ( )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.]2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. －2x 2y [416x 8y 4＝4(2x 2y )4＝|2x 2y |＝－2x 2y .]3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－13，b ＝⎝⎛⎭⎫35－14，c ＝⎝⎛⎭⎫32－34，则a ，b ，c 的大小关系是________． c ＜b ＜a [∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫35－13＞⎝⎛⎭⎫35－14＞⎝⎛⎭⎫350， 则a ＞b ＞1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34＜⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c ＜b ＜a .]4．某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)[当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，……当x＝m时，y＝a(1＋p%)m，因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]考点一指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．1．计算：⎝⎛⎭⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________.－1679[原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋50012－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]2．3．已知ab ＝－5，则a－b a ＋b －ab＝________. 0 [由ab ＝－5知a 与b 异号， ∴a－b a＋b －a b＝a －ab a 2＋b －ab b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.] 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如⎝⎛⎭⎫14－12＝412.考点二 指数函数的图象及其应用指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解[典例1] (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(0,1) [(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.故选D ．(2)曲线y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题变迁]1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．]2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1] [作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x|y＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x.[跟进训练]1．已知函数f(x)＝a x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A．y＝1－x B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)A[易知A(1,1)．经验证可得y＝1－x的图象不经过点A(1,1)，故选A．]2．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，而③④不可能成立．]考点三指数函数的性质及其应用比较指数式的大小比较幂值大小的三种类型及处理方法A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)A(2)B[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A．(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．解简单的指数方程或不等式指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞a g (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )； 当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．[典例2－2] (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．(1)12 (2)(－3,1) [(1)当a ＜1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若a ＜0，则f (a )＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0； 若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1. 综合可得－3＜a ＜1.]与指数函数有关的复合函数的单调性、值域1.与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a ＞1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；(2)若0＜a ＜1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”．形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t 的单调性确定y ＝af (x )的值域．[典例2－3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f (x )的值域为(0，＋∞)， 应使y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则y ＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.点评：形如y ＝af (x )(a ＞0)的函数的定义域就是函数y ＝f (x )的定义域． [跟进训练]1．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( ) A ．⎣⎡⎭⎫18，2 B ．⎣⎡⎦⎤18，2 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，18 D ．[2，＋∞)B [2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2 ⇔2x 2＋1≤24－2x ⇔x 2＋1≤4－2x ， 解得－3≤x ≤1，∴2－3≤2x ≤2，即18≤y ≤2，故选B ．]2．已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是________． f (a )＞f (b ) [a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714，则⎝⎛⎭⎫9714＞⎝⎛⎭⎫9715，即a ＞b ， 又函数f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数． ∴f (a )＞f (b )．]3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －1的值域是________． (0,4] [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t.因为0＜12＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数． 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12t≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．⎣⎡⎦⎤34，57 [令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，由x ∈[－3,2]得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， 当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57，故所求值域为⎣⎡⎦⎤34，57.] 考点四 指数型函数的综合应用指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．[典例3] 已知函数f (x )＝2a 2a x ＋a (a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈[1,2]时，2＋mf (x )－2x ≥0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2a －x －4＋a 2a －x ＋a ＝－2a x －4＋a 2a x ＋a，得a ＝2. (注：本题也可由f (0)＝0解得a ＝2，但要进行验证)(2)由(1)可得f (x )＝2·2x －22·2x ＋2＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， ∴函数f (x )在R 上单调递增．又2x ＋1＞1，∴－2＜－22x ＋1＜0， ∴－1＜1－22x ＋1＜1. ∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2x －12x ＋1＞0. 由题意得mf (x )＝m ·2x －12x ＋1≥2x －2在x ∈[1,2]时恒成立， ∴m ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1在x ∈[1,2]时恒成立． 令t ＝2x －1,1≤t ≤3，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1. ∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数， ∴⎝⎛⎭⎫t －2t ＋1max ＝103.∴m ≥103. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞. 点评：在指数型函数的综合应用中，把a x 看作一个整体，即令t ＝a x 是常用的思维意识．[跟进训练]已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域和值域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性．[解] (1)由a x ＋1＞1知，f (x )的定义域为R ，f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， 由a x ＋1＞1得0＜2a x ＋1＜2， ∴－1＜f (x )＜1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)因为f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝(a x ＋1)－2a x ＋1＝1－2a x ＋1. 设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2ax 2＋1－2ax 1＋1＝.。