必修二圆与方程复习
高中数学必修二第四章圆与方程_2023年学习资料
的阿题思考-[解析]1t=0时，方程x一a2+0y一b2=就表示点a,-b,此时不表示圆-②由方程+y+D ++F=0,配方得-2+-5-2_D2+E2-4F-由此可见只有在D+E2一4F>0时才能叫做圆-的一般方 ：而当D+E2-4=0时，表示点分-引当-D2+E2一4F<0时不表示任何图形.-。
问题思考-问题4已知点Ax1,y1,B2,y2,则以AB为直径的-圆的方程是x一x1x一x2十y一y10一 2=0.-[答案]对-[解析]设圆上异于A,B的任意一点M的坐标为x,y,-根据圆的性质A⊥B,根据平面向 知识A·MB=0,把坐-标代入即是方程x一x1x一x2十y一y1y一y2=0.由点A,B-的坐标要适合方程 一x1c一x2十心y一y10y一y2=0,故得以-AB为直径的圆的方程是x一x1c一x2十0y一y1y一y =0.
要点探究-方法2：设圆的方程为x一2十y一b2=r2,则--1-02+5-b2=r2,-[u=2,--22+-2-b2=r2,=-→3b=1,-5-2+5-b2=r2,-r=5.-∴.圆的方程为x-22+0y2=25,即x2+y2-4x一2y-20-=0.
弟学入-要点探究-方法3：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中-垂线方程为x十y一3=0，.圆心 是两中垂线的交点2,1，∴.-半径r=4P列=V2+12+1-52=5,∴.所求的圆的方程为x一-22+y 12=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.
要点探究-[解析]1方法1：设圆的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0,-4+-32+2D+E-3十F=0 -则--22+-52+-2D+-5E+F=0,-9-2-到-3=0-D=2,-E=4,-F=-5.-.圆的 程为x2+y2+2x十4y一5=0，
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
高中数学必修二-圆与方程_小结与复习
所以 x＋y 的最大值与最小值分别为 6＋2 3与 6－2 3.
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利 用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者 有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到 意想不到的效果． 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图 形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的 作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何 性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质： (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心 的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、 圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点 等等．
又因为圆心在直线 x y 2 0 上,解得圆心为1,1.
所以， r2 (11)2 [1 (1)]2 4.
所以，圆的方程为 x 12 y 12 4 .
【解答】 方法一： 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线 x－y＝0 的距离为|a－b|，
2
∴r2＝(|a－b|)2＋( 7)2，即 2r2＝(a－b)2＋14 ①； 2
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直 于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、 半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理． (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定 经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
联立④⑤⑥，解得 D＝－6，E＝－2，F＝1 或 D＝6，E＝2，F＝1．
故所求圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三：
∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上，且与 y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为 C(3a，a)，半径为 r＝3|a|， 又圆在直线 y＝x 上截得的弦长为 2 7， 圆心 C(3a，a)到直线 y＝x 的距离为 d＝ |3a－a| ，
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
新课标人教A版高中数学必修二第四章圆与方程单元复习
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15
2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配 方 展 开
标准方程(圆心,半径)
3.配方法求解：给出圆的一般方程,如何求圆心和 半径.
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4
4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
示意图形
交点个数
方程组消 元后
圆心到直线 d与r关系
相 切
1
Δ= 0 1根
d=r
相 交
2
Δ> 0 2根
第四章 圆与方程
4.1圆的方程 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系
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1
要点总结
4.1圆的方程
4.1.1圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心位置、半径. 2.圆的标准方程： (x a2)(y b2)r2
3.圆心在原点的圆的标准方程： x2y2 r2
4.判断点与直线的位置关系：点到圆心的距离与半径 的大小关系.
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高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a2)(y b2)r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
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2.直线与圆的位置关系，及圆与圆位置关系 的判定.
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3.空间两点间距离公式的应用.
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 z
d<r
相 离
0
Δ< 0 无根
d>r
(完整版)高中数学必修2圆与方程复习
第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②kk ，得到方程【一定两解】程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第四章圆与方程一、选择题1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()．A．5B．5 C．25 D．102．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝194．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．A．0或2 B．2 C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．A．8 B．6 C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是()．A．3 B．2 C．1 D．010．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．A．243B．221C．9 D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．第四章 圆与方程参考答案一、选择题1．B 圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋5－2)()(＝5． 2．C 解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ．解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 3．B 解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)，∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16． 4．B 解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切，∴(0，0)到直线距离等于m ．∴2m ＝m ，∴m ＝2．5．A 解析：令y ＝0，∴(x －1)2＝16．∴ x －1＝±4，∴x 1＝5，x 2＝－3．∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B 解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ．7．A 解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得(x －1)2＋y 2＝6， (x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)．直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0．8．C 解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ．9．C 解：①②③错，④对．选C ．10．D 解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝58＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2．12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1． 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1．13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25． 当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离；16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则直线方程为x ＋y －4＝0． 三、解答题 17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设 所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5152r，所 以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．18．x2＋y2－ax－by＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．∵圆过(a，0)和(0，b)，∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．又∵a≠0，b≠0，∴D＝－a，E＝－b．故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．19．x2＋y2－2x－12＝0．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵A，B两点在圆上，代入方程整理得：D－3E－F＝10 ①4D＋2E＋F＝－20 ②设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴b1＋b2＝－E；令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．由已知有－D－E＝2．③①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．所以圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．根据题意：r＝2610＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．。
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优秀总结计划
第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到必定点的距离等于定长的点的会合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设 M （x,y ）为⊙ A 上随意一点，则圆的会合能够写作：P = { M | |MA| = r }★2、圆的方程（ 1）标准方程x a 2 y b 2 r 2，圆心a,b ，半径为 r ；点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的地点关系：当( x0 a) 2 ( y0 b)2>r2，点在圆外; 当 ( x0 a)2 ( y0 b) 2=r2，点在圆上当 ( x a) 2 ( y0 b)2<r2，点在圆内;（ 2）一般方程x2 y 2 Dx Ey F 0（x+D/2) 2+(y+E/2) 2=(D 2+E2-4F)/4 （ D 2 E 2 4F 0 ）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为 D , E ，半径为 r 1 D2 E 2 4F2 2 2当 D 2 E 2 4F 0 时，表示一个点；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形。
（ 3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确立一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；直接法：直接依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
此外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确立圆心的地点。
★3、直线与圆的地点关系：直线与圆的地点关系有相离，相切，订交三种状况：（ 1 ）设直线l : Ax By C 02 22，圆心 C a, b 到l 的距离为，圆 C : x a y brAa Bb C，则有 d r l与 C相离； d r l 与 C相切； d rl与 C订交dB 2A2（ 2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不一样的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个同样的解，带入切线方程，获得一条切线；接下来考证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线必定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0， y0) ，则过此点的切线方程为0 0-b)(y-b)= r 2(x -a)(x-a)+(y两圆的地点关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ 1+ｒ2 4 条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3 条订交| ｒ1-ｒ2| ＜ｄ＜ｒ1+2 条ｒ2内切ｄ＝ | ｒ1-ｒ2| 1 条内含ｄ＜ | ｒ1-ｒ2| 0 条★4、圆与圆的地点关系：经过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确立。
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必修2 第四章 圆与方程复习
一、知识点归纳
（一）．圆的两种方程
（1）圆的标准方程
222()()x a y b r -+-=，表示_____________．
（2）圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x ．
①当D 2＋E 2
－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2
E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+
F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．
（二）．点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． （三）．直线与圆的位置关系
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________；
（3）当r d <时，直线l 与圆C ________．
（四）．圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；
（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．
二、基本题型
题型一：求圆的方程
例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．
【方法总结】求圆的方程有两种常用方法：直接法与待定系数法，根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法，若有三个条件则选用待定系数法。
题型二：弦长、弧问题
例2、求直线063:=--y x l 被圆042:2
2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
变式练习：1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 2、求两圆0222=-+-+y x y x 和52
2=+y x 的公共弦长
题型三：圆的切线问题
例3 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．
【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。
变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．
题型四：直线与圆的位置关系
例4、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.
变式练习：若直线m x y +=与曲线24x y -=
有且只有一个公共点，求实数m 的取值范
围.
题型五：圆与圆的位置关系 例5、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2
22=++-+y x y x C 的位置关系，
变式练习：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
题型六：圆中的对称问题
例6、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
题型七：与圆有关的动点轨迹问题
例7.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2
214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
题型八：圆中的最值问题
例8：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
【思想方法】
1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决
2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．
【自我检测】
1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ ）．
（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4
2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）．
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）．
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a
4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）． (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5
5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．
(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x
6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）．
(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-1
7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）． (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= （D ）x y 3
3-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．
(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=4
9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）． (A) 6π (B)4π (C)3π （D ）2
π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与
该圆的位置关系是（ ）．
(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D ）相切或相交
11.已知圆0242
2=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．
12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。