第八章复习题答案

1 = 0. xy
1 (2) lim (1 + ) x → +∞ x y →a .
x2 x+ y
1 解： lim (1 + ) x → +∞ x y→ x )
x → +∞ y→ a
x⋅
x x+ y
= e1 = e
4.求下列函数的偏导数.
y (1) z = arctan x
(2) z = (1+ xy) y
∂z 解： = y (1 + xy ) y −1 y = y 2 (1 + xy ) y −1 , ∂x ∂z ∂ y ln(1+ xy ) = (e ) ∂y ∂y x y ln(1+ xy ) =e [ln(1 + xy ) + y ] 1 + xy xy y = (1 + xy ) [ln(1 + xy ) + ] 1 + xy
8.求下列函数的偏导数。 求下列函数的偏导数。 （）z = f ( x2 − y2 , e xy ) 1
解 若设 u = x 2 − y 2 , v = e xy，则函数的复合结构为 u x z 利用复合函数微分法，有 v y
∂z = f u′ ⋅ 2 x + f v′ ⋅ e xy ⋅ y = 2 x f u′ + ye xy f v′, ∂x ∂z = f u′ ( − 2 y ) + f v′ ⋅ e xy ⋅ x = − 2 y f u′ + xe xy f v′. ∂y
1.确定下列函数的定义域：
（1） u = arcsin x2 + y2 z
x2 + y2 当 z > 0时， z ≤ x 2 + y 2 ≤ z , − ≤1 解：由 解出 z 当 z < 0时， z ≤ x 2 + y 2 ≤ − z , z≠0 所以，定义域为包含圆 锥面在内的圆锥体，但 不包含圆锥体 的顶点 O ( 0,0,0 ).
y （）z = xf (xy, ) 3 x
解：所给函数是以两个函数乘积的形式出现，所以 先用乘法的微分法则 ∂z ∂ y ∂ y = ( x) ⋅ f ( xy, ) + x ⋅ ( f ( xy, )) ∂x ∂x x ∂x x y ∂ y = 1 ⋅ f ( xy, ) + x ⋅ ( f ( xy, )) x ∂x x y 其中若设u = xy, v = ，则 x ∂ y −y y ′ y + f v′ 2 = yf u′ − 2 f v′, ( f ( xy, )) = f u ∂x x x x ∂z y y = f (u , v) + x( yf u′ − 2 f v′) = f (u , v) + xyf u′ − f v′, 所以 ∂x x x ∂z ∂ y 1 = x ( f ( xy, )) = x( f u′x + f v′ ) = x 2 f u′ + f v′. ∂y ∂y x x
∂2 z ∂ 2 z ∂2 z (2)设z = f (2x − y, y sin x), 其中 (u, v)具有二阶连续偏导数， . f 具有二阶连续偏导数， 2 , 2 , 求 ∂x ∂y ∂x∂y
解：若设u = 2 x − y, v = y sin x, 则z = f (u , v ), 函数的结构 z ∂z ∂z = 2 f u′ + y cos xf v′, = − f u′ + sin xf v′, ∂x ∂y ∂2z ∂ = (2 f u′ + y cos xf v′) 2 ∂x ∂x ′′ ′′ ′′ ′′ = 2( f uu ⋅ 2 + f uv y cos x) − y sin xf v′ + y cos x( f vu 2 + f vv y cos x ) ′′ ′′ ′′ = 4 f uu + y 2 cos 2 xf vv + 4 y cos xf uv − y sin xf v′, ∂2z ∂ ′′ ′′ ′′ ′′ (− f u′ + sin xf v′) = −( f uu ( −1) + f uv sin x ) + sin x ( f vu ( −1) + f vv sin x ) = 2 ∂y ∂y ′′ ′′ ′′ = f uu + sin 2 xf vv − 2 sin xf uv , ∂2z ∂ (2 f u′ + y cos xf v′) = ∂x∂y ∂y ′′ ′′ ′′ ′′ = 2( f uu (−1) + f uv sin x ) + cos xf v′ + y cos x[ f vu ( −1) + f vv sin x ] ′′ ′′ ′′ = −2 f uu + y sin x cos xf vv + ( 2 sin x − y cos x ) f uv + cos xf v′.
1 2 y2 − 4x2 2 . 设函数 f ( , ) = , 求 f ( x , y ), f ( x + y , x − y ). x y 4 xy
1 2 1 2 ,v = ,则 x = ,y = , 解：设 u = x y u v 2 1 ( )2 − 4( )2 u2 − v2 v v = 于是 f ( u , v ) = , 1 2 2 uv 4⋅ ⋅ u v x2 − y2 所以 f ( x , y ) = , 2 xy (x + y)2 − (x − y)2 2 xy f (x + y, x − y) = = 2 2 ( x + y )( x − y ) x − y
2 u （ ） = f ( x, y, z), 而y = ϕ( x), z = ln( x2 + y2 ).
解：函数的复合结构为 u x y z x y
x
函数u通过中间变量 x, y, z是x的一元复合函数，此时 出现 du 全导数 为 dx du dy dz ′ + f y′ ⋅ ′⋅ = fx + fz dx dx dx dy 2x + 2 y dx = f x′ + f y′ϕ ′ + f z′ ⋅ 2 x + y2 2( x + yϕ ′) ′ + ϕ ′f y′ + 2 = fx f z′. 2 x +y
1 xy sin 2 , x2 + y2 ≠ 0, ′ ′ 5. 设f ( x, y) = 求f x ( x, y), f y ( x, y). x + y2 0 , x2 + y2 = 0, 1 1 − 2x 解： x 2 + y 2 ≠ 0时，f x′( x, y) = y sin 2 当 + xy cos 2 ⋅ 2 , 2 2 2 2 x +y x + y (x + y ) f (0 + ∆x,0) − f (0,0) x 2 + y 2 = 0时， f x′(0,0) = lim = 0. ∆x→0 ∆x 1 2x 2 y 1 −⋅ 2 cos 2 , x 2 + y 2 ≠ 0, y sin 2 ∴ f x′( x, y) = x + y 2 (x + y 2 )2 x + y2 0 , x 2 + y 2 = 0, 1 2 xy 2 1 −⋅ 2 cos 2 , x 2 + y 2 ≠ 0, x sin 2 同理 f y′ ( x, y) = x + y 2 (x + y 2 )2 x + y2 0 , x 2 + y 2 = 0.
y x （ ）z = f (xy) + g(x − y) 4 x y
解：所给函数是以两项相加 的形式出现，所以先用 加法 ∂z ∂x 的微分法则，然后再用 乘法的微分法则。 ∂ y ∂ x ( f ( xy )) + ( g ( x − y )) = ∂x x ∂x y y y 1 x = − 2 f ( xy ) + f ′( xy ) y + g ( x − y ) + g ′( x − y ) ⋅ 1 x y y x y 1 ′( xy ) − f ( xy )] + [ g ( x − y ) + xg ′( x − y )]. = 2 [ xy f y x ∂ y ∂ x = ( f ( xy )) + ( g ( x − y )) ∂y x ∂y y 1 y −x x = f ( xy ) + f ′( xy ) x + 2 g ( x − y ) + g ′( x − y )( − 1) x x y y 1 x ′( xy )] − 2 [ g ( x − y ) + yg ′( x − y )]. = [ f ( xy ) + xy f x y
2
.
3.求下列极限 求下列极限. 求下列极限
( 1 ). lim ( x 2 + y 2 ) sin
x→ 0 y→ 0
2 2
1 xy
1 解 因为 lim( x + y ) = 0, 而 sin ≤ 1, x →0 xy y →0 所以， ( x 2 + y 2 ) sin lim
x →0 y →0
∂z ∂y
计算下列各式： 9.计算下列各式： ∂2 z ∂2 z ∂2 z z f 具有二阶连续导数， 1 . （）设 = f [ xy + ϕ( y)], 其中 (u),ϕ( y)具有二阶连续导数，求 2 , 2 , ∂x ∂y ∂x∂y
解：若设 u = xy + ϕ ( y ), 则 z = f (u )函数的结构为 ∂z ∂z = y f ′(u ), = f ′(u )[ x + ϕ ′( y )] = [ x + ϕ ′( y )] f ′(u ) ∂x ∂y ∂2z ∂ = ( yf ′(u )) = yf ′′(u ) ⋅ y = y 2 f ′′(u ). ∂x 2 ∂x ∂ ∂2z = ([ x + ϕ ′( y )] f ′(u )) 2 ∂y ∂y = ϕ ′′( y ) f ′(u ) + [ x + ϕ ′( y )] f ′′(u )[ x + ϕ ′( y )] = ϕ ′′( y ) f ′(u ) + [ x + ϕ ′( y )] 2 f ′′(u ). ∂2z ∂ = ( y f ′(u )) = f ′(u ) + yf ′′(u )[ x + ϕ ′( y )] ∂x∂y ∂y = f ′(u ) + y[ x + ϕ ′( y )] f ′′(u ).