广义相对论入门02-广义相对论的数学基础(上)20160506

dx′µ
=
∂x′µ ∂xα
dxα
∂x′µ
若
∂xα
≠ 0或∞ ，则有逆变换
并且有
dxα
=
∂xα ∂x′µ
dx′µ
克罗内克尔符号为
∂x′µ ∂xα ∂xα ⋅ ∂x′ν
∂x′µ = ∂x′ν
= δνµ
δνµ
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
2、广义相对论中的张量 （1）标量：在坐标变换下不变的量。， （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。
广义相对论的数学基础主要为张量分析和微分几何中的黎曼几何。 张量的重要性在于其和坐标变换相联系。张量方程与坐标系的选取无关。
一、狭义相对论中的张量
狭义相对论都是在仿射空间中进行讨论。仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧
式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法
dxµ′ ⋅ dx′µ = (dx1′)2 + (dx2′ (dx4′ )2
= aµα dxα ⋅ aµβ dxβ = aµα aµβ dxα dxβ
根据光速不变原理，以光信号联系的两个事件的四维时空间隔不变，即
dxµ′ ⋅ dxµ′ = dxα ⋅ dxα
则
aµα aµβ = δαβ
二阶张量： Tµ′ν = aµα aνβTαβ ；
n 阶张量： Tµ′νLλ = aµα aνβ Laλσ TαβLσ
n 阶张量的分量个数为维度的 n 次方。
二、广义相对论中的张量：即非线性、也非正交 1、广义坐标变换
( ) x′µ = x′µ xν
其中μ、ν=1、2、3、4 或μ、ν=0、1、2、3，一般 x0=ct，x4=ict。注意区分指标和指数。取 微分，得
⎞ ⎟ ⎟
a34 a44
⎟⎟⎠⎜⎜⎝
x3 x4
⎟⎟ ⎠
式中 amn（m、n=1、2、3、4）均为常数；x4=ict，i 为虚数单位，c 为真空光速。该式可简写
为
4
∑ x′µ = aµν xν
ν =1
引入爱因斯坦求和约定：重复的指标代表求和。则进一步简写为
两边取微分，得
x′µ = aµν xν
逆变换即为 其中
dx1 dx2 dx3 dx4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
（1）标量（不变量、零阶张量）：在坐标变换下不变的量，即U ′(X ′) = U (X )，它只有
一个分量。不变量未必是常数，亦可是函数，只需在坐标变换下保持不变即可 。 （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。 （3）张量：在坐标变换下，按以下规律变换的量
④克罗内克尔符号：一类特殊的(1,1)阶混合张量
∂x′µ ∂xα
∂x β ∂x′ν
δ
α β
∂x′µ = ∂xα
∂xα ∂x′ν
= δν′µ
写在上标的指标称为逆变指标，写在下标的指标称为协变指标，分母上的上标视为下标。 代表求和的指标必为一个上标和一个下标，称为傀儡指标（简称傀标）或哑指标。
三、张量代数 广义相对论中的张量是逐点定义的，张量的加、减、乘必须在同一点进行。 1、张量的加减：只有同阶张量才能进行加减运算，例如
一般矩阵乘法不满足乘法的交换律；但在张量代数中，相乘的因子是张量的元素，故乘法 交换律仍成立。
5、张量的对称性（以协变张量为例，逆变张量同理）
（1）对于二阶张量：若 Tµν = Tνµ ，则该张量对称；若 Tµν + Tνµ = 0 ，则该张量反对称。
（2）对于高阶张量：若 Tαβγρ = Tγβαρ ，则称指标α和指标γ对称；若 Tαβγρ + Tγβαρ = 0 ，
则称指标α和指标γ反对称。
（3）任何一个张量都可以写成一个对称张量和一个反对称张量之和 ，即
( ) ( ) Tµν
=1 2
Tµν + Tνµ
+1 2
Tµν − Tνµ
( ) （4）对称指标可用圆括号表示，反对称指标可用方括号表示，例如： T(µν )
=
1 2
Tµν
+ Tνµ
( ) 1
表 示 指 标 μ 和 指 标 ν 对 称 ； T[µ|ν |λ ]τ = 2 Tµνλτ − Tλνµτ 表 示 指 标 μ 和 指 标 λ 反 对 称 ；
+
C 2ν ρ 2λ
+L
(p,q)阶张量经过一次缩并得到(p-1,q-1)阶张量。在保证每一项中各个指标符号至多有一个协 变指标和一个逆变指标的情况下，傀标可以用任何其它符号替代 ，即
C µν ρµλ
=
Cτν ρτλ
=
C αν ραλ
4、矢量的标积（内积）：结果是一个标量
C = Aµ Bµ = Bµ Aµ
将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。
1、洛仑兹变换——线性、正交变换
（1）线性
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
x1′ x′2 x3′ x′4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24
⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜
x1 x2
aαTµ aµβ = δαβ
所以 a 是正交矩阵。 （3）洛仑兹变换 令
β=u c
1
1
γ=
=
u2 1− c2
1− β 2
则 2、张量的定义
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
dx1′ dx2′ dx3′ dx4′
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−
γ
0 0 iβγ
0
1 0 0
0
0 1 0
iβγ
0 0 γ
⎟⎞⎜⎛ ⎟⎜ ⎟⎠⎜⎜⎝
dxµ′ = aµα ⋅ dxα
( ) dxα = a−1 αµ ⋅ dxµ′
( )a−1
a αµ µβ
= δαβ
=
⎧1 ⎩⎨0
α =β α ≠β
( ) aµα
a −1
αν
= δ µν
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
（2）正交 光速不变原理要求洛仑兹变换矩阵为正交矩阵。其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵称为 证件矩阵。
Aµν αβγ
+
B µν αβγ
=
C µν αβγ
2、张量的乘法：例如
Aαµβ Bγν
=
C µν αβγ
一般反之不成立，即一个(p,q)阶张量一般不能分解为一个(p-m,q-n)阶张量和一个(m,n)阶张量 的乘积。
3、张量的缩并：一个逆变指标和一个协变指标相同，则
C µν ρµλ
=
C1ν ρ 1λ
Tµ′ν
=
∂xα ∂x′µ
∂x β ∂x′ν
Tαβ
③(p,q)阶混合张量
T ′µ1µ2Lµ p ν1ν 2Lν q
∂x′µ1 = ∂xα1
∂x′µ2 L ∂x′µ p ∂xα2 ∂xα p
∂x β1 ∂x′ν1
∂xβ2 L ∂xβq ∂x′ν 2 ∂x′νq
T α1α2Lα p β1β 2 Lβ q
dx′µ = ∂x′µ dxα ∂xα
①逆变矢量：写在上标的指标称为逆变指标
V ′µ
=
∂x′µ ∂xα
Vα
②协变矢量：写在下标的指标称为协变指标
Vµ′
=
∂xα ∂x′µ
Vα
（3）张量：在坐标变换下，按以下规律变换的量 ①二阶逆变张量
②二阶协变张量
T ′µν = ∂x′µ ∂x′ν T αβ ∂xα ∂xβ
( ) 1
T[µνλ ]τ
= 3
Tµνλτ
+ Tµνλµτ
+ Tλµντ
表示指标μ、指标ν和指标λ循环对称。