第五章 广义相对论的力学与电动力学 广义相对论基础课件

Riemann － Christoffel 联 络
1 2
g ( g
g
g )
引力场强（不是张量）
标量势 (r) 三维矢量
测地坐标系 0
局部惯性系 （消除引力）
惯性系，笛卡儿直角坐 标系
四维时空的测地线
d 2x
d 2
dx
d
dx
d
0
引力场中的短程线
殴氏空间中的直线
四维速度矢量沿测地线的平行 移动
似。
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由（5.2.9）式可得
g00
1
2 c2
（5.2.10）
此式表明度规 g 与引力势是密切相关的，故称之为爱因斯坦引力
势。在此，引力势用 10 个分量的度规张量来表示，而牛顿引力势
只反映出这个张量的一个分量。既然度规张量表示引力势，那么
作为其一阶导数所组成的量 就相当于引力场强。但在牛顿力学
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在局部洛仑兹系中， (X ) ,0所以
惯性系中联 络系数为零
(x)
Xx
2X xx
（5.1.5）
将（5.1.5）式代入（5.1.3）式中，得
d2x
d2
dx
d
dx
d
0
（5.1.6）
（5.1.2）式相应的变成
• 首先，写下在狭义相对论中成立的方程 • 然后，决定方程中的每个量在一般坐标下如何变
换 • 再把 换成 g ，把普通导数换成协变导数（或绝
对导数）， 所得结果就是广义相对论的运动方程。这正符合 广义协变性原理和等效原理。
§5.2 与牛顿运动方程的比较
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如果令V dX d ，代入（５.1.1），（５.1.2）式，
则得
dV 0 d
（５.1.1）’
VV c2
（５.1.２）’
由此可见，质点在弯曲空间中沿测地线的运动，可看 作质点在平直空间中沿直线运动的推广。
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• 于是，我们归纳出一个简便的办法，来建立引力 场中的运动方程:
d
2
d2xi dt2
故（5.2.4）式变为
d 2xi dt 2
c2i00
（5.2.3） （5.2.4）
（5.2.5）
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由条件（1）、（2）、（3）及（5.2.2）式可得
i001 2
h il 00,l
1 2h00,i
所以
d 2xi dt2
c2 2
h00 xi
为了理解广义相对论的质点运动方程的物理意义，并与 牛顿理论衔接，我们考虑质点在弱的静态引力场中缓慢 运动的情况，即要求
（1） 引力场是弱场， g h ， h 1
（2） h 与 x0 无关，即 h ,0 0 ，满足这一条件的引力场称为
稳态引力场。
即与时间 t 无关
（3） g0k 0 (k 1, 2, 3)，则空间和时间不互相干扰 满足（2）（3）条件的引力场为静态引力场。
中，引力场强是三维矢量，而 却不是张量，因此在引力场中的
任一时空点总可以建立一个消除引力的参照系，称为局部惯性系。
说明：广义相对论要采用黎曼几何学来描述的原因
Riemann 几何
广义相对论
牛 顿 力 学 或L狭iao义nin相 g University
对论/(赝)殴氏几何
度规张量 g
引力势（10 个分量）
g
dx
d
dx
d
c2
（5.1.7）
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（5.1.6）式就是引力场中质点的运动方程，它恰是黎曼空间的测
地线方程。这表明质点在引力场中的运动所描出的世界线（不是
三维轨迹）是四维时空的测地线。
（5.1.6）式中的固有时间 由（5.1.7）式给出，这表明四维速
度是类时矢量。
d
dx
d
0
（５.1.9）
即光的世界线是零长的测地线。
令v dx d ，根据绝对导数（４.5.12），可将
测地线方程写成如下简洁的形式：
Dv 0 D
（5.1.１０）
gvv c2
（５.5.1１）
D D A s d d A s A d d x s A ;d d x s (4 .5 .1 2 )
利用上述四个条件，在方程（5.2.1）右边 只保留一级小量，
1 2 g ( g g g ) (4 .4 .8 )
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则测地线方程简化为
d 2t d 2
0
d2xi
d2
c2i00(ddt )2
利用（5.2.3）式，则（5.2.4）式左边
d2xi
d2
dt
第五章 广义相对论的力学与电动力学 Liaoning University
本章将讨论引力场对力学方程和电 动力学方程的影响，从而建立起弯曲时空 中的力学及电动力学。
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5
质点运动方程 与牛顿运动方程的比较 测地偏离 永久引力场 引力场中的电磁学定律 物质的能量动量张量
在狭义相对论中，光的传播沿光锥的母线进行，它的四维元
是零，即 dX dX 0 ，亦即 g dxdx 0 。因此，必须用另一
标量参量 代替 ，只要 能表示光的进路并对坐标变换不变即
可，于是光的世界线为
d2x
d2
dx
d
dx
d
0
（5.1.8）
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并附以
g
dx
（4） 质点运动速度不大，即 (v c)2 1, h 与 v2 c2 同数量级。
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可以证明，在上述条件下，广义相对论的质点运动方程
d2x
d2
dx
d
dx
d
（5.2.1）
可简化为弱引力场的牛顿运动方程。下面证明之。
利用条件（1）将联络保留至一级小量得
1 2(h,h,h,（) 5.2.2）
（5.2.6） （5.2.7）
而质点在牛顿引力场(r) 中的运动方程为
d 2 xi dt2
ห้องสมุดไป่ตู้
xi
（5.2.8）
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比较（5.2.7）式与（5.2.8）式，得
h00
2 c2
＋常数
考虑在无穷远处， h00 0, 0 ，故此常数为零，即
h00
2 c2
（5.2.9）
可见，牛顿理论为爱因斯坦场论在弱场、静态和低速情况下的近
引力场中质点的自由运 动
惯性运动（匀速直线）
测地偏离
局部惯性系之间有相对 平行（两条平行直线永
加速度
不相交）
对上表的解释
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1、引力势用10个分量的度规张量表示，而牛顿引力势只反映 出这个张量的一个分量，这和电磁势与静电势的情形类似：电 磁势有4个分量，而静电势只是它的一个分量。 2、度规张量表示引力势，则Riemann—Christoffel联络系数就 相当于引力场强。在牛顿力学中引力场强是三维矢量，而R-C 联络却不是张量。所以在引力场的任意时空点的邻域内总可以 建立一个消除引力的局部惯性系。 3、在Riemann空间的张量分析中，不为张量的联络系数的所 有分量总可以借助坐标变换使其在任一点变为零，这样的坐标 系称为测地坐标系。可见引力场中的局部惯性系相当于 Riemann空间中的测地坐标系。 4、引力场中质点的自由运动轨迹为四维时空的测地线，质点 在引力场中的自由运动 相当于四维速度矢量沿测地线的平行移 动。