一中2012-2013年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
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①用最小二乘法求的线性回归直线 y bx a 必过点 (x, y)
②一批产品共 50 件，其中 5 件次品，其余均为合格品，现从中任取 2 件，则其中出现次品
的概率为 C51C419 C520
③两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率为 P1 ，乙解决这个问题的概率为 P2 ， 两人同时解决的概率为 P3 ，则这个问题得到解决的概率等于 P1 P2 P3 ，也等于 1 (1 P1)(1 P2 ) ④已知随机变量 服从正态分布 N (2, 2 ) ， P( 4) 0.84 ，则 P( 0) 0.16
1
5
3.采取简单随机抽样，从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本，则个体 a 前两次
未被抽到，第三次被抽到的概率为
A. 1
2
B. 1
3
4.若多项式 x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10 恒成立，则 a9＝
A．－10
B．10
5.如图所示，已知矩形 ABCD 中， AB 1， BC a ，
求 P( A B) = ___________
15.中华人民共和国第十二届全运会将于 2013 年 8 月 31 日—9 月 12 日在辽宁举行。将甲、 乙、丙、丁、戊 5 名志愿者分成 3 个小组，分赴 3 个不同场馆服务，要求每个场馆至少一人， 甲、乙两人不分在同一个小组里，丙、丁两人也不分在同一个小组里，那么不同的分配方案 有_______种。（用数字作答）
②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
安徽省屯溪一中2012-2013学年度高二年级第二学期期中考试数学理卷Word版含答案
2013学年屯溪一中第二学期期中考试（理）高二数学试卷一、选择题（（共10小题，每小题5分，共50分） 1.i 是虚数单位，若复数iiz -+=13，则复数z 的实部与虚部的和是 （ ）A ．3B ．1+2iC ．2D ．1-2i2．设函数f(x)=lnx+1可导，则,)1()31(limxf x f x ∆-∆+→∆等于（ ）．A ．1B ．0C ．3D ．313．若A(x,1-x,2x)，B(1,-2,x-1)，当B A取最小值时，x 的值等于（ ）A 1B ．0C ．-2D ．-14、已知n 为正偶数，，用数学归纳法证明：1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-++=+++⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥且k 为偶数）时命题为真，则还需利用归纳假设再证（ ） A ．n k =+1时等式成立 B ．n k =+2时等式成立 C ．2n k =+2时等式成立3 D ．2(2)n k =+时等式成立5. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是 （ ） A. 31B.32C. 1D.346． 数列{}n a 满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若135a =，则数列的第2013项为（ ）A ． 15B ．25C ．35D ．45正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 （ ）A 、23 B 、33 C 、23 D 、638、设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是 ( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)9、方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．010.已知函数M,最小值为m,则mM的值为( )A.14C.12二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若23AC xAB yBC zC C ''=+-，则x ＋y ＋z 等于______=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰dx x x 21211.12___________='+=)6(f ),32(sin 3)(f .132ππ则若函数x x ___________14．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为cos θ＝12211()()ni ii nni i i i a ba b ===∑∑∑.已知n 维向量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cos θ等于______________15、下面四个不等式：（1）a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；（2）a (1－a )≤14；（3）b a ＋ab ≥2；（4）(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2；其中恒成立的序号有__________.屯溪一中第二学期期中考试（理）高二数学试卷__………………………二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、_____ 12、_____ 13、_____14、 _____ 15、_____三．解答题（本题共6大题，满分75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 16、（本题满分12分）已知()(){}{}221,22,1,1,4M m m m m i P i =-++-=-，若MP P =,求实数m 的值。
淮北一中2012-2013学年度高二期中数学试题卷(内含答案)
淮北一中2012-2013学年度高二期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．∅ B ．)4,3( C ．)1,2(-D ．),4(+∞ 2．直线x+y+1=0与圆2)1(22=+-y x 的位置关系是 A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A ．4)11)((≥++b a b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||4．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C .22D ．25．已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是A ．]1,1[-B ．]1,22[-C ．]22,1[-D ．]22,1[-- 6．有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为A ．4+52πB ．4+32π C ．4+2π D ．4+π7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”。
现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①2)(x x f =;②xx f 2)(=;③||)(x x f =; ④||ln )(x x f =。
则其中是“保等比数列函数”的)(x f 的序号为 A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④8．设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且满足22221CD CD AC BC+=，则( ) A ．2A B π+=B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=223 1正视图221侧视图俯视图9．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，1a ＝－2013，2810810=-S S ，则2013S ＝A ．－2012B ．2013C ．2012D ．－201310．已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。
重庆一中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理
秘密★启用前2013年重庆一中高2014级高二下期半期考试数 学 试 题 卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A 、1-B 、1C 、iD 、i -2、如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆。
若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为（ ）A 、2πB 、12 C 、8π D 、4π 3、有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（ ） A 、120 B 、72 C 、12 D 、36 4、若0a b >>，则下列不等式一定不成立的是（ ）A 、11a b<B 、22log log a b >C 、22222a b a b +≤+-D 、2a bb ab a +<<< 5、（原创）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。
某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则(|)P B A =（ ）A 、16B 、313C 、59D 、236、已知+∈R y x ,，且满足232xy =，则x y +的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、6D 、4 7、若多项式48280128(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+++++++，则3a =（ ）A 、1B 、60C 、961-D 、1796-8、（原创）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A 、1296B 、1080C 、360D 、300BOA CD19、若关于x 的不等式42-≤-++x x a x 的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为（ ） A 、 []0,3- B 、[]1,4- C 、[]3,0 D 、[]2,1 10、如图，用五种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共（ ）种。
福建省厦门一中2012-2013年高二下学期期中数学理试卷Word版含答案
福建省厦门第一中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二年数学试卷（理科）2013.4第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
1．已知复数31iz i-=-，则z 的共轭复数z 等于 A ．2i + B. 2i - C. 12i - D. i 21+ 2．函数()ln f x x x =的A ．极小值为1eB ．极大值为1eC ．极小值为1e -D ．极大值为1e-3．某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻40min t =的降雨强度为A.120mmB. 140mmC. 1/min 2mmD. 1/min 4mm 4．已知'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是A B C D5.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()2(1)ln f x x f x =⋅+，则(1)f =A ．2-B ．1-C ．1D ．26. 函数3()12f x x x =-在闭区间[3,3]-上的最小值是 A ．9- B ．9 C ．16- D ．167.曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y -+=垂直，则a 的值为 A.12- B.12C.2-D.28．若函数(),xf x e ax x R -=+∈有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为 A ．1a < B ．01a << C ．10a -<< D ．1a <-9. 已知函数()sin x xf x e e x -=--，若,a b R ∈，则0a b +>是()()0f a f b +>成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算⊗:当,m n 都为偶数或奇数时,m n m n ⊗=+;当,m n 中一个为奇数,另一个为偶数时, m n m n ⊗=⋅.则在上述定义下,集合{(,)36,,}M x y x y x N y N **=⊗=∈∈中元素的个数为A. 48B. 41C. 40D. 39第1页（共4页）第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
广东省湛江一中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题 含答案
湛江一中2012—2013年学年度第二学期期中考试高二级数学试题考试时间：120分钟 满分:150分 命题人：CZH(一）、选择题（5×8=40分，将唯一正确的答案填在答题卡中） 1、) (810910=+C C(A ）45 （B ）55 （C)65 （D ）以上都不对2、观察圆周上个点之间所连成的弦，发现2个点可以连成一条弦，3个点可以连成3条弦, 4个点可以连成6条弦,5个点可以连成10条弦,由此可以推广到*N n ∈的规律是 （ ）（A)6个点可以连成15条弦 （B ）n 个点可以连成2)1(+n n 条弦(C)n 个点可以连成2)1(-n n 条弦 (D)以上都不对3、下列类比推理中，得到的结论正确的是（ ）（A ）把)(log y x a+与a(b+c ）类比，则有y x y x b aalog log)(log +=+（B ）向量b a ,的数量积运算与实数b a ,的运算性质|||||b a ab ⋅=｜类比,则有||||||b a b a =⋅ks5u（C ）把()nb a +与()nab 类比，则有()n n nb a b a +=+（D ）把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值为（ ）⎰ca dx x f )((A)dx x f ca )(⎰ (B ）（C)⎰⎰+b a c b dx x f dx x f )()( (D) ⎰⎰-c b ba dx x f dx x f )()(5、函数x x x f 3cos )(=的导数是( ） (A)x x 3sin 33cos + (B) x 3sin 31-(C ） x x x 3sin 33cos -(D)x x x 3sin 3cos -6、曲线22x y =在点)21,2(P 处的切线方程是（ ）（A ）032=-+y x （B ） 032=-+y x（C)032=--y x （D)032=--y x7、将5封信随意投入3个不同的邮箱里,每个邮箱中的信件不限，共有（ ）种不同的投法。
河南省郑州一中2012-2013学年高二下期期中理科数学试题
（1）PEDFS 1S 3 S 2（2）郑州一中2012-2013学年下期期中考试高二数学（理）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设A 、B 对应的复数分别为3i -、2i -，那么向量AB对应的复数是A ．22i +B ．22i -C ．22i -+D ．22i --2．下面使用类比推理正确的是A ．“()a b c ac bc +=+”类比推出“()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”B ．“()a b c ac bc +=+”类比推出“sin()sin sin αβαβ+=+”C ．“若33a b =，则a b =”类比推出“若00a b ⋅=⋅ ，则a b = ”D ．“()nn nab a b =”类比推出“()nnna b a b +=+” 3．“点0x 为可导函数()y f x =的极值点”是“0'()0f x =”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种5．如图（1），在Rt △ABC 中，∠ACB 90=，两直角边分别为,a b ，斜边为c ，由勾股定 理得222c a b =+．类似地有命题：如图（2），在三棱 锥P DEF -中，,,DP DE DF 两两垂直，,DEF DEP ∆∆和DFP ∆的面积分别为12,S S 和3S PEF ∆的面积为S ， 则2222123S S S S =++．那么上述命题A ．是真命题B ．增加条件123S S S ==后才是真命题C ．是假命题D ．增加条件“三棱锥D PEF -是正三棱锥”后才是真命题6．若5(1a +=+,a b 为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．若函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)3f x x f x =+-，则A ．(0)(4)f f <B ．(0)(4)f f =C ．(0)(4)f f >D ．以上都不对8．设函数1()ln 4f x x x =-，则方程()0f x =A ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均有实根B ．在区间1(,1)e，(1,)e 内均无实根C ．在区间1(,1)e内有实根D ．在区间(1,)e 内有实根9．已知曲线21y x =-，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形面积为S ，曲线21y x =-，曲线23y x =与y 轴所围成的图形面积为1S ，则1S S 的值为 A ．12B ．13C ．14D ．2310．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号 为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种11．已知曲线11:2xC y e =与曲线2:ln(2)C y x =关于直线y x =对称，设点P 在曲线1C 上， 点Q 在曲线2C 上，则||PQ 的最小值为A ln 2)-B ．1ln 2-C ．1ln 2+D ln 2)+12．已知32()f x x bx cx d =+++在区间[2,1]-上是减函数，那么2b c -A ．有最大值9B ．有最小值9C ．有最小值3-D ．有最大值3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()100C x x=-(80100)x <<，则净化到纯净度为98%时所需净化费用的瞬时变化率为 （元/吨）． 14．在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有 个．15．=⎰．16．有下列命题：。
2012~2013高二下学期期中考试 数学(理)
2012~2013学年高二下学期综合检测一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·全国文)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程为 ( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋13．函数y ＝x |x (x －3)|＋1 ( )A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1；B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－34．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．已知f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是 ( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确6．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x x a a C x -+=，其中0a >，且1a ¹，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④7．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()'0f x g x f x g x ¢<－ ，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x )二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.9．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．10．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．11．由曲线y ＝1，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成阴影部分面积为________．三、解答题(本大题共3个小题，共24分．写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．(本题满分6分)已知0,a b>>-<13．(本题满分8分)(2010·江西理)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．14．(本题满分10分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．2012~2013学年高二下学期综合检测一时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．(2010·全国文)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程为 ( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t 0的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )在t 0的导数，S ′＝2sin t ＋2t cos t ＋1，故选A.3．函数y ＝x |x (x －3)|＋1 ( )A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1；B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3[答案] B y ＝x |x (x －3)|＋1＝îïíïìx 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝îïíïì3x 2－6x(x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 无极值 极大值5 极小值1∴f (x )极大＝f (2)＝5，f (x )极小＝f (3)＝1， 故应选B.4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值，∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.5．已知f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是 () A ．m <2或m >4 B ．－4<m <－2 C ．2<m <4 D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.6．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ¹，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④7．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()'0f x g x f x g x ¢<－ ，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x )[答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x ) 则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数， ∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )， ∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1， f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝èæøöax －1x ′＝a ＋1x 2， 由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.10．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.11．由曲线y ＝1x ，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成阴影部分面积为________．[答案] 23＋ln2 [解析] 由îïíïìy 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1) 由îïíïìx ＝2y ＝1x 得交点B èæö2，1. 故所求面积S ＝õó01x d x ＋õó121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．(本题满分12分)(2010·江西理)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ， (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1.13．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}，∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x ，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， ∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.14．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[分析]本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析](1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a，当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>52.。
福建省南安一中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题 含答案
南安一中2012～2013学年度高二下学期期中考数学科(理科）试卷试卷考试内容为：选修2-3及必修3第三章及选修4—2，满分１５０分，考试时间１２０分钟.注意事项:1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 以下公式或数据供参考： ①独立性检验临界值表②2(()()n ad K a b c d -=++ ；③22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑;一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案.1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有( ）Ａ．105种Ｂ．510种 Ｃ．50种 Ｄ．10种2。
随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,,且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A 。
32 B 。
31 C 。
1D 。
03．从2，4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字A．6 B．12 C．18 D．24 4。
在某一试验中事件A出现的概率为p，则在n次试验中A出现k次的概率为（)A . 1－k p B. ()k n k pp--1C。
1－()k p-1D。
()k n k kn ppC--15.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )A．96种B．180种C．240种D．280种6。
在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( )A．12694C C B．C16C299C．C3100－C394D．A3100－A3947.已知x与y之间的一组数据：则yˆy必过（ )A ．点()2,2B ．点()0,5.1C ．点()2,1D ．点()4,5.1 8．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于( ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．199．设函数,[5,5]()2x f x x ∈-=-+ .若从区间[5,5]-内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足0()0f x ≤的概率为（ ）A ．0.5B ．0.4C ．0.3D ．0.210．矩阵A1002⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A10α=（ ） A ．1012⎛⎫⎪⎝⎭B ．1112⎛⎫⎪⎝⎭C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭11．给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ,这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好;③在回归直线方程122.0ˆ+=x y 中,当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量yˆ平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ,若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确的说法是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③12．将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分别为n m ,，则函数1323+-=nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是（ ）A ．21 B ．65 C ．43D ．32二、填空题：每小题4分，共16分. 13。
2012-2013学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量a →=(1, x, −2)，b →=(2, 1, x)，且a →⊥b →，则x 的值为（ ） A.−1 B.0 C.1 D.22. 曲线f(x)=1x 在点（1, f(1)）处的切线的倾斜角为（ ）A.π4 B.π3C.2π3D.3π43. 函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y =f′(x)的图象可能为（ ）A. B.C. D.4. 观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52013的末四位数字是（ ） A.3125 B.5625C.8125D.06255. 已知下列命题： ①√7−√5<√10−√2；②三角形ABC 的三个内角满足sin A +sin B >sin C ； ③存在等比数列{a n }满足a 1+a 3=2a 2成立． 其中所有正确命题的序号是（ ） A.① B.①②C.②③D.①②③6. 若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入图的容器，则容器中水的高度ℎ与时间t 的函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.7. 若函数f(x)=x 3+ax +b 有三个零点，分别为x 1，x 2，x 3，且满足x 1<1，x 2=1，x 3>1，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)B.(−∞, −1)C.(−∞, −2)D.(−∞, −3)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是截面A 1BD 内（包括边界）的动点，则C 1P →⋅C 1B →的值不可能是（ ） A.0.9 B.1.2C.1.5D.1.8二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.已知三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上，则a =________，b =________．函数y =ax −sin x 是单调递增函数，则实数a 的取值范围________．由曲线y=x2，y=2x围成的封闭图形的面积为________．如图所示，已知三棱柱A′B′C′−ABC的侧棱垂直于底面，AC⊥CB，且AC=CB=CC′=2．若点E为A′B′中点，则CE与底面ABC所成角的余弦值为________．若函数f(x)=(x2−3)e x，给出下面四个结论：①f(−3)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值；②f(x)<0的解集为{x|−√3<x<√3}；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f(x)有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有________．已知函数f(x)=xx+3，构造如下函数序列f n(x)：f n(x)=f[f n−1(x)](x∈N∗，且n≥2)，其中f1(x)=f(x)，(x>0)，则f3(x)=________，函数f n(x)的值域为________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=a23x3−2ax2+bx其中a，b∈R，且曲线y=f(x)在点（0, f(0)）处的切线斜率为3．（1）求b的值；（2）若函数f(x)在x=1处取得极大值，求a的值．已知点的序列A n(x n, 0)，n∈N∗，其中x l=0，x2=a(a>0)，A3是线段A l A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，A n是线段A n−2A n−1的中点，…．（1）写出x n与x n−1、x n−2之间的关系式(n≥3)；（2）设a n=x n+1−x n，计算a l，a2，a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明．已知平面ADEF⊥平面ABCD，其中ADEF为矩形，AB // CD，AB⊥AD，且AB=2CD=2DE=4，AD=2√2，如图所示．（1）求证：BE⊥AC；（2）求二面角B−CE−D的余弦值；（3）在线段AF上是否存在点P，使得BP // 平面ACE，若存在，确定点P的位置，若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+ln x．（1）当a=−2时，判断函数f(x)零点的个数；（2）求函数f(x)的单调区间．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】根据向量的数量积与垂直之间的关系建立方程，利用方程解x 即可． 【解答】解：因为向量a →=(1, x, −2)，b →=(2, 1, x)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=0，即(1, x, −2)⋅(2, 1, x)=2+x −2x =0， 解得x =2． 故选D ． 2.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的倾斜角【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线的斜率，进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角． 【解答】解：因为f(x)=1x ，所以f′(x)=−1x 2，所以函数在点（1, f(1)）处的切线斜率k =f ′(1)=−1， 由k =tan α=−1，解得α=3π4，即切线的倾斜角为3π4．故选D ． 3.【答案】 C【考点】函数的图象变换 【解析】根据函数的单调性确定f ′(x)的符号即可． 【解答】解：由函数f(x)的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x >0时，函数单调递增，所以导数f ′(x)的符号是正，负，正，正．对应的图象为C ． 故选C ． 4.【答案】 A【考点】进行简单的合情推理 【解析】由上述的几个例子可以看出末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的，故2013除以4余1，即末四位数为3125． 【解答】解：55=3125的末四位数字为3125，56=15625的末四位数字为5625，57=78125的末四位数字为8125，58=390625的末四位数字为0625，59=1953125的末四位数字为3125…， 根据末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的， 故2013除以4余1，即末四位数为3125．则52013的末四位数字为3125． 故选A ． 5.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①利用平方法进行判断大小．②利用诱导公式和两角和的正弦公式判断．③利用等比数列的通项公式，举常数数列即可． 【解答】解：①因为√7−√5>0，√10−√2>0，所以(√7−√5)2=12−2√35，(√10−√2)2=12−2√20，所以√7−√5<√10−√2，所以①正确．②因为sin C =sin (π−A −B)=sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B <sin A +sin B ，所以②正确． ③若数列{a n }为非零的常数列，比如a n =1，则满足a 1+a 3=2a 2成立，所以③正确． 故选D ． 6.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理 【解析】考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可． 【解答】解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小， 故等速注入液体其高度增加先是越来越慢，再变快， 只有C 满足条件， 故选C ．7.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用函数零点的取值可以判断， 【解答】解：因为x 2=1，所以f(1)=a +b =0，即b =−a ， 所以f(x)=x 3+ax +b =x 3+ax +−a ．函数导数为f ′(x)=3x 2+a ，因为f(x)=x 3+ax +b 有三个零点，所以f ′(x)=0，有两个不等的实根，所以a <0．则由f ′(x)=0得x =±√−a3．即当x =−√−a3函数取得极大值，当x =√−a3时，函数取得极小值． 因为x 1<1，x 3>1， 所以√−a3>1，解得a <−3． 故选D ． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】将P 点在截面A 1BD 内（包括边界）运动，结合正方体的性质加以观察可得：当P 与点B 重合时C 1P →⋅C 1B →达到最大值；当P 点与D 点或A 1点重合时，C 1P →⋅C 1B →达到最小值．再由题中的数据加以计算，可得积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2]，对照各个选项可得本题答案． 【解答】解：∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为截面A 1BD 内（包括边界）的动点， ∴ 运动点P ，可得①当P 与点B 重合时，C 1P →⋅C 1B →=|C 1B|→2=2，达到最大值； ②当P 点与D 点或A 1点重合时，C 1P →⋅C 1B →达到最小值 ∵ C 1P →⋅C 1B →=(BD →−BC 1→)⋅C 1B →=BD →⋅C 1B →−BC 1→⋅C 1B →BD →⋅C 1B →=−|BD|→⋅|C 1B|→cos 60∘=−1，且BC 1→⋅C 1B →=−|C 1B|→2=−2 ∴ C 1P →⋅C 1B →最小值为−1−(−2)=1综上所述，数量积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2]由此可得C 1P →⋅C 1B →的值不可能小于1，A 项不符合题意故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】 −2,12【考点】共线向量与共面向量 【解析】先根据三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上，转化为向量OA →与OB →共线，再利用向量共线的基本定理得存在λ，使得OA →=λOB →，从而建立方程求解即可． 【解答】解：∵ 三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上， ∴ 向量OA →与OB →共线， 即存在λ，使得OA →=λOB →， 即(1, −1, b)=λ(2, a, 1) ∴ {2λ=1aλ=−1λ=b ，解得{λ=12a =−2b =12故答案为：−2，12．【答案】 a ≥1 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求函数的导数，要使函数单调递增，则y ′≥0成立，然后求出实数a 的取值范围． 【解答】解：因为y =ax −sin x ，所以y ′=a −cos x ． 要使函数单调递增，则y ′≥0成立． 即a −cos x ≥0恒成立． 所以a ≥cos x ，因为−1≤cos x ≤1， 所以a ≥1．故答案为；a ≥1． 【答案】 43【考点】定积分【解析】联立解曲线y=x2及直线y=2x，得它们的交点是O(0, 0)和A(2, 2)，由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x−x2在[0, 2]上的积分值，根据定义分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解答】解：由{y=x2y=2x，解得曲线y=x2及直线y=2x的交点为O(0, 0)和A(2, 2)因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=∫(202x−x2)dx=(x2−13x3)|02=43．故答案为：43．【答案】√3【考点】直线与平面所成的角【解析】利用线面所成角的定义先确定线面所成的角然后求出线面所成的角即可．【解答】解：过E做EF⊥AB于F，则F为AB的中点．连结CF，则∠ECF为CE与底面ABC所成的角．所以CF=√2，EF=2，所以CE=√6，所以cos∠ECF=CFCE =√2√6=√33．故答案为：√33．【答案】①②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】①求函数的导数，判断函数的极值．②由f(x)<0，解不等式即可．③利用函数的单调性和最值之间的关系判断函数的最值情况．④利用导数研究函数的最值．【解答】解：函数的导数为f′(x)=2xe x+(x2−3)e x=(x2+2x−3)e x．①由f′(x)>0得，x>1或x<−3，此时函数单调递增．由f′(x)<0得−3<x<1，此时函数单调递减，所以f(−3)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值，所以①正确．②由f(x)<0，得(x2−3)e x<0，即x2−3<0，解得−√3<x<√3，所以②正确．③由①知，函数在(1, +∞)和(−∞, −3)上单调递增，在(−3, 1)上单调递减，强当x<1时，函数f(x)>0，函数f(x)在x=1时取得极小值同时也是最小值，但没有最大值，所以③错误．④由③(x)有最小值，没有最大值，所以④正确．故答案为：①②④．【答案】x13x+27,(0, 23n−1)【考点】函数的求值函数的值域及其求法归纳推理【解析】根据定义分别计算f1(x)，f2(x)，f3(x)，然后根据前三个函数的值域归纳出f n(x)的表达式，然后利用分式函数求函数的值域即可．【解答】解：根据定义可知f2(x)=f[f1(x)]=xx+3xx+3+3=x4x+9，f3(x)=f[f2(x)]=x4x+9x4x+9+3=x13x+27，f4(x)=x40x+81，所以f n(x)=x12(3n−1)x+3n=23n−1⋅xx+2⋅3n3n−1<23n−1，所以f n(x)的值域为(0, 23n−1)．故答案为：x13x+27，(0, 23n−1)．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：（1）f′(x)=a2x2−4ax+b，由题意可得f′(0)=b=3．∴b=3．（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，∴f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．①当a=1时，f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)．列表如下：由表格可知：函数f(x)在x=1处取得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f(x)在x=1处取得极大值．【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】（1）利用f′(0)=3即可解出；（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，可得f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可．【解答】解：（1）f′(x)=a2x2−4ax+b，由题意可得f′(0)=b=3．∴b=3．（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，∴f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．①当a=1时，f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)．列表如下：由表格可知：函数f(x)在x=1处取得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f(x)在x=1处取得极大值．【答案】解：（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，则有当n≥3时，x n=x n−1+x n−22．（2）a1=x2−x1=a，a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a，a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)．证明如下：因为a1=a>0，且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2)，所以a n=(−12)n−1a．【考点】数列的应用【解析】（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，可得x n与x n−1、x n−2之间的关系式，（2）由题意知a1=a，a2=−12a，a3=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)再进行证明．【解答】解：（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，则有当n≥3时，x n=x n−1+x n−22．（2）a1=x2−x1=a，a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a，a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)．证明如下：因为a1=a>0，且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2)，所以a n=(−12)n−1a．【答案】解：（1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，由已知可得AF⊥AD，且AF⊂面ADEF，所以AF⊥平面ABCD，又AB⊥AD，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyx，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(2, 2√2, 0)，E(0, 2√2, 2)，所以BE→=(−4,2√2,2)，AC→=(2,2√2,0)，所以BE→⋅AC→=0，所以BE⊥AC．（2）由已知可得AD⊥CD，AD⊥DE，设平面CED的一个法向量为n1→=(0,1,0)，平面BCE的法向量为n2→=(x,y,z)，则有{n2→⋅BE→=0n2→⋅BC→=0，即{−4x+2√2y+2z=0−2x+2√2y=0，令y=1，所以平面BCE的一个法向量为n2→=(√2,1,√2)，所以cos <n 1→，n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55，所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55． （3）设P(0, 0, z)，0≤z ≤2，BP →=(−4,0,z)，设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0，即{2√2y +2z =02x +2√2y =0，不妨设y =1，则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2)， 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0，解得z =4，不符合题意， 即线段AF 上不存在点P ，使BP // 平面ACE ． 【考点】二面角的平面角及求法 用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的性质 直线与平面平行的判定【解析】（1）建立空间坐标系，利用线面垂直的性质证明BE ⊥AC ； （2）利用向量法求二面角B −CE −D 的余弦值； （3）根据线面平行的判定定理和性质定理确定P 的位置．【解答】 解：（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，由已知可得AF ⊥AD ，且AF ⊂面ADEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyx ，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(2, 2√2, 0)， E(0, 2√2, 2)，所以BE →=(−4,2√2,2)，AC →=(2,2√2,0)， 所以BE →⋅AC →=0，所以BE ⊥AC ．（2）由已知可得AD ⊥CD ，AD ⊥DE ，设平面CED 的一个法向量为n 1→=(0,1,0)，平面BCE 的法向量为n 2→=(x,y,z)，则有{n 2→⋅BE →=0n 2→⋅BC →=0，即{−4x +2√2y +2z =0−2x +2√2y =0， 令y =1，所以平面BCE 的一个法向量为n 2→=(√2,1,√2)， 所以cos <n 1→，n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55，所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55． （3）设P(0, 0, z)，0≤z ≤2，BP →=(−4,0,z)，设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0，即{2√2y +2z =02x +2√2y =0，不妨设y =1，则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2)， 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0，解得z =4，不符合题意， 即线段AF 上不存在点P ，使BP // 平面ACE ． 【答案】 解：（1）函数的定义域：(0, +∞)， 当a =−2时，f′(x)=1−4x 22，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．因为f(12)=−12−ln 2<0，所以此时在定义域上f(x)<0， s 所以函数f(x)零点的个数为0．； （2）f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x，①当a ≤0时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数． ②当0<a <2时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数；当x ∈(12, 1a )时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(1a , +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数． ③当a =2时，f′(x)=(2x−1)2x≥0，对一切x ∈(0, +∞)恒成立，当且仅当x =1时f′(x)=0，函数是单调增函数，单调增区间(0, +∞) ④当a >2时，当x ∈(0, 1a )时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(1a , 12)时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数．综上：当a ≤0时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)，单调减区间是(12,+∞)．当0<a <2时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a ,+∞)，单调减区间是(12,1a )． 当a =2时，函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时，函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞)，单调减区间是(1a ,12)． 【考点】函数单调性的判断与证明 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的定义域，通过a =−2时，求出函数的导函数，判断函数f(x)的极大值，然后推出函数的零点的个数；（2）通过求解函数的导函数，通过：当a ≤0，0<a <2，a =2，a >2，分别通过函数的导数列表，然后求函数f(x)的单调区间．【解答】 解：（1）函数的定义域：(0, +∞)， 当a =−2时，f′(x)=1−4x 22，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．因为f(12)=−12−ln 2<0，所以此时在定义域上f(x)<0， s 所以函数f(x)零点的个数为0．； （2）f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x，①当a ≤0时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．②当0<a <2时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数；当x ∈(12, 1a )时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(1a , +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数． ③当a =2时，f′(x)=(2x−1)2x≥0，对一切x ∈(0, +∞)恒成立，当且仅当x =1时f′(x)=0，函数是单调增函数，单调增区间(0, +∞) ④当a >2时，当x ∈(0, 1a )时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(1a , 12)时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数．综上：当a ≤0时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)，单调减区间是(12,+∞)．当0<a <2时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a,+∞)，单调减区间是(12,1a)．当a =2时，函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时，函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞)，单调减区间是(1a ,12)．。
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福建省厦门第一中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二年数学试卷（理科）2013.4 第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
1．已知复数31i z i-=-，则z 的共轭复数z 等于 A ．2i + B. 2i - C. 12i - D. i 21+2．函数()ln f x x x =的A ．极小值为1eB ．极大值为1eC ．极小值为1e -D ．极大值为1e- 3．某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为()y f t =则在时刻40min t =的降雨强度为 A.120mm B. 140mm C. 1/min 2mm D. 1/min 4mm 4．已知'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是A B C D5.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()2(1)ln f x x f x =⋅+，则(1)f =A ．2-B ．1-C ．1D ．26. 函数3()12f x x x =-在闭区间[3,3]-上的最小值是A ．9-B ．9C ．16-D ．167.曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y -+=垂直，则a 的值为 A.12- B.12 C.2- D.2 8．若函数(),x f x e ax x R -=+∈有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为A ．1a <B ．01a <<C ．10a -<<D ．1a <-9. 已知函数()sin x xf x e e x -=--，若,a b R ∈，则0a b +>是()()0f a f b +>成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算⊗:当,m n 都为偶数或奇数时,m n m n ⊗=+;当,m n 中一个为奇数,另一个为偶数时, m n m n ⊗=⋅.则在上述定义下,集合{(,)36,,}M x y x y x N y N **=⊗=∈∈中元素的个数为A. 48B. 41C. 40D. 39第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11．在复平面上，平行四边形ABCD （,,,A B C D 按逆时针排序）的三个顶点,,A B C 对应复数分别为i ，2，42i +，则点D 对应的复数为 ▲ 。
12．11sin 2)x dx -⎰等于 ▲ 。
13．某班准备了5个节目将参加厦门一中音乐广场活动（此次活动只有5个节目），节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有 ▲ 种。
14．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖有 ▲ 块.15.已知32()(6)1f x x ax a x =++++在R 不是单调函数，则a 的取值范围为 ▲ 。
16.给出下面几个推理：①由“633,835,1037,1257,=+=+=+=+”得到结论： 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为180”得到结论：直角三角形内角和为180；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；④由“222(,)a b ab a b R +≥∈”推得22sin 22sin cos sin cos 1x x x x x =⋅≤+=。
其中是演绎推理的序号是 ▲ 。
三、解答题：本大题共6小题，共76分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。
17．（本小题满分12分）如图，直线:l y x b =+与曲线2:4C x y =相切于点A ．（Ⅰ）求第3个第2 个第1个实数b 的值；（Ⅱ）．求由曲线C 与直线l 及0x =围成的图形的面积。
18．（本小题满分12分）厦门市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元， 销售价是20元，月平均销售a 件. 通过改进工艺， 产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x ,记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. （Ⅰ）写出y 与x 的函数关系式；（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19．（本小题满分12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1>a （Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若函数()f x 有且只有一个零点，求a 的取值范围。
20．（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22()x f x e x a x R =-+∈。
(Ⅰ)求()f x 的最小值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。
21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112,(2)2()n n n n a a a n N λλλ+*+==++-∈。
（Ⅰ）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式，并加以证明；（Ⅱ）当1λ=时，试比较n a 与21n +的大小，证明你的结论。
22．（本小题满分14分）已知函数()1ln f x x a x =--，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a <，对任意12,(0,1]x x ∈，且12x x ≠，都有121211|()()|4||f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围。
厦门一中2012—2013学年度第二学期期中考高二年理科数学试题参考解答一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题：每小题4分，满分24分．11．23i + 12．2π 13．10 14．42n + 15. 3a <-或6a > 16. ②④ 三、解答题（本大题共六小题，满分76分）17．（本题满分12分）解: （Ⅰ）解法1．由24,,x y y x b ⎧=⎨=+⎩得2440x x b --=，因为直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切，所以()()2Δ4440b =--⨯-=， 解得1b =-．（6分） 解法2．设切点()00,A x y ，由214y x =得12y x '=， 所以切线l 在点A 处的斜率为012k x =，因为切线l 的斜率为1，则0112k x ==，02x =，又A 在抛物线上，所以2200112144y x ==⨯=，（3分） 于是A 的坐标为()2,1A ，因为A 在直线l s 上，所以12b =+，1b =-．（6分）（II ）23222002[(1)]()41223|x x x S x dx x =--=-+=⎰（12分） 18.（本题满分12分）解: (1)改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x-件， 则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元）， （4分） 所以，y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- (01)x << . （5分）(2)由()2542120y a x x '=--=得112x =，23x =-（舍）, （7分） 当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<， 所以，函数()235144y a x x x =+-- ()01x <<在12x =取得最大值. （11分） 故改进工艺后，产品的销售价为1201302x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.（12分）19.（本题满分12分）解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='（2分）由1>a 知，0)(>'x f ⇔2<x 或a x 2>；（3分）0)(<'x f ⇔a x 22<<；（4分）综上知，当1>a 时，)(x f 的递增区间为)2,(-∞和),2(+∞a ，递增区间为)2,2(a 。
（6分） （II ）由（I ）知，当2x =时，)(x f 取得极大值4(2)283f a =-。
（7分） 当2x a =时，)(x f 取得极小值324(2)4243f a a a a =-++。
（8分） 由题设知14(2)2803a f a >⎧⎪⎨=-<⎪⎩或 3214(2)42403a f a a a a >⎧⎪⎨=-++>⎪⎩（10分） 解得 16a <<， 故a 的取值范围是(1,6) （12分）20.（本题满分12分）解：(Ⅰ)由()22(x f x e x a x R =-+∈）得()2x f x e '=-，（2分）令()20x f x e '=-=得ln 2x =，（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<，（4分）故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(1ln 2)f a =-+。
（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x ax x =-+->，则()22x g x e x a '=-+，（7分）由(Ⅰ) 及ln 21a >-知()22x g x e x a '=-+有最小值(ln 2)2(1ln 2)0g a '=-+>（9分）于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221x e x ax >-+。
（12分）21.（本题满分14分）解：(Ⅰ) 由12a =，得22212(2)4a a λλλλ=++-=+（1分），同理可得，3328a λ=+（2分），44316a λ=+（3分），猜想(1)2n n n a n λ=-+（4分）。