2021年高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教B版必修
新高中人教B版数学必修五课时作业：1.2应用举例(含答案)
§ 1.2应用举例(二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ________．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝ 90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、 B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋ 153mC． 15＋ 30 3m D ．15＋ 33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上行进600 m 后测仰角为原来的 2 倍，持续在平行地面上行进2003m 后，测得山岳的仰角为本来的 4 倍，则该山岳的高度是 ()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．平行四边形中， AC ＝ 65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是() A． 16B． 17.5C． 18D． 18.53二、填空题7．甲船在 A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了 ________海里．8．△ ABC 中，已知 A ＝ 60°，AB ∶ AC ＝ 8∶5，面积为 10 3，则其周长为 ________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长 AB ＝ 2，BC＝ 6， CD＝ DA ＝ 4，求圆内接四边形ABCD 的面积．能力提高13．如下图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m ，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF 的余弦值．14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．§ 1.2 应用举例 (二)答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B 2．A[h＝ 20tan 60 ＝°20 3(m)． h403(m)． ]甲 乙＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°31＝ PB60×＝ 303．A[ 在△ PAB 中，由正弦定理可得60 ，PB ＝ 2 ，－3sin 30 ° sin 15 °sin 15 °h ＝PBsin 45 ＝°(30＋ 30 3)m.]4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝ 2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝3，∴ θ＝ 15°，∴ h ＝ 200 3·sin 4＝θ300 (m) ． ] 26．A[ 设两邻边 AD ＝ b ， AB ＝ a ，∠ BAD ＝α，则 a ＋b ＝ 9， a 2＋ b 2－ 2abcos α＝ 17， a 2＋ b 2－ 2abcos(180 °－ α)＝65.解得： a ＝ 5， b ＝ 4， cos α＝ 35或 a ＝ 4， b ＝ 5， cos α＝ 35，∴ S＝ ab sin＝α16.]7．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BCAC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ， sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝ 1，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝30°， 2∴ BC ＝AB ＝ a ，∴ AC 2＝ AB 2＋BC2－ 2AB ·BCcos 120°＝ a 2＋ a 2－ 2a 2·－ 1＝ 3a 2，∴ AC ＝ 3a.28． 20分析1 3k 2＝10 3.设 AB ＝ 8k ， AC ＝ 5k ， k>0，则 S ＝ AB ·AC ·sin A ＝ 102∴ k ＝1， AB ＝ 8， AC ＝ 5，由余弦定理：222 221 BC ＝AB＋ AC－ 2AB ·AC ·cos A ＝ 8 ＋ 5－ 2×8×5× ＝ 49.2∴ BC ＝7，∴周长为 AB ＋ BC ＋ CA ＝ 20.27 π 9. 5分析不如设三角形三边为a ，b ，c 且 a ＝ 6， b ＝ c ＝ 12，由余弦定理得：222222＝7，cos A ＝ b ＋ c － a ＝ 12 ＋12 － 62bc 2×12×12 8 ∴ sin A ＝1－ 7 2＝ 15.881 1 3 15由 (a ＋ b ＋ c) ·r ＝ bcsin A 得 r ＝5.22∴ S2 27π内切圆＝ πr＝5.210.3分析设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2×10×9tcos 120 ，°解得 2或 t ＝－5t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋β，∠ ABC ＝ 90°－ α，∠ BAC ＝ α－ β，∠ CAD ＝ β.依据正弦定理得：AC＝BC，sin∠ ABC sin∠ BAC即AC＝BC，－－∴AC＝BCcos α＝hcos α.－－在 Rt△ACD中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝hcosα sin β－.即山高 CD 为hcosα sin β－.12．解连结 BD ，则四边形面积S＝ S△ABD＋ S△CBD＝1A B·AD·sin A ＋1B C·CD·sin C.22∵A ＋ C＝ 180°，∴ sin A＝ sin C.1∴S＝2(AB ·AD ＋ BC·CD)·sin A ＝16sin A.由余弦定理：在△ ABD 中， BD 2＝22＋42－2×2×4cos A＝ 20－16cos A ，在△ CDB 中， BD 2＝ 42＋ 62－ 2×4×6cos C＝ 52－ 48cos C，∴20－16cos A＝ 52－ 48cos C.1又 cos C＝－ cos A，∴ cos A＝－2.∴ A＝ 120 °.∴四边形 ABCD的面积 S＝ 16sin A ＝ 8 3.13．解作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF于 M.DF＝MF 2＋DM 2＝302＋ 1702＝ 10 298(m)，DE＝DN 2＋ EN 2＝502＋ 1202＝ 130(m) ，EF＝－2＋BC 2＝902＋ 1202＝150(m) ．在△ DEF 中，由余弦定理的变形公式，得22－ DF222－ 10216DE ＋EF＝130 ＋150×298 cos∠ DEF＝2DE·EF ＝65.2×130 ×15016即∠ DEF 的余弦值为65.14．解如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ ADB ＝30°，∠ ACB ＝45°∵ AB ＝30，∴BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△ BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴ CD＝30，即两船相距30 m.。
高中数学课时素养评价五补集及综合应用新人教B版必修第一册
课时素养评价五补集及综合应用(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1.设全集U=R，则下列集合运算结果为R的是( )A.Z∪(U N)B.N∩(U N)C. U(U)D. U Q【解析】选A. Z∪(U N)=R，N∩(U N)=，U(U)=， U Q表示无理数构成的集合.2.(多选题)设全集为U，则图中的阴影部分可以表示为( )A. U(A∪B)B.( U A)∩(U B)C. U(A∩B)D.A∪(U B)【解析】选A、B.阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的元素构成，即元素x∈U但x∉A，x∉B，即x∈(U A)∩(U B)，即x∈(U(A∪B)).3.已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且U(A∪B)={4}，B={1，2}，则A∩(U B)=( )A.{3}B.{4}C.{3，4}D.【解析】选A.由U={1，2，3，4}，且U(A∪B)={4}，知A∪B={1，2，3}，又B={1，2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩(U B)={3}.4.已知集合P=(0，+∞)，Q=(-1，1)，那么(R P) ∩Q= ( )A.(-1，+∞)B.(0，1)C.(-1，0]D.(-1，1)【解析】选C.因为P=(0，+∞)，所以R P=(-∞，0]，因为Q=(-1，1)，所以(R P)∩Q=(-1，0].【加练·固】已知全集U=R，集合A=(-∞，-1)∪(4，+∞)，B=[-2，3]，那么阴影部分表示的集合为( )A.[-2，4]B.(-∞，3]∪[4，+∞)C.[-2，-1]D.[-1，3]【解析】选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(U A)∩B=[-1，4]∩[-2，3]=[-1，3].二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知全集U={x∈N*|x≤9}，(U A)∩B={1，6}，A∩(U B)={2，3}，(U A)∩(U B)={4，5，7，8}，则A=________，B=________.【解析】因为全集U={x∈N*|x≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(U A)∩B={1，6}，A∩(U B)={2，3}，(U A)∩(U B)={4，5，7，8}，所以作出维恩图，得：由维恩图得：A={2，3，9}，B={1，6，9}.答案：{2，3，9} {1，6，9}6.已知集合A=(-∞，a)，B=(1，2)，A∪(R B)=R，则实数a的取值范围是________.【解析】因为R B=(-∞，1]∪[2，+∞)，又A=(-∞，a)，观察R B，A在数轴上所表示的区间，如图所示.可知当a≥2时，A∪(R B)=R. 答案：[2，+∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7.设全集U={x∈Z|0≤x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}.求A∪B，(A∩B)∩C，(U A)∩(U B).【解析】A∪B={1，2，4，5，6，7，8，9，10}；(A∩B)∩C=；(U A)∩(U B)={0，3}.8.已知集合A={x|x<-3或x>2}，B={x|-4≤x-2<2}，(1)求A∩B ，(R A)∪(R B ).(2)若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围.【解析】(1)因为B={x|-4≤x-2<2}={x|-2≤x<4}，且A={x|x<-3或x>2}，所以R A={x|-3≤x≤2}， R B={x|x<-2或x≥4}，所以A∩B ={x|2<x<4}，(R A)∪(R B ) ={x|x≤2或x≥4}.(2)当M=时，则2k-1>2k+1，无解，因为集合M是集合A的真子集，所以2k+1<-3或2k-1>2，解得k<-2或k>，所以实数k的取值范围是.(15分钟·30分)1.(5分)设U=R，N={x|-2<x<2}，M={x|a-1<x<a+1}，若U N是U M的真子集，则实数a的取值范围是( )A.-1<a<1B.-1≤a<1C.-1<a≤1D.-1≤a≤1【解析】选D.因为U N是U M的真子集，所以M是N的真子集，所以a-1≥-2且a+1≤2，解得-1≤a≤1.2.(5分)设U={1，2，3，4，5}，若A∩B={2}，(U A)∩B={4}，(U A)∩(U B)={1，5}，则下列结论正确的是( )A.3∉A且3∉BB.3∈A且3∉BC.3∉A且3∈BD.3∈A且3∈B【解析】选B.因为U={1，2，3，4，5} ，若A∩B={2}，(U A)∩B={4}，(U A)∩(U B)={1，5}，所以画出维恩图：所以A={2，3}，B={2，4}，则3∈A且3∉B.3.(5分)设集合P={x|x=3k+1，k∈Z}，Q={x|x=3k-1，k∈Z}，则Z(P∪Q)=________.【解析】P={x|x=3k+1，k∈Z}，表示被3除余数为1的整数构成的集合，Q={x|x=3k-1，k∈Z}={x|x=3n+2，n∈Z}，表示被3除余数为2的整数构成的集合，故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合， Z(P∪Q)={x|x=3k，k∈Z}.答案：{x|x=3k，k∈Z}4.(5分)下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是________.(填序号)(1)若A∩B=，则(U A)∪(U B)=U；(2)若A∩B=，则A=或B=；(3)若A∪B=U，则(U A)∩(U B)=；(4)若A∪B=，则A=B=.【解析】(1)对，因为(U A)∪(U B)= U(A∩B)，而A∩B=，所以(U A)∪(U B)=U(A∩B)=U.(2)错，A∩B=，集合A，B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可.(3)对，因为(U A)∩(U B)= U(A∪B)，而A∪B=U，所以(U A)∩(U B)= U(A∪B)=.(4)对，A∪B=，即集合A，B均无元素.综上(1)(3)(4)对.答案：(1)(3)(4)5.(10分)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={x|x2-5x+m=0}，B={x|x2+nx+12=0}，且(U A)∪B={1，3，4，5}，求m+n的值.【解析】因为U={1，2，3，4，5}，(U A)∪B={1，3，4，5}，所以2∈A，又A={x|x2-5x+m=0}，所以2是关于x的方程x2-5x+m=0的一个根，得m=6且A={2，3}，所以U A={1，4，5}.而(U A)∪B={1，3，4，5}，所以3∈B，又B={x|x2+nx+12=0}，所以3一定是关于x的方程x2+nx+12=0的一个根，所以n=-7且B={3，4}，所以m+n=-1.1.已知全集U，M，N是U的非空子集，且U M⊇N，则必有( )A.M⊆U NB.M U NC. U M=U ND.M⊆N【解析】选A.依据题意画出维恩图，观察可知，M⊆U N.2.已知全集U=R，集合A={x|x≤-a-1}，B={x|x>a+2}，C={x|x<0或x≥4}都是U的子集，若U(A∪B)⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)-a-1<a+2时，得a>-，所以U(A∪B)=(-a-1，a+2].为使U(A∪B)⊆C成立，所以a+2<0，解得a<-2，或-a-1≥4，解得a≤-5，而此时a>-，所以无解.(2)-a-1≥a+2时，得：a≤-，所以U(A∪B)=，显然U(A∪B)⊆C成立，综上知，a的取值范围是.【加练·固】已知全集U=R，集合A=(2，9)，B=[-2，5].(1)求A∩B，B∪(U A).(2)已知集合C=[a，a+2]，若C⊆(U B)，求实数a的取值范围.【解析】(1)全集U=R，集合A=(2，9)，B=[-2，5].则U A=(-∞，2]∪[9，+∞)，那么A∩B=(2，5]，B∪(U A)=(-∞，5]∪[9，+∞).(2)集合C=[a，a+2]，B=[-2，5].则U B=(-∞，-2)∪(5，+∞)，因为C⊆(U B)，所以需满足：a+2<-2或a>5，故得：a<-4或a>5，所以实数a的取值范围是(-∞，-4)∪(5，+∞).。
新教材高中数学课时跟踪检测五补集及集合运算的综合新人教A版必修第一册
新教材高中数学课时跟踪检测五补集及集合运算的综合新人教A版必修第一册课时跟踪检测（五）补集及集合运算的综合A级——学考水平达标练1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝( )A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：选C ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}，∴B∩∁U A＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}．2．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁U A＝{1,3,5}，则m等于( )A．1 B．3C．4 D．5解析：选C 由已知m∈U，且m∉∁U A，故m＝2或4.又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4.所以选C.3．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁U P等于( )A．{x|0≤x＜1或x＞1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜1或x＞1} D．{x|x＞1}解析：选A 因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x ＞1}．4．设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1，或x＜－1}，N＝{x|0＜x＜2}，则∁U(M∪N)＝( ) A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤0} D．{x|x＜1}解析：选C 因为M∪N＝{x|x＞0或x＜－1}，所以∁U(M∪N)＝{x|－1≤x≤0}．5．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}解析：选A 阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A.6．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.解析：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}7．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．解析：∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．答案：48．已知全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m的值是________．解析：因为∁U A＝{1,2}，所以A＝{0,3}，即方程x2＋mx＝0的两个根分别为0,3，所以m ＝－3.答案：－39．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)．解：(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)如图①.A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图②.∁U B＝{x|x<0或x≥7}，∴A∪(∁U B)＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图③.∁U A＝{x|x≤－5或x≥5}，∴B ∩(∁U A )＝{x |5≤x <7}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .解：∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁U A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，∴{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B .借助于数轴，如图，可得B ＝A ∪{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}＝{x |0＜x ＜3}．B 级——高考水平高分练1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：因为(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )，所以A ∩B 中的元素个数是(m －n )个．答案：m －n2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，由(∁U A )∪B ＝R ，可知a ≤1. 答案：{a |a ≤1}3．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求． 4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－5＜x ＜4}，集合B ＝{x |x ＜－6或x ＞1}，集合C ＝{x |x －m ＜0}，求实数m 的取值范围，使其同时满足下列两个条件．①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．解：因为A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6或x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4}，∁U B＝{x|－6≤x≤1}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x＜m}，因为当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时，m＞－5，所以m≥4.即实数m的取值范围为{m|m≥4}．5．已知全集U＝{小于10的正整数}，A⊆U，B⊆U，且(∁U A)∩B＝{1,8}，A∩B＝{2,3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9}．(1)求集合A与B；(2)求(∁R U)∪[∁Z(A∩B)](其中R为实数集，Z为整数集)．解：由(∁U A)∩B＝{1,8}，知1∈B,8∈B；由(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9}，知4,6,9∉A，且4,6,9∉B；由A∩B＝{2,3}，知2,3是集合A与B的公共元素．因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以5,7∈A.画出Venn图，如图所示．(1)由图可知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U)∪[∁Z(A∩B)]＝{x|x∈R，且x≠2，x≠3}．。
高中数学：新同步课堂人教B全国通用版必修一课时分层作业5补集及其综合应用
课时分层作业(五)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅B[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．]2．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，全集U＝R，则∁R A∩B＝() 【导学号：60462050】A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}A[因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则∁R A∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．]3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1-2-2中的阴影部分表示的集合为()图1-2-2A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}B[全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由Venn图可知阴影部分表示的集合为∁U A∩B，∵∁U A＝{4,6,7,8}，∴∁U A∩B＝{4,6}．故选B.]4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．∁U M∪∁U N D．∁U M∩∁U ND[∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则∁U M∩∁U N＝{5,6}．故选D.]5．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图1-2-3中的阴影部分表示的集合为()图1-2-3A．M∩(P∩∁I N)B．M∩(N∩∁I P)C．M∩(∁I N∩∁I M)D．(M∩N)∪(M∩P)B[由题中的Venn图可得阴影部分的元素属于M，属于N，但不属于P，故阴影部分表示的集合为M∩N∩(∁I P)＝M∩(N∩∁I P)．]二、填空题6．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则∁R S∪T＝________.【导学号：60462051】(－∞，1][∵集合S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}，由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，故∁R S∪T＝{x|x≤1}．]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝________.{3}[∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．]8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．∁U A⊆∁U B[∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.]三、解答题9．设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．[解]A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围.【导学号：60462052】[解]若B＝∅，此时∁U B＝R，且A⊆∁U B；则a＋1>2a－1，所以a<2，若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁U B＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁U B，如图，则a＋1>5，∴a>4，∴实数a的取值范围为{a|a<2，或a>4}．[冲A挑战练]一、选择题1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1B．2C．3D．4B[∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U (A ∪B )＝{3,5}．]2．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么(∁U M )∩(∁U N )＝( )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y )|y ≠x ＋1} B [∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1表示直线y ＝x ＋1去掉点(2,3)． N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}表示平面内除直线y ＝x ＋1外的点，又∵(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )而M ∪N 表示平面内除(2,3)以外的所有点∴∁U (M ∪N )＝{(2,3)}，综上可知选B.]二、填空题3．设U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x >4或x <3}，则a ＋b ＝________. 7 [∵U ＝R ，∁U A ＝{x |x >4或x <3}∴A ＝{x |3≤x ≤4}，∴a ＝3，b ＝4则a ＋b ＝7.]4．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________．－1或2 [∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}，∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.]三、解答题5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}．求【导学号：60462053】(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ，①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有⎩⎨⎧ 2a －3≤－a ，2a －3>2，－a <5，解得a ∈∅. 综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。
高中数学 课时跟踪检测(十七)不等式的实际应用 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题
课时跟踪检测（十七） 不等式的实际应用层级一 学业水平达标1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( )A ．9B ．10C ．8D ．11解析：选A 设每天至少要加工x 零件． 由题意得：100x ＋200x ＋15<20，解得x >53或x <－53，设每天至少要加工9个零件． 2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.则n 为( )A ．7B ．5C ．6D ．8解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6<40n 100＋1 600400<8，14<70n 100＋4 900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514.又n ∈N ，所以n ＝6.3．某，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设这种书的最高定价应当为x 元，由题意得：[80 000－(x －2.5)×20 000]×x ≥200 000，解得： 52≤x ≤4，所以最高定价为4元．4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C 由题意知3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150.5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．500件B ．1 000件C ．2 500件D ．5 000件解析：选B 设每次进x 件费用为y 元，由y ＝10 000×100x ＋x2×2≥21 000 000x·x ＝2 000，当1 000 000x＝x ，x ＝1 000时，y 最小．6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n 年维修费用约为0.2n 万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．解析：年平均值y ＝14.4＋0.9n ＋0.21＋2＋…＋n n ＝14.4n＋0.1n ＋1≥3.4，当且仅当14.4n＝0.1n ，即n ＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．答案：127．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值X 围是________．解析：设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 答案：[3,5]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫1 600x ＋4x 万元，而1 600x ＋4x ≥160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：209．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？解：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ，b >0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是100a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克．∵a ＋b2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2a ＋b ＝a －b 22a ＋b>0，∴a ＋b 2>2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元， 公司B 收取的费用为x 35－x20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少， 则x 35－x20>1.5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．层级二 应试能力达标1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的X 围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值X 围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.3．一种产品的年产量情况是第一年为a 件，第二年比第一年增长P 1%，第三年比第二年增长P 2%，且P 1＞0，P 2＞0，P 1＋P 2＝2P ，如果年平均增长x %，则有( )A ．x ＝PB ．x ≤PC ．x ≥PD ．x ＜P解析：选B 设三年后产量为y ， 则y ＝a (1＋P 1%)(1＋P 2%)≤a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋P 1%＋1＋P 2%22＝a ·(1＋P %)2.又∵年平均增长x %，则y ＝a (1＋x %)2， ∴a (1＋x %)2≤a (1＋P %)2，∴x ≤P .4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m 件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n (n ∈N ＋)元的礼品比赠送价值为n －1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为( )A ．9元或10元B ．10元或11元C ．8元或9元D ．8元或10元解析：选A 设礼品价值为n 元时，总利润为a n ，则a n ＝(20－n )m (1＋10%)n＝m (20－n )1.1n(0＜n ＜20，n ∈N ＋)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧20－n·1.1≥21－n ，20－n ≥19－n ·1.1，解得9≤n ≤10.由n ∈N ＋，知n ＝9或n ＝10.故选A.5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值X 围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的X 围是(100,400)． 答案：(100,400)6．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %， 则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：207．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：设每批购入x 台，运输费和保管费共y 元，则需进货3 600x次，每批进货总价值为2 000x元，设全年保管费为2 000kx (k ＞0)元．依题意得，43 600＝2 000×400k ＋3 600400×400，则k ＝120，∴y ＝3 600x ×400＋2 000kx ＝1 440 000x ＋100x ≥21 440 000x×100x ＝24 000，当且仅当1 440 000x＝100x ，即x ＝120时，等号成立．故每批进货120台时，能使资金够用．8．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的X 围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧8080－10P ·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P 的X 围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．。
新人教B版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的基本运算全集补集及综合应用教案
考点学习目标核心素养全集、补集了解全集、补集的意义，正确理解符号∁U A的含义，会求已知全集条件下集合A的补集数学抽象、数学运算、直观想象集合交、并、补的综合运算会求解集合的交、并、补的集合问题数学运算、直观想象与补集相关的参数值（范围）的求解能正确利用补集的意义求解一些具体问题数学运算、直观想象问题导学预习教材P１7倒数第４行—P１9，思考以下问题：１．全集的含义是什么？２．补集的含义是什么？３．如何理解“∁U A”的含义？４．如何用维恩图表示∁U A？１．全集（１）定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．（２）记法：全集通常记作U．■名师点拨全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．２．补集文字语言如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言（１）A∪（∁U A）＝U．（２）A∩（∁U A）＝∅．（３）∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A．（４）（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）．（５）（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）．■名师点拨∁U A的三层含义（１）∁U A表示一个集合．（２）A是U的子集，即A⊆U.（３）∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）数集问题的全集一定是R.（）（２）集合∁B C与∁A C相等．（）（３）A∩∁U A＝∅.（）（４）一个集合的补集中一定含有元素．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）×设集合U＝{１，２，３，４，５，6}，M＝{１，３，５}，则∁U M＝（）Ａ．{２，４，6} B．{１，３，５}Ｃ．{１，２，４} Ｄ．U解析：选Ａ．因为集合U＝{１，２，３，４，５，6}，M＝{１，３，５}，所以∁U M＝{２，４，6}．已知全集U＝R，区间P＝[—１，１]，那么∁U P＝（）Ａ．（—∞，—１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—１，１）Ｄ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）解析：选Ｄ．因为P＝[—１，１]，U＝R，所以∁U P＝∁R P＝（—∞，—１）∪（１，＋∞）．已知集合A＝{３，４，m}，集合B＝{３，４}，若∁A B＝{５}，则实数m＝________．答案：５补集的运算（１）若区间U＝[—２，２]，则A＝[—２，0]的补集∁U A为（）Ａ．（0，２）B．[0，２）Ｃ．（0，２] D．[0，２]（２）设U＝{x|—５≤x<—２，或２<x≤５，x∈Z}，A＝{x|x２—２x—１５＝0}，B＝{—３，３，４}，则∁U A＝________，∁U B＝________．【解析】（１）借助数轴易得∁U A＝（0，２]．（２）法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为—５，—４，—３，３，４，５，所以U＝{—５，—４，—３，３，４，５}．又A＝{x|x２—２x—１５＝0}＝{—３，５}，所以∁U A＝{—５，—４，３，４}，∁U B＝{—５，—４，５}．法二：可用维恩图表示则∁U A＝{—５，—４，３，４}，∁U B＝{—５，—４，５}．【答案】（１）C （２）{—５，—４，３，４} {—５，—４，５}错误!求集合补集的策略（１）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．（２）如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．若集合A＝{x|—１≤x<１}，当S分别取下列集合时，求∁S A.（１）S＝R；（２）S＝{x|x≤２}；（３）S＝{x|—４≤x≤１}．解：（１）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁S A＝{x|x<—１或x≥１}．（２）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁S A＝{x|x<—１或１≤x≤２}．（３）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁S A＝{x|—４≤x<—１或x＝１}．集合交、并、补的综合运算（１）（２0１9·长沙检测）已知全集U＝{１，２，３，４，５，6，7，8}，集合A＝{２，３，５，6}，集合B＝{１，３，４，6，7}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{２，５} B．{３，6}C．{２，５，6} D．{２，３，５，6，8}（２）已知全集U＝R，A＝{x|—４≤x<２}，B＝{x|—１<x≤３}，P＝错误!，求A∩B，（∁U B）∪P，（A∩B）∩（∁U P）．【解】（１）选Ａ．因为U＝{１，２，３，４，５，6，7，8}，B＝{１，３，４，6，7}，所以∁U B ＝{２，５，8}．又A＝{２，３，５，6}，所以A∩（∁U B）＝{２，５}．（２）将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，因为A＝{x|—４≤x<２}，B＝{x|—１<x≤３}，所以A∩B＝{x|—１<x<２}，∁U B＝{x|x≤—１或x>３}．又P＝错误!，所以（∁U B）∪P＝错误!.又∁U P＝错误!，所以（A∩B）∩（∁U P）＝{x|—１<x<２}∩错误!＝{x|0<x<２}．１．（变问法）在本例（２）的条件下，求（∁U A）∩（∁U P）．解：画出数轴，如图所示，观察数轴可知（∁U A）∩（∁U P）＝错误!.２．（变条件）将本例（２）中的集合P改为{x|x≤５}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪（∁U B）．解：画出数轴，如图所示，观察数轴可知A∪（∁U B）＝{x|x<２或３<x≤５}．错误!解决集合交、并、补运算的技巧（１）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．（２）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．已知全集U＝{x|x≤４}，集合A＝{x|—２<x<３}，B＝{x|—３≤x≤２}，求A∩B，（∁U A）∪B，A∩（∁U B）．解：如图，因为A＝{x|—２<x<３}，B＝{x|—３≤x≤２}，所以∁U A＝{x|x≤—２或３≤x≤４}，∁U B＝{x|x<—３或２<x≤４}．所以A∩B＝{x|—２<x≤２}，（∁U A）∪B＝{x|x≤２或３≤x≤４}，A∩（∁U B）＝{x|２<x<３}．与补集相关的参数值（范围）的求解设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|—２<x<４}，全集U＝R，且（∁U A）∩B＝∅，求实数m的取值范围．【解】由已知A＝{x|x≥—m}，得∁U A＝{x|x<—m}，因为B＝{x|—２<x<４}，（∁U A）∩B＝∅，在数轴上表示，如图，所以—m≤—２，即m≥２，所以m的取值范围是m≥２．（变条件）若将本例中的条件“（∁U A）∩B＝∅”改为“（∁U A）∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥—m}，所以∁U A＝{x|x<—m}，又（∁U A）∩B≠∅，所以—m>—２，解得m<２．所以m的取值范围是m<２．错误!由集合的补集求解参数的方法（１）由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．（２）与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．已知U＝R，区间A＝（—∞，—１），B＝（２a，a＋３），且B⊆∁R A，求实数a 的取值范围．解：由题意得∁R A＝[—１，＋∞），１若B＝∅，则a＋３≤２a，即a≥３，满足B⊆∁R A；２若B≠∅，则由B⊆∁R A，得２a≥—１且２a<a＋３，即—错误!≤a<３．综上可得，实数a的取值范围是错误!.１．已知全集U＝{１，２，３，４，５，6}，集合P＝{１，３，５}，Q＝{１，２，４}，则（∁U P）∪Q＝（）Ａ．{１} Ｂ．{３，５}Ｃ．{１，２，４，6} Ｄ．{１，２，３，４，５}解析：选Ｃ．由题意得，∁U P＝{２，４，6}，所以（∁U P）∪Q＝{１，２，４，6}．故选Ｃ．２．设全集U＝R，区间A＝（0，＋∞），B＝（１，＋∞），则A∩（∁U B）＝（）Ａ．[0，１）B．（0，１]Ｃ．（—∞，0）D．（１，＋∞）解析：选B.因为∁U B＝（—∞，１]，所以A∩（∁U B）＝（0，１]．３．已知全集U＝{１，２，a２—２a＋３}，A＝{１，a}，∁U A＝{３}，则实数a等于（）Ａ．0或２B．0Ｃ．１或２D．２解析：选Ｄ．由题意，知错误!得a＝２．４．设全集为R，A＝{x|３≤x<7}，B＝{x|２<x<１0}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B.解：把集合A，B在数轴上表示如图，由图知，A∪B＝{x|２<x<１0}，所以∁R（A∪B）＝{x|x≤２或x≥１0}，因为∁R A＝{x|x<３或x≥7}，所以（∁R A）∩B＝{x|２<x<３或7≤x<１0}．[A 基础达标]１．设集合U＝{１，２，３，４，５，6}，集合A＝{１，３，５}，B＝{３，４，５}，则∁U（A∪B）＝（）Ａ．{２，6} Ｂ．{３，6}Ｃ．{１，３，４，５} Ｄ．{１，２，４，6}解析：选Ａ．由题知A∪B＝{１，３，４，５}，所以∁U（A∪B）＝{２，6}．故选Ａ．２．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥１}，则集合∁U（A∪B）＝（）Ａ．{x|x≥0} Ｂ．{x|x≤１}Ｃ．{x|0≤x≤１} Ｄ．{x|0<x<１}解析：选Ｄ．由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥１}，故∁U（A∪B）＝{x|0<x<１}．３．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝（）A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}解析：选Ｂ．由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．４．已知全集U＝{１，２，３，４}，且∁U（A∪B）＝{４}，B＝{１，２}，则A∩（∁U B）＝（）Ａ．{３} Ｂ．{４}Ｃ．{３，４} Ｄ．∅解析：选Ａ．因为全集U＝{１，２，３，４}，且∁U（A∪B）＝{４}，所以A∪B＝{１，２，３}，又B＝{１，２}，所以∁U B＝{３，４}，A＝{３}或{１，３}或{２，３}或{１，２，３}，所以A∩（∁U B）＝{３}．故选Ａ．５．（２0１9·沈阳检测）已知全集U＝R，集合A＝{x|x<—１或x>４}，B＝{x|—２≤x≤３}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{x|—２≤x<４} Ｂ．{x|x≤３或x≥４}C．{x|—２≤x≤—１} Ｄ．{x|—１≤x≤３}解析：选Ｄ．由题意得，阴影部分所表示的集合为（∁U A）∩B＝{x|—１≤x≤４}∩{x|—２≤x≤３}＝{x|—１≤x≤３}．6．已知全集U＝{１，２，３，４，５}，集合A＝{x|x２—３x＋２＝0}，B＝{x|x＝２a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为________．解析：由题意得，A＝{１，２}，B＝{２，４}，所以A∪B＝{１，２，４}，所以∁U（A∪B）＝{３，５}，故有２个元素．答案：２7．设全集U＝{0，１，２，３}，集合A＝{x∈U|x２＋mx＝0}，若∁U A＝{１，２}，则实数m＝________．解析：由题意可知，A＝{x∈U|x２＋mx＝0}＝{0，３}，即0，３为方程x２＋mx＝0的两根，所以m＝—３．答案：—３8．已知全集U＝R，A＝{x|１≤x<b}，∁U A＝{x|x<１或x≥２}，则实数b＝________．解析：因为∁U A＝{x|x<１或x≥２}，所以A＝{x|１≤x<２}．所以b＝２．答案：２9．已知集合A＝{x|—１<x≤３}，B＝{x|１≤x<6}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）．解：∁R（A∪B）＝{x|x≤—１或x≥6}，∁R（A∩B）＝{x|x<１或x>３}，（∁R A）∩B＝{x|３<x<6}，A∪（∁R B）＝{x|x≤３或x≥6}．１0．已知集合A＝{x|x２＋ax＋１２b＝0}和B＝{x|x２—ax＋b＝0}，满足（∁R A）∩B＝{２}，A∩（∁R B）＝{４}，求实数a，b的值．解：由条件（∁R A）∩B＝{２}和A∩（∁R B）＝{４}，知２∈B，但２∉A；４∈A，但４∉B.将x＝２和x＝４分别代入B，A两集合中的方程得错误!即错误!解得a＝错误!，b＝—错误!即为所求．[B 能力提升]１１．已知集合M＝{x|x<—２或x≥３}，N＝{x|x—a≤0}，若N∩∁R M≠∅（R为实数集），则a的取值范围是________．解析：由题意知∁R M＝{x|—２≤x＜３}，N＝{x|x≤a}．因为N∩∁R M≠∅，所以a≥—２．答案：a≥—２１２．已知A＝{x|—１<x≤３}，B＝{x|m≤x<１＋３m}．（１）当m＝１时，求A∪B；（２）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围.解：（１）当m＝１时，B＝{x|１≤x<４}，A∪B＝{x|—１<x<４}．（２）∁R A＝{x|x≤—１或x>３}．当B＝∅，即m≥１＋３m时，得m≤—错误!，满足B⊆∁R A；当B≠∅时，要使B⊆∁R A成立，则错误!或错误!解得m>３．综上可知，实数m的取值范围是m>３或m≤—错误!.１３．设全集U＝R，集合A＝{x|x２＋３x＋２＝0}，B＝{x|x２＋（m＋１）x＋m＝0}．若（∁U A）∩B ＝∅，求实数m的值．解：由已知，得A＝{—２，—１}，由（∁U A）∩B＝∅，得B⊆A，因为方程x２＋（m＋１）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋１）２—４m＝（m—１）２≥0，所以B≠∅.所以B＝{—１}或B＝{—２}或B＝{—１，—２}．１若B＝{—１}，则m＝１；２若B＝{—２}，则应有—（m＋１）＝（—２）＋（—２）＝—４，且m＝（—２）×（—２）＝４，这两式不能同时成立，所以B≠{—２}；３若B＝{—１，—２}，则应有—（m＋１）＝（—１）＋（—２）＝—３，且m＝（—１）×（—２）＝２，由这两式得m＝２．经检验，知m＝１，m＝２均符合题意．所以m＝１或２．[C 拓展探究]１４．已知全集U＝{不大于２0的质数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩（∁U N）＝{３，５}，（∁U M）∩N＝{7，１9}，（∁U M）∩（∁U N）＝{２，１7}，则M＝________，N＝________．解析：法一：U＝{２，３，５，7，１１，１３，１7，１9}，如图所示，所以M＝{３，５，１１，１３}，N＝{7，１１，１３，１9}．法二：因为M∩（∁U N）＝{３，５}，所以３∈M，５∈M且３∉N，５∉N.又因为（∁U M）∩N＝{7，１9}，所以7∈N，１9∈N且7∉M，１9∉M.又因为（∁U M）∩（∁U N）＝{２，１7}，所以∁U（M∪N）＝{２，１7}，所以M＝{３，５，１１，１３}，N＝{7，１１，１３，１9}．答案：{３，５，１１，１３} {7，１１，１３，１9}。
2021年高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教A版必修
2021年高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教A 版必修1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )等于( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5}D ．{1,5}解析：选B A ∩B ＝{2,3}．∴∁U (A ∩B )＝{1,4,5}．2．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D ∵B ＝{x |x <1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}． ∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2D ．2解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A ．A ∪B B ．A ∩BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：选D ∵A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}， ∴A ∪B ＝{1,3,4,5,6}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：选A 阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.6．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.答案：－38．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁U N＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M ∪N ＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤0或x ≥2} ＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}，∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <52＝{x |0<x <2}． 10．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，∁U (A ∪B )．解：如图所示．∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，U ＝{x |x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}．A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，A ∪B ＝{x |－3≤x ＜3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．层级二应试能力达标1．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B ∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3<x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}解析：选A ∵∁U A＝{x|x<－2或x>3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3<x≤4}，故选A.3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N 等于( )A．M B．NC．I D．∅解析：选A 因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为( )A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：选A 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合∁U(M∩N)中的元素共有________个．解析：∵U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，∴∁U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．答案：36．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.答案：{a|a≥2}7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁U B)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.解：∵A∪B＝U，A∩B＝∅，∴A＝∁U B，又A∩∁U B＝{1,2}，∴A＝{1,2}，∴B＝{3,4,5}．8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．。
高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教B版必修1
高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教B版必修1层级一学业水平达标1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于( )A．{2,3} B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}解析：选B A∩B＝{2,3}．∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选D ∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2解析：选D 由题意，知则a＝2. 4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪BB．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D ∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，∴A∪B＝{1,3,4,5,6}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：选A 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}，故选A. 6．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝________.解析：∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1, 3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3} 7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.答案：－3 8．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．。
2021_2022学年新教材高中数学课时跟踪检测(五)补集及集合运算的综合新人教A版必修第一册
课时跟踪检测〔五〕补集及集合运算的综合A级——学考水平达标练1．(2021·全国卷Ⅰ)集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，那么B∩∁U A＝( )A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：选C ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}，∴B∩∁U A＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}．2．U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁U A＝{1,3,5}，那么m等于( )A．1 B．3C．4 D．5解析：选C 由m∈U，且m∉∁U A，故m＝2或4.又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4.所以选C.3．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，那么∁U P等于( )A．{x|0≤x＜1或x＞1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜1或x＞1} D．{x|x＞1}解析：选A 因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x ＞1}．4．设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1，或x＜－1}，N＝{x|0＜x＜2}，那么∁U(M∪N)＝( ) A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤0} D．{x|x＜1}解析：选C 因为M∪N＝{x|x＞0或x＜－1}，所以∁U(M∪N)＝{x|－1≤x≤0}．5．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如下图，那么阴影局部所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}解析：选A 阴影局部所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．应选A.6．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，那么∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B ＝________.解析：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}7．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，那么集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．解析：∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．答案：48．全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，假设∁U A＝{1,2}，那么实数m的值是________．解析：因为∁U A＝{1,2}，所以A＝{0,3}，即方程x2＋mx＝0的两个根分别为0,3，所以m ＝－3.答案：－39．设U＝R，集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)．解：(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)如图①.A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图②.∁U B＝{x|x<0或x≥7}，∴A∪(∁U B)＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图③.∁U A＝{x|x≤－5或x≥5}，∴B∩(∁U A)＝{x|5≤x<7}．10．全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，假设B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0＜x＜1或2＜x ＜3}，求集合B .解：∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁U A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，∴{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B .借助于数轴，如图，可得B ＝A ∪{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}＝{x |0＜x ＜3}．B 级——高考水平高分练1．全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．假设A ∩B 非空，那么A ∩B 的元素个数为________．解析：因为(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )，所以A ∩B 中的元素个数是(m －n )个．答案：m －n2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，由(∁U A )∪B ＝R ，可知a ≤1. 答案：{a |a ≤1}3．集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求． 4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－5＜x ＜4}，集合B ＝{x |x ＜－6或x ＞1}，集合C ＝{x |x －m ＜0}，求实数m 的取值范围，使其同时满足以下两个条件．①C ⊇(A ∩B )；②C ⊇(∁U A )∩(∁U B )．解：因为A ＝{x |－5＜x ＜4}，B ＝{x |x ＜－6或x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜4}．又∁U A ＝{x |x ≤－5或x ≥4}，∁U B ＝{x |－6≤x ≤1}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{x |－6≤x ≤－5}．而C＝{x|x＜m}，因为当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时，m＞－5，所以m≥4.即实数m的取值范围为{m|m≥4}．5．全集U＝{小于10的正整数}，A⊆U，B⊆U，且(∁U A)∩B＝{1,8}，A∩B＝{2,3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9}．(1)求集合A与B；(2)求(∁R U)∪[∁Z(A∩B)](其中R为实数集，Z为整数集)．解：由(∁U A)∩B＝{1,8}，知1∈B,8∈B；由(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9}，知4,6,9∉A，且4,6,9∉B；由A∩B＝{2,3}，知2,3是集合A与B的公共元素．因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以5,7∈A.画出Venn图，如下图．(1)由图可知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U)∪[∁Z(A∩B)]＝{x|x∈R，且x≠2，x≠3}．。
高中数学-课时达标检测(五)补集及综合应用 新人教A版必修
课时达标检测（五）补集及综合应用一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( ) A．∅B．{4}C．{1,5} D．{2,5}解析：选A ∵∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.2．若全集U＝{1,2,3,4,5}，∁U P＝{4,5}，则集合P可以是( )A．{x∈N*||x|＜4}B．{x∈N*|x＜6}C．{x∈N*|x2≤16}D．{x∈N*|x3≤16}解析：选 A 由题意得P＝{1,2,3}．又因为选项A化简得{1,2,3}，选项B化简得{1,2,3,4,5}，选项C化简得{1,2,3,4}，选项D化简得{1,2}，故选A.3．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{－1,1}，则实数p的值为( )A．－6 B．－4C．4 D．6解析：选D 由已知可得M＝{2,3}，则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根，则p＝6，故选D.4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )A．(∁U M)⊇(∁U N)B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N)D．M⊇(∁U N)解析：选C ∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴(∁U M)⊆(∁U N)．5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.二、填空题6．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝________.解析：∵U ＝R ，B ＝{x |x >1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}．又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}∩{x |x ≤1}＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}7．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵B ＝{x |1<x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．又∵A ∪(∁R B )＝R ，A ＝{x |x <a }．观察∁R B 与A 在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a ≥2时，A ∪(∁R B )＝R.答案：{a |a ≥2}8．全集U ＝R ，A ＝{x |x <－3或x ≥2}，B ＝{x |－1<x <5}，则集合C ＝{x |－1<x <2}＝________(用A ，B 或其补集表示)．解析：如图所示，由图可知C ⊆∁U A ，且C ⊆B ，∴C ＝B ∩(∁U A )．答案：B ∩(∁U A )三、解答题9．设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M∁U P ，求实数a 的取值范围．解：∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，∵M ∁U P ， ∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5. (2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.综上可知，a ≤－72，或a ≥13. 10．已知集合A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，C ＝{x |x <a }．(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)因为A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2≤x <10}．因为A ＝{x |2≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <2，或x ≥7}，则(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)因为A ＝{x |2≤x <7}，C ＝{x |x <a }，且A ∩C ≠∅，所以a >2， 所以a 的取值范围为{a |a >2}．11．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．12．已知全集U ＝{小于10的正整数}，A ⊆U ，B ⊆U ，且(∁U A )∩B ＝{1,8}，A ∩B ＝{2,3}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9}．(1)求集合A 与B ；(2)求(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )](其中R 为实数集，Z 为整数集)． 解：由(∁U A )∩B ＝{1,8}，知1∈B,8∈B ；由(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9}，知4,6,9∉A ，且4,6,9∉B ；由A ∩B ＝{2,3}，知2,3是集合A 与B 的公共元素． 因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以5∈A,7∈A .画出Venn 图，如图所示．(1)由图可知A ＝{2,3,5,7}，B ＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )]＝{x |x ∈R ，且x ≠2，x ≠3}．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高中数学课时跟踪检测五补集及综合应用新人教B 版必修
1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )等于( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5}
D ．{1,5}
解析：选B A ∩B ＝{2,3}．∴∁U (A ∩B )＝{1,4,5}．
2．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1<x ≤2}
D ．{x |1≤x ≤2}
解析：选D ∵B ＝{x |x <1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}． ∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．
3．已知全集U ＝{1,2，a 2
－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2
D ．2
解析：选D 由题意，知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
a 2
－2a ＋3＝3，则a ＝2.
4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A ．A ∪B B ．A ∩B C ．∁U (A ∩B )
D ．∁U (A ∪B )
解析：选D ∵A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}， ∴A ∪B ＝{1,3,4,5,6}， 又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}， ∴∁U (A ∪B )＝{2,7}．
5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是全集U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A ．{x |－2≤x <1}
B ．{x |－2≤x ≤2}
C ．{x |1<x ≤2}
D ．{x |x <2}
解析：选A 阴影部分表示的集合为N ∩(∁U M )＝{x |－2≤x <1}，故选A.
6．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1, 3}∪{2}＝{1,2,3}． 答案：{1,2,3}
7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2
＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.
解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}， ∴0,3是方程x 2
＋mx ＝0的两个根， ∴m ＝－3. 答案：－3
8．已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，∁U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________. 解析：∵U ＝R ，∁U N ＝{x |0<x <2}， ∴N ＝{x |x ≤0或x ≥2}，
∴M ∪N ＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤0或x ≥2} ＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}
9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≤0或x ≥
5
2，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．
解：将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．
∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}，
∴(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≤0或x ≥
5
2， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
0<x <
5
2＝{x |0<x <2}． 10．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，
B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，
∁U (A ∪B )． 解：如图所示．
∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，U ＝{x |x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}．
A ∩
B ＝{x |－2<x ≤2}，A ∪B ＝{x |－3≤x ＜3}．
故(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}，
A ∩(∁U
B )＝{x |2<x <3}．
∁U (A ∪B )＝{x |x <－3，或3≤x ≤4}．
层级二应试能力达标
1．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，
∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，
又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，
∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )
A．{x|3<x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}
解析：选A ∵∁U A＝{x|x<－2或x>3}，
∁U B＝{x|－2≤x≤4}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3<x≤4}，故选A.
3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N等于( ) A．M B．N
C．I D．∅
解析：选A 因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.
4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为( ) A．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：选A 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.
5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合∁U(M∩N)中的元素共有________个．
解析：∵U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，
∴∁U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．
答案：3
6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．
又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．
观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：
可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.
答案：{a|a≥2}
7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁U B)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.
解：∵A∪B＝U，A∩B＝∅，
∴A＝∁U B，又A∩∁U B＝{1,2}，
∴A＝{1,2}，
∴B＝{3,4,5}．
8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．
(1)求A∪B，(∁R A)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．
因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a ＞2}．。