不等式的应用2
2021年九年级数学中考复习——方程专题：不等式与不等式组实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：不等式与不等式组实际应用（二）1．列方程组或不等式解决实际问题某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表：A型B型销售额时间型号上周1辆2辆70万元本周3辆1辆80万元（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？2．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题：（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案；（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．3．北流市某初中为了改善教师办公条件，计划采购A、B两种型号空调，已知采购2台A 型空调和1台B型空调需要费用24000元，3台A型空调比4台B型空调的费用多3000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元？（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，B型空调的台数不多于A型空调台数的2倍，两型号空调的采购总费用不超过218000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？4．养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛，其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如表：大牛（头）小牛（头）总价（元）第一次439900第二次269000第三次678550（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第次；（2）每头大牛和小牛的原价分别为多少元？（3）如果李大叔第四次购买大牛和小牛共10头（其中小牛至少一头），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且总价不低于8100元，那么他共有哪几种购买方案？5．在新冠肺炎疫情期间，为保证孩子们的身心健康发展，各级各类学校都进行了“停课不停学”活动，某校七年级开展了网上教学，并对学生的学习情况进行了调查．经过统计，我们发现：大约有二分之一的孩子是通过电脑进行学习，约四分之一的孩子是利用手机进行学习，约六分之一的孩子是利用P AD等其他电子设备进行学习，而在受访班级中，平均每个班都有不超过4名同学没有进行线上学习；若该校七年级每个班的学生总数都超过了40人，请你分析一下，该所学校七年级每个班学生人数的范围．6．便利店老板从厂家购进A、B两种香醋，A种香醋每瓶进价为5元，B种香醋每瓶进价为6元，共购进70瓶，花了390元，且该店A种香醋售价7元，B种香醋售价9元．（1）该店购进A、B两种香醋各多少瓶？（2）将购进的70瓶香醋全部售完可获利多少元？（3）老板计划再以原来的进价购进A、B两种香醋共150瓶，且投资不超过850元，仍以原来的售价将这150瓶香醋售完，且确保获利不少于398元，请问有哪几种购货方案？7．近日来，长江中下游连降特大暴雨．沿江两岸的群众受灾很严重．“一方有难、八方支援”我校某班准备捐赠一批帐篷和食品包共360个，其中帐篷比食品包多120个．（1）求帐篷和食品包各有多少个？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆．一次性将这批帐篷和食品包运往受灾地区，已知每辆甲种货车最多可装帐篷40个和食品包10个，每辆乙种货车最多可装帐篷30个和食品包20个．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下．如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？8．在六一儿童节到来之际，某校特举行书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具作为奖品，奖励在活动中获得优秀的同学．已知购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元；购买3个甲种文具、1个乙种文具共需花费50元．（1）问：购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共100个，投入资金不少于995元又不多于1050元，设购买甲种文具x个，则有多少种购买方案？（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？9．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需280万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需260万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆车的年均载客量分别为60万人次和80万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？10．基金会计划购买A、B两种纪念册共50册，已知B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用310元．（1）求A、B两种纪念册的单价分别是多少元？（2）如果购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的，设购买A种纪念册m册．①有多少种不同的购买方案？②购买时A种纪念册每册降价a元（12≤a≤15），B种纪念册每册降价b元．若满足条件的购买方案所需的总费用一样，求总费用的最小值．参考答案1．解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，依题意，得：，解得：．答：每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元．（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，依题意，得，解得：2≤m≤3.5，∵m为整数，∴m＝2或3．∴有两种购车方案：购进A型车2辆，则购进B型车5辆；购进A型车3辆，则购进B型车4辆．答：有两种购车方案：购进A型车2辆，则购进B型车5辆；购进A型车3辆，则购进B型车4辆．2．解：（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元．根据题意得．解得．答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，根据题意可得50m+40（200﹣m）≤8900．解得m≤90．∵m＞87，∴87＜m≤90．∵m为整数，∴m＝88、89、90，200﹣m＝112，111，110．∴该网店有3种进货方案：方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个；方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个；方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个；（3）分三种情况：①购进甲种书包88个，乙种书包112个时：设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，88×（60﹣50）﹣m×50+112×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝3，4﹣m＝1，故甲书包赠送3个，乙书包赠送1个；②购进甲种书包89个，乙种书包111个时；设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，89×（60﹣50）﹣m×50+111×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝3.5，∵m是整数，故此种情况不成立；③购进甲种书包90个，乙种书包110个时；设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，90×（60﹣50）﹣m×50+110×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝4，4﹣m＝0，故甲书包赠送4个，乙书包赠送0个．3．解：（1）设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，依题意，得：，解得：．答：A型空调每台需9000元，B型空调每台需6000元．（2）设购买A型空调m台，则购买B型空调（30﹣m）台，依题意，得：，解得：10≤m≤12．∵a为正整数，∴a可以取10，11，12，∴共有三种采购方案，方案1：采购A型空调10台，B型空调20台；方案2：采购A型空调11台，B型空调19台；方案3：采购A型空调12台，B型空调18台．（3）方案1所需费用为：9000×10+6000×20＝210000（元）；方案2所需费用为：9000×11+6000×19＝213000（元）；方案3所需费用为：9000×12+6000×18＝216000（元）．∵210000＜213000＜216000，∴采用方案1，采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．4．解：（1）第三次购买大牛和小牛的数量较多，但花费较少，所以李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第三次；13230÷（9900+9000）＝13230÷18900＝0.7．故是打七折．故答案为：三．（2）设大牛的单价为x元，小牛单价为y元．根据题意得：，解得．故大牛的单价为1800元，小牛单价为900元．（3）设大牛买m头，小牛买（10﹣m）头．根据题意得：900m+450（10﹣m）≥8100，解得：m≥8．所以m＝8或9．当m＝8时，10﹣m＝2；当m＝9时，10﹣m＝1；所以他共有两种购买方案．方案一：大牛买8头，小牛买2头；方案二：大牛买9头，小牛买1头．5．解：设该所学校七年级每个班学生人数为x，依题意，得：，解得：40＜x≤48．答：该所学校七年级每个班学生人数的范围为40＜x≤48．6．解：（1）设该店购进A种香醋X瓶，购进B种香醋Y瓶，根据题意得…..（1分）…………..（2分）解得．答：该店购进A种香醋30瓶，购进B种香醋40瓶；（2）（7﹣5）×30+（9﹣6）×40＝60+120＝180（元）．答：70瓶香醋全部售完可获利180元；（3）设该店购进A种香醋a瓶，购进B种香醋（150﹣a）瓶，根据题意得，解得：50≤a≤52，因为a取正整数，所以a取50、51、52．购货方案为：（1）A种香醋购进50瓶，B种香醋购进100瓶．（2）A种香醋购进51瓶，B种香醋购进99瓶．（3）A种香醋购进52瓶，B种香醋购进98瓶．7．解：（1）设帐篷有x个，食品包有y个，依题意，得：，解得：．答：帐篷有240个，食品包有120个．（2）设安排甲种货车m辆，则安排乙种货车（8﹣m）辆，依题意，得：，解得：0≤m≤4．又∵m为非负整数，∴m可以取0，1，2，3，4，相对应的8﹣m为8，7，6，5，4，∴共有5种运输方案，方案1：安排8辆乙种货车；方案2：安排1辆甲种货车，7辆乙种货车；方案2：安排1辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车；方案4：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车；方案5：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车．（3）设总运费为w元，则w＝1000m+900（8﹣m）＝100m+7200，∵k＝100＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝0时，w取得最小值，最小值＝100×0+7200＝7200．∴选择方案1，可使运费最少，最少运费是7200元．8．解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：，解得．答：购买一个甲种文具需15元，一个乙种文具需5元；（2）根据题意得：995≤15x+5（100﹣x）≤1050，解得49.5≤x≤55，∵x是整数，∴x＝50，51，52，53，54，55，∴有6种购买方案；（3）w＝15x+5（100﹣x）＝10x+500，∵10＞0，∴W随x的增大而增大，当x＝50时，W＝10×50+500＝1000（元），最小∴100﹣50＝50．答：购买甲种文具50个，乙种文具50个时需要的资金最少，最少是1000元．9．解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，由题意得：，解得，答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需100万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：5≤a≤6.5，因为a是整数，所以a＝5，6；则共有两种购买方案：①购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+100×5＝900（万元）；②购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+100×6＝920（万元）；购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为900万元．10．解：（1）设A种纪念册的单价为x元，B种纪念册的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念册的单价为50元，B种纪念册的单价为40元．（2）①设购买A种纪念册m册，则购买B种纪念册（50﹣m）册，依题意，得：，解得：＜m≤．又∵m为正整数，∴m可取15，16，17，18，∴共有4种不同的购买方案．②设总费用为w元，则w＝（50﹣a）m+（40﹣b）（50﹣m）＝（10﹣a+b）m+2000﹣50b．∵满足条件的购买方案所需的总费用一样，∴10﹣a+b＝0，∴b＝a﹣10．∵12≤a≤15，∴2≤b≤5．∵﹣50＜0，∴w随b的增大而减小，∴当b＝5时，w取得最小值，最小值＝2000﹣50×5＝1750，即总费用的最小值为1750元．。
课时2 基本不等式的应用
课时2 基本不等式的应用题型1 间接利用基本不等式求最值1．当12≤x ≤2时，函数y 1＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与y 2＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则y 1在12≤x ≤2时有最大值为( B )A ．134B ．4C ．8D ．54解析：y 2＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以y 1的对称轴是直线x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以y 1＝x 2－2x ＋4，易得y 1在12≤x ≤2时的最大值是22－2×2＋4＝4.2．3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2 D ．62－3解析：3x 2＋6x 2＋1＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x ，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116. 解析：因为x ，y >0，且x ＋4y ＝1，所以xy ＝14x ·4y ≤14×14(x ＋4y )2＝116，当且仅当x ＝4y＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116. 题型2 利用基本不等式求参数4．若不等式a 2＋b 2＋2>λ(a ＋b )对任意正数a ，b 恒成立，则实数λ的取值范围是( C ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ<12B ．{λ|λ<1}C ．{λ|λ<2}D ．{λ|λ<3}解析：因为不等式a 2＋b 2＋2>λ(a ＋b )对任意正数a ，b 恒成立，所以λ<a 2＋b 2＋2a ＋b.因为a 2＋b 2＋2a ＋b ≥(a ＋b )22＋2a ＋b ＝a ＋b 2＋2a ＋b ≥2a ＋b 2·2a ＋b＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以λ<2.5．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为__4__. 解析：因为a >0，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xay ≥1＋a ＋2a ，由条件知a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥4.6．设a >0，若对于任意满足m ＋n ＝8的正数m ，n ，都有1a ≤1m ＋4n ＋1，求a 的取值范围．解：由m ＋n ＝8可得m ＋n ＋1＝9，故1m ＋4n ＋1＝19(m ＋n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋n ＋1m ＋4m n ＋1≥19×(5＋4)＝1，当且仅当n ＋1＝2m ，即m ＝3，n ＝5时等号成立，故只需1a≤1，又a >0，则a ≥1.故所求的a 的取值范围是a ≥1.题型3 利用基本不等式解决实际问题7．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：因为这两年的平均增长率为x ，所以A (1＋x )2＝A (1＋a )·(1＋b )，所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．由题设知a >0，b >0，所以1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，所以x ≤a ＋b2，当且仅当1＋a ＝1＋b ，即a ＝b 时等号成立．故选B.8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单元：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是__8__万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．9．如图所示，某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，因此种植蔬菜区域的左侧边长为(x －4)m ，后侧边长为⎝⎛⎭⎫800x －2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·⎝⎛⎭⎫800x －2＝808－⎝⎛⎭⎫2x ＋3 200x ≤808－22x ·3 200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3 200x，即x ＝40时等号成立．因此当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.易错点 多次应用基本不等式致误10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为 252. 解析：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16,1＋1a 2b 2≥17.所以原式≥12×17＋4＝252⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.[误区警示] 本题常犯错误是两次利用基本不等式，误认为条件不能同时成立．利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、 二定、三相等”的条件．解题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检验等号是否能同时成立．(限时30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C ) A ．x 2＋14>x (x >0)B ．x ＋1x ≥2(x ≠0)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R )解析：选项A 中，x 2＋14≥x ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12时，x 2＋14＝x ，故选项A 不正确；选项B 中，x ＋1x ≥2(x >0)，x ＋1x ≤－2(x <0)，故选项B 不正确；选项C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R )，故选项C 正确；选项D 中，x 2＋1≥1，则0<1x 2＋1≤1，故选项D 不正确．2．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( D )A ．1B ．2C ．4D ． 8解析：∵2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋2y ＝2y x ＋2xy ＋4≥22y x ·2xy ＋4＝8， 当且仅当2y x ＝2xy ，即x ＝y ＝4时等号成立，∴x ＋y 的最小值为8.故选D.3．∃x >0，使得1x ＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是( B )A ．a >2B ．a ≥2C ．a <2D ．a ≤2解析：∃x >0，使得1x ＋x －a ≤0，等价于a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋1x min .因为x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a ≥2.4．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，若4xy <t 恒成立，则实数t 的取值范围是( A ) A ．{t |t >1} B ．{t |t <1} C ．{t |t <2}D ．{t |t >2}解析：由基本不等式可得4xy ≤4×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以4xy的最大值为1，则t >1.因此，实数t 的取值范围为{t |t >1}．5．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( B )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度为y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N ＋，分别把n ＝2,3代入y ＝n ＋8n ，易知n ＝3时，y 最小，故最适宜的教室应在3楼．6．(多选题)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则对于1a ＋4b ( AD )A ．取得最值时a ＝23B ．最大值是5C ．取得最值时b ＝23D ．最小值是92解析：因为a ＋b ＝2，所以1a ＋4b ＝a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a ＝2a b 且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时，等号成立．7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a恒成立，则a 的取值范围是( A ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥15B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >15C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <15D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x >0，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max .又因为x >0，所以xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a ≥15. 8．(多选题)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( CD ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值12解析：对于A ，1a ＋1b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝ab且a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为4，故A 不正确．对于B ，由基本不等式得ab ≤a ＋b 2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为12，故B 不正确．对于C ，由基本不等式可得a ＋b ≤2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以a ＋b 有最大值2，故C 正确．对于D ，由不等式a 2＋b 2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以a 2＋b 2有最小值12，故D 正确．故选CD.二、填空题9．当x >1时，不等式x 2＋3x －1的最小值是__6__.解析：因为x >1，所以x －1>0，所以x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2≥24＋2＝6，当且仅当x ＝3时取等号，所以x 2＋3x －1的最小值是6.10．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是__乙__．解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，乙：⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，又p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q 2%，即(1＋p %)(1＋q %)<⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，所以提价多的方案是乙．三、解答题11．已知正数a ，b ，x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋bx y ＋ay x ＋b ＝10＋bx y ＋ay x .因为x ，y >0，a ，b >0，所以x ＋y ≥10＋2ab ＝18，即ab ＝4.又a ＋b ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。
2.6 不等式的应用课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．[0，＋∞)∪(－∞，－4) B．[0，＋∞)
( A)
C．[－4，0]
D．[－4，＋∞)
【解析】 由题意知，方程判别式 Δ＝a2＋4a≥0，得 a≥0 或 a≤－4，
故选 A.
2．满足函数 f(x)＝ x－1＋ 1－x的取值是( C )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．{1}
10．某工厂要建一个长方体无盖水池，容积为 1600 立方米，深为 4 米，已知池底每平方米的造价为 40 元，池壁每平方米的造价为 20 元， 问怎样设计能使总造价最低？最低造价是多少？
(2)y＝225x＋720×x 180－360(x＞0) ≥2 225x×720×x 180－360＝2×15×360－360＝10 440. 当且仅当 225x＝723×x 180时，等号成立， 解得 x＝24 或 x＝－24(舍去)． 所以当 x＝24 时，ymin＝10 440. 答：当 x 为 24 米时，修建场地的总费用最小，最小总费用为 10 440 元．≥00，得xx≥ ≤11，即 x＝1，故选 C.
3．不等式 ax2＋5x＋b＞0 的解集为x|13＜x＜12，则 bx2＋ax－5＞0 的
解集是( C )
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|1＜x＜6}
C．{x|－5＜x＜－1} D．{x|1＜x＜5}
【解析】 由题意得 a＜0，利用根与系数的关系 x1＋x2＝－5a＝56⇒a＝ －6，x1x2＝16＝ba⇒b＝－1，∴ bx2＋ax－5＞0，即－x2－6x－5＞0， 化为 x2＋6x＋5＜0，解得－5＜x<－1，故选 C.
【融会贯通】 某商品提价 10%后要恢复原价，应由现价降价( A )
A．9%
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
2020-2021学年人教版七年级下期期末复习不等式和不等式组应用题2
2020-2021学年人教版七年级下期期末复习不等式和不等式组应用题21.2020年1月以来,由于新型冠状病毒(COVID﹣19)的肆虐,口罩市场出现热卖,某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩,销售完后共获利2800元,进价和售价如右表:（1）.求该网店购进甲、乙两种口罩各多少袋?（2）.该网店第二次以原价购进甲、乙、两种口罩,购进乙种口罩袋数不变,而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍.甲种口罩按原售价出售,而乙种口罩让利销售.若两种口罩销售完毕,要使第二次销售活动获利不少于3680元,乙种口罩最低售价为每袋多少元?2.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打多少折？3.电动车是太原市民喜欢的交通工具之一,这使得太原市成为全国电动车保有量最高的城市之一.某电动车店以每辆1500元的价格购入某品牌电动车50辆,并以每辆1800元的价格销售,一段时间后,销售额已经超过这批电动车的进价,求此时至少已售出多少辆该品牌电动车?4.夏季即将来临，某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）（1）.分别求出A，B两种型号电风扇的销售单价；（2）.若超市准备用不超过5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）.在2.的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.5.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元.（1）.求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）.为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？6.某玩具厂每天生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具共450个，两种玩具的成本和售价如下表所示。
3.4.2基本不等式的应用含答案
跟踪训练 3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精
力增多，因此不满意度升高，已知当教室在
n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为 n，但高处
嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第
n层
楼时，环境不满意度为 8，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
跟踪训练 3 答案 B
解析 由题意知，教室在第 n 层楼时，同学们总的不满意度
8
8
y＝ n＋n≥４ 2，当且仅当 n＝ n，
即 n＝ 2
2时，不满意度最小， 又 n∈N*，分别把
8 n＝ 2,3 代入 y＝ n＋ n，易知 n＝ 3 时，y 最小．故
最适宜的教室应在 3 楼．
典例
0.2 n n＋ 1
第 2 课时 基本不等式的应用答案
4 例 1 (1) 若 x>0，求函数 y＝x＋ x的最小值，并求此时 x 的值；
4 (2) 已知 x>2，求 x＋ x－ 2的最小值；
3 (3) 设 0<x<2，求函数 y＝ 4x(3 － 2x) 的最大值．
4
4
解 (1) 当 x>0 时， x＋ x≥２ x· x＝4，
差数列逐年递增．
(1) 设使用 n 年该车的总费用 (包括购车费用 )为 f(n)，试写出 f(n)的表达式；
(2) 问这种新能源汽车使用多少年报废最合算
(即该车使用多少年年平均费用最少 )？年平均费
用的最小值是多少？
【课堂练习】
1．不等式
9 ＋ (x－ 2)≥ 6(x＞2) 中等号成立的条件是 x－ 2
为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
2.2.2基本不等式的应用【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
例题讲解
用篱笆围一个面积为1 00m2矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
例题讲解
用篱笆围一个面积为1 00m2矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xcm,ycm,篱笆的
长度为2（x+y）m.由已知得xy=100.
②如果和 最大值
x__+_14y_等S__于2 __定_；值S，那么当x
=y时，积xy有
（3）讨论等号成立的条件是否满足.
复习回顾
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)a，b必须是正数.（一正） (2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；
在ab为定值时，便可以知道a+b的最大值. （二定） (3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
因此，当这个矩形菜园是边长为９ｍ的正方形时，菜园的 面积最大，最大面积是81ｍ２．
练习
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
练习
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
分析：可设宽 矩分 形 a别 和 的 b， 为 长 已和 知2周 c0m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 长
则a 可 b 1,由 知 0 a b a b 2 可 a 得 b 2， 5 2
由 xy xy 得 xy2 xy2， 0
2
所以 2xy40
当且仅x当y10时，上式等.号成立
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱 笆最短，最短篱笆的长度为40m．
练习
已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少 时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
一元一次不等式及不等式组的应用二解析版
一元一次不等式及不等式组的应用二考试要求：例题精讲：整数解问题☞“最多”、“最少”问题【例1】一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了道题．【解析】略【答案】24【例2】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】略【答案】C【例3】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？【解析】设有x位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x≥，x x+-≤，解得 6.8所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例4】商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？【解析】设进价为a元，按原定价售出x件，节日让利售出y件(0100<≤)．y依题意有125%125%(1+--⋅⋅⋅>，x y a a⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000a x a y整理得432000x>，因此按原定价至少销售426<≤，所以425y+>，由于0100x y件．【答案】426件【例5】 在车站开始检票时，有a 名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人，检票速度为每个检票口每分钟检票y 人，5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15ay = 代入①便得30a x =再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅因为0a >，所以11163n +≤⋅即 3.5n ≥n 取最小的整数，所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例6】 某高速公路收费站有m （0m >）辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。
二元一次不等式的解法与应用
二元一次不等式的解法与应用一、不等式的定义和性质在数学中，不等式是用于表示两个数或两个代数表达式之间大小关系的数学语句。
二元一次不等式是由两个变量和一个常数构成的不等式，可以表示为ax + by > c 或ax + by ≤ c 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且 a 和 b 不同时为零。
二元一次不等式的解法主要有以下几种方法：1. 图解法：可以将二元一次不等式转化为二维平面上的区域图形，通过观察图形的位置来确定不等式的解集。
例如，当不等式为 ax + by > c 时，可以先将不等式转化为相应的等式 ax + by = c，然后绘制直线 ax + by = c，并根据不等式符号确定直线的上方还是下方为解集。
2. 代数法：利用代数的性质和技巧来解决不等式。
例如，可以使用加减法、乘除法等运算对不等式进行变形，使得变量的系数或者常数项发生变化，从而得到更简单的形式。
同时也需要注意对不等式进行等价变形时，要保持不等式的方向不变。
3. 区间法：分别对两个变量进行讨论，将二元一次不等式分解成两个一元不等式，并求解每个一元不等式的解集，然后根据两个一元不等式的解集确定原二元一次不等式的解集。
这种方法适用于不等式的系数较大，难以进行图解和代数变形的情况。
二、二元一次不等式的应用二元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在经济学、管理学、工程学等领域。
以下是几个常见的二元一次不等式应用的例子：1. 经济学：二元一次不等式可以用于描述供求关系、利润问题等经济学中的基本概念。
例如，对于一个公司来说，成本收入模型可以表示为成本不超过收入的二元一次不等式，通过解不等式可以确定最小成本或最大收入点。
2. 管理学：在管理学中，二元一次不等式可以用来优化资源分配问题。
例如，对于一个生产部门来说，生产成本和产量之间存在着一定的关系，可以通过解不等式确定最佳的生产成本范围。
3. 工程学：在工程学中，二元一次不等式可以用来优化生产效率、资源利用率等问题。
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例题2
某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水 ，自来水厂每小时可向蓄水池中注入 60吨水，同时蓄水池又向居民小区不
断地供水，t小时内供水总量为1206t
(0≤t≤24) ⑴从供水开始几小时内，蓄水池中的 存水量最少？最少存水量是多少？ ⑵若蓄水池中的存水量少于80吨，就 会出现供水紧张现象，问这一天24小 时中，有几个小时出现供水紧张？并 说明理由(2001年内江市高三上期末)
(1999年北京市海淀区第二次模拟考试题)
例题1
设计某高速公路时，要求最低车速
为50千米/小时，最小车距为l千米 (l为定值)，并且车速v与车距d之 间必须满足关系d≥klv2＋3l/4，求
⑴常数k的值； ⑵这条高速公路的一条车道上每小 时的最高车流量(单位时间车流量 ＝车速/车距)
(2001年北京东城区高三第一期期末测试题)
例题在产某量产X品.已的知制P 造 过10程11中X ,次当品0 率xP依10赖0时于日
3
1当X 100时
其中X为正整数,又该厂每生产出一件正品
可盈利A元,但每生产出一件次品就要损失 A/3元
1.将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量X( 个)的函数,并指出这个函数的定义域;
2.为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少? (1999年北京市东城区第二次模拟考试题)
作业
某小区要建一座八边形的休闲小和EFGH构成的面积为 200平方米的十字形地域，计划在正方形MNPQ
上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在 四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩 地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角 上铺草坪，造价为每平方米80元， ⑴设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x 的函数关系式； ⑵当x为何值时S最小？并求出这个最小值.
不等式的应用
有关不等式的应用题(二)
作业讲评
某集团投资兴办甲、乙两个企业，1998年 甲企业获得利润320万元，乙企业获得 利润720万元。以后每年企业的利润甲 以上年利润1.5倍的速度递增，而乙企 业是上年利润的2/3。预期目标为两企 业年利润之和是1600万元。从1998年年 初起 (1)哪一年两企业获利之和最小； (2)需经过几年即可达到预期目标(精确 到1年).
再见
设计制作：四川新都一中 肖宏 2001.3