不等式的应用(带答案)
(完整word版)不等式应用题大全附答案,推荐文档
1.一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元：⑴什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？⑵什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？⑶什么情况下，不够会员证比购会员证更合算？注意：解题过程完整，分步骤，能用方程解的用方程解80+X=3x80=2XX=40X=40，购会员证与不购会员证付一样的钱X>40购会员证比不购会员证更合算X<40不够会员证比购会员证更合算2.下列是3家公司的广告：甲公司：招聘1人，年薪3万，一年后，每年加薪2000元乙公司：招聘1人，半年薪1万，半年后按每半年20％递增．丙公司：招聘1人，月薪2000元，一年后每月加薪100元你如果应聘，打算选择哪家公司？（合同期为2年）甲:3+3.2=6.2万乙:1+1.2+1.2*1.2+1.2*1.2*1.2=1+1.2+1.44+1.728=5.368万丙:0.2*24+0.01+0.02+0.03+0.04+……0.12=4.8+0.78=5.58万甲工资最高,去甲3.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人）。
每人25元，超过20人的，超过的部分每人10元，某班51名学生该风景区浏览，购买门票要话多少钱？20*25+(51-20)*10=810(元)4.某公司推销某种产品，付给推销员每月的工资有两种方案：方案一：不计推销多少都有600元底薪，每推销一件产品加付推销费2元；方案二：不付底薪，每推销一件产品，付给推销费5元；若小明一个月推销产品300件，那么他应选择哪一种工资方案比较合算？为什么？方案一：600+2×300=1200（元）方案二：300×5=1500（元）所以方案二合算。
5.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？设其中一件衣服原价是X无，另一件是Y元，那么X（1+25%）=60，得X=40Y（1-25%）=60，得Y=80总的情况是售价-原价，40+80-60*2=0所以是不盈不亏6小明在第一次数学测验中得了82分，在第二次测验中得了96分，在第三次测验中至少得多少分。
3.4 不等式的实际应用含答案
【高二数学学案】3.4 不等式的实际应用【基础知识】1、应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把 转化为 ，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式问题求解。
2、解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：（1）阅读理解材料，应用题所用语言多为“ 、 、 ”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向。
（2）建立数学模型。
即根据题意找出常量与变量的不等关系。
（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号。
3、利用均值不等式求最值常见的有：（1）已知某些变量（正数）的积为定值，求和的最小值。
（2）已知某些变量（正数）的和为定值，求积的最大值。
在运用基本不等式解决上述问题时要注意“一正、二定、三相等”。
对于函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 定义域内不含实数ab 的类型的最值问题，要会用函数单调性求解。
【典型例题】例1、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a, b 各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A, B 孔的面积忽略不计）。
例2、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。
若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润=（出厂价—投入成本）×年销售量。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
不等式(组)应用题类型及解答(包含各种题型)
一元一次不等式(组）应用题类型及解答1.分配问题1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人?。
3、把若干颗花生分给若干只猴子.如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。
问猴子有多少只,有多少颗？4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车?8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人,剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
(1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组:(2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二、比较问题1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。
甲旅行社说如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）①学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式)②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
2、李明有存款600元,王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元，试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。
一元二次不等式的应用 含答案
课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D【解析】 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0且x ≠1(1－x )(1＋x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0且x ≠－1(1＋x )(1＋x )>0. 即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0f (－1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1. 3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (0,8)【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. (2)3x －5x 2＋2x －3≤2. 【分析】 (1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】 (1)设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． (2)原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0， 即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋a(x ＋1)(x ＋3)≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a ＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0，由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)x －1>0，整理得x (x ＋1)x －1>0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x (x ＋1)<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x .∵f (x )在(0，12]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－52. ∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m －1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f (0)＝m ＞00＜3－m 2＜2f (2)＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。
不等式应用题(带答案)
不等式应用 题1、去年某市空气质量良好的天数与全年的天数（365）之比达到60％，如果明年（365天）这样的比值要超过70％，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？解：设明年空气质量良好的天数比去年增加了x6036570100365100x +⨯>则： 36.5x >解得：37x x ≥依题意，应为整数，所以：答：明年空气质量良好的天数要比去年至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70％。
2、甲、乙两商场以同样价格出售同样商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费；顾客到哪家商场购物花费少？解： （1）当累计购物不超过50元时，到两商场购物花费一样。
（2）当累计购物超过50元时而不超过100元时，到乙商场购物花费少。
（3）当累计购物超过100元时，设累计购物(100)x x >元。
①500.95(50)1000.9(100)150x x x +->+->由：解得：所以，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少②500.95(50)1000.9(100)150x x x +-+-由：<解得：<所以，累计购物超过100元而不超过150元时，到乙商场购物花费少③500.95(50)1000.9(100)150x x x +-+-由：=解得：=所以，累计购物超为150元时，到两商场购物花费一样。
3、某工程队计划在10天内修路6km ，施工前两天修完1.2 km 以后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？解：设以后几天内平均每天至少要修路x km 。
则6 1.26x +≥ 解得：0.8x ≥答：以后几天内平均每天至少要修路0.8 km.4、某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少分？解：设小明至少要答对x 道题。
16.不等式(组)的应用(含答案)-(精品文档)_共13页
16.不等式(组)的应用知识纵横在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式（组），运用不等式（组）的相关知识予以求解。
不等式（组）的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式（组）解应用题。
列不等式（组）解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：1.弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；2.找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；3.列出不等式（组）；4.解这个不等式（组），求出解集并作答。
例题求解【例1】(“希望杯”邀请赛试题)给出四个自然数a 、b 、c 、d ，其中每三个数之和分别是180、197、 208、222,则a 、b 、c 、d 中最大的数是______.思路点拨 较繁的一般解法是解关于a 、b 、c 、d 的四元一次方程组，由题意知a 、b 、c 、d 互不相等,不妨设a<b<c<d,思维定向,整体考虑可优化解题过程. 解:89 提示:整体叠加,先求出(a+b+c+d)的值.【例2】(2000年山东省竞赛题)甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b 元,后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙,结2a b 果发现赔了钱,原因是( ).A.a>bB.a<bC.a=bD.与a 和b 的大小无关 思路点拨 把买卖的钱数作差比较,推导出a 与b 的关系.解:选A 提示:-(3a+2b)= <0,得a>b.5()2a b +2b a - 【例3】已知a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、a 7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a 1的最大值.(2003年北京市竞赛题) 思路点拨 设a 1<a 2<a 3<…<a 7,则a 1+a 2+a 3+…+a 7=159,解题的关键是怎样把多元等式转化为只含a 1的不等式,这里要用到整数的如下性质:设a 、b 为整数,若a<b,则a+1≤b. 解:设a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<a 6<a 7,因a 1,a 2…a 7为正整数,故a 1+1≤a 2,a 1+2≤a 3,a 1+3≤a 4,a 1+4≤a 5,a 1+5≤a 6,a 1+6≤a 7,上面不等式相加,得7a 1+21≤159,a 1≤19,故a 1的最大值为19.57【例4】(2003年广州市中考题)现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地, 已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节,使用A 型车厢每节费用为6000元, 使用B 型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的关系式;(2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费为多少元?思路点拨 (2)解关于x 的不等式组,由正整数x 的值确定安排车厢的不同方案. 解:(1)y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32(2)由 ,得24≤x≤263525(40)12401535(40)880x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 因为x 取整数,故A 型车厢可用24节或25节或26节,相应的装车方案是:①24节A 型和16节B 型车厢;②25节A 型和15节B 型车厢;③26节A 型和14节B 型车厢.(3)当x=26时,y 最小=26.8(万元)【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币, 他要求硬币总数为150枚,且每种硬币不少于20枚,5分的硬币要多于2分的硬币,请你据此设计兑换方案. (2003年河北省竞赛题)思路点拨 引入字母,列出含等式、不等式的混合组,把解方程组、解不等式组结合起来.解:设兑换成的1分、2分、5分硬币分别为x 枚、y 枚、z 枚,则,由①,②得,将x,y 代入③,④得 1502535020,20,0x y z x y z z y x y z ++=⎧⎪++=⎪⎨>⎪⎪≥≥≥⎩3502004x z y z =-⎧⎨=-⎩350202004202004z z z z -≥⎧⎪-≥⎨⎪>-⎩解得40<z≤45,故z=41,42,43,44,45.由此得出x 、y 的对应值，于是得到5种方案：(x,y,z)=(73,36,41);(x,y,z)= (76,32,42);(x,y,z)=(79,28,43);(x,y,z)=(82,24,44);(x,y,z)=(85,20,45).学力训练一、基础夯实1.若方程│x│-x-1997=0只有负数根,则a 的取值范围是________.1997a 2.若方程组的解x 、y 都是正数,则m 的取值范围是________.24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩(2002年河南省中考题)3.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息:(1)生产该种化肥的工人数不能超过200人;(2)每个工人全年工作时数不得多于2100人;(3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋;(4)每生产一袋该化肥需要工时4个;(5)每袋该化肥需要原料20千克;(6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2002年可以补充1200吨.根据上述数据,确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是________.(2001年江苏徐州中考题)4.设P=,Q=,则P 、Q 的大小关系是( ).199920002121++200020012121++ A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.不能确定5.某种出租车的收费标准是:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7 元车费),超过3 千米以后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计),某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米, 那么x 的最大值是( ).A.11B.8C.7D.5 (2002年南京市中考题)6.韩日“世界杯”期间,重庆球迷一行56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A 、B 两个出租车队,A 队比B 队少3辆车,若全部安排乘A 队的车,每辆坐5人,车不够,每辆坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B 队的车,每辆车坐4人,车不够, 每辆车坐5人,有的车未坐满,则A 队有出租车( ).A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆 (2002年重庆市中考题)7. (2002年宁波市中考题)为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:00至22:00用电每千瓦时0.56元(“峰电”价),22:00至次日8:00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95.2元， 经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“谷电”合算？ （精确到1%）。
不等式应用题(附答案)
如图是用矩形厚纸片（厚度不计）做长方体包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“舌头”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若用长31cm，宽26cm的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“舌头”的宽度相等．求“舌头”的宽度和纸盒的高度；（2））现有一张40cm×35 cm的矩形厚纸片，按如图所示的方法设计包装盒，用来包装一个圆柱形工艺笔筒，已知该种笔筒的高是底面直径2.5倍，要求包装盒“舌头”的宽度为2cm（如有多余可裁剪），问这样的笔筒底面直径最大可以为多少？分析：找出题中的折叠规律，空间思维的，想象一下纸盒折叠后的形状，设“舌头”的宽为x，长为y，利用矩形硬纸的长宽，正确的列出方程，即可求出，（2）做成的包装盒的长宽必不大于纸盒的长宽列不等式．解答：解：（1）设“舌头”的宽度为xcm，盒底边长为ycm．根据题意得解得6×2.5=15（cm）答：“舌头”的宽度为2cm，纸盒的高度为15cm．（2）设瓶底直径为dcm，根据题意得解得：d≤8答：这样的笔筒的底面直径最大可以为8cm．水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源均占有量远远低于世界平均水平，为了节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划,如果实际每天比计划多用1t水,那么本学期的用水总量将会超过2300t如果实际每天比计划节约1t水,那么本学期的用水总量将会不足2100t.在本学期得在校时间按110天计算,那么学校计划每天用水量应控制在什么范围?解：设每天用水X吨(X+1)*110>2300(X-1)*110<2100解得：11分之219<X<11分之221答:在11分之219到11分之221之间.已知二元一次方程组｛2X+Y=5M+6,X-2Y=-17}的接X,Y都是正数，且X的值小于Y的值，求M的取值范围。
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不等式（组）的实际应用
1.某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元。
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍。
若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套?
解答：
(1)设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
{1.5x+1.2y=660.15x+0.2y=9，
解得：{x=20y=30，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，
1.5(20−a)+1.2(30+1.5a)⩽69，
解得：a⩽10，
答：A种设备购进数量至多减少10套。
2.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方。
已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨?
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案?
解答：
(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
{2x+3y=315x+6y=70，
解得{x=8y=5.
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
(2)由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆，
x+y=208x+5y⩾148y⩾2，
解得{x=18y=2或{x=17y=3或{x=16y=4，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆。
3.某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人。
(1)该班男生和女生各有多少人?
(2)某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生?
解答：
(1)设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：{x+y=42x=2y−3,解得：{x=27y=15.
∴该班男生有27人，女生有15人。
(2)设招录的男生为m名,则招录的女生为(30−m)名，
依题意得：50m+45(30−m)⩾1460，即5m+1350⩾1460，
解得：m⩾22，
答：工厂在该班至少要招录22名男生。
4.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A. B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元。
已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨。
(1)求A. B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少?
解答：
(1)设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，
{x+2y=6402x+3y=1080
解得,{x=240y=200
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；(2)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型污水处理设备(20−x)台，
则{12x+10(20−x)⩽230240x+200(20−x)⩾4500
解得，12.5⩽x⩽15，
第一种方案：当x=13时，20−x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；
第二种方案：当x=14时，20−x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；
第三种方案；当x=15时，20−x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；
即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元。
5.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价。
(1)求该什锦糖的单价。
(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克?
解答：
(1)根据题意得：
15×40+25×40+30×20100=22(元/千克).
答：该什锦糖的单价是22元/千克；
(2)设加入丙种糖果x千克,则加入甲种糖果(100−x)千克，根据题意得：
30x+15(100−x)+22×100200⩽20，
解得：x⩽20.
答：加入丙种糖果20千克。
6.某商场计划购进A. B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元。
(1)求A. B两种商品的进价分别是多少元?
(2)若购进A. B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件?
解答：
(1)设A两种商品的进价是a元，B两种商品的进价是b元，
根据题意得：{20a+15b=38015a+10b=280，
解得：⎧⎩⎨⎪⎪a=16b=4 ，
答：A两种商品的进价是16元，B两种商品的进价是4元；
(2)设购进A种商品x件,则购进B种商品(100−x)件，
根据题意得：16x+4(100−x)⩽900，
解得：x⩽4123，∵x为整数，
∴x的最大整数解为41，
∴最多能购进A种商41件
7.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元。
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元?
(2)已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A. B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A. B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案?
解答：
(1)设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
{60x+30y=108050x+20y=880，
解得{x=16y=4.
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元。
(2)设购买A商品的件数为m件,则购买B商品的件数为(2m−4)件，由题意得：
{m+2m−4⩾3216m+4(2m−4)⩽296，
解得：12⩽m⩽13，
∵m是整数，
∴m=12或13，
故有如下两种方案：
方案(1):m=12，2m−4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案(2):m=13，2m−4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件。
8.某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同。
(1)求甲、乙每个商品的进货单价；
(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案?
(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大?最大利润是多少?
解答：
(1)设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元。
根据题意得：{x−y=2020x=25y，
解得：{x=100y=80，
答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；
(2)设甲进货x件,乙进货(100−x)件。
根据题意得：{100x+80(100−x)⩽x(1+10%)+80(100−x)(1+25%)⩾10480，
解得：48⩽x⩽50.
又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；
(3)销售的利润w=100×10%x+80(100−x)×25%，即w=2000−10x，
则当x取得最小值48时,w取得最大值,是2000−10×48=1520(元).
此时,乙进的件数是100−48=52(件).
答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元。