高一数学下学期第二次月考试题
高一数学下学期月考试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校第二二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕
本卷须知： 1. 2.请将答案正确填写上在答题卡上； 卷Ⅰ〔选择题〕 一、选择题〔此题一共计16小题，每一小题5分，一共计80分〕
1.设i为虚数单位，那么复数321izi的虚部为〔〕 A.i B.i C.-1 D.1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的乘除运算求出复数z的代数形式，然后可得复数的虚部．
【详解】由题意得212112iiizii， 所以复数z的虚部为1． 应选D． 【点睛】解答此题容易出现的错误是认为复数zabi的虚部为bi，解题的关键是得到复数的代数形式和熟记相关的概念，属于根底题． 2.ABC的内角,,ABC所对的边长分别是,,abc，设向量,sinmabC，3,sinsinacBAn，假设//mn，那么角B的大小为〔〕 A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】D 【解析】 【分析】 由//mn，得到ABC边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求解. 【详解】,sinmabC，3,sinsinacBAn，//mn， ()(sinsin)(3)sin0abBAacC，
由正弦定理可得 22230bacac，
2223cos22acbBac
，
0180,150BB.
应选:D. 【点睛】此题以向量坐标关系为背景，考察正弦定理、余弦定理解三角形，考察计算求解才能，属于根底题.
3.设i是虚数单位，那么3211ii等于() A.1i B.1i C.1i D.1i 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案.
【详解】3
2
21(1)(1)2(1)1221iiiiiiiii
故答案选B 【点睛】此题考察了复数的计算，意在考察学生的计算才能. 4.平面直角坐标系内的两个向量(3,2),(1,2)ambm,且平面内的任一向量c都可以唯一表示成cab(,为实数),那么实数m的取值范围是()
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。
高一数学下学期月份月考试题
高一数学下学期月份月考试题 高一数学放学期 3 月份月考试题
数 学
一、选择题 （本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的） 1．某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了检查他们的身体状况的某项指 标 ,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数
是 （ ） A ．6， 12 ，18 B．7，11，19 C． 6， 13， 17 D． 7， 12， 17 2．某射手射中 10 环、 9 环、 8 环的概率分别为 0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中， 该射手射击一次不够 8 环的概率是 （ ）
A ． 0.19 B ． 0.48 C． 0.29
D． 0.71
3．给出以下四个问题：①输入一个正数 x，求它的常用对数值； ②求面积为 6 的正方形的
a,b,c 中的最大数；④求函数 x 1,x 0, 周长；③求三个数 f ( x) 2, x 的函数值．此中不需要
x 0,
用条件语句来描绘其算法的有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D． 4个 4．10 名工人某天生产同一部件，生产的件数分别是 15，17，14，10，15，17，17，16，14， 12 ．设其均匀数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有 （ ） A ． a>b>c B ． b>c>a C． c>a>b D． c>b>a 5．以下抽样： ①从标有 1～ 15 号的 15 个小球中， 任选 3 个作为样本， 按从小号到大号排序，
随机选用开端号 i ，再取 i 5 ， i 10号入样（超出 15 号时从 1 号再循环数起） ；②工厂
生产的产品，用传递带将产品送入包装车间，查验人员从传递带上每隔 6 分钟抽取 1 件 产品进行查验； ③搞一项市场检查，规定在市场门口随机地抽取顾客进行检查，直到调 查到预先预约的人数为止；④为了检查观众对电影的评论，通知每排（假设每排的观众 数相等）座位号为 18 号的观众留下会谈．以上抽样中是系统抽样的是 （ ） A ．①②③④ B ．①②④ C．②④ D．④ 6．一批产品中，有 10 件正品和 5 件次品，对产品逐一进行检测，假如已检测到前 3 次均为 正品，则第 4 次检测的产品仍为正品的概率是 （ ）
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案
武汉2023级高一4月月考数学试卷（答案在最后）出题人：一、单选题1.与垂直的单位向量是（）A.(,55±B.(55±C.,55±D.,55±【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出与垂直的一个向量，再求出其单位向量即可.【详解】设与垂直的向量(,)a x y =，0=，令x =y =，即a =，与a共线的单位向量为5)||,55a a ±===±±，所以与垂直的单位向量是,55±.故选：D2.在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a =，AC b =，则AE = （）A.1124a b + B.1124a b -C.1142a b +D.1142a b -【答案】C 【解析】【分析】根据图形特征进行向量运算即可.【详解】因为D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，所以1111122242A C E C B ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又因为AB a =，AC b =，所以1142AE a b =+ .故选：C3.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4.已知0a >，()sin sin3f x x a x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x ＝m 是()f x 的一条对称轴，则m 的最小值为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质可得221322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得,Z 3m k k ππ+=∈，即得.【详解】∵()1sin sin sin cos 322f x x a x a x x π⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2213322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0a >，∴2a =，∴()12sin cos 223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又x ＝m 是()f x 的一条对称轴，∴,Z 3m k k ππ+=∈，即,Z 3m k k ππ=-∈，∴m 的最小值为3π.故选：B.5.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5a b ==，8c =，I 是ABC 内切圆的圆心，若AI xAB y AC =+，则x y +的值为（）A.203B.103 C.32D.1318【答案】D 【解析】【分析】计算出ABC 的内切圆半径，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】5a b == ，8c =，所以，ABC 内切圆的圆心I 在AB 边高线OC 上（也是AB 边上的中线），4OA OB ∴==，3OC ===，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0A -、()4,0B 、()0,3C，设ABC 的内切圆的半径为r ，根据等面积法可得：()1122a OC abc r ⋅=++，解得3848553r ⨯==++，即点40,3I ⎛⎫⎪⎝⎭，则()8,0AB = ，()4,3AC = ，44,3AI ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为AI xAB y AC =+ ，则844433x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得51849x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1318x y +=.故选：D.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若1cos 2cos cos C A B -=，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】【分析】利用三角形内角和定理及三角恒等变换求得三角形角的关系，再判断三角形的形状作答.【详解】在ABC 中，()C A B π=-+，则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，而1cos 2cos cos C A B -=，则有cos cos sin sin 1A B A B +=，即cos()1A B -=，因0,0A B ππ<<<<，即A B ππ-<-<，因此，0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故选：B7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是A.[6,8) B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得32sin A π+=（，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =-，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：32sin A π+=（），40333A A ππππ∈+∈ （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，）．故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．8.向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量1e ，2e是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点．对于α内任意一点P ，若()12,OP xe ye x y =+∈R，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，关于下列命题正确的（）A.点()1,2M 关于点O 的对称点不一定为()1,2M '--B.A ，BC.若向量OA平行于向量OB，则1221x y x y -的值不一定为0D.若线段AB 的中点为C ，则点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.【详解】对于A ，122OM e e =+，设()1,2M 关于点O 的对称点为(),M x y '，则12122OM OM e e xe ye '=-=--=+，因为1e ，2e 不共线，所以12x y =-⎧⎨=-⎩，A 错误；对于B ，因为()()21221112211212AB OB OA x e y e x e y e x x e y y e =-=+--=-+-，所以AB =，当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，A ，BB 错误；对于C ，当OA 与OB 中至少一个是0时，结论成立；当OA 与OB 都不为0 时，设OA OB λ=（0λ≠），有11122122x e y e x e y e λλ+=+ ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，所以1221x y x y =，C 错误；对于D ，()()12121112212212112222x x y y OC OA OB x e y e x e y e e e ++=+=+++=+，所以线段AB 中点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确故选：D二、多选题9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++= ，得0BE CF +=，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（）A.3A π=B.若3b =，则ABC 有两解C.若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用1()2AD AB AC =+，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB AC ⋅= ，所以1cos sin 2bc A bc A ==，tan 3A =，又(0,)A π∈，所以6A π=，A 错；若3b =，则sin b A a b <<，三角形有两解，B 正确；若ABC 为锐角三角形，则02B π<<，62A B B ππ+=+>，所以32B ππ<<，sin 12B <<，sin sin b aB A =，sin 4sin 4)sin a B b B A==∈，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则1()2AD AB AC =+，222222111()(2cos )()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=++ ，又222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-=，224b c +=+，由基本不等式得2242(2b c bc bc =+-≥-=-，4(2bc ≤=+，当且仅当b c =时等号成立，所以21(4)1742AD bc ⎡⎤=+=+≤+⎣⎦ 所以2AD ≤+ ，当且仅当b c =时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据,a b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．三、填空题12.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-13.已知向量31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2b = ，26a b -= ，a b ⋅=__________；b 在a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】①.12##0.5；②.31,44⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求a r ，根据向量的模与数量积的关系由条件26a b -= a b ⋅ ，再由投影向量的定义求b 在a上的投影向量的坐标.【详解】因为31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1a =，由26a b -= 226a b -= ，所以()()22446aa b b-⋅+=，即4446a b -⋅+=所以12a b ⋅= ，所以b 在a上的投影向量为131,244a a b a aa ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎭⋅⎝．故b 在a上的投影向量的坐标为31,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12；31,44⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ= ，BD DC =．（1）若2AN NC = ，则AD BN ⋅=________.（2）AMN 与ABC 的面积之比的最小值为__________.【答案】①.14-##0.25-②.49【解析】【分析】根据12()()23AB AC A C A D BN A B ⋅=+⋅-，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得1133AO AM AN λμ=+ ，根据三点共线可得113λμ+=，利用三角形的面积公式可得AMN ABCS S λμ= ，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）112()()()()223AB AC AN AB AB A AC AC AB D BN ⋅=+⋅-=+⋅-2211211121()(1)23323234AB AC AC AB =-⋅+-=⨯-⨯+-=- ；（2）因为2111()3233AO AB AC AB AC =⨯+=+ ，所以1133AO AM AN λμ=+，因为M ，O ，N 三点共线，故11133λμ+=，即113λμ+=，又因为1||||sin 21||||sin 2AMN ABC AM AN AS S AB AC A λμ⋅⋅==⋅⋅ ，而(],0,1λμ∈，113λμ+=，则113λμ+=≥，即49λμ≥，当且仅当23λμ==时取等号，所以AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49.故答案为：14-；49.四、解答题15.已知向量()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅.（1）若()0115f x =，且0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值；（2）将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式()12g x ≥.【答案】（1）310-（2）ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简()f x ，依题意可得0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后由00ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅，所以()22cos cos cos 212f x x x x x x=+=++12cos 2sin 2122x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()0115f x =，所以0π112sin 2165x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0ππ,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0ππ5π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0π4cos 265x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以0000ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯+⨯=.【小问2详解】将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位得到πππ2sin 212sin 21666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向下平移1个单位得到π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的所有点的纵坐标变为原来的12得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()12g x ≥，即π1sin 262x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =可得ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1k =-可得5ππ,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时不等式()1g 2x ≥的解集为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，∠BAC 的平分线交BC 于D ．（1）求∠BAC ；（2）若5AC =，求AD ．【答案】（1）π3（2）13【解析】【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b 表示a 、c ，再利用余弦定理求出cos BAC ∠即可得解；（2）求出各边长度进而利用余弦定理求出cos C ，再由πsin sin π6ADC C ⎛⎫∠=--⎪⎝⎭求出sin ADC ∠，在ADC △中利用正弦定理即可求得AD .【小问1详解】∵5sin 8sin C B =，由正弦定理得58c b =，即85c b =，代入已知()2253a bbc -=，整理可得75a b =，∴22222287155cos 82225b b b bc a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，结合0πBAC <∠<，可得π3BAC ∠=．【小问2详解】因为5AC b ==，于是由（1）得7a =，8c =．根据余弦定理得2225781cos 2577C +-==⨯⨯，进而可得sin 7C ==，又∴ππ1113sin sin πsin 66272714ADC C C ⎛⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC C =∠，即513147=，解得13AD =．17.如图，在平行四边形ABCD中，13AM AD=，令AB a=，AC b=.（1）用,a b表示AM，BM，CM；（2）若2AB AM==，且10AC BM⋅=，求cos,a b.【答案】（1）()13AM b a=-，1433B b aM=-，1233CM a b=--（2）68【解析】【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.【小问1详解】因为AB a=，AC b=，且ABCD是平行四边形，所以BC AC AB b a=-=-，所以()1133AM BC b a==-，所以()114333BM AM AB b a a b a=-=--=-，所以()14123333CM BM BC b a b a a b=-=---=--.【小问2详解】方法一：由（1）知()114,333A BM b a M b a=-=-，又,10,2AC b AC BM AB AM=⋅===，所以()14110,2,2333b b a b aa⎛⎫⋅-=-==⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b-⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==，所以cos ,68a b a b a b⋅==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD BC ==，因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+⨯=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+= ，又2,a b ====，所以34cos ,68a b a b a b⋅== .18.如图，扇形ABC 是一块半径2r =（单位：千米），圆心角π3BAC ∠=的风景区，点P 在弧BC 上（不与B ，C 重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直于点Q ，街道PR 与AC 垂直于点R ，线段RQ 表示第三条街道．记PAB θ∠=．（1）若点P 是弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）通过计算说明街道RQ 的长度是否会随θ的变化而变化；（3）由于环境的原因，三条街道PQ PR RQ ,,每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．【答案】（1）2+（2）RQ =θ的变化而变化.（3）最大值为2W =（万元)【解析】【分析】（1）易知PA 平分BAC ∠，可得30θ= ，即可得求得各街道长；（2）写出PQ ，PR 的表达式，利用余弦定理可得RQ =（3）结合各街道单位效益可得经济总效益为00sin 2044W θθ=++出最大值.【小问1详解】根据题意可得若点P 是弧BC 的中点，可得30PAB θ∠== ，此时sin sin 301PQ r r θ=== ，πsin sin 3013PR r r θ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，而π2ππ33RPQ ∠=-=，由余弦定理可得2222π2cos 3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅，即可得RQ =；所以三条街道的总长度为2PQ PR RQ ++=；【小问2详解】在Rt PAQ 中可得2sin PQ θ=，同理π2sin 3PR θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用余弦定理可得2222π2cos3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅22ππ2π4sin 4sin 22sin 2sin cos333θθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ1ππ4sin cos cos sin 4sin 22sin 2sin cos cos sin 33233θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-++⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos sin cos 4sin cos 2sin 3θθθθθθθθ+-++-=22cos 3sin 33θθ+==；可得RQ =因此街道RQ 的长度为定值θ的变化而变化.【小问3详解】依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为：π300200400600sin 400sin 4003W PQ PR RQ θθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ππ600sin 400sin cos cos sin33θθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭200sin 4600sin 00sin 200θθθθθ=+=++-+θθ⎫=+⎪⎪⎭()θϕ=++，其中cosϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，W 的取值最大，最大值为2W =(万元).19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）233-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z ===，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=--⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
湖北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
数学试题命题人：孟梦 考试时间：2023年3月13日14：00-16：00一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）5a ＝4b ＝·12a b - ＝a b A. B. C. － D. 35-b 35b 34b 34b 【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量等于与向量同向的单位向量和向量在向量上的投影(实数)的a b b a b 向量的数乘积，根据已知条件计算即得. ()2·a b b b 【详解】向量在向量上的投影向量为, a b ()2·123444a b b b b b =-=-⨯ 故选：C2. 已知，，则“”是“”的（ ） 02πα<<02βπ<<αβ=sin 2sin 2αβ=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意，，若，则，故，即“”可推02πα<<02βπ<<αβ=22αβ=sin 2sin 2αβ=αβ=出“”； sin 2sin 2αβ=若，结合，，则有，或者，故或sin 2sin 2αβ=02απ<<02βπ<<22αβ=22αβπ+=αβ=，即“”推不出“”.2παβ+=sin 2sin 2αβ=αβ=故“”是“”的充分不必要条件.αβ=sin 2sin 2αβ=故选：A.3. 设，向量，，，且，，则（ ）, x y ∈R (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c ||a b += A. B. C.D. 10【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直平行关系明确参数，从而可得所求向量的模.【详解】∵向量，，，且，， (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c∴ ，∴， 240420x y -=⎧⎨--=⎩22x y =⎧⎨=-⎩∴，，，(2,1)a = (1,2)b =-()3,1+=- a b ∴. ||a b +== 故选：B. 4. （ ） ⋅sin 40sin 80cos 40cos 60︒︒⋅=+A. B. C. D.12-12【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.【详解】因为 sin 40sin 80sin 6020sin 602013cos 40cos 60cos 4022︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅-⋅+==++（）（），所以原式22222313cos 20sin 20sin 2014443322sin 202sin 2044︒︒︒︒︒--===--（）（）=故选：C5. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A. B. C. D.12x π=6x π=-3x π=-12x π=-【答案】B【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程. 2cos(2)13y x π=++【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得到，再向左平移个单位， 2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π得到， 2cos[2()12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++令，，则，. 23x k π+=πZ k ∈26k x ππ=-Z k ∈显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合. =0k 6x π=-故选：B6. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ．设，，则（ ）AB mAM = AC nAN = m n +=A. 1B. 2C.D. 312【答案】B【解析】 【分析】本题应用两个结论：，点O 是BC 的中点； ()12AO AB AC =+ 三点共线：若A 、B 、C 三点共线，则． ,1OA OB OC λμλμ=++=u u r u u u r u u u r 【详解】由题意得， ()()112222m n AO AB AC mAM nAN AM AN =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为M 、O 、N 三点共线，所以，解得， 122m n +=2m n +=故选B ． 7. 已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为a b 3a b -= 2a b = a b - a b + θcos θ（ ）A. B. C. D. 45351325【答案】B【解析】【分析】，求出，根据数量积的定义求夹角，由判别式求得最小值．2b t = a b + 【详解】令，则， 2b t = 2244a b t == 则，，2222()29a b a b a a b b -=-=-⋅+= 259a b t ⋅=- 由得，59224t a b a b t -=⋅≤= 9t ≤由得，59224t a b a b t -=⋅≥-=-1t ≥所以，19t ≤≤，a b +===所以， ()()cos a b a b a b a b θ+⋅-===+- =令，显然，，所以，， 2109t y t =-0y >21090t yt y -+=2100360y y ∆=-≥925y ≥时，， 925y =9[1,9]5t =∈所以． cos θ35=故选：B.8. 函数的零点个数是（ ） ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.B.C. D. 1567【答案】D【解析】 【分析】令，利用诱导公式化简可得，然后分类讨论，利用正切函数的()0f x =(2π)sin cos 0x x x -+=图象和性质即可求解.【详解】令，即， ()0f x =ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时， (2π)sin cos 0x x x -+=3πππ3π5π,,,,22222x ≠--方程可化为，tan π2x x =-在同一直角坐标系中分别做出与的图象，tan y x =π2y x =-由图可知：当时， 3πππ3π5π,,,,22222x ≠--函数与的图象有6个交点，分别为,tan y x =π2y x =-,,,,,A B C D E F又因为，满足方程，所以也是函数的一个零点，综上，函数π2x =(2π)sin cos 0x x x -+=π2()f x 的零点个数是， ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7故选：.D 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（ ）a b cA. 若，则与中至少有一个为B. 若，则 0a b ⋅= a b 0 a b ⊥ 0a b ⋅=C. 向量与向量夹角的范围是D. a b [0,)π()()0b c a c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦ 【答案】AC【解析】 【分析】根据互相垂直的平面向量的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质逐一判断即可.【详解】A ，当为非零向量，且时，，所以A 选项错误.,a b a b ⊥ 0a b ⋅= B ，若，则，B 选项正确. a b ⊥ πcos 02a b a b ⋅=⋅⋅= C ，向量与向量夹角的范围是，所以C 选项错误. a b[]0,πD ，，D 选项正确. ()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ 故选：AC10. 已知函数，下列关于函数f (x )说法正确的是（ ） ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭A. 最小正周期为πB. 图象关于直线对称 2π3x =C. 图象关于点对称 π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数13sin2y x =π3f (x )的图象【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案. 【详解】的最小正周期，A 选项错误.()f x 2π4π12T ==，所以图象关于直线对称，B 选项正确. 12πππ2362⨯+=()f x 2π3x =由于，， 1ππ0236⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭π13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以图象关于点对称，C 选项错误. ()f x π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得， 13sin 2y x =π31π1π3sin 3sin 2326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向上平移1个单位长度可得到，D 选项正确. ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭故选：BD11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭（ ）A. 的最小正周期是()f x π3B. 若， 则 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 ()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ωD. 若，则的取值范围是 π6ϕ=-ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【解析】【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出范围后判断ωωD. 【详解】对于A ，因为函数在区间上单调递减，所以， ()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ2636T ≥-=所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A 错误； ()f x π3T ≥()f x π3对于B ，因为，所以的图像关于点对称， 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故B 正确； 3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于C ，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭π3()f x 2ππ3k ω⨯=，因为，所以， 6k ω=π3T ≥2π6T ω=≤又，所以，所以，0ω>06ω<≤6ω=即满足条件的有且仅有1个，故C 正确；ω对于D ，由题意可知为单调递减区间的子集， 2π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，其中，解得，， 2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩Z k ∈123125k k ω+≤≤+k ∈Z 当时，，当时，， 0k =12ω≤≤1k =2245ω≤≤故的取值范围是，故D 正确. ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：BCD12. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ）O ABC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r rR λμ∈，A. 当时，直线过边的中点； λμ=OC AB B. 若，且，则； 1OA OB OC === ==1λμ32OA AB ⋅=-u u r u u u r C. 若时，与的面积之比为；=2=3λμ，AOB A AOC A 2:3D. 若，且，则满足.0OA OB ⋅= 1OA OB OC === λμ，22+=1λμ【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B ，由条件可判断为等边ABC A 三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C ，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可OA AB ⋅判断与的面积之比；对于D ,由得，，平方后AOB A AOC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 结合数量积的运算可推得结果.【详解】对于A ，设AB 的中点为D ，则当时，有, λμ=20OC OB OA OC OD λμλ++=+=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r r即得O,C,D 三点共线，故直线过边的中点，故A 正确；OC AB 对于B ，由于且时，，1OA OB OC === ==1λμ0OC OB OA ++= 故O 为的外心和重心，故为等边三角形，ABC A ABC A则 ,由可得， 30BAO ∠=1OA OB OC === ||21cos30AB =⨯⨯=故，故B 正确； 31cos1502OA AB ⋅==-o u u r u u u r 对于C ，延长OA 至,使 , 延长OB 至,使,A '3OA OA '=B '2OB OB '=连接,设其中点为E ,连接OE 并延长至 ，使 ,A B ''C 'EC EO '=连接 ,则四边形是平行四边形，,A C B C ''''OA C B '''所以，而时，， 23OB OA OB OA OC ''+=+= =2,=3λμ230OC OB OA ++=u u u r u u u r u u r r故,即 三点共线，且，0OC OC '+=u u u r u u u r r ,,C O C '||||OC OC '=u u u r u u u r 根据同底等高三角形面积相等，则,2AOC AOC AOB AOB S S S S ''===A A A A 即与的面积之比为,故C 错误；AOB A AOC A 1:2对于D ，因为，且，0OA OB ⋅= 1OA OB OC === 由得，，0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 所以,即，故D 正确，2222221OC OB OA OB OA λλμμ=+⋅+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r 22+=1λμ故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________.a b 2a b -= a b 【答案】 ##3π60【解析】【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.2a b -=【详解】由､均为单位向量，，a b 2a b -= 得：，即，223a b -= 22443a a b b -⋅+= 所以， 1,,[0,],cos ,23a b a b a b ππ⋅=〈〉∈〈〉= 故答案为：3π14. 如图，扇形OPQ 的半径为1，圆心角为θ，且，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇tan 2θ=形，当tan ∠POC =__________时，矩形ABCD 的周长最大，最大周长为__________.【答案】 ①. ## ②. 120.5【解析】 【分析】设，利用的周长，结合三角函数的性质求出最值即可.POC α∠=αABCD 【详解】设，,02POC αα∠=<<则， sin sin ,cos ,tan 2AD AD BC OB OA αααθ=====所以， sin cos 2AB αα=-所以矩形的周长为， ABCD sin 2cos 2sin sin 2cos 2ααααα⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭()αϕ=+其中，则， cos tan 2ϕϕϕ===π3π2ϕ<<所以当时，矩形的周长最大， π2αϕ+=ABCD此时， πsin ππcos 2,tan tan 2π22sin cos 2ϕϕαϕαϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭且矩形ABCD 故答案为：.1215. 如图，在菱形ABCD 中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为12BE BC = 2CF FD =AE EF ⋅__________．【答案】 ()21,9--【解析】【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可. 【详解】依题意，因为在菱形ABCD 中，，，12BE BC = 2CF FD =所以，12BE EC AD == 2233CF CD AB ==- 所以()()AE EF AB BE EC CF ⋅=+⋅+ 112223AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，22211364AB AB AD AD =-+⋅+2496cos ,AB AD =-++ 6cos ,15AB AD =- 因为，所以.()cos ,1,1AB AD ∈- ()6cos ,1521,9AB AD -∈--故答案为：.()21,9--16. 已知函数图像的两条相邻对称轴之间()()ππsin 2cos cos 0,02424x x f x x a a ωωωω⎛⎫⎛⎫=++->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的距离小于，，且，则的最小值为_____________. ππ3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ω【答案】7【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，再由题设条件推得，从而推得()f x πππ,Z 26k k θω=-+∈，再利用基本关系式求得，由此求得的最小值. π1tan6aω=a ω【详解】因为()ππsin 2cos cos 2424x x f x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππsin 2cos cos 24242x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2cos sin 2424x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin 2x a x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中， sin cos x a x ωω=+)x ωθ=+()tan 0a a θ=>由题意可得，又，所以， 112ππ22T ω=⋅<0ω>1ω>因为，则为的最值，所以，π()6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x πππ,Z 62k k ωθ+=+∈所以，故，πππ,Z 26k k θω=-+∈ππsin π26tan ππcos π26k k ωθω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，21,Z k m m =+∈πππππsin πsin 2ππcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2ππsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，2,Z k m m =∈πππππsin πsin 2πcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2πsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， πππsin πcos 1266tan ππππsin tan cos π6626k a k ωωθωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以， ()π1tan06a aω=>因为，所以，ππ33f ωθ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 3ωθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，ππππsin πcos 3266k ωωω⎛⎫+-+=±=⎪⎝⎭πcos 6ω=所以， π1sin6aω=因为，所以，解得， 22ππsincos 166ωω+=222133111a a a ⨯+=++a =所以，故，所以， πtan6ω==πππ,Z 66n n ω=+∈16,Z n n ω=+∈又因为，所以的最小值为. 1ω>ω7故答案为：.7【点睛】关键点睛：本题的突破口是充分利用辅助角的值，结合三角函数的基本关系式求得值，从而确a 定的范围.ω四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （1）化简:；()()()()πtan πcos 2sin 2cos πsin ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭---（2）已知，，，求的值.π3π24βα<<<()12cos 13αβ-=()3sin 5αβ+=-sin 2α【答案】（1）；（2）. 1-5665-【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可； （2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得π3π24βα<<<3ππ2αβ<+<π04αβ<-<，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.()sin αβ-()cos αβ+【详解】（1）；()()()()()πtan πcos 2πsin tan cos cos 21cos πsin cos sin αααααααααα⎛⎫--+ ⎪-⋅⋅⎝⎭==-----⋅-（2）因为， π3π24βα<<<所以，， 3ππ2αβ<+<π04αβ<-<所以，()5sin 13αβ-===，()4cos 5αβ+===-所以()()()()()()sin 2sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+⎡⎤⎣⎦. 541235613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18. 在中，向量，向量，且满足．ABC ()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =- m n m n +=- （1）证明，并求角的大小； m n ⊥B （2）求的取值范围． sin cos AC +【答案】（1）证明见解析，30B =︒（2） ⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据，可得，根据数量积的坐标表示求得，即可得解；m n m n +=- 0m n ⋅=cos B （2）根据三角形内角关系，利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】证明：由，得，m n m n +=- ()()22m nm n +=-u r ru r r 故有，所以，0m n ⋅= m n ⊥由，，()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =-+所以有，得 2cos sin 2sin 22cos 0m n B B B B ⋅=-==u r rcos B =又，所以； 0180B ︒<<︒30B =︒【小问2详解】解：， ()()3sin cos sin cos 30sin 302A C A A A A A +=-︒+==-︒又，则，， 0150A ︒<<︒3030120A -︒<-︒<︒()1sin 3012A -<-︒≤所以 sin cos A C <+≤即的取值范围是． sin cos A C +⎛ ⎝19. 已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与()()sin 0,0,02f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭()f x 轴的一个交点的横坐标为.x 12π-（1 （2）求函数在区间上的最大值和最小值．()f x ,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），()2sin(2)6f x x π=+,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2 2-【解析】【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解， （2）由整体代换法求解， 【小问1详解】 由图知，，， 2A =(),61244TT ππππ--==∴=22Tπω∴==， 2sin(2)2,0,6626f ππππφφφ⎛⎫=⋅+=<<∴=⎪⎝⎭，()2sin(2)6f x x π∴=+由得，2(2,2)622x k k πππππ+∈-++x ∈,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故的递增区间是()f x ,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【小问2详解】时，，，,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52[,663x πππ+∈-()[f x ∈-在区间 ()f x \,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-20. 已知函数. ()22cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求函数f (x )的单调递减区间； （2）若函数在区间(0,)上有两个零点，求实数k 的取值范围. ()()g x f x k =-π2【答案】（1）；π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）. (【解析】【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即可；()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性求出值域，即可求出()k f x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭实数k 的取值范围． 【小问1详解】，22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-sin 2cos 2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令， ππ3π2π22π,242k x k k +≤+≤+∈Z解得， π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 则的单调递减区间为；()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【小问2详解】函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，()()g x f x k =-π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭当时，，单调递增，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，单调递减，ππ,82x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π2,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，，，()π014f ==ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π5π124f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭要使在上有两个解，则. ()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(k ∈即k 的取值范围为.(21. 如图，在中，设，，，，已知，，ABC A AC a = AB b =||2a = ||3b =2DB AD = 2CE EB =，与交于点O ．60BAC ∠=︒CD AE（1）求的值；AE DC ⋅（2）若，求的值．0OC OD μλ+= λμ【答案】（1）1（2） 6【解析】【分析】（1）先以，为基底表示、，再去求即可；a b AE DC AE DC ⋅ （2）依据向量共线列出关于的方程，即可求得的值．λλ，，2212()3333AE AC CE a CB a b a a b ==+=+-=++ 13DC AC AD a b =-=- 则．22121152333399a b a b a C b A a b E D ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221512223313929=⨯+⨯⨯⨯-⨯=所以． 1AE DC ⋅=【小问2详解】若,则 0OC OD μλ+= ()1CO OD CD CD CB BD λλλλμλμμλμλμ====++++2221233333CB BA CB CA CB CB CA λλλλμλμλμλμλ⎛⎫⎛⎫=+=+-=⋅+⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1223CE CA λλμλμλ=⋅+⋅++ 因为A ，O ， E 三点共线，所以，所以， 12123λλμλμλ⋅+⋅=++67λμλ=+6λμ=22. 定义在区间上的函数且为奇函数． [4,4]-1()1(R,01xa f x ab b +=-∈>+1)b ≠（1）求实数的单调性：a ()f x （2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m 范围．【答案】（1）1；答案见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用即可求出，然后利用奇函数的定义进行检验；分和结合单(0)0f =1a =01b <<1b >调性的定义进行讨论即可； （2）题意可得到，利用可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分和两种情况进行讨论即可[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭01b <<1b >因为是奇函数，所以，解得， 1()11xa f xb +=-+1(0)1011a f +=-=+1a =所以，检验：，满足题意； 2()11xf x b =-+22()()11011x x f x f x b b --+=-+-=++任取，且，12,[4,4]x x ∈-12x x <则， ()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x xb b b b -=++因为，，所以，，12,[4,4]x x ∈-12x x <110x b +>210x b +>当时，，所以即， 01b <<12x x b b >()()210f x f x ->()()21f x f x >此时在上单调递增；()f x [4,4]-当时，，所以即， 1b >12x x b b <()()210f x f x -<()()21f x f x <此时在上单调递减； ()f x [4,4]-【小问2详解】，2π22cos 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭由可得，222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A ()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭因为，所以，所以，所以π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪，[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭所以，解得，2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩61m -≤≤当时，由在上单调递增可得恒成立， 01b <<()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭所以，解得；2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩01m <≤当时，由在上单调递减可得恒成立， 1b >()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭所以，解得；3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩61m -≤<-当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是01b <<m {}01m m <≤1b >m {}61m m -≤<-；【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立； ()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立； ()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立； ()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立 ()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷含答案
2023-2024武汉高一六月月考（答案在最后）一､单选题1.已知向量()()1,2,,3a b x x ==+ .若a ∥b ，则x =（）A.-6B.-2C.3D.62.已知在ABC 中，53,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（）A.1 C.53 D.1533.已知圆台12O O 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（）A.24πB.25πC.26πD.27π4.在正方体ABCD A B C D '-'''中，二面角D AB D '--的大小是（）A.30 B.45 C.60 D.905.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.717 B.1417 B.1617 D.8176.数据24,61,46,37,52,16,28,15,53,24,45,39的第75百分位数是（）A.34.5 B.46 C.49 D.527.《九章算术》中关于“刍童”（上､下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.现有“刍童”ABCD EFGH -，其上､下底面均为正方形，若28EF AB ==，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为“刍童”的体积为（）A.224B.448C.2243 D.1478.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）如图所示，正八面体E ABCD F --的棱长为a ，下列说法中正确的个数有（）①此八面体的表面积为223a ；②异面直线AE 与BF 所成的角为45 ；③此八面体的外接球与内切球的体积之比为33；④若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为23a .A.1个B.2个C.3个D.4个二､多选题9.已知i 为虚数单位，复数12,z z 为方程2250x x -+=的两个根，则下列选项中正确的有（）A.12z z = B.2111z z z =C.复数1z 在复平面上对应的点在第二象限 D.11221z z z z ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭10.已知,a β为两个平面，且,,a l m n β⋂=是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（）A.存在m a ⊂，使得m β⊥B.存在m a ⊂，使得m ∥βC.对任意m a ⊂，存在n β⊂，使得m n⊥D.对任意m a ⊂，存在n β⊂，使得m ∥n11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是棱1,,AD DD CD 的中点，则下列说法正确的有（）A.直线1AG 与直线1C E 共面B.113D BEF V -=C.二面角11D AC B --的平面角余弦值为13D.过点,,B E F 的平面，截正方体的截面面积为9三､填空题12.若2i 1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.13.杭州亚运会期间，某社区有200人参加协助交通管理的志愿团队，为了解他们参加这项活动的感受，用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取了一个容量为40的样本，若样本中女性有16人，则该志愿团队中的男性人数为__________.14.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且侧棱长OA OB OC ===O为球心作一个半径为3的球，则该球被平面ABC 所截的圆面的面积为__________.四､解答题15.如图，在直角梯形ABCD 中，3,5,BC AD DC DE AB BC ==⊥ ，BE 与AC 交于点F .（1）用BA 和BC 表示,BD BE ；（2）设BF BE λ=，求λ的值.16.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)[)[)160,180,180,200,200,220，[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；（2）估计月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[)[)[)220,240,240,260,260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[)240,260的用户中应抽取多少户？17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB ∥,22,CD PA AB CD PC ====，90,,ADC E F ∠= 分别为,PB AB 的中点.（1）求三棱锥E PCF -的体积；（2）求直线CE 与平面PCF 所成线面角的正弦值.18.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足22a b bc -=.（1）求证：2A B =；（2）若1b =，求a 边的范围；（3）求112sin tan tan A B A-+的取值范围.19.如图所示，在半径为1的球O 的内接八面体PABCDQ 中，顶点,P Q 分别在平面ABCD 两侧，且四棱锥P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥.设二面角P AB Q --的平面角的大小为θ.（1）求该内接八面体PABCDQ 体积的最大值.（2）求tan θ的取值范围.参考答案与解析选择题：1-8CBCBCCBB多选题9.ABD10.BC 11.ABC 12.213.12014.2π315.（1）147,3515BD BA BC BE BA BC =+=+ （2）1519λ=【分析】（1）利用向量的基底运算可得答案；（2）先用BA 和BC 表示BF ，再利用向量相等可得答案.【详解】（1）因为3BC AD = ，所以13BD BA AD BA BC =+=+ ；因为5DC DE = ，所以15BE BD DE BD DC =+=+ ()114555BD BC BD BC BD =+-=+ 14147553515BC BA BC BA BC ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ .（2）设AF AC μ= ，则()()1BF BA BC BA BC BA μμμ=+-=+- ，由（1）知47515BE BA BC =+ ，因为BF BE λ= ，所以47515BF BA BC λλ=+ ，则715415μλμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1519λ=.16.（1）0.0075（2）224（3）3【分析】（1）根据频窈分布直方图相关数据直接计算即可；（2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可；（3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可.【详解】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075（2）因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=（户），月平均用电量为[240,260）的用户有0.00752010015⨯⨯=（户），月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=（户），抽取比例153********=++，所以月平均用电量在[)240,260用户中应抽取310310⨯=户17.（1）1;6（2）10.【分析】（1）根据1122E PCF B PCF P BCF V V V ---==，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；（2）根据（1）中所求棱锥E PCF -的体积，求得点E 到平面PCF 的距离，结合CE 的长度，利用公式，直接求解即可.【详解】（1）PA ⊥面,ABCD AC 面ABCD ，故PA AC ⊥，故AC ==又在直角梯形ABCD 中，1,AD CB ====又E 为PB 中点，故11112223E PCF B PCF P BCF BCF V V V S PA ---===⨯⨯⨯ 111111262126BF CF PA =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.（2）因为CF ∥AD ，故CF AB ⊥，又PA ⊥面,ABCD CF ⊂面ABCD ，故CF PA ⊥，又,,AB PA A AB PA ⋂=⊂面PAB ，故CF ⊥面,PAB PF ⊂面PAB ，则CF PF ⊥，则CFP 为直角三角形；易知1,CF AD PF ===，故1151222CFP S CF PF =⨯⨯=⨯⨯= ，设点E 到面PCF 的距离为d ，由（1）可得1113326E PCF CFP V S d d -=⨯=⨯= ，解得5d =；因为,E F 分别为,PB AB 的中点，故EF ∥PA ，则EF ⊥面ABCD ，又CF ⊂面ABCD ，则EF FC ⊥，故EFC 为直角三角形，则EC ===，设直线CE 与平面PCF 所成角为θ，则5210sin 5210d CE θ===.18.（1）证明见解析（2）（3）,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由22222cos a b c bc A b bc =+-=+，进而得到2cos c b b A -=，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由22a b bc -=，利用正弦定理转化为22sin sin sin sin A B B C -=，进而得到()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=，再利用和差化积求解.（2）由（1）知2A B =，进而得到π3C B =-，再根据ABC 为锐角三角形，得到ππ,64B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，再由1b =，利用正弦定理求解；（3）由（2）知ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，转化为1112sin 2sin tan tan sin A A B A A -+=+，再令sin A t =，得到12y t t=+求解.【详解】（1）解：因为22222cos a b c bc A b bc =+-=+，所以2cos c b b A -=，由正弦定理可得sin sin 2sin cos C B B A -=，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入可得sin cos Cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin A B B -=，因为0,πA B <<，则sin 0B >，故0πA B <-<，所以A B B -=或πA B B -+=，即2A B =或πA =（舍去），所以2A B =.法二：由正弦定理可得：22sin sin sin sin A B B C -=，则()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=，则()()2sin cos 2sin cos sin sin sin sin 2222A B A B A B A B A B A B B C +--+⨯=+⨯-=，又()sin sin 0A B C +=≠，故()sin sin A B B -=，因为0,πA B <<，则sin 0B >，故0πA B <-<，所以A B B -=或πA B B -+=，即2A B =或πA =（舍去），（2）因为ABC 为锐角三角形，2A B =，所以π3C B =-，由π02π022π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ,64B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又1b =故sin 2cos sin b A a B B ==∈.（3）由（2）知ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.由11cos cos 2sin 2sin tan tan sin sin B A A A B A B A-+=-+，()sin 12sin 2sin sin sin sin A B A A A B A-=+=+，令sin A t =，则12y t t =+在,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以,33y ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以112sin tan tan A B A -+的取值范围为,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.19.【分析】设球心O 到平面ABCD 的距离为d ，球的半径为1，分别求出二面角P AB C --､Q AB C--的正切值，利用两角和的正切值公式求得tan θ关于d 的函数表达式，进而根据d 的取值范围求得tan θ的取值范围.【详解】（1）111333P ABCD Q ABCD ABCD ABCD ABCD V V V S PE S QE S PQ --=+=⋅+⋅=⋅八面体故，当ABCD S 最大时，八面体体积最大，ABCD S 最大为2,V 八面体最大值为43（2）设二面角P AB C --的大小为a ，二面角Q AB C --的大小为β，设PQ 与平面ABCD 的交点为E ，取AB 中点为M ，连接,,PM QM EM ，如图所示.则,PME QME ∠α∠β==，设球心O 到平面ABCD 的距离为d ，球的半径为1，则1,12EM EB PE d QE d ===-=+，[))tan tan 0,1a d β-+==∈()(tantan ,2a θβ∞-+=+=---，。
高一数学下学期月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校涑北二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕 一、选择题〔每一小题5分一共60分〕 终边上一点(3,4)(0)Pttt，那么sin〔〕
A.45 B.45 C.45 D.不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意有3,4xtyt，得22345rttt，再利用任意角的三角函数的定义，可求得sin.
【详解】5OPt(O为坐标原点)，所以44sin55tt. 应选:C.
【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题． 2.7sin6的值是〔〕 A.12 B.2 C.2 D.12
【答案】A
【解析】 【分析】 原式中利用诱导公式化简，计算即可得到结果． 【详解】716662sinsinsin. 应选:A. 【点睛】此题考察了运用诱导公式化简求值，纯熟掌握诱导公式是解此题的关键．属于根底题. y＝sin|x|的图象是()
A. B.
C. D. 【答案】B 【解析】 y＝sin|x|为偶函数，排除A；y＝sin|x|的值有正有负，排除C；当x＝3时，y>0，排除D，应选B.
(1,2)A，(3,4)B，(2,)Cx一共线，那么x为〔〕
A.72 B.72 C.53 D.53
【答案】B 【解析】 【分析】 由三点一共线可得ABkAC，由向量的坐标公式可求得x的值． 【详解】设ABkAC， 所以(3,4)(1,2)[(2,)(1,2)]kx 所以(4,6)(1,2)kx， 所以4k，6322xk，所以72x. 应选:B. 【点睛】此题考察向量一共线的条件的应用，考察了数学转化思想方法，是根底题． 5.5sin(2π)2yx的一条对称轴方程为〔〕 A.π2x B.π4x C.π8x D.5π
12x
长春市第二实验中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试卷(PDF版)
长春二实验中学2022-2023学年度下学期月考高一数学试题2023年4月本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页。
考试时间为120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷客观题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．以下说法正确的是（）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥2．在中，若cos aB c =，则的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,3P ，()24,0P ，且P 是线段12PP 的一个三等分点（靠近1P 点），则向量OP =（）A ．（2，2）B ．（3，-1）C ．（6，6）D ．（3，1）4．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知1A O B O C O ''''''===，则的周长为（）A ．6B．2+C ．8D．2+5．在平行四边形ABCD 中，G 为的重心，AG xAB y AD =+，则3x y +=（）A.103 B.2C.53D.16.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.mD.m7．已知i 是虚数单位，复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且1z =，则i z 的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．48．记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 是的重心，若,56BG CG b c ⊥=则cos A 的取值是（）A ．5975B ．5775C ．1115D ．6175二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量)2,1(-=a ,)1,(t b =，则下列说法错误的是（）A.若a b ∥，则t 的值为12-B.与a垂直的单位向量一定为255,55⎛ ⎝⎭C.的最小值为3D.若b 在a（e 为与向量a同向的单位向量），则5t =10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则下列结论错误的是（）A.sin cos A B=B.若4b =，则ABC ∆内切圆的半径为2C.若4b =，则9AB BC ⋅=D.若P 为ABC ∆内一点满足02=++PC PB P A ，则APC △与BPC △的面积相等11.下列说法中正确的有（）A．已知a 在b 上的投影向量为b 215=，则225=⋅b a ；B．已知()()1,2,1,1a b == ，且a 与a b λ+ 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；C．若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b + 的夹角是30 .D．在中，若0AB BC ⋅>，则B ∠为锐角；12.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos cos c B b C a +=，则下列说法正确的是（）A.若B +C =2A，则面积的最大值为34B.若π4A =，且只有一解，则b 的取值范围为(]0,1C.若C =2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.O 为的外心，则12BC BO ⋅=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知i 为虚数单位，复数满足()234z i i +=+，记z 为z 的共轭复数，z =_______14.在中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，且面积为332，若b c +=，则=a ______．15.如图，在△ABC 中，已知AB=2,AC=5, 60=∠BAC ,BC,AC 边上的两条中线AM,BN 相交于点P，则∠MPN的余弦值为_______．16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图②）．已知正六边形的边长为1，点M 满足AM AB AF =+，则||AM = _______；若点P 是正六边形ABCDEF 边上的动点（包括端点），则AM BP ⋅的最大值为_______．第Ⅱ卷主观题四．解答题：本小题共6小题，共70分。
高一下期数学月考试题(带答案)
绝密★启用前高一下期数学月考试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷<选择题）请点击修改第I卷的文字说明<题型注释）1．下列说法中，正确的是< ）A. 钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. 小于90°的角是锐角D. -95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角2．已知是第一象限的角，那么是< ）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角3．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于< ）A．B．1 C． D D．34．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是< ）A．B．C．D．5．<2分）若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是<其中k∈Z）< ）A.α+β=πB.α﹣β=C.α﹣β=<2k+1）πD.α+β=<2k+1）πb5E2RGbCAP6．<2分）圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为< ）A. B. C. D.27．<2分）下列各组角中，终边相同的角是< ）A.与<k∈Z）B.<k∈Z）C.<2k+1）π与<4k±1）π<k∈Z）D.<k∈Z）8．在148°，475°，﹣960°、1 061°、﹣185°这五个角中，属于第二象限角的个数是< ）p1EanqFDPwA.2B.3C.4D.5第II卷<非选择题）请点击修改第II卷的文字说明<题型注释）9．已知扇形的中心角是，所在圆的半径为10cm，则扇形的面积为___________．10．若角的终边与的终边相同，且，则角；11．已知角是第一象限角，则2是第__________象限角。
湖北省武昌2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷含答案
湖北省武昌高一年级三月月考数学试卷（答案在最后）命题教师：高一数学组考试时间：2024年3月25日下午15：00—17：00一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin1,cos1,tan1,1的大小关系是（）A.tan11cos1sin1>>>B.tan11sin1cos1>>>C.1tan1sin1cos1>>>D.1sin1cos1tan1>>>【答案】B 【解析】【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定tan1、cos1、sin1的取值范围，即可比较大小.【详解】因为1801571845π︒'=≈︒>︒，所以1弧度为第一象限角，在第一象限，tan y x =单调递增，所以tan1tan 451>︒=；在第一象限，cos y x =单调递减，所以cos1cos 452<︒=，在第一象限，sin y x =单调递增，所以1sin 90sin1sin 452=︒>>︒=；综上所述，有tan11sin1cos1>>>.故选：B2.若向量a b ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+ ，若()a ta b ⊥+ ，则实数t =（）A.12-B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+ 两边平方得22b a b =⋅ ，结合条件可得b a = ，又由()a ta b ⊥+，可得20t a a b ⋅+⋅=，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ .即22b a b =⋅ ，也即22cos 3b a b π= ，所以b a = .又由()a ta b ⊥+ ，得()0a ta b ⋅+=，即20t a a b ⋅+⋅= .所以2221122ba b t ab⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.3.已知向量()2,0a = ，3sin ,2b α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若b 在a 上的投影向量1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则向量a 与b 的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量求出13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，再求向量a 与b 的夹角.【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，与a同向的单位向量为e ，∵b 在a上的投影向量为1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,0a = ，∴()()2sin cos sin 12,0,0240,a b a b e a aαθα⋅⋅=⋅===⎛⎫⎪⎝⎭，∴1sin 2α=，∴1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1cos 2a b a b θ⋅==，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=，∴a 与b的夹角为π3，故选：C.4.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为（）A.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B.ππ2sin 1303h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D.ππ2sin 1606h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为()πsin (00)2h A t B A ωϕωϕ=++>><，，由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A B =⎧⎨=⎩，由2π60T ω==，可得π30ω=由t =0时h =0，可得2sin 10ϕ+=，则1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，则π6ϕ=-则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：A5.如图，在ABC 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ==== ，则BE =（）A.1181515a b - B.28315a b -C.1181515a b -+D.28315a b -+【答案】C 【解析】【分析】结合图形由向量的线性运算可得.【详解】因为,2BC AC AB b a BD DC =-=-=，所以()2233BD BC b a ==- ，()221333AD AB BD a b a b a =+=+-=+，又因为4AE ED = ，所以11212155331515DE DA b a b a ⎛⎫==-+=--⎪⎝⎭，所以()221118315151515BE BD DE b a b a a b =+=---=-+，故选：C.6.已知A 为锐角，cos tan22sin A A A =-，()215tan 15A B -=，则tan B =（）A.17-B.17C.17-D.17【答案】A 【解析】【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A =-，所以sin2cos cos 22sin A AA A=-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin 4A =，因为A为锐角，所以cos 4A =，tan 15A =又215tan 15A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 171515A AB B A A B A A B --⎡⎤=--==-⎣⎦+-.故选：A.7.已知函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，且在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（）A.(0,1]B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.[1,)+∞ D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，确定ϕ的取值，解得()()2sin f x x ω=-，令t x ω=，结合已知条件根据2sin y t =-的单调区间，取值情况得到关于ω的不等式，求解即可.【详解】因为函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，所以ππ2k ϕ=+()Z k ∈，又因为0πϕ<<，所以π2ϕ=，所以()π()2cos()2cos(2sin 2f x x x x ωϕωω=+=+=-；令t x ω=，因为π2π23x -≤≤，则π2π23x ωωω-≤≤，即π2π23t ωω-≤≤，2sin y t =-的减区间为ππ2π2π22k t k -+≤≤+()Z k ∈，又()f x 在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以π2π,23ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈的子集，因为0ω>，所以π02ω-<，2π03ω>，只有0k =时区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈是由负到正，所以有：ππ222ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，134ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得34ω≤；因为函数()f x 在[0,]π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，相当于2sin y t =-，在[]0,πω上只有一个最小值，所以有：ππ25ππ<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，125<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1522ω≤<；综上取交集有：341522ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得1324ω≤≤.故选：D8.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为A.12+B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B ++，然后利用辅助角公式以及二倍角公式sin sin A B C +的最大值；解法2sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值.【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C=++)sin sin cos C C B C B =++≤2=≤=，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B ；法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤+=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个等式中正确的是（）A.tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=+B.14sin10cos10-=︒︒C.已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最小正周期是2πD.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则()()cos sin sin sin cos cos αβαβαβαβ+++1【答案】AB 【解析】【分析】根据()tan 60tan 2535︒=︒+︒展开化简得到A 正确，利用三角恒等变换得到B 正确，计算()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得到C 错误，均值不等式等号成立条件不成立，D 错误，得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒即tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=A正确；()2cos 10601cos10cos 70441sin10cos10sin10cos10sin 20sin 202︒+︒︒︒︒-===⋅=︒︒︒︒︒︒，B正确；()πππsin cos 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；()2sin 2sin cos 2cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+=，即2tan 2tan tan tan αβαβ+=，()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-++=+1111tan tan tan tan 1211tan tan tan tan 2αβαβαβαβ=-++=-≥=，当且仅当11tan tan tan tan 2αβαβ=时等号成立，即tan tan αβ=，2tan tan 2αβ+=，方程无解，故D 错误.故选：AB.10.已知,(0,)αβπ∈，5sin 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 435πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()αβ-=（）A.3365-B.6365-C.3365D.6365【答案】CD 【解析】【分析】先计算得到cos 32611πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3sin 35πβ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，再利用()sin αβ-=sin 632πππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开得到答案.【详解】(),0,αβπ∈，7,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，51sin ,(,),cos 61326162213ππππααπα⎛⎫⎛⎫+=<+∈∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2,333πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3cos sin 55433ππββ⎛⎫⎛⎫-=∴-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；sin()sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[cos cos sin sin ]6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1245333sin()(13513565αβ-=--⨯+⨯=，当3sin 35πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1245363sin()[(13513565αβ-=--⨯+⨯-=，故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换sin()sin 632πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是解题的关键.11.对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（）A.对任意的k ，()f x 的最大值为1B.当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素C.当3k =时，()f x 在()0,2p 内只有一个零点D.当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】取1k =利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出max ()1f x =>，从而判断A ；由平方关系判断B ；由33sin cos 0x x +=得出sin cos x x =-，结合函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 图象的交点个数判断C ；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.【详解】对于A 项，当1k =时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，max ()1f x =>，故A 错误；对于B 项，22()sin cos 1f x x x =+=，即()f x 的值域为{}1，故B 正确；对于C 项，由33sin cos 0x x +=，解得sin cos x x =-，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 的图象如下图所示由图可知，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 内有两个交点，即()f x 在()0,2p 内有2个零点，故C 错误；对于D 项，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+=--，因为[]2sin 20,1x ∈，所以max min 111()101,()11222f x f x =-⨯==-⨯=，即()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题在解决C 项时，关键是将函数()f x 的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分．12.已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+=______.【答案】133【解析】【分析】利用2(),()αβαβαβαβα+=++=+-将条件整理可得3sin()sin 13cos()cos .αβααβα+=+从而可得解.【详解】2(),()αβαβαβαβα+=++=+- ，8cos(2)5cos αββ∴++8[cos()cos sin()sin ]5[cos()cos sin()sin ]αβααβααβααβα=+-+⋅++++)cos 13sin()si s n 3co (0βααβαα-+==+，3sin()sin 13cos()cos .αβααβα∴+=+13tan()tan .3αβα∴+=【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“2(),()αβαβαβαβα+=++=+-”，属于难题.13.若2π5sin cos 2)31010ααβα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是_________．【答案】7π4【解析】【分析】先由降幂公式得到sin 25α=，再由同角三角函数关系得到cos 25α=-和()cos 10βα-=-，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.【详解】2π1cos 2π1115sin cos 2cos 222sin 2323222210ααααααα--⎛⎫⎛⎫++=++=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 25α=，因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 25α==-，因为3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π24βα≤-≤，又sin()10βα-=，所以()cos 10βα-==-，所以()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα⎛⎡⎤+=+-=---= ⎣⎦ ⎝⎭因为5π2π4αβ≤+≤，所以7π4αβ+=，故答案为：7π4.14.已知函数()=sin()f x A x ωϕ+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且2π9MN =，则(π)f 的值为_________【答案】【解析】【分析】由图像确定A ，设出()()1122,,,M x y N x y ，结合2π9MN =确定ω，再代入4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭得到ϕ，最后代入求值即可.【详解】由图像可知2A =，设()()1122,,,M x y N x y ，由2π9MN =可得212π9x x -=，令()2sin 1x ωϕ+=-，可得125ππ,66x x ωϕωϕ+=-+=-，则()212π2π2π3393x x ωωω-=⇒⨯=⇒=，把4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 结合五点法可得4ππ2sin 033ϕϕ⎛⎫-+=⇒= ⎪⎝⎭，所以()π4ππ2sin 3π+2sin 33f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知(1,a = ，4b = ，且()()2315a b a b -⋅+=-．当k 为何值时，（1）向量2a kb +与ka b -互相垂直；（2）向量- a kb 与2ka b - 平行.【答案】（1）1k =或2k =-.（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出a b ⋅，根据向量垂直列式求解；（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】∵(1,a = ，∴3a ==，∵()()2315a b a b -⋅+=- ，∴2235215a a b b -⋅-=- ，∴223352415a b ⨯-⋅-⨯=- ，∴2a b ×= ，若向量2a kb + 与ka b - 互相垂直，则()()20a kb ka b +⋅-= ，∴()222220ka kb k a b -+-⋅= ，∴()222234220k k k ⨯-⨯+-=，∴220k k +-=，解得1k =或2k =-.【小问2详解】因为cos ,2a b a b a b ⋅== ，即34cos ,2a b ⨯=，则1cos ,16a b =≠± ，所以,a b不共线，若向量- a kb 与2ka b - 平行，则存在实数λ使得()22a kb ka b ka b λλλ-=-=- 成立，所以1k λ=且2k λ-=-，解得k =.16.已知函数()22sin cos f x x x x =+-．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】【分析】()1利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域．【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.17.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477mm m m≤<≤<≠∴727637{84m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.18.某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ωϕωϕπ=++>><<，其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【答案】(1)2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭;(2)8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)至少需推迟2小时投产.【解析】【分析】(1)由图可得:,A b ,利用周期公式可求出ω,(3,2)代入求出ϕ,即可得函数解析式;(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 833W t t ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简即可得出8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产,据题意得，2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得1cos cos sin sin 13333m t t m ππππ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭,1化简即可得出,1cos32m π≤-,借助图象性质即可得解．【详解】由图可得:2,4A b ==2632sin 43y t ππωωπϕ=∴=⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭由过点(3,2)可得:sin 1ϕ=所求函数的解析式为2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为2cos (1)4,3t π⎛⎫++⎪⎝⎭乙车间为2cos 43t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据题意可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 8332coscos 2sin sin 2cos 8333333cos 833836W t t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8,(0)36W t t ππ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，根据题意可得:2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭coscos sin sin cos 1333331cos cos sin sin 133331122cos 1cos 332t m t m m t t m m m πππππππππππ∴-+≤⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭+≤∴≤-由函数周期性知(0,6)m ∈,可得:24333m πππ≤≤24m ∴≤≤所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,及()sin y A x ωϕ=+的图象性质在实际问题中的应用,难度较难.19.已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．（1）若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；（2）若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．【答案】（1）()2,0（2）是（3）(]1,8【解析】【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2)1m =时,判断是否存在k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【小问1详解】根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,【小问2详解】若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时π2π3k n =±,Z n ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.【小问3详解】假设存在实数()0m k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()(),m f x f x k f x k ⋅=++-成立则()()()()22211cos coscos 1cos21cos222m x x k x k x k x k ⎡⎤⎡⎤=++-=++++-⎣⎦⎣⎦()()()1111cos21cos21cos2222m x x k x k ⎡⎤⎡⎤∴+=++++-⎣⎦⎣⎦cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2m m x x k x k x k x k ∴+=+-+++()1cos222cos2cos2,m x x k ∴+=+12ππ,,24m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 均为函数2()cos 04f x x x π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，()()12π1cos222cos2cosπ22cos2,1cos222cos2cos 2,2m x x x m x x ∴+=+=-+=+=ππ0020cos2142x x x <≤∴<≤∴<≤ ()222122222212sin 22cos22sin 212tan ,1cos212cos 1cos 1cos2cos x x x m x m x x x x x ---∴=====++-+()2244124411π4tan ,4tan ,(0)cos cos 4m m x h x x x x x ∴+=+=+<≤设，函数单调递增，()()π0,4h h x h ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭即()221218h x m m <≤∴+的取范围为(]1,8。
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内蒙古集宁一中2015-2016学年高一数学下学期第二次月考试题
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集宁一中2015—2016学年第二学期第二次月考
高一年级数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前考生务必用黑色笔将姓名、准考证号填写在答题纸规定的位置上，并将准考证号及科目用
铅笔涂在答题纸指定位置上。
2. 解答题请答在各题规定的答题区域内作答、不能在区域外作答！
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是最符合题意的。）
1.若方程yayaaxaa表示平行于（01)253()2622轴的直线，则a为（ ）
321.或A 3
2
.B
C.1 D.不存在
2.以点)3,2(p为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（ ）
A．4)3()2(22yx B.9)3()2(22yx
4)3()2.(22yxC 9)3()2.(22yxD
3.圆0222xyx与圆0422yyx的位置关系是（ ）
A．相离 B.外切 C.相交 D.内切
4.在正方体1111DCBAABCD中，下列说法中正确的是（ ）
A．ADCA11 B.ABCD11 C.角成与451DCAC D.角成与60111CBCA
5.从甲，乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如下图所示（单位cm）根据数据估计（ ）
A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐
B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐
C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐
D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐
6．甲，乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成
成绩的条形统计图如下图所示，则
内蒙古集宁一中2015-2016学年高一数学下学期第二次月考试题
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A．成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
7．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽
取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为（ ）
A．50 B.70 C.60 D.80
8．如右图程序运行结果为（ ）
A.7 B.8 C.5 D.6
9．若直线),1122baPyxbyax（相交，则与圆 （ ）
A． 在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能
10.已知一个K进制数)132k（与十进制数30相等，那么k等于（ ）
A．7或4 B.-7 C.4 D.都不对
11．在空间直角坐标系中，点p(-2,1,4)关于xoy平面对称的点的坐标是（ ）
A．（-2，1，-4） B.(-2，-1，-4) C.(2，-1，4) D.(2，1,-4)
12.当曲线042412kykxxy与直线有两个相异的交点时，则实数k的取值范围是
（ ）
)1250.(，A B.]4331(， C.]43125(， D.)125(
第Ⅱ卷（非选择题）（共90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。）
13.若直线0)32(0yaaxaayx与直线垂直，则a=
14.为了了解参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样
I=1
S=0
WHILE S<=20
S=S+I
I=I+1
WEND
PRINT I
END
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本，那么总体中应随机剔除个体数目是
15.直线0323yx截圆422yx得到的劣
弧所对的圆心角为
16.满足等式若实数yx,xyyx则（,3)222的最大
值
三．解答题（本大题共6个小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。）
17.（本题10分）
在正方体1111DCBAABCD中，111,BDBBFE，分别是的中点，棱长为1，求E，F
的坐标.
18．（本题12分）
直线l经过点P(5,5)且和圆C：2522yx 相交，截
得的弦长为
为.54的方程，求l
19.（本题12分）
已知如图表格所示的数据回归直线方程为axy8.3
(1)求 实数a的值.
(2)预测当x=9时y的值。
20.（本题12分 ）
某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到
购买到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率
分布表和频率分布直方图(如图所示).
x 2 3 4 5 6
y 251 254 257 262 266
分 组 频数 频率
)50(t一组
0 0
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解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
21.（本题12分 ）
如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面， ，E、F分别是AB、PD的中
点.
（1）求证：平面PCE 平面PCD；
（2）求三棱锥P-EFC的体积．
)105t二组（
10 0.10
)1510t三组（
10 ②
)2015t四组（
① 0.50
)2520t五组（
30 0.30
合 计 100 1.00
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22．（本题12分）
已知圆C：,044222yxyx 问是否存在斜率为1的直线l,
使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理
由
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高一年级数学答案
一：选择题
CCCDD CBA BC AC
二:填空题
13． 0或2 14.2 15.3 16.3
三：解答题
17.解：E)2111(，， F)121,21(，
18．052052yxyx或
19.8.2421a）（ （2）277
20（1）100 （2）①50②0.10
（3）可能落在第4组解析:设旅客平均购票用时为t min,则有
100302550201015101005100
30205015101010500
t
即15〈t<20
故旅客购票用时的平均数可能落在第四组。
21．（1）问略 （2）322
22. 答案：存在直线l,方程为x-y+1=0和 x-y-4=0
假设存在且设l方程为：y=x＋m，
圆C化为，
圆心C(1，-2)，则AB中点N是两直线
x－y＋m=0与y＋2=－(x－1)的交点，
即N(，)，以AB为直径的圆过原点，|AN|=|ON|．
又CN⊥AB，，
∴
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又，由|AN|=|ON|得m=1或m=－4．
∴存在直线l，方程为x－y＋1=0和x－y－4=0．