§1-2曲线运动 大学物理王纪龙

d dt
0
0
0 t 与 v v0 at 相对应 d 得 d dt 再由
dt
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两边积分
d (
0

t
0
t)dt
0
得角运动方程 t 1 t 2 0 0 2
1 2 与 x x0 v0t at 相对应 2 2 02 2 ( 0 ) 对应于
轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
z
o
y
曲线上各点的自然坐标
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et 的方向随时间变化，故
det v en 可以证明 dt
dv det a et v dt dt
et
en
at
a
an
v2
为轨道在该点的曲率半径 自然坐标系中加速度为
s lim lim R t 0 t t 0 t
O

+
x
得到速度大小与角速度之间的关系：
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两端对时间求导
切向加速度与角加速度之间的关系：
法向加速度与角速度之间的关系：
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例1
质点沿半径为R的圆运动，运动方程为
θ = 3 +2 t 2（SI）， 求（1）t 时刻质点的法向加速度 an 。 解：已知质点的运动方程 d 由 t 时刻质点的角速度 dt
任意时刻速度分量为
积分得 矢量形式为
r
12 v0t gt 2
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抛体运动还可以看作是初速度方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。
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2 .自然坐标 做平面运动的质点，当运动轨迹已知时，采用
自然坐标系描述。
在轨道曲线上取定一点o作为坐标原点，以质 点与原点间的轨道长度s来确定质点的位置，称s为
正确，速率恒定的曲线运动
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二、圆周运动 1.自然坐标描述
其中
计算较为复杂，故分匀速率圆周运动
和变速圆周运动来讨论。
（1）匀速率圆周运动
匀速率圆周运动每一时刻的速率都相等。
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质点圆周运动的半径为R，t时
刻在位置A，t+t时刻在位置B，
t时间内速度的增量为
向，e 沿轨道法线方向，指向轨道的凹侧。 n e t 和 en 构成自然坐标系
在自然坐标系中 速度表示为 由加速度定义
o
s (t ) e t
en
det dv d ( vet ) d v et v a= dt dt dt dt
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v 加速度 a lim t 0 t
由于 OAB 与 O ' A' B '相似
v vB v A
l
0
B
A B' A'
0'
v
l v R
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v l 所以 t R t
加速度的大小为
v
l
0
B
s v v l v lim lim a lim t 0 R t t 0 t R t 0 t R
d 4t rad/s dt
所以
an R 16Rt m/s
2 2
2
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（2） t 时刻质点的角加速度
d d 2 2 dt dt
t 时刻质点的角加速度
d 2 2 4 rad/s2 dt
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例2 一质点从静止出发沿半径为R=1m的圆周运动， 其加速度随t的变化关系为β=6t（SI）
§1-2 曲线运动 一、抛体运动
1.直角坐标描述 选地面为参考系，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，出手点为坐标原点。
已知 ax 0ay g 抛体运动可以看作是 v0 y x方向的匀速直线运 动和y方向的匀变速 直线运动的叠加。 0
v0

g
v0 x
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自然坐标。
质点运动时，位置
s s(t )
o
在t到t+t时间内的路程
s (t )
s(t t )
s s(t t ) s(t )
就是自然坐标之差。
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矢量 e t 和 en ，e t 沿轨道切向，指向质点运动的方
任意时刻，在质点所在处取相互垂直的单位
dv at dt
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an

总加速度总是指向运动轨道凹的一侧。
思考 讨论下列情况时，质点各作什么运动： (1) at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ 匀速直线运动 (2) at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 速率恒定的曲线运动 (3) at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ 变速直线运动 (4) at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 变t )
+
x
t时间内质点转过的角度 称角位移， 规 定逆时针方向为正方向。
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角速度为
d lim t 0 dt t
2

d d 角加速度为 lim 2 t 0 t dt dt
求：（1）质点的角速度
（2）切线加速度at d 及初始条件：t=0时，0=0 解：已知
dt
对 dt d 两边积分
dt
0
t

0
d
= 3t rad/s
2
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1 2 例3 一质点沿半径为R的圆周按规律 s bt 2 运动，其中s表示弧长，求：t 时刻质点的切向加
方向指向 v 的极限方向，即指向圆心。
v
A
2
这个加速度反映了速度方向的改变，称为 法向加速度。
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（2）变速圆周运动
变速圆周运动每一时刻的速率都在变化。 质点t时刻、t+t时刻的位置分 别在A、B， t时间内速度的
R
0
增量为
E v vB v A F 将 v 分解为vn和 vt
加速度表达式中的第一项反映了速度方向的改 变，即法向加速度；第二项反映了速度大小的 改变，方向就是速度的方向，称切向加速度。 法向加速度，指向圆心 切向加速度，沿轨道切线
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大小
方向
R
0
a
at
----与法向的夹角
an
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2.圆周运动的角量描述 做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此 可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。 设质点在oxy平面内绕o 点、作半径为R的圆周运动， 以ox轴为参考方向。 t时刻矢径与ox轴的夹 角，称角位置。

B
A
v vn vt
C
vA
D
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两边同除以t 两边取极限
vn vt v a lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
v vn vt t t t
速度、法向加速度和总加速度的大小。
ds 解： 速率 v bt dt
切向加速度 法向加速度 总加速度
at
an
(bt) b 2 R
2 4
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讨论： 1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速率圆周运动；
等于常量，质点作匀变速圆周运动；
随时间变化，质点作一般的圆周运动。
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2) 匀变速圆周运动的基本公式 设质点做半径为R的匀变速圆周运动，已知
角加速度为，且t=0时，= 0，= 0
由 d 得 d dt dt t 两边积分 得角速度方程
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思考 判断下列说法是否正确
（1） 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 不正确，如抛体运动
（2） 平均速率等于平均速度的大小。 不正确 （3） 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以 写成 不正确 v1是初速度， v2 是末速度。
(4) 运动物体的速率不变时，速度可以变化。
v -v 2a( x x0 )
2 2 0
结论：两者数学形式完全相同,说明用角量描述, 可把平面圆周运动转化为一维运动形式。
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3.线量与角量之间的关系 在 t 时间内，质点的 角位移为 ，走过的 弧长
B ( t + t ) R A(t)
s R
两边同除以t并取极限