M06B-22分数裂项求和

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裂项相消法求和

裂项相消法求和常见的拆项公式有： ○1()11111+-=+n n n n○2()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=++2111121211n n n n n n n○3()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-1211212112121n n n n○4()ba ba b a --=+11○5()!!1!n n n n -+=⋅○6mn m n m n C C C -=+-11○7()21≥-=-n S S a n n n ○8()()112+<<-n n n n n ，()()111112-<<+∴n n n n n ，即nn n n n 11111112--<<+- 例1、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，n++++ 3211。

求它的前n 项和n S 。

解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++++=1112122113211n n n n n n n a n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=111413131212112321n n a a a a S n n121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 例2、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，且123=S ,63=a 。

○1求数列{}n a 的通项公式；○2求证：11111321<++++nS S S S 解析：○1n a d a d a d a S a n 22212336212611133=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒==○2()()()11111112222642+-=+=⇒+=+=++++=n n n n S n n n n n S n n所以1111111413131212111111321<+-=+-++-+-+-=++++n n n S S S S n 例3、数列{}n a 的通项公式是12-=nn a ，如果数列{}n b 是12++=n n nn a a b ，试求{}n b 的前n项和n S 。

求非常规数列和的几个技巧

知识导航一般情况下，我们常用等差数列的前n 项和公式S n =n ()a 1+a n 2=na 1+n ()n -12d .来求等差数列的和，用等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïna 1,()q =1a 1()1-q n 1-q=a 1-a n q1-q ,()q ≠1来求等比数列的和.当遇到一些非常规的数列求和问题时，我们往往需要采用一些技巧.下面，笔者介绍三种求非常规数列的和的技巧，供大家参考.一、错位相减错位相减适用于求由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的数列的和.在求和时，需把每一项都乘以等比数列的公比q ，然后将和式向后错开一位,把同次幂的项相减，使其构成等比数列，以便根据等比数列的前n 项求和公式求出数列的和.例1.已知首项都是1的两个数列{}a n ,{}b n (b n ≠0,n ∈N ∗)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0.若b n =3n -1,求数列{}a n 的前n 项和S n .解：依题意有a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0，将上式两边同时乘以1b n +1b n得a n b n -a n +1b n +1+2=0，令c n =a nb n ，则c n =2n -1，所以a n =b n c n =()2n -1∙3n −1.则S n =1∙30+3∙31+5∙32+7∙33+⋯+()2n -1∙3n -1，①在①的两边都乘以公比3得，3S n =1∙31+3∙32+5∙33+⋯+()2n -3∙3n -1+()2n -1∙3n ，②将①-②得-2S n =1+2∙31+2∙32+2∙33+⋯+2∙3n -1-()2n -1∙3n ，即-2S n =()2∙30+2∙31+2∙32+2∙33+⋯+2∙3n −1-()2n -1∙3n -1，由等比数列的前n 项和公式得-2S n =3n-1-()2n -1∙3n -1，化简可得S n =()n -1∙3n+1.数列{}a n 是由一个等差数列{2n -1}和一个等比数列{3n}的乘积构成的，可直接列出和式，然后在和式的左右同乘以公比3，再将两式错位相减，即可求得数列的和.二、倒序相加如果一个数列中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数k ,那么a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=…=k ，就可用倒序相加来求这个数列的前n项和.将数列的和转化为n 个常数k 的和，就能快速求得数列的和.例2.求sin 21°+sin 22°+sin 23°+⋯+sin 288°+sin 289°的值.解：设S =sin 21°+sin 22°+sin 23°+⋯+sin 288°+sin 289°，①将①式中的各项倒序相加得S =sin 289°+sin 288°+⋯+sin 23°+sin 22°+sin 21°，②又因为sin x =cos(90°-x ),sin 2x +cos 2x =1，①+②得2S =()sin 21°+cos 21°+()sin 22°+cos 22°+⋯+()sin 289°+cos 289°=89，解得S =44.5.在运用倒序相加求数列的和时，要注意仔细观察数列，找出各项之间的规律，尤其要建立与首末两端“等距离”的两项之间的联系.三、裂项相消裂项相消是指把每一项都拆成两项之差的形式,再进行求和.在运用裂项相消的技巧求和时，要将数列中的每项分解,然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的.该技巧常用于求各项为分式的数列的和.例3.在数列{}a n 中,a n =1n +1+2n +1+⋯+nn +1.若b n =2a n ∙a n +1,求数列{}b n 的前n 项的和.解析：数列{}b n 的各项为分式，且其通项可裂为两项之差，可直接采用裂项相消的技巧来解题.解：因为a n =1n +1+2n +1+⋯+n n +1=n2，所以b n =2n 2∙n +12=8æèöø1n -1n +1，所以数列{}b n 的前n 项和S n =8éëêæèöø1-12+æèöø12-13ùûú+æèöø13-14+⋯+æèöø1n -1n +1=8æèöø1-1n +1=8n n +1.在求非常规数列的和时，同学们要注意观察数列的各项，找出其中的规律，对通项公式进行合理的拆分、变形，以便将复杂的数列求和问题转化为常规的等比、等差数列问题，或易于求解的常数问题，这样能化难为易，化繁为简，使问题快速得解.（作者单位：江西省赣州市第三中学）求非常规数列和的几个技巧邹彩华39。

六年级奥数-分数裂项与分拆(教师版)

第十三讲分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版(无答案)

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版（无答案）分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。

（二）用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()n n k +型。

（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++【例2】计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯（三）用裂项法求()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k-+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯的和（四）用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和：分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】计算：4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五）用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：（六）（七）【例8】计算：（1＋21＋31＋…＋601）＋（32＋42＋…＋602）＋（43＋53＋…＋603）＋…＋（5958＋6058）＋6059 【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。

分数运算裂项法

分数运算裂项法那什么是裂项法呢？给你们举个简单的小例子吧。

比如说，咱们要计算(1)/(2)+(1)/(6)+(1)/(12)+(1)/(20)。

如果咱们一个一个去加，可能会有点麻烦。

但是呢，用裂项法就简单多啦！咱们先来看这几个分数，(1)/(2)可以写成1 - (1)/(2)，(1)/(6)可以写成(1)/(2)-(1)/(3)，(1)/(12)可以写成(1)/(3)-(1)/(4)，(1)/(20)可以写成(1)/(4)-(1)/(5)。

你看，这样一变，原来的式子就变成了：(1 - (1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+((1)/(4)-(1)/(5))这时候，神奇的事情发生啦！中间好多项都可以互相抵消哦。

-(1)/(2)和后面的(1)/(2)抵消掉了，-(1)/(3)和后面的(1)/(3)也抵消掉了，-(1)/(4)和后面的(1)/(4)同样抵消掉啦。

最后就只剩下1-(1)/(5)啦，很容易算出结果是(4)/(5)。

再给你们讲个小故事吧。

有一天，小明在做数学作业的时候，遇到了一道很长很长的分数加法题，他一开始觉得脑袋都要大啦，这么多分数加起来，要算到什么时候呀！后来，他学到了裂项法这个神奇的技巧。

就像变魔术一样，他把那些复杂的分数都拆成了可以互相抵消的小部分，很快就算出了答案。

小明开心得跳了起来，他觉得数学原来也可以这么有趣呀！咱们再来看一个例子哈。

计算(1)/(1×3)+(1)/(3×5)+(1)/(5×7)+(1)/(7×9)。

这时候呢，我们可以把(1)/(1×3)写成(1)/(2)×(1 - (1)/(3))，(1)/(3×5)写成(1)/(2)×((1)/(3)-(1)/(5))，(1)/(5×7)写成(1)/(2)×((1)/(5)-(1)/(7))，(1)/(7×9)写成(1)/(2)×((1)/(7)-(1)/(9))。

六年级数学专题：分数的裂项

分数的巧算：裂项知识点分析：特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。

它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。

②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。

例题精讲例1：分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：，先裂项，再求和。

注重：必须弄懂第一种裂项公式：解答：举一反三①（1）（2）（3）例2：分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。

方法一：先将分数变形，再利用第一种裂项公式：进行计算。

方法二：直接运用另一个裂项公式方法二：引用第二种裂项公式：注重公式的由来！举一反三②（1）（2）（3）例3：（第二届新起点杯数学竞赛试题）分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项公式即可求出和。

解答：先将分母变为两个数相乘的形式，注意要使相乘两数之差相等，再利用第一种裂项公式求和。

举一反三③（1）（2）（3）例4：分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，运用裂项公式先裂项，再求和。

解答：第三种裂项公式：通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题举一反三④（1）（2）（3）例5：分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式求和，那么。

所以分母就变成了两个数相乘的形式，最后再采用裂项法计算。

运用等差数列的求和公式先将每一个分数变形，再利用第一种裂项公式进行计算。

小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab ，那么有1111()a bba a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n，1(1)(2)(3)n n nn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n nnnn n nn n n裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11aba b a ba ba bba（2）2222ababa b a b a b a bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

数列求和的方法

数列求和的方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==，又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=．（一）主要知识：1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；二．教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．三．教学重点：特殊数列求和的方法．四．教学过程：（一）主要知识：1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求下列数列的前n 项和n S ：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；（2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；（3）n a =；（4）23,2,3,,,n a a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++．解：（1）555555555n n S =++++个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--．（2）∵1111()(2)22n n n n =-++，∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++．（3）∵n a===∴1n S n =+++1)(1n =++++1=．（4）2323n n S a a a na =++++，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=，当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n n n n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++，又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++，∴ 289S =，892S =．例2．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．例3．（《高考A 计划》智能训练14题）数列{}n a 的前n 项和2()n n S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，若{}n a 是等比数列，（1）求p 的值及通项n a ；（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*(1)()()n n b n N -+-∈．（解答见教师用书127页）（四）巩固练习：设数列11,(12),,(122),n -++++的前n 项和为n S ，则n S 等于（）()A 2n ()B 2n n -()C 12n n +-()D 122n n +--五．课后作业：《高考A 计划》考点22，智能训练2，4，5，12，15，16．数列求和的常用方法（三课时）数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

MBXFB-第1节-计算综合-教师版

6-01-第1节-计算综合-分班识点1：分数裂项1、【裂差】aa n n a n n 1)11()(1⨯+-=+2、【裂和】a n n a n n a n n ++=+++11)(3、【裂项公式】()公差裂尾裂首1-⨯【典型例题】【例1】（标准形式，公差为1）11111 1223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。

【练习1-1】（变化形式，分母需要拆分）9017215614213012011216121++++++++【练习1-2】（标准形式，公差为2）111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯【练习1-3】（变化形式，改变分数单位）111111 13610152128 ++++++=【提示】将整个算式扩大2倍再缩小2倍，变成裂项的条件。

【练习1-4】（求和分母，改变分数单位）1111 11212312100 ++++++++++【提示】首先将分母求和，再按照【例3】的方法计算。

【练习1-6】（裂和）111021-10919549-437325-213⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯知识点2：循环小数与分数1、【循环小数化分数】9.0aa =∙；99.0ab b a =∙∙；9900.0ab b a =∙∙；990.0a abc c b a -=∙∙，……掌握这个转化的规律是非常关键的。

2、【牢记特殊值】10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…,60.8571427∙∙=【典型例题】【例2】真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是()。

【练习2-1】真分数7化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是2015，那么a是()。

【练习2-2】将分数149化为小数后，小数部分的第2015位上的数字是（）。

知识点3：定义新运算：（1）直接代入求值；（2）列方程求值；（3）找规律求值；【例3】（直接运算）定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

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M06B-024
喜欢数学多一点进步就会大一点! —— 六年级数学
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分数裂项求和
姓名：日期：
今天你会认真学习吗？今天的你会学有所获吗？让我们一
起努力吧！
【知识要点】
当同学们在做分数计算题时，若分数的个数超过三个时，
就要想一些简便算法．（特别是有省路略号的）
有一类型的题目有以下特征：
1.分子相同
2.分母中是乘法，且首尾相接，环环相扣，差相等．

此列分数的和=（头-尾）×差1

如：215111151491531311）（
一般地利用下面的等式，巧妙地计算一些分数求和的问题：
1.111)1(1nnnn

2.knnknnk11)(
（推倒过程：).().().(11knnkknnnknnknknn）
3.kknknmmnnmknknnm21)2).(().()2).(.(
【典型例题】
例1 观察：
211121121 312132161

4131431121

.............
2011（）-（）
M06B-024
喜欢数学多一点进步就会大一点! —— 六年级数学
2

1301（）-（）
所以: 3012011216121=

例2 11019017215614213012011216121

例3
34313312831073743413


例4
10199199971751531311

M06B-024

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3

随堂小测
姓名成绩
有趣吗？那要认真做啦！认真、细心、努力、加油！

1．
50491431321211


2．
100982862642422


3．
12101641421


4.143199163135115131
M06B-024

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4

课后作业
姓名家长签名
今天的都掌握了吗？认真做一做！相信自己肯定能做的
又快又准确！

1.
20191431321211


2． 2017317143141131183853523
3．
51491751531311


4. 4831399163135115131

【智力游戏】
现有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪

币，伪币与真币的重量不同．现需要弄清楚伪币究竟比真币轻，还是
比真币重，但只有一架没有砝码的天平．试问，怎样利用这架天平称
两次，就能分清轻重？