《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

Linear Algebra

—、课程基本信息

二、教学目标

本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。

（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、

特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。

（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。培养学生科学思维的能力。为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、基本要求

本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。

（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。

（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。

（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。

四、教学内容与学时分配

第一章行列式6学时第一节§1行列式的概念2学时知识点：〃阶行列式的定义；能应用行列式的定义汁算或证明有关的行列式。

第二节§2行列式的性质2学时知识点：〃阶行列式的性质；能应用行列式的性质来计•算或证明有关的行列式。第

三节§3行列式的展开定理，§4克莱姆法则2学时

知识点:行列式的展开定理及其应用;克莱姆法则。

本章小结本章首先利用引例给出行列式的概念；然后介绍了行列式的性质和计算；最后介绍了行列式的展开定理，克莱姆法则的有关知识。

重点：重点掌握行列式的性质与计算。

难点：行列式的定义和抽象的“阶行列式的讣算

思考题：对于“方程个数不等于变量个数或者系数行列式等于0”的线性方程组如何求解。

作业：P18, 1； 2： 1）, 2）； 3； 4： P18, 5： 6： 1 ）； 7

扩展作业：利用网络资源了解行列式的相关历史。

建议教学方法：课堂教授；学生参与讨论；多媒体授课演示行列式的行列变换。

第二章"维向量4学时第一节§1“维向量的定义和运算；§2向量的线性相关性（一）2学时

知识点：〃维向量的定义运算及其性质；线性表示、线性相关、线性无关的概念及结论

第二节§2向量的线性相关性（二）§3向量的内积2学时

知识点：线性相关性质；向量组的极大线性无关组和秩的概念；向量的内积。

本章小结本章首先利用引例给出«维向量的定义和运算：加、减、数乘；然后介绍了向量的线性相关性；最后介绍了向量的内积和相关的儿何量。

重点：掌握线性相关性的性质与判定方法。

难点：线性相关性的理论证明。

思考题：向量组的极大无关组有什么实际的应用，比如方程组的通解的表达。

作业：P40, 1； 2； 4； 5： P40, 6： 7； 8。

扩展作业：利用网络资源了解向量组的极大线性无关组和秩的实际应用。

建议教学方法：教师主讲，学生参与讨论：教学中设置问题驱动。

第三章矩阵10学时第一节§1矩阵的基本概念，§2矩阵的基本运算（一）2学时

知识点：矩阵的定义，矩阵的相等，儿种特殊的矩阵；矩阵加法、数乘、乘法。

第二节§2矩阵的基本运算（二）2学时

笫三节§3逆矩阵2学时知识点: 逆矩阵的概念、性质、伴随矩阵法求低阶方阵的逆矩阵。

笫四节§4矩阵的初等变换与初等方阵2学时知识点: 矩阵的初等变换与初等矩阵及应用。

笫五节§5矩阵的秩2学时知识点：矩阵秩的概念、性质和求法。

本章小结本章首先利用引例给出矩阵的基本概念和基本运算：矩阵加法、数乘、乘法和转置、方阵的幕和行列式；然后介绍了儿种特殊运算：求伴随阵法求逆矩阵、初等变换法求逆矩阵、矩阵的秩。

重点：矩阵的计算和初等变换的应用。

难点：矩阵的计算和初等变换的应用。

思考题：矩阵的理论对于求解线性方程组有什么关系？

作业：P73,l； 2； 3： 1), 3), 6), 8)； 6； 7： 1), 4)； 8： 1), 4) P74, 9； 10： 1),

3)； 11, P7513； 14： 15； P75, 12： 16

扩展作业：总结矩阵的主要理论；利用网络资源拓展矩阵基本讣算方法和应用。

建议教学方法：教师主讲，学生参与讨论；教学中设置问题驱动。

第四章线性方程组4学时第一节§1线性方程组的基本概念§2齐次线性方程组2学时知识点：线性方程组的基本概念与有解判别定理；齐次线性方程组的概念、性质与结构；齐次线性方程组的基础解系及其求法。

第二节非齐次线性方程组2学时知识点：非齐次线性方程组的概念，系数矩阵，增广矩阵；非齐次线性方程组有解判别定理；非齐次线性方程组的解的结构和求法。

本章小结本章首先利用引例给出线性方程组的基本概念；然后分别介绍了两种特殊类型线性方程组(齐次线性方程组、非齐次线性方程组)及其求法。

重点：线性方程组解的结构和解法。

难点：线性方程组解的结构和解法。

思考题：线性方程组在生产实际中有哪些具体应用呢？

作业：P88, 1： 1), 4) P89 2, (2)； 6

扩展作业：总结两类线性方程组的求解方法；利用网络资源拓展这两类线性方程组的应用。

建议教学方法：教师主讲，学生参与讨论：教学中设置问题驱动。

第五章方阵的特征值和特征向量

笫一节§1方阵特征值和特征向量的定义与求法4学时2学时

知识点：特征根、特征向量、特征多项式的概念；特征值、特征向量的求法。

第二节§2方阵的相似关系和对角化问题2学时

知识点：相似矩阵的定义和性质；矩阵可相似对角化的条件和方法及其应用。

本章小结本章学习了方阵的特征值和特征向量的定义、求法和相似对角化方面的应用。

重点：特征值和特征向量的计算，相似对角化方法。

难点：特征值和特征向量的讣算。

思考题：特征值理论还有哪些其他的应用？

作业：P107, 1： 1), 2), 4) P107 2： 1), 3)； 11

扩展作业：总结特征值和特征向量的求解和相似对角化方法和应用；利用网络资源拓展特征值理论在实际问题中的应用。

建议教学方法：教师主讲，学生参与讨论；教学中设置问题驱动。

第入章一次型

第一节§1二次型及其矩阵表示

4学时2学时

知识点：二次型的定义；二次型的矩阵；二次型的秩；二次型的相关结论。

笫二节§2标准形及其求法

知识点：二次型的标准形的求法。

2学时本章小结本章学习了二次型的定义、矩阵表示以及用可逆变换化标准形的方法。重点：用可逆变换化二次型为标准形。

难点：化二次型为标准形。

思考题：二次型理论在实际中还有哪些应用？

作业：P123, 1： 1), 3)； 2： 1), 3)； 3： 1) P114, 4： 2), 3)； 5

扩展作业：总结二次型化标准型的方法；利用网络资源拓展二次型在实际问题中的应用。

建议教学方法：教师主讲，学生参与讨论；教学中设置问题驱动。

五、考核方式及成绩评定

（-）理论课程考核方式

平时成绩：习题作业、课堂表现；

考试形式：闭卷；

成绩构成：考勤10%/平时20%/考试70%o

六、育人案例

（-）育人案例一

索菲•科瓦列夫斯卡娅（1850^1891）俄国女数学家。有一次，数学老师让索菲•科瓦列夫斯卡娅重复上次课上所讲的内容，索菲•科瓦列夫斯卡娅没有按老师讲的方法去讲，而是换成了自己的思路方法。当她讲完后，老师立即竖起大拇指夸她了不起。

此案例教育学生：善于独立思考问题，善于积极寻找自己的思路方法，使自己的思维不局限于某一特定的方式，这对于数学学习非常重要。

（二）育人案例二

约翰•卡尔•弗里德里希•高斯（C.F.Gauss, 1777年4月30 0-1855年2月23日）。小高斯在三岁时，就已经学会计算了。有一天他观看父亲在计算帮工们的工钱，当他父亲念叨了半天总算报出总数时，身边传来微小的声音，“爸爸!算错了，应该是这样……”父亲惊异地再算一次，果然是算错了。虽然没有人教过他，但小高斯靠平日的观察，自己学会了计算。

此案例教育学生：像高斯那样深刻和持续地思考数学真理，每个人都会作出美好的发现。

（三）育人案例三

格朗日（1736-1813）,法国著名的数学家。16岁那年，他偶然读到一篇介绍牛顿微积分的文章《论分析方法的优点》，使他对牛顿产生了无限崇拜和敬仰，于是，他下决心要成为牛顿式的数学家。山于勤奋刻苦，他的进步很快，获得过18世纪“欧洲最大之希望、欧洲最伟大的数学家”的赞誉。

此案例教育学生：兴趣是最好的老师，努力是最好的手段；两者兼具，方可成就人生。