密码学论文

基于RSA的数字签名技术研究

摘要：数字签名是现在网络信息安全的核心技术之一。通过了解其基本概念、基本原理以及数字签名的重要性和实现思路，实现了对RSA的数字签名技术的分析和理论实现。在实现了RSA的C++编程实现上，对RSA算法的不足做出了总结。

关键词：数字签名；RSA；C++；不足

Abstract：Digital signature is now the core of the network information security technologies. By understanding the basic concepts, basic principles and the importance of digital signature and implementation ideas, realized the RSA digital signature technology, analysis and theory to achieve. On the base of the realization of RSA in programming in C++, the shortcomings of RSA algorithm are summed up.

Key words：digital signature; RSA; C++; inadequacy

引言

Internet的迅猛发展在带给人们的便捷和高效的同时，也导致了网络的安全性受到严重危险。而数字签名（Digital Signatures）技术正是在这种背景下产生的，它是保证信息传输的保密性、数据交换的完整性、发送信息的不可否认性、交易者身份的确定性的一种有效的解决方案，是目前电子商务、电子政务等应用中技术最成熟的、可操作性最强的一种电子签名方法。另一个方面，数字签名是网络信息安全的核心技术，在网络传输中显得非常重要。它在保证数据的完整性、私有性、不可抗抵赖性方面起着重要的作用，通常用于鉴定签名人的身份，验证信息传输有无篡改，确保信息传输的完整性、真实性和不可否认性。

1数字签名基本概念

1.1 数字签名定义

数字签名是通过一个单向函数对要传送的报文进行处理得到的用以认证报文来源并核实报文是否发生变化的一个字母数字串，并以此来解决数据的否认、伪造、篡改及冒充等问题。数字签名在ISO7498-2标准中定义为：“附加在数据单元上的一些数据，或是对数据单元所作的密码变换，这种数据和变换允许数据单元的接收者用以确认数据单元来源和数据单元的完整性，并保护数据，防止被人（例如接收者）进行伪造”。

数字签名可以基于公钥密码体制，也可以基于私钥密码体制。目前主要是基于公钥密码体制的数字签名，包括普通数字签名和特殊数字签名。普通数字签名算法有：RSA、ElGamal、Fiat-Shamir、Guillou-Quisquarter、Schnor、Ong-Schnorr-Shamir数字签名算法、DeDSA椭圆曲线数字签名算法和有限自动机数字签名算法等。特殊数字签名有盲签名、代理签名、群签名、不可否认签名、公平盲签名、门限签名、具有消息恢复功能的签名等，它与具体应用环境密切相关。

1.2数字签名的作用

数字签名是通过一个单向函数对要传送的报文进行处理，得到的用以认证报文来源并核实报文是否发生变化的一个字母数字串。数字签名可以解决否认、伪造、篡改及冒充等问题，要实现的功能是我们平常的手写签名要实现功能的扩展平常在书面文件上签名的主要作用。一是因为对自己的签名本人难以否认，从而确定了文件已被自己签署这一事实；二是因为自己的签名不易被别人模仿，从而确定了文件是真的这一事实。故数字签名应有以下几个作用：

（1）保证数据的保密性

用于防止非法用户进入系统及合法用户对系统资源的非法使用；通过对一些敏感的数据文件进行加密来保护系统之间的数据交换，防止除接收方之外的第三方截获数据及即使获取文件也无法得

到其内容如在电子交易中，避免遭到黑客攻击丢失信用卡信息的问题。

（2）保证数据的完整性

防止非法用户修改交换的数据或因此造成的数据丢失等。

（3）保证数据的不可否认性

对数据和信息的来源进行验证，以确保数据由合法的用户发出；防止数据发送方在发出数据后又加以否认，同时防止接收方在收到数据后又否认曾收到过此数据或篡改数据。

2数字签名的实现原理

数字签名的过程大致如下：先是对将要发送的消息进行预处理，即通过数学算法由输入的消息数据产生一种消息摘要。然后再用加密算法对消息摘要进行加密，最后将加密了的消息摘要和要发送的信息一起发送给接受方。接收方接到数据后，从接收到的原始信息中用同样的算法计算出新的消息摘要，再用发送方的公钥对加了密的消息摘要的进行解密，最后通过对比，得出数据是否被篡改、是否完整等。下面详细介绍数字签名的实现过程。

2.1 Hash函数

单向Hash函数的工作原理如下：

（1）通过数学算法，把未做处理的报文（不论是明文还是密文）转换为不定长的待输入字符串，称为预映射值。

（2）将预映射值再次转换为定长（一般更短）的输出字串，称为hash值，又叫消息摘要，预映射值可任意长，但hash值总是定长；报文或预映射值有丝毫改动，则Hash值完全不同这里所谓“单向”，是指不可能由hash值反推出预映射值或报文，但又不是加密，因为不存在解密的问题。正由于其单向，也就没有了运算速度的障碍最常用的Hash 算法叫做MD5，可以用MD5对消息产生散列值，或用发送者的私钥加密消息散列值（即消息摘要）。

2.2 用加密算法进行数字签名

用来数字签名的加密算法主要分为两类：一是对称加密算法，二是非对称加密算法。本文主要对称加密算法中的RSA进行讨论。

对称加密算法所用的加密密钥和解密密钥通常是相同的，即使不同也可以很容易地由其中的任意一个来推导出另一个在此算法中，加、解密双方所用的密钥都要保守秘密，由于计算速度快而广泛应用于对大量数据如文件的加密过程中常用的加密算法有DES等。

与对称型密钥加密系统不同，非对称型密钥加密系统的特点是：加解密过程使用不同的密钥，并且若仅仅知道加密密钥，也无法推断出解密密钥，这样就可把加密密钥向整个安全通信网公开，用户只须保存解密密钥即可所以，非对称加密算法有时又称为公开密钥加密算法，其中最具有代表性的是RSA公钥密码体制。

2.3 签名和验证过程

目前的数字签名是建立在公共密钥体制基础上，它是公用密钥加密技术的一种应用，主要涉及到两方：发送方和接受方。发送方对发送文档采用特定的算法（如哈希算法）进行运算，得到一个固定长度的数字串，称为消息摘要（Message digest），不同的文档所得到的消息摘要各异，但对相同的文档它的消息摘要却是唯一的。发送方生成文档的消息摘要，并用自己的私钥对摘要进行加密来形成发送方的数字签名。这个数字签名将作为文档的附件和文档一起发送给接收方。接收方首先从接收到的原始文档中用同样的算法计算出新的消息摘要，再用发送方的公钥对文档附件的数字签名进行解密，比较两个消息摘要，如果值相同，接收方就能确认该数字签名是发送方的，这样的签名方法是符合可靠性原则的，即：签字是可以被确认的，签字是无法被伪造的，签字是无法重复使用的，文件被签字以后是无法被篡改的，总之签字具有不可否认性。

3基于RSA的数字签名技术

RSA加密算法是由Rivet Shamir和Adleman在1978年提出的，运用于公钥加密系统。RSA公钥系统的安全性是建立在大整数的因子分解极其困难，而大整数的相乘极其容易之上的。以两个200位的十进制数相乘为例，在目前的桌面电脑上，使用常用的数学软件Mathematica，结果瞬时就给出；而以目前所知道的最快的因子分解算法来估计，用一台每秒运行一万亿次位的计算机来分解一个200位的十进制数，大约需需要3800年，这就实现了一定时间内的运算上的不可实现性。

下面介绍RSA的加密和解密算法。

（1）随机选取的大素数p和q，还有n，其中n=p*q，p和q保密，n公开。

（2）取Ф(n)=(p- 1)*(q- 1)，其中Ф(n)表示比n小的素数的个数，随机选取e ∈N，且（e，Ф(n)）=1，e为加密密钥，公开。

（3）计算d，使e*d ≡1（mod (n)），称d为e对Ф(n)模的逆，其中d为解密密钥，保密。

在RSA系统中，设m为明文，且明文块的数值大小小于n，c为密文，则其加密和解密算法如下：

加密算法：c=E(m ) ≡m e（mod n）

解密算法：m=D(c) ≡c d（mod n）

在RSA系统中（e，n）构成加密密钥，即公钥，（d，n）构成解密密钥，即私钥.在RSA的构造过程中，我们应该按照安全素数的要求选择安全素数，这样，RSA的安全性才能达到最高。

下面对RSA签名进行详细分析，RSA签名的整个过程可表示：

（1）发送方采用某种摘要算法从报文中生成一个128位的散列值（称为报文摘要）；

（2）发送方用RSA算法和自己的私钥对这个散列值进行加密，产生一个摘要密文，这就是发送方的数字签名；

（3）将这个加密后的数字签名作为报文的附件和报文一起发送给接收方；

（4）接收方从接收到的原始报文中采用相同的摘要算法计算出128 位的散列值；

（5）报文的接收方用RSA 算法和发送方的公钥对报文附加的数字签名进行解密；

（6）如果两个散列值相同，那么接收方就能确认报文是由发送方签名的。

图1无保密机制的 RSA签名过程

最常用的摘要算法叫做MD5(Message Digest 5)，它的作者R.L.Rivest正是提出RSA公钥密码系统中的R。MD5采用单向Hash函数将任意长度的字节串变换成一个128位的散列值，并且它是一个不可逆的字符串变换算法，换言之，即使看到MD5的算法描述和实现它的源代码，也无法将一个MD5 的散列值变换回原始的字符串，这一个128位的散列值亦称为数字指纹，就像人的指纹一样，它就成为验证报文身份的指纹了。

数字签名是如何完成与手写签名类同的功能的呢？如果报文在网络传输过程中被修改，接收方收到此报文后，使用相同的摘要算法将计算出不同的报文摘要，这就保证了接收方可以判断报文自

签名后到收到为止，是否被修改过。如果发送方A想让接收方误认为此报文是由发送方B签名发送的，由于发送方A不知道发送方B的私钥，所以接收方用发送方B 的公钥对发送方A加密的报文摘要进行解密时，也将得出不同的报文摘要，这就保证了接收方可以判断报文是否是由指定的签名者发送同时也可以看出，当两个散列值相同时，发送方B无法否认这个报文是他签名发送的。

4RSA算法的C++编程实现

4.1 编程代码

#include

#include

#include

typedef long Longtype;

Longtype p,q,e;

Longtype fn;

Longtype MINGWEN,MIWEN;

int flag = 0;

typedef void (*Msghandler) (void);

struct MsgMap {

char ch;

Msghandler handler;

};

/* 私钥*/

struct Privatekey {

Longtype e;

Longtype n;

} Privatekey;

/*公钥*/

struct PublicKey {

Longtype d;

Longtype n;

} PublicKey;

/* 检查是否为素数*/

bool test_prime(Longtype m) {

if (m <= 1) {

return false;

}

else if (m == 2) {

return true;

}

else {

for(int i=2; i<=sqrt(m); i++) {

if((m % i) == 0) {

return false;

break;

}

}

return true;

}

}

/* 将十进制数转化为二进制*/

void switch_to_bit(Longtype b, Longtype bin[32]) {

int n = 0;

while( b > 0) {

bin[n] = b % 2;

n++;

b /= 2;

}

}

/* 界面*/

void Init() {

cout<<"*****************************************"<

cout<<"*** 2. 加密***"<

cout<<"*** 5. 退出***"<

}

/* 比较两个数的大小并按大小排列*/

void order(Longtype &in1, Longtype &in2) {

Longtype a = ( in1 > in2 ? in1 : in2);

Longtype b = ( in1 < in2 ? in1 : in2);

in1 = a;

in2 = b;

}

/* 求两个数的最大公约数*/

Longtype gcd(Longtype a, Longtype b) {

order(a,b);

int r;

if(b == 0) {

return a;

}

else {

while(true) {

r = a % b;

a = b;

b = r;

if (b == 0) {

return a;

break;

}

}

}

}

/* 用欧几里德算法求乘法逆元*/

Longtype extend_euclid(Longtype m, Longtype bin) { order(m,bin);

Longtype a[3],b[3],t[3];

a[0] = 1, a[1] = 0, a[2] = m;

b[0] = 0, b[1] = 1, b[2] = bin;

if (b[2] == 0) {

return a[2] = gcd(m, bin);

}

if (b[2] ==1) {

return b[2] = gcd(m, bin);

}

while(true)

{

if (b[2] ==1) {

return b[1];

break;

}

int q = a[2] / b[2];

for(int i=0; i<3; i++) {

t[i] = a[i] - q * b[i];

a[i] = b[i];

b[i] = t[i];

}

}

}

/* 快速模幂运算*/

Longtype modular_multiplication(Longtype a, Longtype b, Longtype n) { Longtype f = 1;

Longtype bin[32];

switch_to_bit(b,bin);

for(int i=31; i>=0; i--) {

f = (f * f) % n;

if(bin[i] == 1) {

f = (f * a) % n;

}

}

return f;

}

/* 产生密钥*/

void produce_key() {

cout<<"请输入看两个素数p和q:";

cin>>p>>q;

while (!(test_prime(p)&&test_prime(q))){

cout<<"输入的数字不为素数！"<

cout<<" 请重新输入素数p和q:";

cin>>p>>q;

};

Privatekey.n = p * q;

PublicKey.n = p * q;

fn = (p - 1) * (q - 1);

cout<<"fn = "<

cout<<"请输入私有密钥:";

cin>>e;

while((gcd(fn,e)!=1)) {

cout<<"e与fn不互质，请重新输入！";

cout<<"请再次输入私钥e :";

cin>>e;

}

PublicKey.d = (extend_euclid(fn,e) + fn) % fn;

Privatekey.e = e;

flag = 1;

cout<<"PublicKey.d: "<< PublicKey.d<<" PublicKey.n: "<

/* 加密*/

void encrypt() {

if(flag == 0) {

cout<<"ÇëÏÈÉèÖÃÃÜÔ¿:"<

produce_key();

}

cout<<"请输入明文:";

cin>>MINGWEN;

MIWEN = modular_multiplication(MINGWEN,Privatekey.e,Privatekey.n);

cout<<"加密后密文为:"<

}

/* 解密*/

void decrypt() {

if(flag == 0) {

cout<<"请先设置密钥:"<

produce_key();

}

cout<<"请输入密文:";

cin>>MIWEN;

MINGWEN = modular_multiplication(MIWEN,PublicKey.d,PublicKey.n);

cout<<"解密后明文为:"<

}

/* 相关信息*/

void about() {

cout<<"*********************************************"<

Init();

}

/* 消息映射*/

MsgMap Messagemap[] = {

{'1', produce_key },

{'2',encrypt},

{'3',decrypt},

{'4', about },

{'5',NULL}

};

/* 主函数*/

void main() {

Init();

char d;

while((d = getchar())!='5') {

int i = 0;

while(Messagemap[i].ch) {

if(Messagemap[i].ch == d) {

Messagemap[i].handler();

break;

}

i++;

}

}

4.2 结果显示与分析

图2 RSA加解密程序演示结果

从上图可知代码的编写实现了RSA基本的加解密过程，首先是密钥的产生过程，程序自动判断所输入的数字p和q的合法性，然后产出fn值。其次，就是用户输入自己的私钥，此后程序会依据算法自动产生公钥和私钥。最后，就是用户输入需要加密的数字，产生相应的明文，如需解密，在输入菜单功能数字后，即可实现解密。程序的只是实现了对数字的RSA加解密过程，需要进一步的改善，以期实现对字母或数字的加解密，这也是下一步工作的重心。另外一点就是大整素数的产出与利用，由于时间和复杂度的原因，程序只能利用较小的素数。大整素数的利用需要改善程序代码，这也可谓是程序的不足之处了。

5总结

经过分析RSA的不足主要在两个方面：一方面是产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。另外一个方面就是分组长度太大，为保证安全性，n至少也要600 bits以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级，且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。针对上述不足，可通过将RSA与其他的加密算法结合，吸收其他算法的优点，隐藏本身的不足。相信在未来一段时间内，RSA还是有很大的应用空间和安全强度的。

参考文献：

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