最优化问题的算法迭代格式
迭代下降算法概述-最优化方法
四.算法的收敛性
收敛性：下降迭代算法的收敛性，是指某种
迭代程序产生的迭代序列 Xk k 0,1, 2,…
收敛于 lim X k X k1
收敛速度：
(1)线性收敛速度（ =1）
(2)超线性收敛速度（1< < 2）
(3)二阶收敛速度( =2)
四.算法的收敛性
初始点X1
新的点X2
1.目标函数值：f（X1）> f（X2） > f（X3） > f （X4）…
2.f:算法规则
初始点X2
3.点列：{Xi}，i=1,2…n
新的点X3
4.Xn趋于极小点或期望的其他点（平稳点或K-T点）
初始点X3
新的点X4
一.算法的基本格式
2.基本格式：
X k 1 X k k Pk
(1)线性收敛速度
一阶收敛不一定是线性收敛
四.算法的收敛性
（2） 阶收敛速度
设某算法产生的点列 Xk收敛于X，若存
在正数 k0 ，有以及与k无关的 >0, >1,使
得当k> k0 时，恒有
Xk1 Xk Xk X 称此算法具有 阶收敛速度。
二次函数时，都能在有限步内达到极小点，则称此 算法具有收敛性。
有限收敛性（二次收敛性）指一个算法用于具有正 定矩阵的二次函数 f (X ) 1 X T AX bT X C 在有限步可
2
以达到它的极小值，具有线性以上的收敛，收敛速 度较快。
f (Xk P)PT 0 XK1 Xk P
二.最优步长的性质
由于 k 是最优步长，故 是 X k1 f ( X )在过点 X k1
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
( 1 )＝ ( 2 )＝0.264， f1＝－1.125
新点 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.354, f 2＝f ( ( 2 ) ) ＝-1.103 (4) 比较函数值，缩短搜索区间 f1 f 2 a 0.118, b ( 2 ) 0.354 判断迭代终止条件: b - a 0.354 0.118 0.236 继续缩短
区间为[a, b] [－0. 5,0.5]，取迭代精度＝0.15。
解：(1) 在初始区间[a, b]内取点并计算函数值。
( 1 )＝b 0.618( b a )＝ 0.118, f1＝f ( ( 1 ) ) ＝－0.854 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.118,
( 1 )＝b 0.618( b a ) ( 2 )＝a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) )，令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2
( 2 ) 比较函数值，缩小搜索区间 a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分，取[ a , ( 2 ) ]为 新区间[ a1 , b1 ],在计算中作置换：
(2)+h (3)。计算（ ），令（ ） f3 f f
(3) (3)
(1) 若f 3 f1，则[a,b]=[(3) ,(2)]，停止计算。 (2) 若f 3 f1，则 2h h，(2) (1)，f 2 f1，
(3) (2)，f 3 f 2 (2) h (3)，计算（ ），令（ ） f3 , f f
h 2 1 2 1＝ 2＝1,
2＝ 3＝2 , 3＝ 2 h＝4
最优化问题——梯度下降法
最优化问题——梯度下降法1、⽆约束最优化问题求解此问题的⽅法⽅法分为两⼤类：最优条件法和迭代法。
2、最优条件法我们常常就是通过这个必要条件去求取可能的极⼩值点，再验证这些点是否真的是极⼩值点。
当上式⽅程可以求解的时候，⽆约束最优化问题基本就解决了。
实际中，这个⽅程往往难以求解。
这就引出了第⼆⼤类⽅法：迭代法。
最优条件法：最⼩⼆乘估计3、迭代法（1）梯度下降法（gradient descent），⼜称最速下降法（steepest descent）梯度下降法是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
必备条件：函数f(x)必须可微，也就是说函数f(x)的梯度必须存在优点：实现简单缺点：最速下降法是⼀阶收敛的，往往需要多次迭代才能接近问题最优解。
算法A.1（梯度下降法）输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数g(x)=▽f(x)，计算精度ε；输出：f(x)的极⼩点x*总结：选取适当的初值x(0),不断迭代，更新x的值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
λk叫步长或者学习率；梯度⽅向g k=g(x(k)）是x=x(k)时⽬标函数f(x)的⼀阶微分值。
学习率/步长λ的确定：当f(x)的形式确定，我们可以通过求解这个⼀元⽅程来获得迭代步长λ。
当此⽅程形式复杂，解析解不存在，我们就需要使⽤“⼀维搜索”来求解λ了。
⼀维搜索是⼀些数值⽅法，有0.618法、Fibonacci法、抛物线法等等，这⾥不详细解释了。
在实际使⽤中，为了简便，也可以使⽤⼀个预定义的常数⽽不⽤⼀维搜索来确定步长λ。
这时步长的选择往往根据经验或者通过试算来确定。
步长过⼩则收敛慢，步长过⼤可能震荡⽽不收敛。
如下图：当⽬标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局最优解。
但是，⼀般情况下，往往不是凸函数，所以其解不保证是全局最优解。
最优化方法-迭代下降算法概述
四.算法的收敛性
X k1 X k X k X
(1) 1 ，算法具有线性收敛速度
(2) 1 2 ，算法具有超线性收敛速度
(3) 2 ，算法具有二阶收敛速度
四.算法的收敛性
定义 3.16（有限收敛性或二次收敛性）： 若将某种算法应用与任意一个具有正定Hesse矩阵的
二.最优步长的性质
设无约束极小化问题为：min f(X),X E n
二、最优步长的性质
2.几何意义：
f ( X k P)PT 0 X K 1 X k P
二.最优步长的性质
由于 k 是最优步长，故 是 X k1 f ( X )在过点 X k1
而与搜索方向 Pk 平行的直线L上的极小点。因
算法产生的点列通常只是其极限属于某个指定的解 集，须规定一些准则，使得计算经过有限次迭代后 在满足过给的准则的条件下终止。
三.计算过程的终止
终止准则
（1）梯度准则：目标函数在迭代点的梯度的 模达到充分小，即 f (Xk ) （2）点距准则：两个迭代之间的距离充分
小,即
X km X k 2 或比值
迭代下降算法概述
本节主要内容
一.算法的基本格式 二.最优步长的性质 三.计算过程的终止 四.算法的收敛
本章的目的和要求
掌握算法的基本格式 熟悉最优步长的性质 知道计算过程的终止准则 了解算法的收敛性
一.算法的基本格式
定义 1 基本格式 2
一.算法的基本格式
1.定义（下降迭代算法）：从某个初始点出 发，根据一定的算法规则，产生一个是目标 函数值有所下降的新的点；再从这个新的点 出发，重复上述过程，这样可以得到一个点 列，在一定的条件下，这个点列将趋于极小 点或我们所期1)线性收敛速度
交替方向法求解最优化问题
交替方向法求解最优化问题
交替方向法（Alternating Direction Method, 简称ADM）是一种用于求解优化问题的迭代算法。
它主要用于求解具有约束条件的优化问题，特别是线性或凸优化问题。
ADM算法的基本思路是将原始问题转化为一系列子问题，然后通过迭代交替地求解这些子问题，直到收敛到最优解。
具体来说，ADM算法的迭代过程如下：
1. 初始化原始问题的变量。
2. 迭代求解子问题1：固定其他变量，只优化其中一个变量。
3. 迭代求解子问题2：固定其他变量，只优化另一个变量。
4. 重复步骤2和步骤3直到收敛。
ADM算法的收敛性在一些条件下是保证的，尤其是对于凸优化问题。
需要注意的是，ADM算法对于特定的优化问题可能需要设计不同的子问题求解方法。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和要求进行算法的设计和实现。
总之，交替方向法是一种求解最优化问题的迭代算法，其基本
思路是交替迭代求解问题的子问题，通过优化不同的变量来逼近最优解。
BFGS算法分析与实现
《最优化方法》课程设计题目：BFGS算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：统计学姓名学号：左想 **********指导教师：***日期： 2014 年 01 月 22 日摘要在求解无约束最优化问题的众多算法中,拟牛顿法是颇受欢迎的一类算法。
尤其是用于求解中小规模问题时该类算法具有较好的数值效果。
BFGS 算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，其收敛理论的研究也取得了很好的成果. 在一定的条件下，BFGS 算法具有全局收敛性和超线性收敛速度。
然而，对于大规模最优化问题来求解，包括 BFGS 算法在内拟牛顿法具有明显的缺陷。
有许多的例子表明，一旦处理问题很大时，一些对小规模问题非常成功的算法变得毫无吸引力。
究其原因，主要是由于在中小型问题一些不太重要的因素在求解大规模问题时，变得代价很高。
随着速度更快及更复杂的计算机的出现，增强了我们的计算处理能力。
同时也为我们设计算法带来了新的课题。
并行计算机的发展为求解大规模最优化问题提供了一条新途径。
关键词：BFGS 拟牛顿法；无约束最优化问题；大规模问题AbstractQuasi-Newton methods are welcome numerical methods for solving optimization problems. They are particularly effective when applied to solve small or middle size problems. BFGS method is regarded as the most effective quasi-Newton method due toits good numerical perfor mance. It also possesses very good global and superlinear con vergen ceproperties. On the other hand, however, when applied to solve larg escaleproblems, quasi-Newton methods including BFGS method don ot perform well. Themajor drawback for a quasi-Newton method, when used to solve large scaleoptimization problem, is that the matrix gener ated by the method does not retain thesparsity of the Hessian matrix of the objective function. There are examples showing that many success methods for solving small-sized optimization become unattractive once the problem to be tackled is large. An important reason for thisfeature is that some process that is important for small problems may become veryexpensive for large scale problems.The fast development of computer has enhanced our ability to solve large scaleproblems. In particular, the parallel computer provides us a new way to solve largescale problems efficiently. In recent years, there has been growing interest in the studyin parallel methods. It has been found that many good methods that are efficient forsolving small and middle size problems can be parallized.Key Words: BFGS quasi-Newton method; unconstrained optimization problem, large scale problem目录1、引言 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
最优化方法第三章第一讲下降迭代算法基本概念
(i )
xk1 xk
或 xk1 xk
xk
；
(ii )
f ( xk1 ) f
(xk
) 或 f ( xk1 ) f ( xk ) ；
f ( xk )
(iii) f ( xk ) gk ；
(i ) 上述三种终止准则的组合，
其中 0是给定的适当小的实数。
2. 一维搜索
最优化问题的算法一般迭代格式：
给定初始点 x0，令k 0。 (i)确定 xk 处的可行下降方向 pk ；
(ii)确定步长k 0，使得 f ( xk k pk ) f ( xk )； (iii)令 xk1 xk k pk ； (i )若 xk1满足某种终止准则，则停止迭代，以 xk1为近似最优解。否则令k k 1，转(i)。
定义 1.2.1：在 xk 点处，对于 pk 0，若存在 0， 使 (0, )有
f ( xk pk ) f ( xk ) 成立，则称 pk 为 f ( x)在点 xk 处的一个下降方向。
当 f ( x)具有连续的一阶偏导数时，记f ( xk ) gk 。由
Taylor 公式 f ( xk pk ) f ( xk ) gkT pk o( )
由 xk 出发沿 pk 方向求步长k 的过程叫一维搜索
或线性搜索。
如果算法构造出的点列xk 在有限步之内得到 问题的最优解 x*，或者点列xk 有极限点，并且其
极限点是最优解 x*，则称这种算法是收敛的。
如果只有当 x0充分接近最优解 x*时，由算法产 生的点列才收敛于 x*，则该算法称为局部收敛。
定义 1.2.4：设序列xk 收敛于 x*，若对于实数 p 1，
有
lim
k
xk1 x* xk x* p
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最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法
梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述
对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：
- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；
- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；
- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点
- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；
- 学习率的选择对算法效果有重要影响；
- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法
共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述
对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：
- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；
- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；
- 计算当前搜索方向 $d_k$；
- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；
- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；
- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；
- 返回第 2 步。
2. 算法特点
- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；
- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；
- 可以用于非线性问题的求解。
三、牛顿法
牛顿法是一种基于二阶导数信息进行搜索的迭代算法，它通过不断地利用目标函数的局部二次近似来逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、精度高等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述
对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$，牛顿法可以描述为以下步骤：
- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$ 和 Hessian 矩阵
$H(x_k)$；
- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；
- 解线性方程组 $H(x_k) d_k=-\nabla f(x_k)$ 得到搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；
- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；
- 返回第 2 步。
2. 算法特点
- 利用了二阶导数信息，收敛速度快；
- 需要计算和存储 Hessian 矩阵，内存占用较大；
- 可能会陷入局部极小值。
四、拟牛顿法
拟牛顿法是一种基于二阶导数信息的近似方法，它通过不断地更新Hessian 矩阵的近似来逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、不
需要计算和存储Hessian 矩阵等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述
对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始 Hessian 近似矩阵 $B_0$，拟牛顿法可以描述为以下步骤：
- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；
- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；
- 解线性方程组 $B_k d_k=-\nabla f(x_k)$ 得到搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；
- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；
- 计算新的 Hessian 近似矩阵 $B_{k+1}$；
- 返回第 2 步。
2. 算法特点
- 不需要计算和存储 Hessian 矩阵，内存占用较小；
- 可以用于非线性问题的求解；
- 可能会陷入局部极小值。
五、总结
本文介绍了最优化问题的几种常用迭代算法及其格式，包括梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法和拟牛顿法。
这些算法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的算法进行求解。
同时，学习率和停止条件的选择对算法效果也有重要影响，需要根据实际情况进行调整。